III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna do masy substancji, która w danej chwili jeszcze się nie rozpadła. Współczynnik proporcjonalności k, będący wielkością charakterystyczną dla danej substancji, jest stały i nie zależy od czasu. Wyznaczyć zależność masy danej substancji od czasu. Rozwiązanie. Jeżeli przez m(t) oznaczymy ilość substancji w chwili t, to powyższe spostrzeżenie możemy zapisać w postaci m (t) = k m(t). Związek wyrażający zależność między szukaną funkcją m, jej pochodną m oraz zmienną niezależną t, nazywamy równaniem różniczkowym rzę pierwszego. Zauważmy, że dla dowolnej stałej C R, funkcja określona wzorem spełnia otrzymane równanie, czyli jest jego rozwiązaniem. Istotnie, m(t) = C e kt, (1) m (t) = C e kt ( k) = k m(t). Wykres rozwiązania równania nazywamy jego krzywą całkową. Oczywiście z fizycznego punktu widzenia rozwiązania przy C < 0 nie mają sensu, bo masa nie może być ujemna. Pomijając ten aspekt fizyczny nasuwa się pytanie, czy istnieją również inne funkcje będące rozwiązaniami rozważanego równania. Odpowiedź na tak postawione pytanie jest w tym przypadku negatywna. Wzór (1) określa wszystkie możliwe rozwiązania rozważanego równania. Na szukaną funkcję m możemy nałożyć pewne dodatkowe warunki, np. ilość m 0 substancji w pewnej chwili t 0, co zapisujemy m(t 0 ) = m 0. (2) 1

Podtawiając t = t 0 we wzorze (1), w oparciu o warunek (2), mamy m 0 = C e kt 0, a stąd C = m 0 e kt 0. Tak więc zależność masy substancji od czasu określona jest wzorem Zauważmy, że m(t) = m 0 e k(t t 0). lim m(t) = 0. t Oznacza to, że z upływem czasu ilość pierwiastka promieniotwórczego maleje do zera niezależnie od jego masy początkowej. Przykład 1.2. (Równanie krzywej ) Znaleźć krzywą przechodzącą przez punkt (t 0, y 0 ), gdzie t 0 > 0, dla której odcinek styczny zawarty między osiami ukła współrzędnych dzieli się na równe części w punkcie styczności. 2

Rozwiązanie. Niech y = y(t), gdzie t > 0, będzie funkcją opisującą szukaną krzywą. Zatem 2y(t) 2t = tgα. Z interpretacji geometrycznej pochodnej wynika równość y (t) = tg(π α) = tgα. Szukana funkcja spełnia więc równanie różniczkowe y (t) = y(t), a stąd y(t) = ty (t). t Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej stałej C R, funkcja określona wzorem y(t) = C t, jest rozwiązaniem otrzymanego równania różniczkowego. Jeżeli w tym rozwiązaniu podstawimy t = t 0 oraz wykorzystamy warunek y(t 0 ) = y 0, to otrzymamy y 0 = C t 0, a stąd C = y 0 t 0. Szukaną krzywą jest zatem hiperbola dana wzorem y(t) = y 0t 0. t Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci F (x, y, y ) = 0, (3) w którym y występuje istotnie, zaś pozostałe argumenty, tzn. x i y, mogą występować, lecz nie muszą. W równaniu tym y oznacza funkcję zmiennej x określoną na pewnym przedziale I R. Przypadkami szczególnymi tego równania są równania postaci y = f(x) i y = f(x, y). Definicja 1.2. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego (3) nazywamy każdą funkcję różniczkowalną y = y(x), która spełnia dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału. Definicja 1.3. Równanie różniczkowe y = f(x, y) (4) wraz z warunkiem y(x 0 ) = y 0 (5) 3

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Warunek (5) nazywamy warunkiem początkowym, zaś y 0 i x 0 wartościami początkowymi. Uwaga 1.1. Funkcja y = y(x) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego, jeżeli jest rozwiązaniem równania (4) na pewnym przedziale zawierającym punkt x 0 i spełnia warunek (5). 2. Meto rozwiązywania pewnych równań różniczkowych 2.1. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Definicja 2.1.1.Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y = g(x)h(y). (6) Uwaga 2.1.1. Zauważmy, że jeżeli h(y 0 ) = 0 dla pewnego y 0, to funkcja stała y(x) y 0 jest jednym z rozwiązań powyższego równania. Jeśli przyjmiemy oznaczenie y := dx, (7) to w formie różniczkowej równanie o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać h(y) = g(x)dx. Twierdzenie 2.1.1. Niech funkcje g = g(x) i h = h(y) będą ciągłe, przy czym h(y) 0 dla każdego y, dla którego określona jest funkcja h. Wte całka równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (6) dana jest wzorem h(y) = gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą. g(x)dx + C, Twierdzenie 2.1.2. (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych) Niech funkcje g = g(x) i h = h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a, b) i (c, d), przy czym h(y) 0 dla każdego y (c, d). Wte dla każdego punktu (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 (c, d), zagadnienie początkowe y = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Uwaga 2.1.2. Inaczej mówiąc, przez każ punkt (x 0, y 0 ) prostokąta (a, b) (c, d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (6). Przykład 2.1.1. Rozwiązać zagadnienie początkowe y + y 2 sin x = 3x 2 y 2, y(0) = 1. 4

Zauważmy, że podane równanie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Wykorzystując oznaczenie (7) powyższe równanie możemy zapisać w postaci dx + y2 sin x = 3x 2 y 2, a stąd dx = y2 (3x 2 sin x). Zauważmy, że funkcja g określona wzorem g(x) = 3x 2 sin x jest ciągła na R, a funkcja h o wzorze h(y) = y 2 jest ciągła i różna od zera w każm z przedziałów (, 0) i (0, + ). Zakładamy, że y 0 i rozdzielamy zmiennne w powyższym równaniu a następnie całkujemy obustronnie y 2 = (3x2 sin x)dx, y 2 = 3 x 2 dx sin xdx, skąd otrzymujemy 1 y = x3 + cos x + C. Uwzględniamy teraz warunek początkowy. Podstawiając x = 0 i y(0) = 1, otrzymujemy 1 = 1 + C = C = 2. Zatem szukanym rozwiązaniem jest funkcja określona wzorem y = 1 x 3 + cos x 2. Przykład 2.1.2. Rozwiązać równanie różniczkowe postaci dx gdzie a i b są dowolnymi stałymi rzeczywistymi. Podane równanie można zapisać w postaci dx = xy + ax + by + ab, = x(y + a) + b(y + a), a stąd = (x + b)(y + a). dx Zatem jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, a więc y + a = (x + b)dx, dla y a. 5

Całkując obustronnie otrzymujemy y + a = (x + b)dx, dla y a, skąd ln y + a = 1 2 x2 + bx + C, zatem y = e 1 2 x2 +bx+c a. Otrzymana funkcja jest całką ogólną danego równania. Łatwo sprawdzić, że funkcja stała y = a także jest rozwiązaniem podanego równania. 2.2. Równanie różniczkowe jednorodne względem zmiennych Definicja 2.2.1.Równaniem różniczkowym jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci ( y ) dx = f. (8) x Uwaga 2.2.1. Równanie tego typu rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną zależną przez podstawienie u = u(x) = y, czyli y = xu. x Różniczkując ostatni warunek względem x otrzymujemy Po podstawieniu do równania (8) dostajemy dx = u + x dx. u + x dx = f(u), a stąd zakładając, że x 0 i f(u) u 0, otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych 1 f(u) u = 1 x dx. Przykład 2.2.1. Rozwiązać równanie różniczkowe x 2 dx = x2 + xy + y 2. (9) Aby sprowadzić dane równanie do omawiamego typu, musimy je podzielić przez x 2. W tym celu zakładamy, że x 0. Jednocześnie widać, że prosta x = 0 jest całką równania (9). 6

Dzieląc równanie (9) obustronnie przez x 2 otrzymujemy Podstawiając y x stąd dx = 1 + y ( y ) 2 x +. x = u, mamy = u + x. A zatem powyższe równanie możemy zapisać w postaci dx dx u + x dx = 1 + u + u2, x dx = 1 + u2. Otrzymane równanie przy założemiu, że x 0, jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielając zmienne dostajemy 1 1 + u = 1 2 x dx. Całkowanie daje 1 1 1 + u = 2 x dx, skąd Z podanej równości wynika, że arctg u = ln x + C. π 2 < ln x + C < π 2. Zatem powyższą równość możemy zapisać w postaci u = tg(ln x + C), a więc wracając do podstawienia otrzymujemy ostatecznie y = x tg(ln x + C). Twierdzenie 2.2.1. (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania różniczkowego jednorodnego) Niech funkcja f = f(u) będzie ciągła na przedziale (a, b) i niech spełnia na nim warunek f(u) u. Wte dla każdego takiego punktu (x 0, y 0 ), że a < y 0 x 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. y = f ( y x), y(x 0 ) = y 0, < b zagadnienie poczatkowe Uwaga 2.2.2. Inaczej mówiąc, przez każ punkt (x 0, y 0 ) obszaru {(x, y) : a < y x < b }, przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (8). 7

Przykład 2.2.2. Rozwiązać podane zagadnienie początkowe oraz wyznaczyć przedział, na którym jest ono określone. dx = y2 + x 2, y(1) = 1. xy Ponieważ y 2 + x 2 = y xy x + x y = y ( y 1 x x) +, więc rozważane równanie jest równaniem jednorodnym, gdzie f (u) = u + 1 u. Funkcja f jest ciągła na każm z przedziałów (, 0) i (0, + ), ponadto spełnia na nich warunek f(u) u. Ze wzglę na zadane wartości początkowe wybieramy przedział (, 0). Podstawiając teraz y = ux otrzymamy = u + x. Po dokonanym podstawieniu rozważane dx dx równanie przekształca się w równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych postaci u = 1 x dx. Całkując obustronnie powyższe równanie otrzymujemy u 2 = 2 (ln x + ln C), gdzie C > 0. Stąd całka rozważanego równania dana jest wzorem y 2 = 2x 2 (ln x + ln C), gdzie C > 0. Uwzględniając teraz warunek początkowy y(1) = 1 otrzymamy C = e. Zatem całka spełniająca zadany warunek początkowy ma postać y 2 = x 2 (2 ln x + 1). Stąd rozwiązanie rozważanego zagadnienia początkowego dane jest wzorem y = x 2 ln x + 1, ( ) przy czym rozwiązanie to określone jest na przedziale 1 e,. 2.3. Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzę Definicja 2.3.1. Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzę nazywamy równanie postaci y + p(x)y = q(x). (10) Jeżeli q(x) 0, to równanie (10) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym niejednorodnym. Uwaga 2.3.1. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych y = g(x)h(y), w którym przyjęto g(x) = p(x) i h(y) = y. 8

Przykład 2.3.1. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe jednorodne y + y x = 0. Rozdzielając zmienne mamy Całkując obustronnie otrzymamy y = dx x. ln y = ln x + ln C, gdzie C 0 oraz x > 0 lub x < 0. Zatem rozwiązanie rozważanego równania dane jest wzorem y = C, gdzie C 0. x Ponieważ w naszym przypadku h(0) = 0, więc również funkcja y(x) 0 jest rozwiązaniem. Zauważmy, że dopuszczając w rozwiązaniu zawierającym stałą C, C = 0 otrzymamy także rozwiązanie y(x) 0. Tak więc rozwiązanie rozważanego równania dane jest wzorem gdzie C R oraz x > 0 lub x < 0. y = C x, Uwaga 2.3.2. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (10) rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej. W tym celu rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne, czyli y + p(x)y = 0. Całką tego równania jest funkcja określona wzorem y = Ce P (x), gdzie P (x) = x x 0 p(t)dt. Teraz stałą C zastępujemy funkcją u = u(x) tak dobraną, żeby funkcja y = u(x)e P (x) (11) była całką równania (10). Powyższy krok tłumaczy nazwę: metoda uzmienniania stałej. Obliczamy pochodną dx = dx e P (x) + u(x)e P (x) ( p(x)), (12) przy czym uwzględniamy związek otrzymujemy dp (x) dx = p(x). Podstawiając warunki (11) i (12) do równania (10) dx e P (x) u(x)p(x)e P (x) + u(x)p(x)e P (x) = q(x), 9

a po rekcji dx e P (x) = q(x), czyli dx = q(x)ep (x). Funkcja stojąca po prawej stronie powyższego równania jest ciągła, a tym samym jest całkowalna. Możemy więc napisać u(x) = Q(x) + C 1, gdzie Q(x) = Podstawiając tę funkcję u do równania (11) otrzymujemy y = Q(x)e P (x) + C 1 e P (x). x x 0 q(t)e P (t) dt. Przykład 2.3.2. Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe niejednorodne postaci 2xy = x. (13) dx Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne postaci Rozdzielając zmienne otrzymujemy y = 2xdx y = 2xy = 0. dx 2xdx ln y = x 2 + C 1 y = e x2 +C 1 y = Ce x2, gdzie C 0. Uzmienniamy teraz stałą w całce ogólnej równania liniowego jednorodnego przyjmując C = u(x) i przewijemy rozwiązanie równania niejednorodnego (13) w postaci Różniczkując względem x otrzymujemy Wstawiając warunki (14) i (15) do równania (13) dostajemy y = u(x)e x2. (14) dx = dx ex2 + 2xe x2 u(x). (15) dx ex2 + 2xe x2 u(x) 2xe x2 u(x) = x dx ex2 = x. 10

Rozdzielamy zmienne a następnie całkujemy obustronnie = xe x2 dx = xe x2 dx, = 1 ( 2x)e x2 dx u = 1 2 2 e x2 + C. Wstawiając otrzymaną funkcję u do równania (14) otrzymujemy, po prostych przekształceniach, rozwiązanie równania (13) y = 1 2 + Cex2. Twierdzenie 2.3.1. (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego liniowego) Jeżeli funkcje p i q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x 0 (a, b), y 0 R, to zagadnienie początkowe y + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b). Uwaga 2.3.3. Inaczej mówiąc, przez każ punkt pasa (a, b) R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego. Przykład 2.3.3. Wyznaczymy rozwiązanie zagadnienia początkowego ( ) 5π y sin x y = 1, y = 0 (16) 2 oraz przedział, na którym jest ono określone. Zaczniemy od przekształcenia równania (16) do postaci y + p(x)y = q(x), czyli y y sin x = 1 sin x. Zauważmy teraz, że funkcje p i q są określone wzorami p(x) = 1 sin x oraz q(x) = 1 sin x i są ciągłe na każm przedziale (kπ, (k + 1)π), gdzie k Z. Ponadto wartość początkowa x 0 = 5π 2 należy do przedziału (kπ, (k + 1)π) tylko dla k = 2. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika więc, że rozwiązanie rozważanego zagadnienia jest określone na przedziale (2π, 3π). W celu wyznaczenia tego rozwiązania wykorzystamy metodę uzmienniania stałej. Zaczynamy od rozdzielenia zmiennych w równaniu liniowym jednorodnym, czyli a więc y y = y sin x = 0, 11 dx sin x.

Stąd, po scałkowaniu i prostych przekształceniach, otrzymujemy y(x) = Ctg x 2. Zatem przewijemy rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego w postaci Różniczkując powyższą funkcję mamy y(x) = u(x)tg x 2. y = dx tgx 2 + u(x) 2 cos 2 x 2 Podstawiając teraz do równania liniowego niejednorodnego dostajemy. czyli stąd a więc dx tgx 2 + u(x) 2 cos 2 x 2 dx tgx 2 = 1 sin x, bo u(x)tg x 2 sin x = 1 sin x, u(x) 2 cos 2 x 2 dx = 1 sin x ctgx 2 = 1 2 sin 2 x, 2 u(x) = ctg x 2 + C 1. = u(x)tg x 2 sin x, Zatem rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego dane jest wzorem y(x) = 1 + C 1 tg x 2. Wykorzystujac zadany warunek początkowy mamy ( ) 5π 0 = y = 1 + C 1 tg 5π 2 4 C 1 = 1. Stąd wynika, że rozwiązaniem rozważanego zagadnienia początkowego jest funkcja która jest określona na przedziale (2π, 3π). y(x) = 1 + tg x 2, 12

2.4. Równanie różniczkowego Bernoulliego Definicja 2.4.1. Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci gdzie r R\ {0, 1}, nazywamy równaniem Bernoulliego. y + p(x)y = h(x)y r, (17) Uwaga 2.4.1. Gby dopuścić r = 0, to równanie Bernoulliego byłoby równaniem różniczkowym niejednorodnym. Natomiast dla r = 1, to równanie byłoby równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Zauważmy jeszcze, że dla r > 0 funkcja y 0 jest jednym z rozwiązań równania Bernoulliego. Uwaga 2.4.2. (Sprowadzanie równania Bernoulliego do równania liniowego) Równanie różniczkowe Bernoulliego (17), przez zamianę zmiennych z = y 1 r, sprowadza się do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego postaci z + (1 r) p(x)z = (1 r) h(x). Przykład 2.4.1. Wyznaczymy rozwiązania równania y 2xy = 2x 3 y 2. (18) Łatwo zauważyć, że równanie (18) jest równaniem Bernoulliego, przy czym p(x) = 2x, h(x) = 2x 3, r = 2. Zauważmy najpierw, że funkcja y 0 jest jednym z rozwiązań równania (18). Załóżmy dalej, że y 0 i podzielmy obie strony równania (18) przez y 2. Otrzymamy wówczas y y 2 2x y = 2x3. (19) Korzystając z Uwagi 2.4.2 wiemy, że powyższe równania można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego stosując odpowiednia zamianę zmiennych. Przyjmijmy zatem, że a stąd Podstawiając (20) i (21) do równania (19), otrzymujemy z = y 1 2 = y 1, (20) z = y y 2. (21) z + 2xz = 2x 3. (22) 13

Szukamy teraz rozwiązań równania jednorodnego z + 2xz = 0, czyli, po rozdzieleniu zmiennych a stąd po scałkowaniu dz z = 2xdx, ln z = x 2 + C 0 z = e x2 +C 0 z = Ce x2, gdzie C = e C 0 lub C = e C 0. W kolejnym kroku przewijemy rozwiązanie równania (22) w postaci (czyli uzmienniamy stałą) a stąd z = z = u(x)e x2, dx e x2 2xu(x)e x2. Podstawiając otrzymane warunki do równania (22) dostajemy czyli co jest równoważne a stąd, po scałkowaniu, otrzymujemy dx e x2 2xu(x)e x2 + 2xu(x)e x2 = 2x 3, dx e x2 = 2x 3, = 2x 3 e x2 dx, u(x) = x 2 e x2 + e x2 + C 1, gdzie C 1 R. Zatem rozwiązaniem równania (22) jest funkcja określona wzorem ) z = z(x) = ( x 2 e x2 + e x2 + C 1 e x2 = x 2 + 1 + C 1 e x2, gdzie C 1 R. Stąd, w oparciu o (20), otrzymujemy postać niezerowego rozwiązania wyjściowego równania (18), czyli 1 y(x) =, x 2 + 1 + C 1 e x2 gdzie C 1 R. 14

2.5. Równania różniczkowe zupełne Definicja 2.5.1. Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci P (x, y) + Q(x, y) = 0, (23) dx gdzie P i Q są takimi funkcjami ciagłymi w pewnym obszarze D R 2, że wyrażenie P (x, y)dx + Q(x, y) (24) jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F określonej w obszarze D. Uwaga 2.5.1. Stwierdzenie, że wyrażenie (24) jest różniczką zupełną pewnej funkcji F oznacza, że w obszarze D istnieje taka funkcja różniczkowalna F (dwóch zmiennych), że 1 F (x, y) = P (x, y), 2 F (x, y) = Q(x, y), (x, y) D. (25) Twierdzenie 2.5.1. Niech D R 2 będzie obszarem jednospójnym i niech funkcje P, Q : D R mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzę w każm punkcie tego obszaru. Wyrażenie (24) jest różniczką zupełną wte i tylko wte, g 2 P (x, y) = 1 Q(x, y), (x, y) D. (26) Twierdzenie 2.5.2. Niech D R 2 będzie obszarem jednospójnym i niech funkcje P, Q : D R mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzę w każm punkcie tego obszaru. Jeżeli wyrażenie (24) jest różniczką zupełną funkcji F w obszarze D, to równanie F (x, y) = C, (x, y) D, gdzie C jest dowolną stałą, określa wszystkie rozwiązania równania różniczkowego zupełnego (23). Przykład 2.5.1. Wyznaczymy rozwiązania równania 4x 3 + 6xy 3 + ( 9x 2 y 2 + 3 ) dx = 0. (27) Sprawdzamy najpierw, czy równanie (27) jest różniczką zupełną. W tym celu przyjmijmy, że P (x, y) = 4x 3 + 6xy 3, Q(x, y) = 9x 2 y 2 + 3. Oczywiście funkcje P i Q mają ciągłe pochodne cząstkowe w każm punkcie płaszczyzny R 2 oraz 2 P (x, y) = 18xy 2 1 Q(x, y) = 18xy 2, (x, y) R 2, a więc warunek (26) jest spełniony w każm punkcie płaszczyzny. Zatem zbiorem D może być dowolny jednospójny obszar płaski, w szczególności cała płaszczyzna. 15

Z pierwszego z warunków (25) mamy 1 F (x, y) = 4x 3 + 6xy 3, czyli F (x, y) = (4x 3 + 6xy 3 )dx = x 4 + 3x 2 y 3 + ϕ(y), gdzie ϕ jest dowolną funkcją różniczkowalną zmiennej y. Funkcję ϕ wyznaczymy wykorzystując drugi z warunków (25), czyli 2 F (x, y) = 9x 2 y 2 + 3, a z drugiej strony a więc Zatem 2 F (x, y) = 9x 2 y 2 + ϕ (y), ϕ (y) = 3 ϕ(y) = 3y. F (x, y) = x 4 + 3x 2 y 3 + 3y, a więc wszystkie krzywe całkowe równania (27) tworzą rodzinę linii gdzie C R. x 4 + 3x 2 y 3 + 3y = C, 2.6. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzę o stałych współczynnikach Definicja 2.6.1. Równaniem różniczkowym rzę drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci y + ay + by = f(x), (28) gdzie a i b oznaczają dowolne stałe rzeczywiste, a f jest dowolną funkcją ciągłą w pewnym przedziale I R. Jeżeli f 0, to równanie (28) przyjmuje postać y + ay + by = 0, (29) i nazywamy je równaniem jednorodnym (lub uproszczonym), w przeciwnym przypadku równaniem niejednorodnym (lub w postaci ogólnej ). Twierdzenie 2.6.1. Jeżeli funkcja y 1 = y 1 (x; C 1, C 2 ) jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego (29), a funkcja y 2 = y 2 (x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (28), to rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (28) wyraża się wzorem y = y 1 (x; C 1, C 2 ) + y 2 (x). 16

Wte 2.6.1. Równania różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach W równaniu (29) podstawmy czyli równanie (29) przyjmuje postać skąd, po podzieleniu przez e rx, otrzymujemy y = e rx. y = re rx, y = r 2 e rx, r 2 e rx + are rx + be rx = 0, r 2 + ar + b = 0. (30) Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania (29). Postać rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (29) zależy od postaci pierwiastków jego równania charakterystycznego. Mianowicie (i) jeżeli a 2 4b > 0, czyli równanie (30) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1 i r 2, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, C 1, C 2 R; (ii) jeżeli a 2 4b = 0, czyli równanie (30) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r 1 = r 2, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci y = (C 1 x + C 2 ) e r 1x, C 1, C 2 R; (iii) jeżeli a 2 4b < 0, czyli równanie (30) ma dwa różne pierwiastki zespolone r 1 = α βi i r 2 = α + βi, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci gdzie y = e αx (C 1 cos β + C 2 sin β), C 1, C 2 R, α = a 4b a 2, β = 2. 2 Przykład 2.6.1 Wyznaczymy rozwiązania równania y + 4y + 3y = 0. (31) Jest to równanie różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzę o stalych współczynnikach. Tworzymy równanie charakterystyczne r 2 + 4r + 3 = 0 i wystarczy zauważyć, że wyróżnik tego trójmianu kwadratowego jest dodatni, a więc równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1 = 3, r 2 = 1. Zatem ogólne rozwiązanie równania (31) jest postaci gdzie C 1, C 2 R. y = C 1 e 3x + C 2 e x, x R, 17

2.6.2. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach Z Twierdzenia 2.6.1 wynika, że całkę ogólną równania niejednorodnego (28) otrzymujemy jako sumę całki ogólnej równania jednorodnego (29) i całki szczególnej równania niejednorodnego (28). Całkę szczególną równania (28) znajjemy zazwyczaj bądź metodą przewiwań, bądź metodą uzmienniania stałej. W poniższym przykładzie omówimy metodę przewiwań. Przykład 2.6.2. Wyznaczymy całkę ogólną równania różniczkowego y 4y + 4y = 8x 3 36x. (32) Oczywiście jest to równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach, przy czym funkcja f o wzorze f(x) = 8x 3 36x, jest ciągła w R. Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne Równanie charakterystyczne y 4y + 4y = 0. (33) r 2 4r + 4 = 0, ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r 1 = 2, wobec tego całka ogólna równania (33) jest postaci y 1 (x; C 1, C 2 ) = (C 1 x + C 2 ) e 2x, C 1, C 2 R. Następnie przewijemy jako całkę szczególną równania (32) wielomian stopnia trzeciego, ponieważ funkcja f jest wielomianem stopnia trzeciego. Niech y 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d. Wte y 2 = 3ax 2 + 2bx + c, y 2 = 6ax + 2b. Postawiając powyższe warunki do równania (32) otrzymujemy skąd, po uporządkowaniu, Zatem stąd a więc 6ax + 2b 12ax 2 8bx + 4ax 3 + 4bx 2 + 4cx + 4d = 8x 3 36x, 4ax 3 + (4b 12a)x 2 + (6a 8b + 4c)x + (2b 4c + 4d) = 8x 3 36x. 4a = 8 4b 12a = 0 6a 8b + 4c = 36 2b 4c + 4d = 0, a = 2 b = 6 c = 0 d = 3, y 2 = 2x 3 + 6x 2 3. Z Twierdzenia 2.6.1 wynika zatem, że całka ogólna równania (32) jest postaci czyli gdzie C 1, C 2 R. y = y 1 (x; C 1, C 2 ) + y 2 (x), y = (C 1 x + C 2 ) e 2x + 2x 3 + 6x 2 3, x R, 18