POLITECHNIKA WROCŁAWSKA WYDZIAŁ ELEKTRONIKI Zakład Teorii Obwodów TECHNIKA ANALOGOWA Zbigniew Świętach dr inż.
Czwórniki - program wykładu Koncepcja czwórnika Równania czwórnika, parametry własne czwórnika Przykłady wyznaczania parametrów własnych Własności czwórników: pasywność, odwracalność, symetria Czwórniki równoważne, przykłady Połączenia czwórników, przykłady Parametry robocze, przykłady
Koncepcja czwórnika 3 Czwórnik układ czterozaciskowy, który komunikuje się z otoczeniem wyłącznie za pomocą zacisków (węzłów) zgrupowanych w pary. W obrębie każdej pary węzłów, prąd wpływający do jednego węzła jest równy prądowi wypływającemu z drugiego węzła (regularność).
Koncepcja czwórnika 4 Regularność nie jest cechą własną czwórnika, zależy ona od sposobu włączenia czwórnika w sieć elektryczną. Czwórniki nie stanowią podzbioru układów czterozaciskowych. Ten sam układ czterozaciskowy może być w niektórych sieciach włączony regularnie, a w innych już nie. Przykład: Połączenie regularne układu czterozaciskowego Połączenie nieregularne układu czterozaciskowego
Czwórniki podział funkcjonalny: Koncepcja czwórnika czwórniki źródłowe zawierają autonomiczne źródła sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki źródłowe zazwyczaj pełnią funkcje generatorów (źródeł sygnałów) czwórniki finalne mogą lecz nie muszą zawierać autonomiczne źródła sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki finalne zazwyczaj pełnią funkcje obciążeń (odbiorników sygnałów) 5 czwórniki transmisyjne nie zawierają autonomicznych źródeł sygnałów (prądu lub napięcia); czwórniki transmisyjne pełnią funkcje transmisji sygnałów Dalej rozważane będą tylko stabilne czwórniki transmisyjne SLS. Czwórniki te złożone są tylko z elementów RLCM i/lub źródeł sterowanych tak dobranych, że zachowana jest stabilność analizowanych obwodów.
Koncepcja czwórnika Fizycznie realizowalne układy są BIBO stabilne. Dopuszczenie do rozważań układów stabilnych (posiadających co najwyżej jednokrotne bieguny na osi urojonej płaszczyzny s ) jest jednak konieczne od kiedy wykorzystujemy w analizie elementy bezstratne, np. kondensatory i induktory. 6 Układ stabilny lecz nie BIBO stabilny Układ BIBO stabilny (znaczna komplikacja modelu)
Koncepcja czwórnika Założenia przyjęte przy analizowaniu układów SLS (czwórników) metodą operatorowego przekształcenia Laplace a: 7 dowolne transmitancje (immitancje) układu nie posiadają biegunów w prawej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej s jeżeli istnieją bieguny na osi urojonej, to są one jednokrotne rozważane układy (czwórniki) nie zawierają autonomicznych źródeł sygnałów (napięciowych i prądowych) Komentarz: założenie bezźródłowości czwórnika jest jednocześnie założeniem zerowych warunków początkowych przy analizie układów metodą przekształcenia Laplace a. Współczynniki sterowania źródeł sterowanych przyjmują takie wartości, aby stabilność czwórnika została zachowana.
Cztery zaciski czwórnika można zestawić w pary na 6 sposobów. Równania czwórnika 4 = 6 8 Oznacza to, że czwórnik można opisać za pomocą 6 różnych macierzy. Generalnie dla ustalonego czwórnika część z tych macierzy może nie być dobrze określona, np. z powodu wystąpienia dzielenia przez zero w definicji elementów macierzy. Definicje wzmiankowanych macierzy zostaną podane w terminach przekształcenia Laplace a. Dalsze rozważania będą jednak przeprowadzane za pomocą metody symbolicznej (czwórniki stabilne SLS, pozostające w stanie ustalonym w warunkach pobudzenia sinusoidalnego). Taki sposób omawiania tematyki czwórników wydaje się być najlepiej dostosowany do wykonywania ćwiczeń laboratoryjnych dotyczących właśnie czwórników.
Równania czwórnika Równania admitancyjne (parametry własne, zwarciowe) I s = Y s U s I s U s y s y s I s =, U s =, Y s = I s U s y s y s 9 Równania impedancyjne (parametry własne, rozwarciowe) U s = Z s I s U s I s z s z s U s =, I s =, Z s = U s I s z s z s Jeżeli istnieją odpowiednie Y s = Z s, Z s = Y s macierze odwrotne, wówczas:
Równania czwórnika Równania hybrydowe (parametry własne, rozwarciowo - zwarciowe) U ( s ) I s s, s h s h s = H H = I s U s h s h s Równania hybrydowe odwrotne (parametry własne, zwarciowo - rozwarciowe) I ( s ) U s s, s g s g s = G G = U s I s g s g s Jeżeli istnieją odpowiednie H s = G s, G s = H s macierze odwrotne, wówczas: 0
Równania czwórnika Równania łańcuchowe (parametry własne, transmisyjne odwrotne) U ( s ) U s s, s a s a s = A A = I s I s a s a s Równania łańcuchowe odwrotne (parametry własne, transmisyjne) U ( s ) U s s, s b s b s = B B = I s I s b s b s Jeżeli istnieją odpowiednie A s = B s, B s = A s macierze odwrotne, wówczas:
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przejście od analizy układu metodą przekształcenia Laplace a do analizy układu metodą symboliczną nie jest tak oczywiste jak się wydaje. Jeżeli założymy BIBO stabilność układu, wówczas przy dowolnych warunkach początkowych w chwili komutacji (wyłączenie dotychczas działających w układzie źródeł sygnałów i włączenie źródła sygnału sinusoidalnego), układ po dostatecznie długim czasie (zazwyczaj po nieskończenie długim czasie) znajdzie się w stanie ustalonym. W tym wypadku zamiana zmiennej przez podstawienie s jω jest uzasadniona bez żadnych dodatkowych ograniczeń. W układach stabilnych lecz nie BIBO stabilnych, których rozważanie jest konieczne ze względu na stosowanie elementów bezstratnych, stan ustalony może nigdy nie wystąpić.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: 3 z I z = /, ω = ( ω / ( ω )) U = I R + j L LC 3 U = j = e 3 3 u t j arctan 3 3 = sin t arctan 3 3 Otrzymano wynik końcowy, sukces?...nie, w tym przypadku w układzie nie wystąpi stan ustalony. Rozpatrzmy ponownie ten przykład posługując się przekształceniem Laplace a.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: I z ( s ) = / + 4 4 z ( ( / )) U = I R + sl + s LC U U = ( s + s + ) ( s + 4)( s + ) s / 3 s / 3 = + s + 4 s + 3 u ( t ) = sin t arctan cos ( t ), t 0 3 + > 3 3 Rozwiązaniem problemu jest odpowiedni wybór warunków początkowych.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Przykład: 5 Wynik: s / 3 3 U = u ( t ) = sin t arctan, t > 0 s + 4 3 3 Składowa swobodna rozwiązania nie wystąpiła, stan ustalony został osiągnięty w chwili t=0 +.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej 6 Otrzymany rezultat można uogólnić na dowolny stabilny obwód SLS, w którym pulsacja źródeł sygnałów sinusoidalnych po komutacji jest różna od biegunów rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonych na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s. W stabilnym obwodzie SLS spełniającym powyższe założenie można zawsze dobrać warunki początkowe, tak aby po komutacji nie wystąpiła składowa swobodna rozwiązania. Obwód znajdzie się w stanie ustalonym dla pobudzeń sinusoidalnych o ustalonej pulsacji już w czasie t=0 +. Wówczas podstawienie s jω ma sens fizyczny i jest poprawne. Komentarz: oczywiście w praktyce nie ma potrzeby obliczania explicite wzmiankowanych warunków początkowych, ważne, że w układzie stabilnym SLS spełniającym założenie dotyczące pulsacji źródeł sygnałów, zawsze można osiągnąć stan ustalony.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Pozostaje do rozpatrzenia ostatni przypadek, kiedy w stabilnym układzie SLS pulsacja źródeł sygnałów sinusoidalnych po komutacji jest identyczna z co najmniej jednym biegunem rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonym na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s. Przykład: 7
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Wynik: U s = + ( s + ) u s + i C 0 L0 + u t = 0.5tsin t + u cos t + i sin t, t > 0 s C 0 L0 8 Analizowany obwód zachowuje się jak obwód niestabilny, niezależnie od wyboru warunków początkowych. Otrzymany rezultat jest generalną cechą układów stabilnych SLS, które nie są stabilne w sensie BIBO. Podsumowanie W układach stabilnych można stosować metodę symboliczną oraz stosować podstawienie s jω dla wszystkich pulsacji, z wyłączeniem pulsacji biegunów rozpatrywanej transmitancji (immitancji) położonych na osi urojonej płaszczyzny zespolonej s.
Opis czwórnika w metodzie symbolicznej Układy stabilne SLS, pobudzenie sinusoidalne, stan ustalony: s jω, ω R ω, ω,..., ω + { } b b bm U s U, I s I U s U, I s I Y s = Y, Z s = Z s= jω s= jω H s = H, G s = G s= jω s= jω A s = A, B s = B s= jω s= jω 9 W metodzie symbolicznej macierze czwórników są macierzami liczbowymi o wartościach zależnych od wybranej pulsacji ω.
Zależności pomiędzy macierzami czwórników 0 Stan ustalony, układy stabilne SLS, pobudzenie sinusoidalne.
Przykład wyznaczania zależności z tabeli A Y ) ) 3) 4) U = a U a I I = a U a I I = U / a + a / a U I = a U a U / a + a / a U I = U / a + a / a U I = a / a U + ( a a a / a ) U I = a / a U a a a a / a U I = U / a + a / a U
Przykład wyznaczania zależności z tabeli A Y I = a / a U ( a a a a ) / a U I = U / a + a / a U Y a det, det = = aa a a a a A A Powyższe przekształcenie istnieje jeżeli ma sens matematyczny, tzn. a 0.
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Parametry własne czwórnika są to elementy omawianych poprzednio macierzy czwórników. Przyjmujemy następujące oznaczenia: I U = 0, I = 0 = 0, U = 0 oznacza odpowiednio, rozwarcie węzłów AA, BB oznacza odpowiednio, zwarcie węzłów AA, BB Wejście czwórnika nazwa funkcjonalna, dotyczy wrót, do których aktualnie dołączony jest generator, tzn. wrót AA lub BB. Wyjście czwórnika nazwa funkcjonalna, dotyczy wrót, do których aktualnie dołączone jest obciążenie, tzn. wrót AA lub BB. Uwaga, zwarcie i rozwarcie traktowane jest również jako specyficzne obciążenie czwórnika.
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 4 Metoda wykorzystująca bezpośrednio definicję macierzy czwórnika A =? ) I = 0 rozwarcie węzłów BB U U I U = + jω RC j ω CU = + jω RC a = = + j RC = + j U I = 0 I a = = j C = j U I = 0 ω ω
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 5 Metoda wykorzystująca bezpośrednio definicję macierzy czwórnika ) U = 0 zwarcie węzłów BB ( ω ) a = = R LC + j L = + j I U = 0 a U I ω ω I = U R + jωl / LC ( ω ) I U ω LC R ω LC + jωl I = = ( ) + j + j A= j = = LC = I ( A) U = 0 det =
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 6 Przekształcanie równań metody MPO ωl =, R=, α = 3 H=? ( ω ) ( α ) ( α ) ( ω ) / ( α ) / ( α ) ( α ) U = jωli + R + R U I0 = I + I I = I + U / + R U = I0 + R = + R I + I ) 3) ) U = I R+ j L + RI U = I R+ j L + RI I = I + U + R
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 7 Przekształcanie równań metody MPO H=? H U = jωli + R / ( α + R) U I = I + U / α + R U I = I H U jωl R / ( α + R) j 0.4 = = / ( α R + ) 0.
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 8 Przekształcanie równań metody MPV ωc R =, R = = 0.5, β = 3 Y =? ) I = / R + jωc U jωcu βi + I = jωcu + ( / R + jωc ) U I = / R + jωc U jωcu ) I = ( β / R + jωc ( + β) ) U + ( / R + jωc ( + β) ) U
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 9 Przekształcanie równań metody MPV ωc R =, R = = 0.5, β = 3 Y =? I U I = / R + jωc U jωcu = Y, I U I = ( β / R + jωc ( + β) ) U + ( / R + jωc ( + β) ) U / R + jωc jωc + j j Y = ( / R ) ( ) = β jωc β / R jωc β + + + + 3 8j + 8j
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 30 Przekształcanie równań metody MPV Dany jest obwód z tranzystorem (model małosygnałowy) pracującym w układzie OB. Należy wyznaczyć macierz admitancyjną tego obwodu. G G = 0 S, G = 0 S 3 = 0 S, G = 5 0 S 5 4 3 4 α = 0.99 Y =?
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Przekształcanie równań metody MPV I = GU GU 3 α I + I = G3 + G4 U GU 3 3 αi = GU GU + ( G + G + G ) U 3 3 3 równanie dla węzła nr równanie dla węzła nr równanie dla węzła nr 3
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 3 Przekształcanie równań metody MPV I G 0 G U αi + I = 0 G + G G U 3 4 3 αi G G3 G G G 3 U + + 3 Równanie macierzowe zostanie zredukowane metodą eliminacji Gaussa
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 33 Przekształcanie równań metody MPV Do równania dodano stronami równanie pomnożone przez -α oraz do równania 3 dodano stronami równanie pomnożone przez α: I G 0 G U I = αg G 3 + G 4 G 3 αg U 0 G α G3 G α G G 3 U + + 3 Następnie zredukowano węzeł nr 3: nowe y = y y y / y ij ij in nj nn i, j =,, n = 3
Wyznaczanie parametrów własnych czwórnika 34 Wyznaczanie macierzy admitancyjnej ( α ) ( α ) y G G + G + G 3 y y G = G G 3 = ( α ) + + G ( α )( + α ) ( α ) + + ( G + αg ) G ( α ) G G G 3 α 50.5 ms 0.50 ms G G G 3 = G G G3 3 3 y G3 G4 G + G + G 3 = + 48.5 ms 0.05 ms Y y y 50.5 0.50 = y y 48.5 0.05 ms
Czwórniki zdegenerowane Para przewodników 0 A = B = 0 0 0 H =, G = 0 0 Macierze Y, Z nie istnieją. 35 Mostek z przewodników 0 A = B = 0 0 0 H =, G = 0 0 Macierze Y, Z nie istnieją.
Zwarcie dwustronne Czwórniki zdegenerowane 36 Z 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją. Rozwarcie dwustronne Y 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją.
Zwarcie/rozwarcie Czwórniki zdegenerowane 37 H 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją. Rozwarcie/zwarcie G 0 0 = 0 0 Pozostałe macierze nie istnieją.
Czwórnik typu T Podstawowe czwórniki SLS Z z = = z = Z Z3 + Z z z Z + Z Z 38 Czwórnik typu PI y y Y = = y y Y + Y Y = Y Y3 + Y
Czwórnik typu G Podstawowe czwórniki SLS y y Y = = y y Y Y = Y Y3 + Y 39 Czwórnik mostkowy (krzyżowy) z z Z = = z z = Z + Z + Z + Z 3 4 Z + Z Z + Z Z Z Z Z 4 3 3 4 Z3Z 4 ZZ ( Z + Z3 )( Z + Z 4 )
Podstawowe czwórniki SLS Transformator idealny n 0 / n 0 A =, B = 0 / n 0 n 0 n 0 / n H =, G = n 0 / n 0 Stała n przekładnia transformatora (liczba rzeczywista). Macierze Y, Z nie istnieją. 40 U = nu I I n Z n Z Z = U I U = / = = 0 I 0 /
Żyrator Podstawowe czwórniki SLS R rezystancja żyracji 4 Macierze H, G nie istnieją. 0 R A = B = / R 0 0 R 0 / R Z =, Y = R 0 / R 0 U = RI I = U / R Z = U / I Z 0 U I = = R Z 0
Żyrator Podstawowe czwórniki SLS Realizacja induktora 4 Energia dostarczona do układu: = = / u t i t R i t u t R i t = Cdu t / dt Z = du ( t ) ( t ) u t i t = Cu = dt di ( t ) = CR dt R =, Z 0 = Z 0 Z = jωcr = jω L L = CR t jωc ε t = u τ i τ dτ = i ( t) 0 ( τ ) ( τ ) = CR i di = ( t ) = 0.5CR i 0
Przykład doskonałej degeneracji czwórnika 43 Nullor - realizacja za pomocą żyratorów i ujemnych rezystancji. 0 0 U 0 I = 0 U 0 0 I U U = 0, I = 0, I - wartośći arbitralne We wrotach AA czwórnik jest jednocześnie zwarty i rozwarty. We wrotach BB prąd i napięcie są dowolne i niezwiązane ze sobą. Nie istnieje żadna macierz dla takiego czwórnika. Nullor jest przykładem czwórnika aktywnego.
Podstawowe czwórniki SLS Idealne źródło prądu sterowane napięciem 44 A 0 / α 0 0 =, Y = 0 0 α 0 Idealne źródło prądu sterowane prądem A 0 0 0 0 =, H = 0 / α α 0
Podstawowe czwórniki SLS Idealne źródło napięcia sterowane napięciem 45 A / β 0 0 0 =, G = 0 0 β 0 Idealne źródło napięcia sterowane prądem A 0 0 0 0 =, Z = / β 0 β 0
Odwracalność obwodów ) Niech w gałęzi (m) obwodu działa pobudzenie napięciowe e (t), natomiast w gałęzi (n) obwodu mierzona jest reakcja, prąd i (t). 46 ) Następnie z gałęzi (m) usunięto pobudzenie napięciowe e (t), po czym w gałąź (n) włączono pobudzenie napięciowe e (t). W gałęzi (m) obwodu mierzona jest teraz reakcja, prąd i (t).
Odwracalność obwodów Obwód jest odwracalny ze względu na pobudzenia napięciowe, jeżeli dla wszystkich dopuszczalnych par sygnałów { e ( t ), i ( t )}, e ( t ), i ( t ) { } i dla wszystkich gałęzi obwodu spełniona jest implikacja: 47 t D, e t = e t i t = i t Analogiczną definicję można sformułować dla pobudzeń prądowych. Definicja - obwód nazywamy odwracalnym jeśli jest odwracalny ze względu na pobudzenia napięciowe i pobudzenia prądowe. Obwód odwracalny jest symetryczny energetycznie, co oznacza, że energia sygnałów jest jednakowo przenoszona z gałęzi (m) do (n) i odwrotnie.
Przykład Odwracalność obwodów 48 Uwaga: prąd płynący przez rezystor R 3 nie jest taki sam w układach ) i ). Żyratory i źródła sterowane zazwyczaj naruszają odwracalność, jednak zależy to od sposobu włączenia ich do układu i od współczynników sterowania źródeł. Elementy nieliniowe również przeważnie psują odwracalność. Jedynie nieliniowe elementy bilateralne nie naruszają odwracalności.
Odwracalność obwodów F i, u = 0 Niech funkcja jest charakterystyką prądowo-napięciową nieliniowego dwójnika rezystancyjnego. Dwójnik nazywamy bilateralnym jeżeli równanie F ( i, u ) = 0 jest nadal spełnione. Opis dwójnika bilateralnego nie zmieni się przy jednoczesnej zmianie zwrotów prądu i napięcia na tym dwójniku. 49 Przykład = 3 = i t u t = - dwójnik bilateralny i t u t - dwójnik unilateralny Analogicznie definiuje się bilateralność dla dwójników pojemnościowych i indukcyjnych F ( q, u ) = 0 F ( i) ψ, = 0 Odwracalność obwodów wynika z odwracalności oddziaływań elektromagnetycznych w ośrodkach bilateralnych (w szczególności w ośrodkach liniowych zasada wzajemności).
Symetria obwodów Obwody symetryczne są szczególnym przypadkiem obwodów odwracalnych. Rozważamy ponownie przenoszenie sygnałów w obwodach odwracalnych: 50 t D, e t = e t i t = i t Obwód odwracalny: Obwód symetryczny: i t = i t t D, e t = e t ia t = ib t
Symetria obwodów Obwody symetryczne charakteryzują się tym, że można narysować ich schemat elektryczny, tak aby posiadał on oś symetrii (z uwzględnieniem wartości elementów). 5 Przykład Prąd płynący przez rezystor R 3 jest taki sam w układach ) i ) i jest równy 0.5 A.
Odwracalność, symetria czwórnika Odwracalność czwórnika implikuje dodatkowe zależności w macierzach Y H y = y, Z z = z h = h, G g = g opisujących taki czwórnik: 5 A det A =, B det B = Czwórnik symetryczny jest szczególnym przypadkiem czwórnika odwracalnego: Y H A y = y z = z, Z y = y z = z h = h g = g, G det ( H) = det ( G ) = det ( A) = det ( B) =, B a = a b = b
Odwracalność czwórnika typu RLCMT 53 Analizując sieci złożone tylko z elementów RLCMT i pobudzeń autonomicznych, okazuje się, że macierze Y metody MPV i macierze Z metody MPO są zawsze symetryczne niezależnie od wyboru zmiennych metody. Oznacza to, że sieci złożone z tej klasy elementów są odwracalne. Ważna własność : R rezystory L induktory C kondensatory Jeżeli czwórnik zbudowany został wyłącznie z elementów klasy RLCMT, to jest on odwracalny. M induktory sprzężone polem magnetycznym T transformatory idealne Uwaga żyrator (Ż) i źródła sterowane są najprostszymi modelami czwórników nieodwracalnych.
Pasywność w obwodach Niech poniższe wektory wierszowe złożone są odpowiednio ze wszystkich dopuszczalnych prądów i napięć gałęziowych w danym obwodzie i t = i t,..., i t, u t = u t,..., u t. n n 54 Całka oznaczona: t ( t ) = u i wyraża energię zgromadzoną w obwodzie do chwili t (apostrof ε = u τ i τ d τ oznacza transpozycję wektora). Definicja obwód nazywamy t D, ε t 0. pasywnym jeżeli: Definicja obwód nazywamy t D, ε t > 0. ściśle pasywnym jeżeli:
Bezstratność w obwodach Niech poniższe wektory wierszowe złożone są odpowiednio ze wszystkich dopuszczalnych prądów i napięć gałęziowych w danym obwodzie i t = i t,..., i t, u t = u t,..., u t. n n Rozważania ograniczamy do prądów i napięć całkowalnych z kwadratem, czyli do sygnałów o ograniczonej energii, tzn. Powyższe założenie implikuje, że każdy prąd i napięcie dąży do zera dla t ±. u d i 55 τ τ <, τ dτ <. Pasywny obwód jest bezstratny, wówczas gdy całkowita energia w nim zgromadzona jest równa zero. Definicja pasywny obwód nazywamy bezstratnym jeżeli: τ, τ τ τ τ 0. u i u i d =
Pasywność i bezstratność w obwodach 56 Przykłady poniższe własności można udowodnić korzystając bezpośrednio z definicji pasywności i bezstratności. Rezystor dwójnik ściśle pasywny. Kondensator, induktor dwójniki bezstratne. Zwarcie, rozwarcie dwójniki bezstratne. Induktory sprzężone czwórnik bezstratny. Transformator idealny i żyrator czwórniki bezstratne. Źródła autonomiczne prądu i napięcia dwójniki aktywne. Źródła sterowane prądu i napięcia dwójniki aktywne. Obwody bezstratne są idealizacją obwodów rzeczywistych, są przypadkiem granicznym, oddzielającym klasę układów pasywnych od układów aktywnych. Formalnie obwody bezstratne są jednak obwodami pasywnymi.
Pasywność i bezstratność czwórnika Energia jest funkcją addytywną stanu układu fizycznego. Wnioskujemy zatem, że każda sieć elektryczna zbudowana z obwodów pasywnych jest siecią pasywną. 57 Ważna własność : Jeżeli czwórnik zbudowany został wyłącznie z elementów klasy RLCMTŻ, to jest on pasywny. Jeżeli czwórnik zawiera źródła sterowane, to może lecz nie musi być czwórnikiem aktywnym. Określenie pasywności czwórnika na podstawie jego schematu lub na podstawie zadanej macierzy jest generalnie dość złożone. Badanie pasywności czwórnika sprowadza się do wykonania szeregu żmudnych i niestety niewygodnych obliczeniowo działań przeprowadzanych na macierzy danego czwórnika.
Pasywność i bezstratność czwórnika Niech macierz D(s) jest jedną z macierzy czwórnika: Y(s), Z(s), H(s) lub G(s). 58 Twierdzenie macierz D(s) jest macierzą czwórnika pasywnego SLS, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona wymierną macierzą rzeczywistą dodatnią. Twierdzenie wymierną macierz rzeczywistą dodatnią D(s) można zrealizować jako jedną z macierzy Y(s), Z(s), H(s) lub G(s) czwórnika pasywnego SLS. Definicja macierz nazywamy wymierną i rzeczywistą jeżeli jest ona macierzą funkcji wymiernych zmiennej zespolonej s i funkcje te posiadają wyłącznie rzeczywiste współczynniki.
Pasywność i bezstratność czwórnika Definicja wymierna i rzeczywista macierz D(s) jest dodatnia jeżeli: 59 ) Żaden element macierzy D(s) nie ma biegunów dla Re(s)>0. ) Jeżeli elementy macierzy D(s) mają bieguny na osi urojonej s=jω, to są one jednokrotne, o macierzy residuów m lim ( ω ) { } K D D k m m = res s = s j bm s = s jωbm s jωbm km km obliczanej w każdym z biegunów sm = jωbm, m =,,..., M. Macierz K m jest macierzą liczbową, taką, że k = k, k 0, k 0, k k k k 0 m m m m m m m m k
Pasywność i bezstratność czwórnika Definicja wymierna i rzeczywista macierz D(s) jest dodatnia jeżeli: 60 3) Macierz D H (ω) (apostrof oznacza transpozycję) D D D ( ω ) ( s) ( s) { } ( ω ) d ( ω ) ( ω ) d ( ω ) H = + = s= jω d zwana częścią hermitowską macierzy D(s) spełnia następujące warunki dla każdej pulsacji ω R ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d ( ω ) d = d, d 0, d 0 d 0 Jeżeli macierz D(s) jest wymierna, rzeczywista i dodatnia, to własności te posiadają również macierze: D ( s, D s ) α D ( s), α > 0.
Uwagi: Pasywność i bezstratność czwórnika 6 Macierz D(s) czwórnika BIBO stabilnego SLS nie ma biegunów na osi urojonej s=jω. Wówczas wystarczy testować warunek 3) definicji, który jest równoważny następującej nierówności { } ω R Re U I + U I 0 sprawdzanej za pomocą metody symbolicznej. Nierówności tej nie można stosować zamiennie z warunkiem 3) w przypadku czwórnika stabilnego SLS, ponieważ nie wszystkie pulsacje są wówczas dopuszczalne w metodzie symbolicznej. Warunek ) jest zazwyczaj oczywisty i przeważnie od razu widać, czy jest on spełniony. Generalnie test warunku ) sprowadza się do zastosowania jednego z algebraicznych kryteriów stabilności wielomianów, np. kryterium Routha-Hurwitza lub kryterium rozkładu funkcji wymiernej w ułamek łańcuchowy.
Pasywność i bezstratność czwórnika 6 Macierz D(s) bezstratnego czwórnika stabilnego SLS jest macierzą wymierną, rzeczywistą i dodatnią, dla której D H (ω) 0. Przykład K Z s R + / ( sc) R = R R / C 0 R R =, Z H = 0 0 R R R R R = 0 i C > 0 > 0 i C > 0 < 0 lub C < 0 czwórnik bezstratny (i zdegenerowany) czwórnik pasywny czwórnik aktywny
Przykład Pasywność i bezstratność czwórnika 63 Y G = G = G3 = G + G G = = G β β G G β G + + 3 β β β = β β 0 0 β 0, β + β = 3 > 0 czwórnik odwracalny, symetryczny i pasywny czwórnik nieodwracalny czwórnik pasywny
Koniec 64