Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011 Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 10 lutego 2011 1 Kategorie i funktory Zad. 1. Funktor dołączony z lewej (prawej) strony zachowuje kogranice (granice) diagramów w szczególności: koprodukty (produkty), koekwalizatory (ekwalizatory), push-out y (pull-back i). Dokładniej, jeśli funktor G : C D jest lewo-dołączony do pewnego funktora, to dla dowolnego diagramu F : I C jeśli istnieje colim I F to istnieje także colim I (G F ), a naturalny morfizm colim I (G F ) G(colim I F ) jest izomorfizmem (odpowiednio dla granicy i funktora prawo-dołączonego). Zbadaj zachowanie granic i kogranic w kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych przez funktor przestrzeni pętli i funktor zawieszenia. Zad. 2. Jeżeli morfizm ν : X X X (gdzie oznacza koprodukt w C - kategorii w której istnieją produkty i koprodukty), zdaje strukturę kogrupową, zaś µ : Y Y Y zadaje strukturę grupową w kategorii C i te dwie struktury mają wspólny morfizm neutralny e : X Y, to struktury grupy wyznaczone w zbiorze Mor C (X, Y ) przez ν i przez µ pokrywają się i ponadto otrzymana grupa jest przemienna. Wywnioskować stąd, że jeśli (G, e) jest homotopijna grupą (a nawet monoidem homotopijnym), to strukturę grupy w π q (G, e)) można zdefiniować prz pomocy mnożenia w G. Zad. 3. Przez analogię z definicjami obiektu grupowego i kogrupowego w kategorii zdefiniuj działanie obiektu grupowego na obiekcie kategorii i kodziałanie obiektu kogrupowego na obiekcie tej kategorii. Sprawdź, że jesli (X, x 0 ) jest przestrzenia dobrze punktowaną, to istnieje ko-działanie X ν X S 1, które dla dowolnej przestrzeni punktowanej (Y, y 0 ) zadaje działanie π 1 (X, x 0 ) na [X, Y ] takie, że [X, Y ] /π 1 (X, x 0 ) [X, Y ]. 2 Rozwłóknienia i korozwłóknienia Zad. 4. Korzystając z najodpowiedniejszego z równoważnych warunków definiujacych (ko-)rozwłóknienie wykaż, że następujące konstrukcje zachowują klasy (ko-)rozwłóknień: 1. Przekształcenie izomorficzne w kategorii Mor(T ) z (ko-)rozwłóknieniem jest (ko-)rozwłóknieniem; 2. Złożenie (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem; 1
3. Pull-back (push-out) rozwłóknienia (ko-rozwłóknienia) jest rozwłóknieniem (ko-rozwłóknieniem); 4. Retrakt (ko-)rozwłóknienia w kategorii Mor(T ) jest (ko-)rozwłóknieniem; 5. Koprodukt i produkt (ko-)rozwłóknień jest (ko-)rozwłóknieniem. Zad. 5. Rozwłóknienie p 1 : P (Y, y 0 ) Y gdzie P (Y, y 0 ) := {ω ω(0) = x 0 } dane wzorem p(ω) := ω(1) ma przekrój (tzn. istnieje przekształcenie s : Y P (Y, y 0 ) takie, że p 1 s = id Y ) wtedy i tylko wtedy gdy Y jest ściągalna. Sformułować dualna wlasnośc dla stożka nad przestrzenią. Zad. 6. Przekształcenie f : X Y jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy X = X {1} Z(f) jest retraktem deformacyjnym. Dualny odpowiednik tego stwierdzenia dla ko-walca przeksztalcenia? Zad. 7. Opisać typ homotopii homotopijnych push-out ów następujących diagramów w kategorii przestrzeni dobrze punktowanych: a) X ; b) A X gdzie A X jest parą Borsuka; c) X {pt} Y. Zad. 8. Zdefiniować homotopijny pull-back i opisać jego typ homotopii dla następujących diagramów w kategorii przestrzeni punktowanych: a) {x 0 } X {x 0 } b) pt B E gdzie E B jest rozwłóknieniem c) X {pt} Y Zad. 9. Niech f : X Y. Pokazać, że a) (homotopijne) włókno nad y 0 Y jest (homotopijnie równoważne) homeomorficzne z (homotopijnym) pull backiem diagramu {y 0 } Y f X. b) (homotopijne) kowłókno jest (homotopijnie równoważne) homeomorficzne z (homotopijnym) pushoutem diagramu X f Y. Zad. 10. Jeśli X jest przestrzenią ściągalną to stożek przekształcenia (homotopijne kowłókno) f : Y X jest homotopijnie równoważny z zawieszeniem ΣY. Dualne stwierdzenie dla ko-stożka (homotopijnego włókna)? Zad. 11. Czy homotopijne przekształcenia mają homotopijnie równoważne homotopijne włókna i homotopijne kowłókna? Zad. 12. Włókna homotopijne i kowłókno homotopijne odwzorowania, które jest homotopijną równowaznością są ściągalne. A jakie są homotopijne włókna i kowłókna przekształceń ściągalnych? Zad. 13. Zapoznaj się z dowodem, że dowolne przekształcenie nakrywające p : X X jest rozwłóknieniem (p.topologia II). Dlaczego ten sam dowód nie przechodzi dla dowolnych przekształceń lokalnie trywialnych? Zad. 14. Dla jednospójnej przestrzeni X dowolne rozwłóknienie z dyskretnym włóknem (np. nakrycie) p: Ỹ Y indukuje bijekcję p : [X, Ỹ ] [X, Y ]. Zad. 15. Podać przykład domkniętego podzbioru A R n, takiego że włożenie nie jest korozwłóknieniem. Jak wygląda rozkład tego włożenia na korozwłóknienie i homotopijną równoważność? 2
Zad. 16. Niech F = C, H, O. Wykaż, że przekształcenie Hopfa p : S 2 dim R F 1 S dim R F dane wzorem p(z 0, z 1 ) := z 0 /z 1 (utożsamiamy sferę S n z jednopunktowym uzwarceniem ciała F) jest rozwłóknieniem. Zad. 17. Niech M, N będą rozmaitościami gładkimi. Niech x 1,.., x n M będą punktami. Wtedy odwzorowanie p n : Map (M, N) N N.. N dane wzorem p n (f) := (f(x 1 ),.., f(x n )) jest rozwłóknieniem. 3 Ciągi Puppe i funktory półdokładne Zad. 18. Opisać naturalne równoważności funktorów Mor(T ) T : C(Σf) ΣC(f) oraz F (Ωf) ΩF (f). Zad. 19. Niech Y g X f Y będą odwzorowaniami dobrze puntkowanych przestrzeni takimi, że f g id Y. Wtedy włożenie Y j C(f), występujące w prawym ciągu Puppe odwzorowania f jest ściągalne. Co wynika z tego dla kontrawariantnego ciagu Puppe zadanego przez dowolny kontrawariantny funktor półdokładny? Zad. 20. Dla n > 1 i dowolnego kontrawariantnego funktora półdokładnego F, F (S n ) jest grupą abelową (ogólniej, F (X) jest grupa dla dowolnej homotopijnej ko-grupy X) oraz F (f k ) : F (S n ) F (S n ) gdzie f k jest przekształceniem stopnia k (p. Zad. 43) jest mnożeniem przez liczbę k. Zad. 21. Z Lematu o Pięciu Odwzorowaniach Zbiorów Punktowanych wywnioskuj Lemat o Pięciu Homomorfizmach w kategorii grup abelowych: Stwierdzenie. Jeśli w przemiennym diagramie grup abelowych i ich homomorfizmów: α 5 G 5 α 4 G 4 α 3 G 3 α 2 G 2 G 1 G 5 γ 5 α 5 G 4 γ 4 α 4 G 3 γ 3 α 3 G 2 γ 2 α 2 G 1 γ 1 wiersze są ciągami dokładnymi, to: 1. Jeśli γ 2, γ 4 są epimorfizmami i γ 1 jest monomorfizmem to γ 3 jest epimorfizmem; 2. Jeśli γ 2, γ 4 są monomorfizmami i γ 5 jest epimorfizmem, to γ 3 jest monomorfizmem. 4 CW-kompleksy Zad. 22. Opisać strukturę CW-kompleksu w znanych powierzchniach 2-wymiarowych (sfera, torus, precle, butelka Kleina itd.) Zad. 23. Zawieszenie ΣP g, gdzie P g jest preclem genusu g (sfera z g uchami), jest homotopijnie równoważne z bukietem 2g egezemplarzy sfer S 2 i sfery S 3. Zbadać z jaką przestrzenią jest homotopijnie równoważne zawieszenie butelki Kleina. Zad. 24. Opisać strukturę CW-kompleksu w przestrzeniach rzutowych nad ciałami R, C, H. 3
Zad. 25. Niech X, Y bedą skończonymi CW-kompleksami. Opisać strukturę CW-kompleksu w produkcie X Y. Gdzie korzystamy ze skończoności X, Y? Zad. 26. Produkt kartezjański dwóch sfer S m S n powstaje z bukietu S m S n przez doklejenie dysku D n+m wzdłuż jego brzegu. Zad. 27. Zawieszenie produktu dwóch sfer jest homotopijnie równoważne bukietowi trzech sfer. Jakich wymiarów? Zad. 28. Sfera nieskończenie wymiarowa S jest przestrzenią ściągalną. Zad. 29. Opisać strukturę CW-kompleksu na zawieszeniu ΣX kompleksu X. Zad. 30. Niech A X będzie podkompleksem. Wtedy X/A posiada strukturę CW-kompleksu. W szczególności dla skończonych CW-kompleksów X, Y opisać strukturę CW-kompleksu w smashprodukcie X Y. Zad. 31. Niech G S 3 H będzie podgrupą dyskretną grupy jednostkowych kwaternionów. Opisać strukturę CW-kompleksu w przestrzeni warstw S 3 /G (co najmniej, gdy G jest cykliczna). Zad. 32. Jeśli p : X X jest nakryciem i X jest CW-kompleksem, to w X istnieje naturalna struktura CW-kompleksu, taka że p jest odwzorowaniem komórkowym. (p.zad 13) Zad. 33. Jeśli K jest CW-kompleksem i dim(k) < 2n 1 to w zbiorze klas homotopii odwzorowań [K, S n ] istnieje naturalna ze względu na odwzorowania K K struktura grupy abelowej taka, że [S n, S n ] Z. Zad. 34. Jeśli K jest CW-kompleksem, to włożenie K (n) K jest n-równoważnością. 5 Obliczenia grup homotopii Zad. 35. Niech n > 1. Pokaż, że π k (S 1 S n ) = π k (S 1 ) dla k < n oraz π n (S 1 S n ) jest wolnym Z[t, t 1 ]-modułem z jednym generatorem. Zad. 36. Wykaż, że jeśli n > 1 to π i (S n S m ) π i (S n ) π i (S n ) dla i < n + m 1 Zad. 37. Dla dowolnej przestrzeni X zdefiniować homomorfizm zawieszenia (transformację naturalną) Σ: π i (X) π i+1 (ΣX), taki, że dla X = S n, i = n jest on izomorfizmem. Zad. 38. Jeśli X jest (n 1)-spójnym CW-kompleksem (n > 1), to zawieszenie ΣX jest n-spójne oraz Σ : π n (X) π n+1 (ΣX) jest izomorfizmem. Zad. 39. Zauważyć, że : π i (D n, S n 1 ) π i 1 (S n 1 ) i wskazać przedstawicieli klas homotopii odwzorowań w π n (D n, S n 1 ). Zad. 40. Udowodnij, że π n (S 2 ) = π n (S 3 CP ( )) dla każdego n. Udowodnij, że S 2 nie jest homotopijnie równoważne S 3 CP ( ). Czy zatem ten przykład przeczy twierdzeniu Whiteheada? Zad. 41. Niech F = R, C oraz i: GL(n 1, F) GL(n, F) będzie włożeniem indukowanym przez włożenie F n 1 na pierwsze n 1 współrzędnych F n. Udowodnij, że { π i (GL(n 1, F)) i # izomorfizmem dla i < n dimr F 2, π i (GL(n, F)) jest epimorfizmem dla i = n dim R F 2. Zauważ, że dla ustalonego i oraz odpowiednio dużych n grupy π i (GL(n, F)) nie zależą od n. Zad. 42. Oblicz grupy homotopii π i (GL(n, F)) dla (bardzo) małych i. 4
6 Klasyfikacja homotopijna przekształceń Zad. 43. (S n, 1) jest n-wymiarową sferą z punktem wyróżnionym. Dla liczby całkowitej k Z rozpatrzmy element f n k := k id S n π n(s n, 1). a) Zilustrować na rysunku odwzorowanie fk n b) [Σfk n n+1 ] = [fk ] c) [fk n f m] n = [fkm n ] d) obliczyć deg(f n k ). np. dla k = 2 i k = 1. Zad. 44. Odwzorowanie wielomianowe f : C C można rozszerzyć do przekształcenia ˆf : S 2 S 2. Znaleźć deg ˆf. Zad. 45. Niech F = C, H, O. Oblicz stopień przekształcenia k-tej potęgi f k : S dim R F 1 S dim R F 1, f k (z) := z k. Zad. 46. Z obliczeń grup homotopii sfer wywnioskować tw. Brouwera: każde odwzorowanie f : D n D n ma punkt stały. Zad. 47. Spójny CW-kompleks X ma następujące grupy homotopii: π 4 (X) = π 7 (X) Z 2 oraz π 5 (X) Z Z 2 oraz π q (X) = 0 pozostałych q. Oszacuj minimalną liczbe komórek w wymiarach < 9. Zad. 48. Opisać zbiór klas homotopii odwzorowań [T 2, T 2 ], gdzie T 2 jest 2-wymiarowym torusem. Wskazać przedstawicieli klas homotopii. Zad. 49. Opisać zbiór klas homotopii odwzorowań między powierzchniami [B, T 2 ], gdzie T 2 jest 2-wymiarowym torusem a B butelka Kleina. Wskazać przedstawicieli klas homotopii. Zad. 50. Opisać zbiór klas homotopii odwzorowań między powierzchniami [B, RP (2)], gdzie B jest butelka Kleina (lub torusem, albo inną ulubioną powierzchnią). Wskazać przedstawicieli klas homotopii. Co można powiedzieć o odwzorowaniu [B, RP (2)] [B, RP (3)] indukowanym przez włożenie RP (2) RP (3). 5