SzeregFouriera-Legendre a

Transkrypt

1 SzeregFouriera-Legendre a Szereg Fouriera-Legendre a : n=0 P n (t) f n Współczynniki f n = Pn (t) f (t) dt - Pn (t) 2 dt - = 2 n + Pn 2 - (t) f (t) dt Pn - (t) 2 dt = 2 2 n + Zadanie Policz kwadrat normy funkcji Legendre a (LegendreP[n,t]) Pn - (t) 2 dt dla n=0,, 2, FunkcjazwracajacawspółczynnikiFouriera-Legendre Zdefiniujmy funkcję zwracajaca współczynniki Fouriera-Legendre a f n = 2 n + Pn 2 - (t) f (t) dt : FourierLegendre[f_, t_, n_] := (2 n + ) / 2 Integrate[LegendreP[n, t] * f, {t, -, }] Przykład Exp[-t] f[t_] = Exp[-t] e -t Lista 4 pierwszych współczynników Fouriera-Legendre a:

2 2 Mat.nb fn = Table[FourierLegendre[f[t], t, n], {n, 0, }] sinh (), - e, 5 2 e - 7 e, e - 7 e Lista 4 pierwszych funkcji Legendre a: L = Table[LegendreP[n, t], {n, 0, }], t, 2 t 2 -, 2 5 t - t Suma cześciowa szeregu do n= n=0 P n (t) f n wynosi: fn.l e - 7 e 5 t - t e - 7 e t t e + sinh () Funkcjazwracajacasumyczescioweszeregu k P n (t) f n od k=0do k=k n=0 WypiszSumyCzesciowe[funkcja_, K_] := Module[{Wynik, SumaCzesciowa, L, fn}, (* zmienne lokalne*) fn = Table[FourierLegendre[funkcja, t, n], {n, 0, K}]; (* Lista K+ pierwszych współczynników Fouriera-Legendre'a *) L = Table[LegendreP[n, t], {n, 0, K}]; (* Lista K+ pierwszych funkcji Legendre'a *) Wynik = {}; (* pusta lista *) Do[SumaCzesciowa = (Take[L, n]).(take[fn, n]); Wynik = Append[Wynik, SumaCzesciowa], {n,, Length[L]}]; (* Tworzy sumy czesciowe i dodaje je do wyniku*) Wynik ] Moduł? Module Module[{x, y, }, expr ] specifies that occurrences of the symbols x, y, in expr should be treated as local. Module[{x = x 0, }, expr ] defines initial values for x,.

3 Mat.nb Take Take[lista,n] zwraca pierwszych n elementów listy? Take Take[list, n] gives the first n elements of list. Take[list, -n] gives the last n elements of list. Take[list, {m, n}] gives elements m through n of list. Take[list, seq, seq 2, ] gives a nested list in which elements specified by seq i are taken at level i in list. Append Append[lista, elem] zwraca listę powiekszoną o element elem? Append Append[expr, elem ] gives expr with elem appended. Append[elem ] represents an operator form of Append that can be applied to an expression. Przykład Wykres przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia w szereg Fouriera-Legendre a n=0,,2, WypiszSumyCzesciowe[f[t], ] sinh (), sinh () - t e, 5 4 e - 7 e t t + sinh (), e e - 7 e 5 t - t e - 7 e t t e + sinh ()

4 4 Mat.nb Plot[Evaluate[{f[t], WypiszSumyCzesciowe[f[t], ]}], {t, -.2,.2}, PlotRange {-2, }, PlotStyle {{Thickness[.0], Black}, Yellow, Orange, Red, Green}, PlotLegends "Expressions"] e -t sinh() - t e - t e + sinh() e + e - + t 2 + sinh() - t e - + t e - e 4 e 4 e -2 Zadanie2 Narysuj wykres przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia w szereg Fouriera- Legendre a n=0,,2,,4,5 dla a)f(t)= sinh(t+ t ) b)f(t)= Π (t ) (funkcja HeavisidePi) Zadanie Utworz funkcję WypiszSumyCzescioweParzyste[funkcja_,K_] ktora bedzie tworzyc sumy parzystych wyrazów szeregu Fouriera-Legendre a ( {f 0 P 0, f 0 P 0 + f 2 P 2, f 0 P 0 + f 2 P 2 + f 4 P 4,...} ) Narysuj wykresy przedstawiajace funkcję f oraz sumy czesciowe jej rozwiniecia w szereg Fouriera- Legendre a a) cos(π t ) b) exp(- t )

5 Mat.nb 5 TrygonometrycznySzeregFouriera FourierTrigSeries[expr, t, n] n a 0 /2 + k= a k cos(k t) + b k sin(k t) a k = π π -π f (t) cos(k t) dt b k = π π -π f (t) sin(k t) dt FourierTrigSeries Wypisuje rozwiniecie funkcji w szerg Fouriera do n-tego wyrazu? FourierTrigSeries FourierTrigSeries[expr, t, n] gives the n th -order Fourier trigonometric series expansion of expr in t. FourierTrigSeries[expr, {t, t 2, }, {n, n 2, }] gives the multidimensional Fourier trigonometric series of expr. Przykład f (t) = t + t 2 t\.c (-π,π) fa[t_] = t + t^2 t 2 + t FourierTrigSeries[fa[t], t, 5] -2 -sin (t ) + 2 sin (2 t ) - sin ( t ) + 4 sin (4 t ) - sin (5 t ) cos (t ) + 4 cos (2 t ) - cos ( t ) + cos (4 t ) cos (5 t ) + π 2

6 6 Mat.nb Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[fa[t], t, 5]], {t, -.5 Pi,.5 Pi}] FourierParameters FourierParameters {a,b} domyslnie jest {,} b -a 2 n (a π 0 /2 + k= a k cos(b k t) + b k sin(b k t)) a k = b a+ 2 π b k = b +a 2 π π b -π b f (t) cos(b k t) dt π b -π b f (t) sin(b k t) dt. Zmiana granic przedziału f (t) = t + t 2 t (-,) FourierParameters {,Pi} FourierTrigSeries[fa[t], t, 5, FourierParameters {, Pi}] 2 sin (π t ) sin (2 π t ) 2 sin ( π t ) sin (4 π t ) 2 sin (5 π t ) π π π 2 π 5 π 4 cos (π t ) cos (2 π t ) 4 cos ( π t ) cos (4 π t ) 4 cos (5 π t ) π 2 π 2 9 π 2 4 π 2 25 π 2

7 Mat.nb 7 Plot[Evaluate[FourierTrigSeries[fa[t], t, 5, FourierParameters {, Pi}]], {t, -.5 Pi,.5 Pi}] WypiszSumyCzescioweTrig[funkcja_, K_, T_] := (* dla przedziału (-T,T) *) Module[{Wynik}, Wynik = {}; Do[Wynik = Append[Wynik, FourierTrigSeries[funkcja, t, n, FourierParameters {, Pi / T} ]], {n, 0, K}]; Wynik ] Plot[Evaluate[{ fa[t], WypiszSumyCzescioweTrig[fa[t], 4, Pi]}], {t, -Pi, Pi}, PlotRange {-2, 4}, PlotStyle {{Thickness[.0], Black}, Yellow, Orange, Red, Green, Blue}, PlotLegends "Expressions"] t + t 2 π 2 π 2 π 2-4 cos(t) + 2 sin(t) + 4 -cos(t) + 4 cos(2 t) - 2 -sin(t) + 2 s π cos(t) + cos(2 t) - cos( t) π cos(t) + 4 cos(2 t) - 9 cos( t) + 6-2

8 8 Mat.nb Zadanie4 Narysuj wykres przedstawiajacy funkcję f oraz sumy czesciowej jej rozwiniecia wszereg Fouriera n=0,,2,,4 dla a)f(t)= exp(- t ) dla przedziału (-π,π) b)f(t)= sin(- t ) dla przedziału (-,) c)f(t)= Π(5*t) dla przedziału (-,) EksponencjalnySzeregFouriera FourierSeries[expr, t, n] n k=-n f k exp(k t) f k = 2 π π -π f (t) exp(k t) dt? FourierSeries FourierSeries[expr, t, n] gives the n th -order Fourier series expansion of expr in t. FourierSeries[expr, {t, t 2, }, {n, n 2, }] gives the multidimensional Fourier series. Przykład F[t_] = t^2 t 2 FourierSeries[F[t], t, 5] -2 e -i t - 2 e i t + 2 e-2 i t + 2 e2 i t e- i t e i t + 8 e-4 i t + 8 e4 i t e-5 i t e5 i t + π 2 TransformacjaFouriera FourierTransform[expr, t, z ]

9 Mat.nb 9 2 π - f (t) e i z t dt InverseFourierTransform[expr, z, t ] 2 π - f (z) e -i z t dz Przykład FourierTransform[F[t], t, z] - 2 π δ (z ) InverseFourierTransform[%, z, t] 2 π Null δ(t ) Zadanie5 Policz transformacje Fouriera funkcji a) exp(- t ) b) exp(- t 2 ) c) Π(t) d) δ(t) e) f) x 5 g) h) sign(t) i) sin(t) j) sin t 2 ) t k) t k) f '' (t) Zadanie6

10 0 Mat.nb Aby rozwiazac rownanie t f (x, t) - 2 x 2 f (x, t) = 0 z warunkiem poczatkowym f(x,0)=δ(x) rozwiaż rownanie będące jego transformacja Fouriera: t u (k, t) + k2 u (k, t) = 0 gdzie u(k,t) = 2 π - f (x, t) e i k x dx ( znajdz warunek poczatkowy u(k,0) dla funkcji u(k,t) ) Policz odwrotna transformate Fouriera rozwiazania. Narysuj PlotD rozwiazania dla {x,-0,0} oraz {t,0,0}