Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O górnym ograniczeniu zysku ze strategii handlowej opartej na kointegracji XI Konferencja Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych
Zależność kointegracyjna pomiędzy cenami dwóch dóbr Niech P n,n 1 oraz Q n,n 1 będą szeregami cen dwóch dóbr Zakładamy, że pomiędzy PP n,n 1 oraz Q n,n 1 istnieje zależność kointegracyjna, czyli że dla pewnych dodatnich liczb, szereg R n P n Q n jest szeregiem stacjonarnym
Zależność kointegracyjna, c. d. Strategia handlowa Co więcej, będziemy zakładać, że szereg R n P n Q n jest szeregiem autoregresyjnym rzędu 1 R n 1 R n Z n, Stacjonarność implikuje, że γ ( 1;1) Szereg ( Zn, n 1) jest szeregiem niezależnych zmiennych losowych, o identycznym 2 rozkładzie, zakładamy, że jest to r. N(0, σ )
Strategia handlowa W długookresowej strategii handlowej można wykorzystać tę zależność: ze względu na stacjonarność ( R n ) warto kupować szereg gdy przyjmuje on mniejsze niż zwykle wartości oraz sprzedawać, gdy przyjmuje on większe niż zwykle wartości W rzeczywistości oznacza to zajmowanie długich i krótkich pozycji w kontraktach terminowych na dobra P i Q
Symetryczna strategia handlowa Najprostsza, symetryczna strategia handlowa jest oparta na wyborze pewnej wartości progowej a i kupowaniu szeregu, gdy R a następnie < n a sprzedawaniu szeregu, gdyrn > a Zysk z takiej strategii na przedziale czasowym [0, T] zależy od liczby takich podwójnych transakcji N ( at, ) i wynosi co najmniej 2 a N at, ( )
Strategia symetryczna - symulacja
Przybliżony zysk ze strategii handlowej Przy założeniu, że ( ) R n wahania szeregu w jednostkowych odstępach czasu są znacznie mniejsze niż długość przedziału czasowego [0, T] jest odpowiednio duża liczbę transakcji można przybliżyć przez liczbę analogicznych transakcji w modelu ciągłym a
Ciągły odpowiednik procesu AR(1) Ciągłym odpowiednikiem procesu autoregresyjnego AR(1) jest proces Ornsteina-Uhlenbeck, opisany stochastycznym równaniem różniczkowym 2ln(1/ γ) dv = ln(1/ γ) Vdt + σ dw 1 γ t t 2 t gdzie W t jest procesem Wienera i dodatkowo zakładamy, że γ (0;1)
Liczba transakcji w modelu ciągłym Oznaczmy T : = inf{ t 0 : V = c V = b} b, c t 0 Na podstawie wyników Thomasa [T 1975] oraz Riccardi i Sato [R, S 1988] można obliczyć, że 2 2 π a 1 γ / 2σ ET ( a,0) = 1 erf ln(1/ γ) 0 ( ( )) 2 2 π a 1 γ / 2σ ET ( 0, a) = 1 + erf ln(1/ γ) 0 ( ( )) 2 t t e dt 2 t t e dt
Liczba transakcji w modelu ciągłym, c. d. Z teorii procesów odnowy wnosimy, że dla dużych T, z dużym prawdopodobieństwem (zbieżność prawie na pewno) (, ) N at OU T ET + ET + ET + ET a,0 0, a a,0 0, a gdzie N ( ) oznacza odpowiednią liczbę OU at, transakcji dla procesu Ornsteina-Uhlenbeck
Zysk ze strategii Oznaczmy ( ) T a = ET + ET a,0 0, a 1 = { ET ET ET ET } a,0 + 0, a + a,0 + 0, a 2 Zatem zysk z symetrycznej strategii handlowej na długim przedziale czasowym można przybliżać przez T 2 an i ( at, ) a T a ( )
Zysk ze strategii optymalizacja parametru a Mamy 2 2 2 π a 1 γ / 2σ 2 t T( a) = e dt. ln(1/ γ) 0 Stąd łatwo można obliczyć, że sup = T a T > a = T T a ( ) a T ( a) 0 0 1 ( γ ) σln1/ 2π 1 γ 2 lim a
Zależność zysku od parametrów gamma
Literatura [EG 1987] Engle, R. F. and Granger, C. W. J. Cointegration and Error-Correction Representation, Estimation and Testing. Econometrica 55 251--276. [RS 1988] Ricciardi, L. M. and Sato, S. Firstpassage time density and moments of the Ornstein-Uhlenbeck process J. Appl. Probab. 25 43--57. [T 1975] Thomas, M. U. Some mean firstpassage time approximations for the Ornstein-Uhlenbeck process J. Appl. Probab. 12 600--604.
Pytania, komentarze? DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!