Kurs komputerowy S - Mathematica - cz. 2

OBLICZENIA SYMBOLICZNE, Karolina MikulskaRuminska Kurs komputerowy S Mathematica cz. zmienna = wartosc Set[zmienna,wartosc] x = 7 7 x = x ^ x = 5 5 x Inaczej.. y = y ^ y y = 5 y 5 5 y = 0 y 0 000

KursS_cz.nb Set@z, x ^ D 75 z 75 z = x ^ 75 Clear@y, yd y = y ^ 5 y5 y = 5 5 y 5 y = 5 5 y 759 75 zmienna:=wartosc SetDelayed[zmienna,wartosc] v = 5 5 v := v ^ 5

KursS_cz.nb v 5 v = 5 5 v 759 75 zmienna=. Unset[zmienna] Quit a= b = c=7 7 a =. ab a? a Global`a c 7 Unset@cD

KursS_cz.nb c c Podstawianie zmiennych: ReplaceAll[] (/.) stosuje regule probujac przeksztalcic kazdy element na wyrazenie. ReplaceRepeated[] (//.) wielokrotnie zastepuje tak dlugo az wyrazenie nie bedzie sie juz zmieniac. k = k ^ k k. k 5 5 k. k 5 50 5 k k y = x x x= y 8 x= y

KursS_cz.nb x x =. x x y. x y. x 8 x x x =. y =. x ^ y x. x y y x ^ y x. 8x y, y z< z x ^ x y. 8x y, y z, z x< ReplaceRepeated::rrlim : Exiting after x x y scanned 55 times. y y z Funkcje i wielomiany BesselI[n,z], BesselJ[n,z], BesselK[n,z], BesselY[n,z], BernoulliB[n,x],... http://pl.wikipedia.org/wiki/funkcje_bessela http://mathworld.wolfram.com/bernoullipolynomial.html 5

KursS_cz.nb BesselI@0,.0D.07 Plot@BesselI@, xd, 8x,, <D 0 5 5 0 BesselI@,.0D.590 Plot@BesselJ@, xd, 8x,, <D 0. 0. 0. 0. 0. 0. BernoulliB@, xd x x x ChebyshevT[n, x], ChebyshevU[n,x], HermiteH[n,x], LaguerreL[n,a,x], LegendreP[n,x],... http://en.wikipedia.org/wiki/chebyshev_polynomials http://mathworld.wolfram.com/chebyshevpolynomialofthefirstkind.html http://mathworld.wolfram.com/chebyshevpolynomialofthesecondkind.html http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_hermite%7a http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_laguerre%7a http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_legendre%7a

KursS_cz.nb http://en.wikipedia.org/wiki/chebyshev_polynomials http://mathworld.wolfram.com/chebyshevpolynomialofthefirstkind.html http://mathworld.wolfram.com/chebyshevpolynomialofthesecondkind.html http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_hermite%7a http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_laguerre%7a http://pl.wikipedia.org/wiki/wielomiany_legendre%7a ChebyshevT@5, xd 5 x 0 x x5 ChebyshevU@5, xd x x x5 HermiteH@5, xd 0 x 0 x x5 LaguerreL@5, p, xd I0 7 p 5 p 85 p 5 p p5 00 x 770 p x 55 p x 70 p x 5 p x 0 00 x 70 p x 0 p x 0 p x 00 x 90 p x 0 p x 5 x 5 p x x5 M LegendreP@5, xd 8 I5 x 70 x x5 M Dzialanie na liczbach Permutations[lista], Permutations[lista,n], Permutations[lista,{n}], Binomial[n,m], Multinomial[n,n,..], FactorInteger[liczba], GCD[l,l], LCM[l,l] Permutations@8x, y, z<d 88x, y, z<, 8x, z, y<, 8y, x, z<, 8y, z, x<, 8z, x, y<, 8z, y, x<< b =. Permutations@8a, b, c<d 88a, b, c<, 8a, c, b<, 8b, a, c<, 8b, c, a<, 8c, a, b<, 8c, b, a<< 7

8 KursS_cz.nb Permutations@8a, b, c<, D 88<, 8a<, 8b<, 8c<, 8a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<< Permutations@8a, b, c<, 8<D 88a, b<, 8a, c<, 8b, a<, 8b, c<, 8c, a<, 8c, b<< Binomial@, D H* n! Hm!HnmL!L *L 5 Multinomial@,, D H* Hnn...L! Hn!n!...L *L 0 FactorInteger@ 00D 88, <, 85, <, 8, << ^ * 5 ^ * ^ 00 Najwiekszy wspolny dzielnik z liczb: GCD@, 8, D GCD@5, 5, 585, 5D 5 Najmniejsza wspolna wilokrotnosc: LCM@,, D

KursS_cz.nb Dzialanie na wyrazeniach algebraicznych Numerator[wyr], Denominator[wyr], ExpandNumerator[wyr], ExpandDenominator[wyr], Together[wyr], Apart[wyr] exp = Hx L ^ H xl HH xl Hx L ^ L H xl H xl H xl H xl Numerator@expD H xl H xl Denominator@expD H xl H xl ExpandNumerator@expD 5 x x x H xl H xl ExpandDenominator@expD H xl H xl x 7 x x exp = H x L Hx ^ 9L exp = Hx L Hx L x 9 x x x Suma.. Together@exp expd 5 x x H xl H xl 9

0 KursS_cz.nb ExpandDenominator@%D 5 x x 9 x Hx ^ L Hx L x x Podzia³.. Apart@%D x x x PlotB x x x, 8x,.895,.8<F 00 00 00 0 5 5 0 00 PlotB x x x, 8x,.895,.8<, PlotStyle RGBColor@0.55, 0., 0.77DF 00 00 00 0 5 5 0 00 Dzialania na wielomianach Expand[wyr], Factor[wyr], Simplify[wyr], FullSimplify[wyr],

KursS_cz.nb Dzialania na wielomianach Expand[wyr], Factor[wyr], Simplify[wyr], FullSimplify[wyr], ExpandAll[wyr], PowerExpand[wyr], TrigExpand[wyr], ComplexExpand[wyr] Hx L ^ H xl Expand@%D 7 7 x 9 x x Factor@%D H xl Expand@%D 8 7 x 9 x x Factor@%D H xl I7 5 x x M Hx ^ x L Hx L x x x Simplify@%D x exp H xl H xl H xl H xl Expand@expD H xl H xl x 5x H xl H xl H xl H xl x H xl H xl

KursS_cz.nb ExpandAll@expD x 7 x x x 7 x x h = Sqrt@ x yd xy Expand@hD xy ExpandAll@hD xy PowerExpand@hD x x 5x y Expand@ Sin@ xdd Sin@ xd TrigExpand@%D Cos@xD Sin@xD Sin@xD Simplify@%D Sin@ xd Expand@Cos@x I ydd Cos@x ä yd ComplexExpand@%D Cos@xD Cosh@yD ä Sin@xD Sinh@yD Simplify@%D Cos@x ä yd x x 7 x x x 7 x x

KursS_cz.nb? *Expand* System` ButtonExpandable ExpandFileName PowerExpand ComplexExpand ExpandNumerator TensorExpand Expand FunctionExpand TransferFunctionExpand ExpandAll LogicalExpand TrigExpand ExpandDenominator PiecewiseExpand Collect[wiel, zm], Coefficient[wiel,wyr], CoefficientList[wiel,zm], Exponent[wiel,wyr] f = Expand@Hx 5 y 0L ^ * x Hy L ^ D 8 000 x 8 00 x 0 x 8 x 8 000 x y 00 x y 80 x y x y 7 500 x y 050 x y x y 50 x y 900 x y 0 x y 000 x y 50 x y 50 x y5 Collect@f, xd x I8 y y M x I0 80 y 0 y M x I8 00 00 y 050 y 900 y 50 y M x I8 000 8 000 y 7 500 y 50 y 000 y 50 y5 M Collect@f, yd 8 000 x 8 00 x 0 x 8 x I 8 000 x 00 x 80 x x M y I 7 500 x 050 x x M y I50 x 900 x 0 x M y I000 x 50 x M y 50 x y5 Coefficient@f, x ^ 5D 0 Coefficient@f, x ^ D 8 y y Coefficient@f, y x ^ D 00

KursS_cz.nb CoefficientList@ x x ^, xd 8,, 0, 0, < CoefficientList@f, xd 90, 8 000 8 000 y 7 500 y 50 y 000 y 50 y5, 8 00 00 y 050 y 900 y 50 y, 0 80 y 0 y, 8 y y = CoefficientList@f, yd 98 000 x 8 00 x 0 x 8 x, 8 000 x 00 x 80 x x, 7 500 x 050 x x, 50 x 900 x 0 x, 000 x 50 x, 50 x= Najwyzsza potega w wyrazeniu Exponent@f, xd Exponent@f, x ^ D PolynomialQuotient[w,w,zm], PolynomialRemainder[w,w,zm] http://mathworld.wolfram.com/polynomialquotient.html h = x ^ x ^ x 0 h = x ^ x 0 x x x x x pq = PolynomialQuotient@h, h, xd x pr = PolynomialRemainder@h, h, xd 9 9x Operatory logiczne Porownywanie: == (* Equal[] *), < (* Less[] *), <= (* LessEqual[] *), > (* Greater[] *), >= (* GreaterEqual[] *),!= (* Unequal[] *)

KursS_cz.nb Operatory logiczne Porownywanie: == (* Equal[] *), < (* Less[] *), <= (* LessEqual[] *), > (* Greater[] *), >= (* GreaterEqual[] *),!= (* Unequal[] *) True False 58 < 78 True 8 <= 8 True 7 ¹ 5 True Unequal@7, 7D True && (* And[] *), (* Or[] *) 5 > && False 5 > ÈÈ True 5

KursS_cz.nb Rozwiazywanie rownan Solve[rownanie, zm], Reduce[rownanie,zm] Solve@x ^ 5 x 0, xd 88x 7<, 8x << x =. Solve@x, xd 88x << o = Solve@x ^ x 5 0, xd 88x 5<, 8x << o@@dd 8x 5< o@@,, DD 5 a =. b =. Solve@a x b 0, xd ::x b a >> Reduce@a x b 0, xd Hb 0 && a 0L ÈÈ a ¹ 0 && x b a

KursS_cz.nb Solve[{rownanie, rownanie,...},{zmienna, zmienna,...}] Reduce[{rownanie, rownanie,...},{zmienna, zmienna,...}] Solve@88 x ^ y 0, x y <, 8x, y<d ::x I :x 89 M, y I 89 M, y I 5 89 M>, I 5 89 M>> Reduce@88 x ^ y 0, x y <, 8x, y<d x I 89 M ÈÈ x I 89 M && y H xl Eliminate[{rownanie, rownanie,...}, zmienna] Roots[rownanie_wielomianowe,zmienna] Eliminate@8x y, y z<, yd z x Eliminate@8 x 5 y x, 5 x y z, x y z <, zd x 5 y && 7 y 8 Roots@x ^ x ^ 5 == 0, xd x x x 95 I ä I ä M M I 95 95 95 M I ä I ä M M ÈÈ I I Options@RootsD 8Cubics True, Eliminate False, EquatedTo Null, Modulus 0, Multiplicity, Quartics True, Using True< Granice i ciagi Limit[funkcja, zm > wartosc], Sum[wyrazenie,{zm, w_pocz,w_kon}] 95 M 95 M ÈÈ 7

8 KursS_cz.nb Granice i ciagi Limit[funkcja, zm > wartosc], Sum[wyrazenie,{zm, w_pocz,w_kon}] Product[wyrazenie, {zm, w_pocz,w_kon}] Limit@ y ^, y D Limit@5 x ^ Hx L, x D Limit@5 x ^ Hx L, x, Direction D Limit@5 x ^ Hx L, x, Direction D Options@LimitD 8Analytic False, Assumptions $Assumptions, Direction Automatic< Suma: Sum@k ^, 8k,, <D Sum@ x, 8x,, <D Sum@ x ^, 8x,.,.<D 0.50790 Sum@ x ^, 8x,, Infinity<D Iloczyn:

KursS_cz.nb 9 Product@ x, 8x,, 5<D 0 Product@ x ^, 8x,, Infinity<D 0 Rachunek rozniczkowy i calkowy Pochodna czastkowa: D[funkcja, zm], D[funkcja,zm,zm,...], D[funkcja,{zm,n}] Calka: Integrate[funkcja, zm], Integrate[funkcja,{zm,w_pocz,w_kon}]? *Integrate* System` Integrate D@x ^, xd x D@ x ^, xd x D@E ^ x, xd ãx D@ x, xd x D@HSin@xD ^ Tan@xDL, xd Cos@xD Sin@xD D@x ^ n, xd n xn NIntegrate

0 KursS_cz.nb D@x ^ n, 8x, <D H nl H nl H nl n xn D@Cos@xD, xd Sin@xD g = x^ y^ x y D@g, xd D@g, yd x x y y xy x y D@g, x, yd D@g, y, xd Dt pochodna (Derivative) zupelna Dt@ x y x ^, xd x y x Dt@y, xd D@ x y x ^, xd xy Calki s = 5x ss = D@s, xd 5 x 5 Integrate@ss, xd 5x

KursS_cz.nb Integrate@ss, 8x,, 8<D 5 Integrate@ x, xd Log@xD Integrate@Sin@xD, xd Cos@xD Integrate@Cos@xD, 8x, Pi, 0<D Integrate@x ^ x ^ 5 x 0, xd 5 x 0 x x x Integrate@x ^ x ^ 5 x 0, 8x,, <D 9 Transformacje LaplaceTransform[funkcja, t, s], FourierTransform[funkcja,t,w], ZTransform[funkcja,n,z],.. http://pl.wikipedia.org/wiki/transformata_laplace%e%80%99a http://pl.wikipedia.org/wiki/transformata_z http://pl.wikipedia.org/wiki/transformacja_fouriera lt = LaplaceTransform@t ^ Sin@tD, t, sd H 5 xl I8 0 x 5 x M 5 I x 5 x M

KursS_cz.nb Plot@8t ^ Sin@tD, lt. s t<, 8t,, <D 0 0 0 0 ft = FourierTransform@Exp@ t ^ D Sin@tD, t, wd ä H Cosh@wD Sinh@wDL CoshB H wl F SinhB Plot@8Exp@ t ^ D Sin@tD, Im@ftD. w t<, 8t,, <D 0. 0. 0. 0. zt = ZTransform@ ^ H n L, n, zd 8z z H wl F

KursS_cz.nb Plot@8 ^ H n L, zt. z n<, 8n, 5, 5<D 0 0 0 0 Szeregi Series[funkcja,{zm,x0,stopien}], Normal[szereg] sz = Series@Sin@xD, 8x, 0, 0<D x x x5 x7 x9 0 O@xD 500 880 Normal@szD x x x5 x7 x9 0 500 880 sz = Series@Sin@xD, 8x, Pi, 7<D x Ix M Ix M Ix M Ix M 0 5 Ix M 70 Ix M 7 500 OBx n = Normal@szD n = Normal@szD x x x5 x7 0 500 x9 x 880 I xm I xm I xm I xm 5 0 I xm 70 I xm 7 500 F 8

KursS_cz.nb Plot@8Sin@xD, n, n<, 8x,, <D Rownania rozniczkowe DSolve[rown, funkcja, zm], DSolve[{rown,rown,...},{f, f,...},zm] DSolve@y '@xd y@xd a Sin@xD, y@xd, xd ::y@xd ã x C@D 5 a HCos@xD Sin@xDL>> DSolve@8y '@xd Cos@xD, y@0d <, y@xd, xd 88y@xD Sin@xD<<