WYKŁAD 12 ENTROPIA I NIERÓWNOŚĆ THERMODYNAMICZNA 1/10

Podobne dokumenty
WYKŁAD 3 OGÓLNE UJĘCIE ZASAD ZACHOWANIA W MECHANICE PŁYNÓW. ZASADA ZACHOWANIA MASY. 1/15

Rozważmy nieustalony, adiabatyczny, jednowymiarowy ruch gazu nielepkiego i nieprzewodzącego ciepła. Mamy następujące równania rządzące tym ruchem:

WYKŁAD 5 RÓWNANIE EULERA I JEGO CAŁKI PIERWSZE 1/14

WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. RUCHU PŁYNU. 1/11

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

1. BILANSOWANIE WIELKOŚCI FIZYCZNYCH

Wykład Temperatura termodynamiczna 6.4 Nierówno

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11

Termodynamika Część 6 Związki i tożsamości termodynamiczne Potencjały termodynamiczne Warunki równowagi termodynamicznej Potencjał chemiczny

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Aerodynamika I Podstawy nielepkich przepływów ściśliwych

WYKŁAD 2 KINEMATYKA PŁYNÓW CZĘŚĆ 1 1/14

TERMODYNAMIKA PROCESOWA

Termodynamika. Cel. Opis układu niezależny od jego struktury mikroskopowej Uniwersalne prawa. William Thomson 1. Baron Kelvin

Termodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Krótki przegląd termodynamiki

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

II Zasada Termodynamiki c.d.

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Termodynamika Część 7 Trzecia zasada termodynamiki Metody otrzymywania niskich temperatur Zjawisko Joule'a Thomsona Chłodzenie magnetyczne

Przegląd termodynamiki II

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Ciepła tworzenia i spalania (3)

Całki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

Wykład z równań różnicowych

3. Równania konstytutywne

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Wykład 4. II Zasada Termodynamiki

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

Definicje i przykłady

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Pochodna funkcji odwrotnej

Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski

Rachunek całkowy - całka oznaczona

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

Zastosowanie MES do rozwiązania problemu ustalonego przepływu ciepła w obszarze 2D

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA 1/17

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Fizykochemiczne podstawy inżynierii procesowej

Teoria. a, jeśli a < 0.

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

Podstawy termodynamiki

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Całki krzywoliniowe skierowane

MECHANIKA PŁYNÓW Płyn

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Wykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Fizyka współczesna. Zmienne pole magnetyczne a prąd. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Powstawanie prądu w wyniku zmian pola magnetycznego

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

WYKŁAD 2 TERMODYNAMIKA. Termodynamika opiera się na czterech obserwacjach fenomenologicznych zwanych zasadami

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Analiza wektorowa. Teoria pola.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Indukcja matematyczna

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Termodynamika. Energia wewnętrzna ciał

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

Układy równań i nierówności liniowych

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Termodynamika Część 3

Aerodynamika I. wykład 2: 2: Skośne fale uderzeniowe iifale rozrzedzeniowe. POLITECHNIKA WARSZAWSKA - wydz. Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa

Zasada działania maszyny przepływowej.

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Całka podwójna po prostokącie

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Linie sił pola elektrycznego

Rozdział XV CAŁKI KRZYWOLINIOWE. CAŁKA STIELTJESA

Transkrypt:

WYKŁAD 12 ENROPIA I NIERÓWNOŚĆ HERMODYNAMICZNA 1/10

ENROPIA PŁYNU IDEALNEGO W PRZEPŁYWIE BEZ NIECIĄGŁOŚCI Załóżmy, że przepływ płynu idealnego jest gładki, tj. wszystkie pola wielkości kinematycznych i termomechanicznych są dostatecznie regularne (przynajmniej ciągłe). Pokażemy, że w takiej sytuacji entropia jest zachowana wzdłuż trajektorii elementów płynu. W tym celu rozważmy równanie energii wewnętrznej wyprowadzone w Wykładzie nr 11. Dla płynu idealnego (nielepkiego i nie przewodzącego ciepła) równanie to sprowadza się do prostej postaci, a mianowicie D Dt u pυ Skorzystamy z wyprowadzonej wcześniej zależności υ 1 D Dt wynikającej wprost z równania zachowania masy. Wówczas, równanie energii wewnętrznej może być zapisane następujące D p D D D u p ( 1/ ) p, - objętość właściwa Dt 2 Dt Dt Dt 2/10

Przypomnijmy, że Pierwsza Zasada ermodynamiki może być wyrażona przez różniczki zupełne trzech wielkości (potencjałów) termodynamicznych: entropii s, energii wewnętrznej 1. Mamy wówczas u i objętości właściwej / ds du pd Po podstawieniu otrzymanej wcześniej formuły otrzymujemy s u p p p 0 D D D D D Dt Dt Dt Dt Dt co dowodzi, że entropia wzdłuż torów elementów płynu jest zachowana. Pokażemy później, że twierdzenie to nie jest prawdziwe, jeżeli przepływ nie jest ciągły (w sensie matematycznym), tj. pojawiają się w nim silne nieciągłości zwane falami uderzeniowymi. Wprowadziliśmy wcześniej pojęcie przepływu homoenergetycznego. W takich przepływach całka równania energii ma tę samą wartość dla każdej linii prądu, czyli jest stała w całym obszarze przepływu i 1 2 global 2 Ce lub równoważnie ( 1 2 2 ) i 0. 3/10

Analogicznie, można zdefiniować przepływ homoentropowy, jako przepływ w którym s 0. W przepływach homoentropowych entropia jest stała w całym obszarze. Pierwsza Zasada termodynamiki może być zapisana w postaci ds di ( 1/ ) d p Dla dowolnego przepływu stacjonarnego mamy zatem Jeśli przepływ jest homoentropowy to s i ( 1/ ) p i ( 1/ ) p P. Wynika z tego, że pole wektorowe ( 1/ ) p jest potencjalne, czyli przepływ homoenergetyczny i homoentropowy jest automatycznie barotropowy, a stała Bernoulliego C B jest globalna. Wiemy z wcześniejszych rozważań, że w przypadku dwuwymiarowym przepływ taki jest również przepływem potencjalnym. 4/10

Powyższy wniosek można wyprowadzić również posługując się interesującym związkiem zwanym równaniem Crocco. Punktem wyjścia jest równanie ruchu (Eulera) ustalonego zapisane w formie Lamba-Gromeki 2 ( 1 ) υω 1 2 p Składnik ciśnieniowy można wyeliminować przy pomocy równania Pierwszej Zasady ermodynamiki. Otrzymamy wówczas równanie Crocco 2 s ( 1 i) υω 2 Z równania tego wynika natychmiast, że w przepływie ustalonym, homoenergetycznym i homoentropowym ma miejsce związek υω 0. Jak wiemy, implikuje on globalność stałej Bernoulliego (również w 3D). 5/10

NIERÓWNOŚĆ ERMODYNAMICZNA Rozważmy obszar kontrolny. Zmiana w czasie całkowitej entropii płynu wewnątrz tego obszaru w danej chwili może być wyrażona jako suma trzech składników: zmiany wywołanej transportem entropii przez brzeg, zmiany wywołanej przewodnictwem ciepła w obszarze wskutek niejednorodności rozkładu temperatury, zmiany entropii związanej z zachodzeniem w obszarze procesów termodynamicznie nieodwracalnych. Zgodnie z Drugą Zasadą ermodynamiki procesy nieodwracalne termodynamicznie prowadzą zawsze do wzrostu entropii ośrodka. Innymi słowy: całkowita zmiana entropii w płynie zawartym wewnątrz nie może być mniejsza niż zmiana wynikająca z transportu entropi do/z tego obszaru i przewodnictwa ciepła. Jak zwykle, w celu określenia całkowitej entropii płynu z obszarze posłużymy się pojęciem pola entropii właściwej s. Entropia całkowita wyraża się wówczas całką S sdv 6/10

Ponieważ obszar jest ustalonym kontrolnym (niezmiennym w czasie), to całkowite tempo zmian wielkości S jest równe ds dt calkow. t ( s) dv empo zmian wielkości S wynikające z transportu przez brzeg obszaru możemy zgodnie z ogólnymi rozważaniami przedstawionymi w Wykładzie nr 3 przedstawić za pomocą całki powierzchniowej ds dt transport przez sυn da Zatem, tempo produkcji netto wielkości S jest równe (szczegóły całkowania jak w W3) ds ds ds D t ( s) dv s da... Dt s dv dt dt dt υn produkcja calkow. transport przez 7/10

Obliczmy teraz tempo zmian entropii płynu w obszarze wynikające z przepływu ciepła wywołanego niejednorodnościami temperatury. Rozważmy mały fragment obszaru. Niech A oznacza brzeg. Ilość ciepła wymieniona przez ten fragment z ciągu krótkiego czasu t może być obliczona następująco Q t q nda t qdv t q( x ) V A GGO Symbolem q oznaczyliśmy lokalną wartość wektora strumienia ciepła, a V to objętość Odpowiadający wymienionej ilości ciepła przyrost entropii to Q qx ( ) S t V cieplo empo zmian entropii płynu w obszarze obliczymy całkując powyższe wyrażenie w tym obszarze, dzieląc wynik przez Oto wynik t i przechodząc do granicy t 0. ds dt cieplo qx ( ) dv 8/10

Druga Zasada ermodynamiki może być teraz sformułowana jako nierówność ds dt produkcja ds dt cieplo lub Ds dv Dt qx ( ) dv Całka objętościowa po prawej stronie nierówności może być przekształcona następująco q q q qn q dv dv dv dv dv 2 2 GGO Zatem, nierówność termodynamiczna może być zapisana następująco Ds dv Dt qn da q 2 dv 9/10

W szczególnym przypadku płyny izotropowego termicznie, wektor strumienia ciepła q związany jest z lokalnym gradientem temperatury prawem Fouriera q gdzie 0 to współczynnik przewodnictwa ciepła. Po podstawieniu do nierówności termodynamicznej otrzymujemy jej szczególny przypadek (tzw. nierówność Gibbsa-Duhema) Ds dv n d A dv Dt Powyższa nierówność może być zinterpretowana następująco: jeżeli w przepływie występuje przewodnictwo ciepła to wyrażenie po prawej stronie nierówności opisuje minimalne tempo produkcji entropii w płynie. 2 10/10