Modele wielorównaniowe

Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 1 / 47

Outline 1 2 3 4 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 2 / 47

Q E 3 E 2 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47

Q E 2 E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. Zależność wynikająca z obserwacji empirycznych: Q = β 0 + β 1 P + ε (1) Jakiego znaku jest β 1? E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47

Q S E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 E 2 Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47

Q S Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 D 1 E 2 E 3 D 2 D 3 P Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47

Q Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 3 S 3 Krzywe podaży (S i ) dla różnych wartości X: Q S = β 0 + β 1 P + β 2 X + ε s (1) S 1 E 1 D 1 E 2 S 2 D 2 D 3 P gdzie X to obserowalna determinanta podaży (observable demand shifter), a ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 3 / 47

Modele wielorównaniowe mogą pozwolić na wyeliminowanie obciążenia oszacowań wynikającego z jednoczesnej współzależności (simultaneity bias). Modele wielorównaniowe mogą pozwolić na uwzględnienie jednoczesnej współzależności pomiędzy zmiennymi endogenicznymi. Kluczowym problemem jest problem identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 4 / 47

- postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) to postać modelu wynikająca z teorii ekonomii. Dla układu M równań γ 11y 1t+... + γ 1M y Mt+ β 11x 1t+... + β 1Kx Kt = ε 1t γ 21y 2t+... + γ 2M y Mt+ β 21x 2t+... + β 2Kx Kt = ε 2t. γ M1y 1t+... + γ MM y Mt+ β M1x Mt+... + β MKx Kt = ε Mt M zmiennych endogenicznych: y 1t, y 2t,..., y Mt. K zmiennych egzogenicznych: x 1t, x 2t,..., x Kt. M strukturalnych zaburzeń losowych: ε 1t, ε 2t,..., ε Mt. Przyjmując, że ε = [ε 1t, ε 2t,..., ε Mt] E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 6 / 47

- postać strukturalna Postać strukturalna (structural form): przy pomocy zapisu macierzowego dla każdej obserwacji (t): [y 1 y 2... y M ] t + [x 1 x 2... x K] t γ 11 γ 12... γ 1M γ 21 γ 22... γ 2M. γ M1 γ M2... γ MM β 11 β 12... β 1M β 21 β 22... β 2M. β M1 β M2... β MM + = [ε1... ε2 εm ] t Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 7 / 47

- postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) zapis macierzowy: YΓ + XB = ε, (3) gdzie (przyjmując T jako liczbę obserwacji): Y to macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach T M. X to macierz zmiennych egzogenicznych o wymiarach T K. ε to macierz struturalnych zaburzeń losowych o wymiarach T M. Γ macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych o wymiarach M M. B macierz parametrów przy zmiennych egzogenicznych o wymiarach K M. Ponadto: E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Zatem na postać strukturalną składają się: Γ, B, ale i Σ. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 8 / 47

- postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (4) gdzie Π = BΓ 1 (5) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (6) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (7) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 9 / 47

Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q S E 3 E 2 E 1 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47

Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S E 2 E 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47

Ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S Q E S 3 3 E 2 E 2 D 3 E S 2 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P E S 1 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 11 / 47

I Postać strukturalna (structural form): YΓ + XB = ε (8) Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν (9) Π = BΓ 1 (10) Intuicyjnie, kluczowy jest przypadek, gdy jedna postać zredukowana odpowiada dokładnie jednej postaci strukturalnej. W przypadku, gdy kilka postaci strukturalnych może prowadzić do tej samej postaci zredukowanej pojawia się problem braku identyfikowalności parametrów. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 12 / 47

II Przykładowo, niech F będzie pewną nieosobliwą macierzą. Zapiszemy nową, alternatywną postać strukturalną, która będzię transformacją prawdziwej postaci strukturalnej: Y Γ + X B = ε = YΓF + XBF = εf (11) Wtedy postać zredukowana nowej postaci strukturalnej będzie taka sama jak prawdziwej! Π = BFF 1 Γ 1 = BΓ 1 = Π (12) Zatem postacie strukturalne są ekwiwalentne pod względem obserwacji. Kluczowe jest wykorzystanie informacji z poza próby (nonsample information), a więc restrykcji wynikających z teorii ekonomii. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 13 / 47

Przykład I Przykład (q d popyt; q s podaż, p cena; z inna zmienna egzogeniczna): q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d (13) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (14) q d = q s (15) Po drobnej manipulacji postać zredukowana oraz przy złożeniu, że α 1 β 1: q = α 1β 0 α 0 β 1 p = α 1 β 1 + α 1β 2 α 2 β 1 α 1 β 1 z + α 1ε s α 2 ε d α 1 β 1 = π 11 + π 21z + ν q, (16) β 0 α 0 α 1 β 1 + β 1 α2 α 1 β 2 z + εs ε d α 1 β 1 = π 12 + π 22z + ν p, (17) Postać zredukowana zawiera zaledwie cztery parametry (π 11, π 12, π 21 i π 22), a postać strukturalna aż sześć parametrów (α 0, α 1, α 2, β 0, β 1 i β 2). Oczywistym zatem jest fakt, że nie ma kompletnego rozwiązania dla wszystkich sześciu parametrów postaci strukturalnej w zależności od parametrów postaci zredukowanej. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 14 / 47

Przykład II I Modyfikacja: w rówaniu popytowym zamienimy z na x Postać strukturalna [ [q p] Postać zredukowana: [q p] = [1 x z] q d = α 0 + α 1 p + α 2 x + ε d (18) q s = β 0 + β 1 p + β 2 z + ε s (19) q d = q s (20) ] 1 1 + [1 x z] α 1 β 1 [ α0 β 0 α 2 0 0 β 2 [ (α1 β 0 α 0 β 1 ) /γ (β 0 α 0 ) /γ α 2 β 1 /γ α 2 /γ α 1 β 2 /γ β 2 /γ ] ] = [ε d ε s] (21) + [ν 1 ν 2 ] (22) gdzie γ = α 1 β 1 Zauważmy, że dopuszczalne postacie strukturalne, w tym nieprawdziwe, modelu mają następującą postać strukturalną: [ ] α0 f 11 + β 0 f 12 α 0 + β 0 f 22 B = BF = α 2 f 11 α 2 f 12 β 2 f 21 β 2 f 22 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 15 / 47,

Przykład II II Warto zauwążyć, że gdzy f 12 0 = zmienna x pojawia się w równianiu podażowym. Jest to niespójne z teorią opisaną przez postać struturalną. gdzy f 21 0 = zmienna z pojawia się w równianiu popytowym. Jest to niespójne z teorią opisaną przez postać struturalną. Zatem f 12 = f 21 = 0 aby postać zredukowana była spójna z rozważaną teorią. F = I (jedynki przy zmiennej q) będzie jedyną transformacją gwarantującą spójność postaci zredukowanej z formą strukturalną. Unikalnym rozwiązniem dla postaci strukturalnej jest zatem α 0 = π 11 π 12 ( π31 π 32 ), α1 = π 31 π 32, α 2 = π 22 ( π21 π 22 π 31 π 32 ), β 0 = π 11 π 12 ( π21 π 22 ), β1 = π 21 π 22, β 2 = π 32 ( π31 π 32 π 21 π 22 ). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 16 / 47

a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M(M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M(M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykorzystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 17 / 47

a źródła restrykcji 1 Normalizacja (Normalization) w każdym równaniu jeden współczynnik powinien mieć wartość 1. Zazwyczaj, jest to parametr przy zmiennej endogenicznej. Wtedy liczba restrykcji redukuje się do M(M 1) (z M 2 ). 2 Tożsamości (Identities). 3 Wykluczenia (Exclusion) zerowe restrykcje na macierze Γ i B. 4 Liniowe restrykcje (Linear restrictions). Aczkolwiek liniowe restykcje mogą czasem prowadzić do błędnej postaci strukturalnej. Przykładowym problem jest brak możliwości zidenyfikowania efektów korzyści skali przy identyfikacji postępu technologicznego dla zagregowanej funkcji produkcji. 5 Restrykcje na macierz wariancji kowariancji zaburzeń losowych Σ. Współczesne badania makroekonomiczne wykorzystują modele wektorowej autoregresji VAR w celu zidentyfikowania wpływu (strukturalnych) szoków makroekonomicznych. Kluczowym założeniem jest tutaj sferyczność macierzy Σ. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 18 / 47

I Rozważamy jedną zmienną endogeniczną y j (tj. j-te równanie). Zmienne endogeniczne Zmienne egzogeniczne Włączone Y j X j M j zmiennych K j zmiennych Pominięte Yj X j Mj zmiennych Kj zmiennych Liczba równań (zmiennych endogenicznych): M = M j + M j + 1 Liczba zmiennych egzogenicznych: K = K j + Kj Postać zredukowana: [ ] [ ] [ ] yj Y j Yj = Xj X π j Πj Πj j π j Π j Π j + [ ] v j V j Vj (23) Na podstawie klasyfikacji zmiennych na włączone i pominięte, można zauważyć, że j-ta kolumny macierzy postaci strukturalnej są następujące: Γ T j = [ 1 γ T j 0 ] oraz B T j = [ β T j 0 ]. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 19 / 47

II Zależnośność między postacią strukturalną a zredukowaną można zapisać jako: ΠΓ = B, a w przypadku j-tego równania postaci strukturalnej: ΠΓ j = B j, co pozwala nam wyznaczyć dwa układy równań π j Π jγ j = β j, π j = Π j γ j, Drugie równanie ma K j równań i M j niewiadomych. Jeżeli równanie to posiada rozwiązanie to można wyznaczyć β j. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 20 / 47

Warunek konieczny (order condition) Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania K j M j. (24) Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Warunek ten gwarantuje, że równanie π j = Π j γ j posiada przynajmniej jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 21 / 47

Warunek wystarczający (rank condition) Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank [ π j, Π j ] = rank [ Π j ] = Mj (25) Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 22 / 47

Problem identyfikacji Analogicznie do metody zmiennych intrumentalnych można rozróżnić następujące przypadki identyfikowalności dla j-tego równania: 1 Dokładnie identyfikowalne (exactly identified) jeżeli Mj = K j. 2 Nadmiernie identyfikowalne (overidentified) jeżeli Mj < K j. 3 Brak identyfikowalności (underidentified) będzie równoznaczny sytuacji, gdy M j > K j. gdzie Kj to liczba zmiennych egzogenicznych pominiętych z równania j-tego; M j to liczba zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 23 / 47

- praktyczna metoda Praktycznym sprawdzeniem warunku koniecznego (order condition) i wystarczającego rank condition jest metoda sprawdzająca rząd odpowiedniej podmacierzy. [Krok #1] Zapisujemy w tabeli parametry postaci strukturalnej, a więc: y 1 y 2... y M 1 x 1 x 2... x k Γ T B T [Krok #2] Dla każdego j-tego równania rozważamy macierz pozbawioną: j-tego wiersza; kolumn, ze zmiennymi występującymi w j-tym równaniu. Parametry j-tego równania będą identyfikowalne jeżeli macierz ta będzie miała pełny rząd (liczba wektorów niezależnych liniowo powinna odpowiadać liczbie wierszy). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 24 / 47

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 25 / 47

Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47

Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47

Praktyczna metoda przykład II q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s q d q s 1 p z 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = 2 1 0 = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 26 / 47

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = 2 1 0 = parametry pierwszego równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = 2 1 0 = parametry pierwszego równania identyfikowalne. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = 2 1 0 = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 27 / 47

Outline Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 1 2 3 4 Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów 5 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 28 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów parametrów równań (równanie - po - równaniu) Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów; Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Estymator klasy k; Metoda Największej Wiarygodności z ograniczoną informacją (LIML, limited nformation likelihood). łącznej/systemowej Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów; Uogólniona Metoda Momentów (GMM, generalized methods of moments); Metoda Największej Wiarygodności z pełną informacją (FIML, full-information likelihood). Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 29 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Postać strukturalna dla j-tego równania: y j = Y jγ j + X jβ j + ε j = Z jδ j + ε j gdzie Z j to macierz zmiennych endogenicznych w j-tym równaniu oraz zmiennych egzogenicznych w j-tym równaniu, tj. Z j = [Y j X j]. Postać zredukowana dla zmiennych endogenicznych występujących w j-tym równaniu Y j = Π jx j + ν j gdzie Π j to j-ta kolumna macierzy z postaci zredukowanej. A ν = εγ 1. Estymator najmniejszej metody kwadratów będzie niezgodny: ˆδ OLS j = [ Z T j Z j ] 1 Z T j y j = δ j + [ ] Y T j Y j Yj T 1 [ ] X j Y T j ε j X T j Y j X T j X j X T j ε j plim 1 N XT j ε j dąży do zera, ponieważ zmienne X j są egzogeniczne. Kluczowe jest tutaj komponent plim 1 N YT j ε j, który nie zbiega do 0. Korelacja ta prowadzi do tzw. simultaneous equations bias. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 30 / 47

Modele rekurencyjne Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Modele rekurencyjne to modele, w których macierz Γ (określająca zależność między zmiennymi endogenicznymi w postaci strukturalnej) jest trójkątna. Przykład (3 zmienne endogeniczne) y 1 = Xβ 1 +ε 1, y 2 = Xβ 2 + γ 12 y 1 +ε 2, y 3 = Xβ 3 + γ 13 y 1 + γ 23 y 1 +ε 3. Modele w pełni rekurencyjne to modele, w których macierz Γ jest trójkątna oraz Σ (macierz wariancji kowariancji składnika losowego) jest diagonalna. W przypadku model w pełni rekurencyjnych, parametry postaci strukturalnej mogą być szacowane MNK. Wynika to z braku zależności między składnikiem losowym (ε) a zmiennymi endogenicznymi. Dla przykładu: cov (y 1, ε 2 ) = cov (Xβ 1 + ε 1, ε 2 ) = 0 Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 31 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów (indirect least squares ILS) polega na oszacowaniu parametrów postaci zredukowanej: Klasyczną metodą najmniejszych kwadratów: Y = ΠX + ν (26) ˆΠ OLS = ( X T X ) 1 X T Y. (27) Na podstawie oszacowań ˆΠ OLS można wyznaczyć oszacowania punktowe postaci strukturalnej, tj. ˆΓ ILS oraz ˆB ILS. Jest to możliwe jedynie w przypadku dokładnej identyfikowalności każdego z równań. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 32 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów (two-stage least squares 2SLS) polega na wykorzystaniu wszystkich zmiennych egzogenicznych X jako instrumentów dla zmiennych egzogenicznych Y j w j-tym równaniu. [Krok #1] Regresja(e) zmiennych endognenicznych występujących po prawej stronie równania j (Y j) względem wszystkich zmiennych egzogenicznych. = Obliczamy wartości teoretyczne Ŷj. [Krok #2] Regresja y j względem Ŷj. oraz Xj. Powyższa strategią ilustruje warunek konieczny identyfikowalności (order condition). Przypomnijmy: Kj M j. W przeciwnym przypadku liczba zmienny egogenicznych pominiętych w j tym warunku jest większa od liczby zmiennych endogenicznych. [ ] Wtedy macierz zmiennych objaśnających w drugim kroku, a więc Ŷ j X j ma niepełny rząd. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 33 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Estymator 2SLS dla parametrów j-tego równania wykorzystujący wartości teoretyczne z pierwszego kroku (Ŷ j ): [ ] ˆδ j 2SLS ŶT = j Y j Ŷj T X 1 [ ] j ŶT j y j X T j Y j X T j X j X T j y. (28) j Po pewnych przekształceniach można uzyskać następującą postać estymatora 2SLS: [ ] ˆδ j 2SLS ŶT = j Ŷ j Ŷj T X 1 [ ] j ŶT j y j X T j Ŷj X T j X j X T j y. (29) j Asymptotyczna wariancja: V ar (ˆδ2SLS j ) = ˆσjj [ẐT j Ẑ j ] 1, (30) gdzie macierz Z j to macierz zmiennych w j-tym równaniu. Z kolei, szacowana zmienność składnika losowego: ( ) T ( ) yj Z ˆδ2SLS j j yj Z ˆδ2SLS j j ˆσ jj =, (31) N zależy od obserwacji (Z j ) a nie od Ẑ j Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 34 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów (three-stage least squares 3SLS) jest metodą polegającą na jednoczesnej estymacji parametrów modelu wielorównaniowego. Idea polega na połączeniu: Podwójnej Metody Najmniejszych Kwadratów dla każdego równania, Estymatora GLS (Uogólnionej Metody Najmniejszych Kwadratów), który uwzględnia korelację składnika losowego pomiędzy równaniami. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 35 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Zapis ogólny: Zapis macierzowy: y 1 y 2. y M Z 1 0... 0 0 Z 2... 0.... 0 0... Z M y = Zδ + ε, (32) δ 1 δ 2.. δ M = ε 1 ε 2. ε M, (33) gdzie Z i to zmienne (endogeniczne i egzogeniczne) w i -tym równaniu, a ε 1, ε 2,..., ε M to wektory składników losowych. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 36 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów składnik losowy Standardowe założenia: E(ε X) = 0 E(εε T X) = Σ = Σ I, gdzie I to macierz jednostkowa o wymiarach równych liczbie obserwacji. Macierz kowariancji: σ11 2 σ12 2... σ1m 2 1 0... 0 σ21 2 σ22 2... σ2m 2 0 1... 0 Σ I =........ σm1 2 σm2 2... σmm 2 0 0... 1 a więc... (34) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 37 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów składnik losowy Σ I = σ 2 11 σ 2 12... σ 2 1M σ 2 11 σ 2 12... σ 2 1M............ σ 2 11 σ 2 12... σ 2 1M σ 2 21 σ 2 22... σ 2 2M σ 2 21 σ 2 22... σ 2 2M. σ 2 M1. σ 2 M1............. σ21 2 σ22 2... σ 2 2M.......... σ 2 M2... σ 2 MM σ 2 M2... σ 2 MM............ σ 2 M1 σ 2 M2... σ 2 MM Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 38 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów I Krok pierwszy w 3SLS polega na oszacowaniu macierzy parametrów formy zredukowanej, tj. Π. Parametry Π są szacowane metodą najmniejszych kwadratów dla każdego z równań. Dzięki tym oszacowaniom obliczanone mogą zaostać wartości teoretyczne zmiennych endogenicznych dla każdego z równań, tj. Ŷ j. Krok drugi w 3SLS to oszacowanie 2SLS (podwójnej metody najmniejszych 2SLS kwadratów) wektora parametrów dla każdego z równań, tj. ˆδ j. Na podstawie, uzyskanych oszacowań ˆδ j wyznaczana jest macierz wariancji ko- 2SLS wariancji, uwzględniająca zależność składnika losowego pomiędzy równiami. Estymator kowariancji pomiędzy i-tym a j-tym równaniem: ) ˆσ ij = ( yi Z iˆδ2sls i ) T ( yi Z ˆδ2SLS j j N, (35) Krok trzeci w 3SLS to wykorzystanie estymatora uogólnionej metody najmniejszych kwadratów GLS. Na podstawie szacunków: Ŷ j, a więc Ẑ (pierwszy krok); macierzy warianacji-kowariancji składnika losowego ˆΣ (drugi krok); Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 39 / 47

Niezgodność Metody Najmniejszych Kwadratów Pośrednia Metoda Najmniejszych Kwadratów Podwójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów Potrójna Metoda Najmniejszych Kwadratów II możemy wyznaczyć estymator Potrójnej Metody Najmniejszych Kwadratów ˆδ 3SLS : ˆδ 3SLS = [ Ẑ T ( Σ 1 I ) Ẑ ] 1 Ẑ T ( Σ 1 I ) y. (36) Wariancja estymatora ˆδ 3SLS : V ar(ˆδ 3SLS ) = [ ZT ( Σ 1 I ) Z] 1, (37) gdzie Z = diag[xπ j, X]. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 40 / 47

Strukturalne modele dynamiczne (alternatywny zapis uwzględniający indeks obserwacji t, oznacza transpozycję): y tγ + x tb + y t 1Φ = ε, (38) gdzie y t 1 to wektor opóźnionych zmiennych endogenicznych. Macierz Φ wyraża zależność pomiedzy y t 1 oraz y t. Opóźnione zmienne endogeniczne y t 1 są predeterminowane (predetermined). W analizie problemu identyfikowalności y t 1 można zatem traktować jako zmienne egzogeniczne w tym przypadku. Większą liczbę opóźnień można uwzględnić przez dodatkowe równania systemu. [ ] [ ] [y t y t 1] Γ 0 + x 0 I t [B 0] + [y t 1 y t 2] Φ1 I = [ ε t 0 ]. Φ 2 0 (39) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 42 / 47

Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t, (40) gdzie: Ξ = ΦΓ 1, (41) Π = BΓ 1, (42) ν t = ν tγ 1. (43) Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 43 / 47

Mnożniki krótkookresowe Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t. (44) Mnożnik jednoczesny/ krótkookresowy/bezpośredni: zmiennej k-tej egzogenicznej na m-tą zmienną endogeniczną. y t,m x t,k = Π k,m, (45) to po prostu odpowiedni element macierzy określającej bezpośredni wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne w postaci zredukowanej. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 44 / 47

Dynamiczne mnożniki Postać zredukowana dynamicznego modelu wielorównaniowego: y t = x tπ + y t 1Ξ + ν t. (46) Substytucja y t 1 przez zależność wynikającą z postaci zredukowanej (tj. y t 1 = x t 1Π + y t 2Ξ + ν t 1): y t = x tπ + x t 1ΠΞ + y t 2Ξ 2 + ν t + ν t 1Ξ, (47) Kontynuując dla kolejnych opóźnień (oznaczanych przez s): t 1 ( y t = x t s ΠΞ s) t 1 ( + y 0Ξ t + ν t s Ξ s), (48) s=0 s=0 gdzie y 0 to początkowe wartości zmiennych endogenicznych. Dynamiczny mnożnik: y t,m x t s,k = (ΠΞ s ) k,m (49) pozwala ocenić wpływ zmiany k tej zmiennej egzogenicznej na m-tą zmienną endogeniczną po s okresach. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 45 / 47

Postać końcowa modelu i mnożniki długookresowe Postać końcowa modelu: ( y t = x t s ΠΞ s) ( + ν t s Ξ s), (50) s=0 pozwala wyrazić zmienne endogeniczne jako sumę skumulowanych zmian zmiennych egzogenicznych oraz zaburzeń strukturalnych. s=0 Możniki długookresowe (równowagowe): Π [ I + Ξ + Ξ 2 +... ] = Π [I Ξ] 1 (51) określają łączny (skumulowany) wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. W przypadku mnożników długookresowych kluczowa jest stabilność, tj. lim t Ξ t = 0. Skumulowane dynamiczne mnożniki: gdzie s jest horyzontem analizy. Π [I Ξ] 1 [I Ξ s ], Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 46 / 47

a stabilność Stabilność jest kluczową charakterystyką dynamicznych modeli wielorównaniowych. Stabilność oznacza, że wpływ zmian zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne będzie wygasał w czasie. Wykorzystując dekompozycję spektralną macierzy Ξ (opisującą zależność między zmiennymi endogenicznymi a ich opóźnieniami): Ξ = CΛC 1, (52) gdzie Λ to macierz diagonalna z wartościami własnymi na przekątnej, a C to macierz zawierająca wektory wkłasne. Warto zauważyć, że: a więc Ξ 2 = CΛC 1 CΛC 1 = CΛ 2 C 1, (53) Ξ t = CΛ t C 1, (54) zatem stabilność (lim t Ξ t = 0) jest zagwarantowana jeżeli lim t Λ t = 0. W powyższy przypadku jest to tożsame z sytuacją, gdy moduł wartości własnych (elementy diagonalne Λ) jest mniejszy od jedności. Jakub Mućk Metody Ekonometyczne Wykład 6 47 / 47