Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 3. Rozwłóknienia i korozwłóknienia

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 3. Rozwłóknienia i korozwłóknienia"

Transkrypt

1 Topologia lgebraiczna - Pomocnik studenta. 3. Rozwłóknienia i korozwłóknienia gnieszka Bojanowska Stean Jackowski 13 grudnia Walce i ko-walce Deinicja 1.1. Niech będzie przestrzenią topologiczną. Walcem (lub cylindrem) o podstawie nazywamy włożenie i 0 I. Kowalcem (lub kocylindrem) nad nazywamy projekcję P () p 0 gdzie P () := I = Map (I, ) oraz p 0 (ω) := ω(0). Konstrukcje walca i kowalca są do siebie dualne, co znajduje wyraz w bijekcji (a nawet homeomorizmie) Map ( I, Y ) Map (, P (Y )). Deinicja 1.2. Walcem (lub cylindrem) przekształcenia : Y nazywa się przestrzeń Z() z włożeniem i 0 : Y Z() zdeiniowanym jako push-out diagramu: Y i 0 I i 0 Z() Deinicja 1.3. Kowalcem (lub kocylindrem) przekształcenia, nazywa się przestrzeń P () wraz z projekcją p 0 : P () zdeiniowane jako pull-back diagramu : P () P (Y ) p 0 Y p 0 Zad. 1. Wypisać explicite deinicje walca i kowalca przekształcenia. 1

2 Konstrukcje walca i kowalca przekształcenia są unktorialne ze względu na morizmy przekształceń. Dowolny diagram Y Y indukuje odwzorowania Z() Z( ) oraz P () P ( ) dla których odpowiednie diagramy są przemienne. 2 Retrakcje Pojęcie retrakcji można zdeiniować w dowolnej kategorii C. Retrakcją morizmu nazwiemy morizm r taki, że złożenie r jest identycznością. Zad. 2. Jeśli morizm w kategorii przestrzeni topologicznych : posiada retrakcję, to jest zanurzeniem homeomroicznym w. Jeśli jest przestrzenią Hausdora, to podzbiór () jest domknięty. W dalszym ciągu ograniczamy się więc do włożeń podzbiorów. Deinicja 2.1. Niech bedzie podprzestrzenia przestrzeni a i : oznacza włożenie. 1. Przekształcenie r : nazywa się retrakcją na, jeżeli r i = id. Podzbiór nazywa się retraktem 2. Retrakcja r : nazywa się retrakcją deormacyjną, jeżeli złożenie i r jest homotopijne z id ; podzbiór nazywa się wtedy retraktem deormacyjnym. 3. Retrakcja r : nazywa się silną retrakcją deormacyjną, jeżeli złożenie i r jest homotopijne z id względem ; podzbiór nazywa się wtedy silnym retraktem deormacyjnym. 3 Korozwłóknienia i rozwłóknienia W kategorii T wyróżniamy dwie ważne klasy przekształceń: rozwłóknienia i korozwłóknienia. Opisane wyżej konstrukcje walca i kowalca przekształcenia pozwalają rozłożyć dowolne przekształcenie na superpozycję korozwłóknienia i homotopijnej równoważności oraz homotopijnej równoważności i rozwłóknienia. Rozwłóknienia i korozwłóknienia odgrywają ogromna rolę w badaniu homotopijnych własności przestrzeni topologicznych. Twierdzenie 3.1. Dla przekształcenia j : nastepujące warunki są równoważne. 2

3 1. Dla dowolnego przemiennego kwadratowego diagramu odwzorowań ciągłych istnieje przekątna: j F F P (Y ) Y p 0 2. Odwzorowanie j : Z(j) Z(id) = I indukowane przez morizm: j j id id posiada lewą odwrotność r : I Z(j), czyli Z(j) jest retraktem walca I - r nazywa się unkcją retrahującą korozwłoknienia j; 3. j : ma własność rozszerzania homotopii (HEP 1 ) tzn. dla dowolnego warunku początkowego 0 : Y i homotopii F : I Y do F : I Y, spełniającej warunek 0 (i(a)) = F (a, 0) dla a istnieje rozszerzenie F : I Y. I F {0} Y I F j 0 0 Deinicja 3.2. Przekształcenie j : spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia nazywa się korozwłóknieniem. Korozwłóknienia takie, że j() jest podzbiorem domkniętym nazywamy domkniętymi korozwłóknieniami lub parami Borsuka 2. Zad. 3. Jeśli j : jest korozwłóknieniem, to j : j() jest homeomorizmem na obraz (a więc j jest różnowartościowe). Jeśli jest przestrzenią Hausdora to j() jest domknięty. Zad. 4. Włożenie podzbioru domkniętego jest korozwłoknieniem wtedy i tylko wtedy gdy {0} I jest retraktem I. Zad. 5. Włożenie S n 1 D n jest korozwłóknieniem. 1 Homotopy Extension Property 2 Karol Borsuk (Warszawa Warszawa) 3

4 Twierdzenie 3.3. Dla przekształcenia p : E B nastepujące warunki są równoważne. 1. p ma własność podnoszenia homotopii (HLP 3 ) tzn.dla dowolnego przemiennego diagramu ciągłych strzałek: i 0 I F 0 F E B p istnieje strzałka przerywana (podniesienie) F. 2. Odwzorowania p: P (E) P (p) indukowane przez diagram: id E E id p E B p ma prawą odwrotność tzn. s: P (p) P (E) takie, że p s = id P (p) - odwzorowanie s nazywa się unkcja podnoszącą drogi rozwłóknienia p; 3. Dla diagramu P (E) p 0 E p P (B) p 0 B p w którym p(ω) = p ω i przekształceń F : P (B) oraz : E czyniących odpowiednie diagramy przemiennymi, istnieje odwzorowanie F : P (E) dla którego odpowiednie diagramy są przemienne. Deinicja 3.4. Przekształcenie p : E B spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia nazywa się rozwłóknieniem Hurewicza, 4 lub krótko rozwłóknieniem. Zauważmy, że warunki nr 2 w deinicjach korozwłoknienia i rozwłóknienia są wewnętrzne tzn nie odwołują się do innych przestrzeni i odwzorowań. Zad. 6. Jeśli p: E B jest rozwłóknieniem, to p(e) jest sumą pewnych składowych łukowej spójności B. Zad. 7. Dla dowolnych przestrzeni projekcja B F Y jest korozwłóknieniem. B jest rozwłóknieniem a włożenie 3 Homotopy Liting Property 4 Witold Hurewicz (Łódź Uxmal, Mexico) 4

5 Następne twierdzenie powiada, że każde przekształcenie można z homotopijnego punktu widzenia zamienić zarówno na rozwłóknienie jak i korozwłóknienie. Twierdzenie 3.5. Dla dowolnego przekształcenia : Y istnieje przemienny diagram, unktorialnie zależący od przekształcenia (tzn. morizm przekształceń indukuje morizm diagramów): s 0 P () i Z() r 0 Y p w którym: i (x) := [x, 1], r 0 [x, t] := (x), r 0 (y) := y, s 0 (x) := ω (x), p (x, ω) := ω(1). Odwzorowania s 0 i r 0 są homotopijnymi równoważnosciami; i jest korozwłóknieniem, a p jest rozwłóknieniem. Dowód. Wykażemy, że przekształcenie i jest korozwłóknieniem. Ponieważ I I jest korozwłóknieniem, więc I I jest korozwłóknieniem. Mamy push-out diagram, w którym utożsamiamy I = I id Y i I ī Z() Przekształcenie i jest złożeniem Y Z(). Dualnie, dowiedziemy że p jest rozwłóknieniem: Ponieważ I I jest korozwłóknieniem, więc na mocy twierdzenia Borsuka odwzorowanie P (Y ) = Map (I, Y ) Map ( I, Y ) = Y Y jest rozwłóknieniem. Rozpatrzmy pull-back diagram: W id P (Y ) p 0,1 Y id p 0,1 Y Y i zauważmy, że W = {(x, y, ω) ω(0) = (x), ω(1) = y} = {(x, ω) ω(0) = (x)} = P () Złożenie P () Y Y jest więc rozwłóknieniem. Zad. 8. Sprawdzić, że i 0 oraz r są homotopijnymi równoważnościami. Deinicja 3.6. Niech : Y będzie dowolnym odwzorowaniem. Homotopijnym włóknem nad y 0 Y nazywamy przeciwobraz F (, y 0 ) := p 1 (y 0), Homotopijnym kowłóknem lub stożkiem nazywamy przestrzeń ilorazową C() := Z()/. 5

6 Włókno i kowłókno homotopijne wpisują się w diagram: F (, y 0 ) := p 1 (y 0) s 0 P () p i Z() r 0 Y C() := Z()/ q Dualność między korozwłóknieniami i rozwłóknieniami, którą można zauważyć już w poprzednich zadaniach, opisuje nastepujące twierdzenie: Twierdzenie 3.7 (K.Borsuk). Jeśli j : jest korozwłóknieniem i jest lokalnie zwarta, to j : Map (, Y ) Map (, Y ) jest rozwłóknieniem. Jeśli j jest homotopijną równoważnością, to j też jest homotopijną równoważnością. Dowód. Niech Z(j) j r I Z(j) będzie retrakcja walca nad na walec. Zastosujmy do tych przestrzeni unktor Map (, Y ) i stosując tw.... otrzymujemy przemienny diagram w którym pionowe strzałki są homeomorizmami: Map (Z(j), Y ) Map ( I, Y ) Map (Z(j), Y ) j j P ( j ) P (Map (, Y )) P ( j ) Homeomorizm Map (Z(j), Y ) P ( j ) wynika stąd, że unktor Map (, Y ) przeprowadza diagram push-out deiniujący walec w diagram pull-back deiniujący ko-walec: Map (, Y ) Map (, Y ) j r r i 0 i 0 Map ( I, Y ) j Map (Z(j), Y ) Pamiętajmy, że P (Map (, Y )) Map ( I, Y ). Przykład 1. Odwzorowania obcięcia Map (D n, Y ) Map (S n 1, Y ) są rozwłóknieniami. Jeśli włożenie {x 0 } jest korozwłóknieniem, to ewaluacja ev : Map (, Y ) Y, ev() := (x 0 ) jest rozwłóknieniem. 6

7 4 Lokalny opis korozwłóknień i rozwłóknień Poniższe twierdzenie opisuje w terminach wewnętrznych i lokalnych kiedy podprzestrzeń jest korozwłóknieniem. Twierdzenie 4.1. Dla domkniętego podzbioru następujące warunki są równoważne: 1. jest korozwłóknieniem; 2. {0} I I jest silnym retraktem deormacyjnym; 3. Istnieje deormacja rel, D : I (tzn. homotopia taka, że D(x, 0) = x, D(a, t) = a), unkcja ϕ : I taka, że = ϕ 1 (1) oraz D(ϕ 1 ((0, 1]) {1}) ; 4. Istnieje otoczenie U deormowalne rel () w do (tzn. istnieje homotopia H : U I taka, że H(x, 0) = x, H(a, t) = a, H(x, 1) ) oraz unkcja ϕ : I taka, że = ϕ 1 (1) i ϕ(x) = 0 dla x \ U. Jeśli korozwłoknienie jest acykliczne (tzn. jest homotopijna równoważnością), to istnieje deormacja rel, D : I taka, że D( {1}). Dowód. [1. 3.] Ponieważ jest korozwłóknieniem, istnieje retrakcja r : I {0} I, która posłuży nam do konstrukcji D i ϕ. Niech π 1 : I oraz π 2 : I I będą projekcjami i zdeiniujmy ϕ : I wzorem ϕ(x) := sup{ t π 2 r(x, t) t I} [sprawdzić ciągłość] oraz D : I wzorem D(x, t) = π 1 r(x, t). Mamy ϕ 1 (0) = bowiem ϕ(x) = 0 oznacza, że r(x, t) I dla t > 0 a stąd także r(x, 0) I gdyż I I jest podzbiorem domkniętym. [3. 1.] Przy pomocy D i ϕ deiniujemy retrakcję r : I {0} I: r(x, t) = (D(x, t), 0) dla t ϕ(x) oraz r(x, t) = (D(x, t), t ϕ(x)) dla t ϕ(x). [1. 2.] Niech r : I {0} I, r(x, t) = (r 1 (x, t), r 2 (x, t)) będzie retrakcją. Zdeiniujmy G : I I I wzorem: G((x, t), s) = (r 1 (x, (1 s)t), (1 s)r 2 (x, t) + ts). Łatwo widać, że G jest homotopią pomiędzy id a retrakcją r i ponadto dla x i dowolnego s I, G((x, t), s) = (x, (1 s)t + ts) = (x, t). Uwaga 1. Zauważmy, że jesli jest przestrzenią metryzowalną, to mając deormację D unkcje ϕ mozna zawsze skonstruuować. Daje to bardzo intuicyjny warunek na to, by włożenie było korozwłoknieniem: wystarczy, żeby istniało otoczenie U deormujące się w do. Można stąd łatwo wydedukować, że włożenia podrozmaitości domkniętej w rozmiatość gładką lub podwielościanu w wielościan są korozwłóknieniami. Wniosek 1. Dowolne acykliczne korozwłóknienie j : jest retraktem walca i 0 : I. Dowolne acykliczne rozwłóknienie p : E B jest retraktem kowalca p 0 : P (E) E. Dowód. Skonstruujemy diagram: j r j i 1 j j I H 7

8 w którym złożenia górnych i dolnych strzałek są identycznościami. Niech D : I będzie deormacją rel () a ϕ : I unkcją taką, że ϕ 1 (0) =. Deiniujemy ī(x) := (x, ϕ(x)) oraz homotopię: H(x, t) := D(x, 1 min (t/ϕ(x), 1)). Homotopia H jest ciągła (sprawdzić!) oraz H j(x) = D(x, 1 min (ϕ(x)/ϕ(x), 1)) = D(x, 0) = x. Łatwo sprawdzić, że powyższy diagram jest przemienny, stąd j : jest retrakcją walca i 0 : I. Zad. 9. Jeżeli i B Y są parami Borsuka, to włożenia B B Y oraz B Y Y są parami Borsuka. Zad. 10. Jeśli p: E B jest przekształceniem takim, że dla pewnego numerowalnego pokrycia otwartego {U i } i I obcięcia p: p 1 (U i ) U i są rozwłóknieniami, to p jest rozwłóknieniem. W szczególności jeśli p: E B jest przekształceniem lokalnie trywialnym, a B jest parazwarta (np. metryzowalna), to p jest rozwłóknieniem. 5 5 Korozwłóknienia, rozwłóknienia i homotopijne równoważności Trzy klasy przekształceń: rozwłóknienia, korozwłóknienia i homotopijne równoważności w pewnym sensie generują wszystkie przekształcenia i są między sobą powiązane. Wprowadźmy nastepujące oznaczenia klas morizmów w T : 1. Co korozwłóknienia; 2. F ib rozwłóknienia; 3. Eq homotopijne równoważności. (Ko-)rozwłoknienia, które są jednocześnie homotopijnymi równoważnościami nazywamy acyklicznymi i stosujemy oznaczenia: C := Co Eq oraz F b := F ib Eq. Następne twierdzenie opisuje jak klasa Eq i każda z dwóch klas F ib i Co wyznacza trzecią. Twierdzenie 5.1. Zachodzą następujące równości klas przekształceń: 1. F ib = Co 2. F ib = Co 3. Co = F ib 4. Co = F ib gdzie ( ) (odp. ( )) oznacza klasę odwzorowań prostopadłych z prawej (odp. z lewej) strony do klasy ( ). [p. Rozdział 1.5] 5 p. lbrecht Dold Partitions o Unity in the Theory o Fibrations nnals o Mathematics, Vol. 78, No. 2 (1963), pp lub Neil Strickland Local ibrations, [Spanier] Tw , [May] rozdz.7.4 8

9 Dowód. [1.] Co = F ib Ponieważ walec i 0 : I należy do C, więc C F ib. Ponieważ dowolne rozwłóknienie jest prawo ortogonalne do walca, a dowolne acykliczne korozwłoknienie jest retraktem walca, więc ponieważ klasa C jest zamknięta na retrakty mamy także C F ib. [2.]Co = F ib Ponieważ walec i 0 : I należy do Co, więc Co F ib. Trzeba sprawdzić, że dowolne odwzorowanie p : E B Co jest homotopijną równoważnością. Ponieważ dowolne acykliczne rozwłóknienie jest retraktem kowalca p 0 : P (Y ) Y, więc mamy też inkluzję Co F b. [3.] Co = F b Ponieważ każde korozwłóknienie jest lewo ortogonalne do kowalca, jest też lewo ortogonalne do dowolnego acyklicznego rozwłóknienia. Mamy więc Co F b Odwrotna inkluzja wynika z deinicji korozwłoknienia. [4.]Co = F ib Walec należy do F ib i do C, a ponieważ dowolne acykliczne korozwłóknienie jest jego retraktem, więc C F ib. Odwrotnie, niech j F ib. Wtedy j jest korozwłóknieniem. Trzeba pokazać, że jest homotopijną równoważnością... 6 Relatywne homotopijne równoważności Dla dowodu następnego bardzo ważnego twierdzenia wygodnie jest wprowadzić dalszą terminologię kategoryjną. Dla ustalonej przestrzeni rozważmy kategorię T co bedącą podkategorią w T składającą się z korozwłoknień. W kategorii T mamy relację homotopii przekształceń rel i odpowiednie kategorie homotopii oznaczamy (T co ) h (T ) h. Funktor zapominania T T indukuje unktor zapominania na odpowiednich kategoriach homotopii. Twierdzenie 6.1. Jeśli unktor zapominania przeprowadza pewien morizm w kategorii (T co ) h na izomorizm w T h, to jest on izomorizmem w (T co ) h. Oznacza to,że jeśli w diagramie przemiennym przestrzeni topologicznych i j Y odwzorowania i, j są korozwłóknieniami a homotopijną równoważnością to jest homotopijną równoważnością rel (). Dowód twierdzenia poprzedzimy kilkoma lematami o charakterze kategoryjnym. Lemat 1. Jeśli klasa morizmów M w kategorii C jest zamknięta ze względu na złożenia i każdy morizm w M ma w M lewostronną (odp. prawostronną) odwrotność, to każdy morizm w M jest izomorizmem. Dowód. Dla każdego morizmu M istnieje g M taki, że g = id. Z założenia istnieje M taki, że g = id. Ponieważ lewo- i prawostronna odwrotność muszą byc równe, mamy = a stąd g jest obustronną odwrotnością. 9

10 Lemat 2. Niech F : C D będzie unktorem. Załóżmy, że dla każdego endmorizmu e C takiego, że F (e) = id istnieje lewa (odp. prawa) odwrotność w C. Wtedy dla dowolnego morizmu C takiego, że istnieje g C takie, że F (g) = id w D istnieje lewa (odp. prawa) odwrotność w C. Dowód. Rozważmy endomorizm g C. Na mocy założenia istnieje e C taki, że e (g) = id. Stąd e g jest lewą odwrotnością morizmu C. Lemat 3. Jeśli i oraz j Y są korozwłóknieniami a w diagramie i j Y przekształcenie jest zwykłą homotopijną równoważnością, to istnieje przekształcenie takie, że g id Y i g j Dowód. Niech Y g będzie lewą odwrotnością. Wtedy jg i i oznaczmy H : I homotopią między nimi. Ta homotopia, wraz z przekształceniem g : Y - dzięki temu, że j jest korozwłóknieniem - rozszerza się do homotopii H : Y I, takiej, że H(y, 0) = g (y) oraz H(j(a), 1) = i(a), a więc g 1 := H(, 1) jest szukanym przekształceniem. Dowód. (Twierdzenia). Dzięki poprzednim lematom wystarczy skonstruować lewą odwrotność rel () dla dowolnego endomorizmu rel () homotopijnego (zwykle) z identycznością. Niech H : id będzie homotopią między i identycznością. Ponieważ i jest korozwłóknieniem, jej obcięcie k := H (i id) : I z warunkiem początkowym id: {0} rozszerza się do K : I takiej, że K(x, 0) = x oraz K(i(a), 1) = a, czyli przekształcenie e(x) := K(x, 1) jest przekształceniem rel () homotopijnym z id. Udowodnimy, że jest szukaną lewą odwrotnością, konstruując homotopię e id rel (). Rozważmy kompozycję dwóch homotopii: G 0 := H 1 K ( id) : I. Z deinicji homotopii H, K wynika, że dla każdego a droga G 0 (j(a), ) = H 1 (j(a), ) H(j(a), ) jest kanonicznie homotopijna ze stała. Deiniujemy więc (podwójną) homotopię G : I I taką, że G(a, t, 0) = G 0 (a, t) oraz G(a, 0, t) = G(a, 1, t) = G(a, t, 1) = i(a). Homotopię tę rozszerzamy do Ḡ : I I z warunkiem początkowym danym G 0. Szukana homotopia e id rel () dana jest jako kompozycja obcięć homotopii Ḡ do trzech boków kwadratu: (Ḡ 0 I) (Ḡ I 1) (Ḡ 1 I) 1. Wniosek 2. Jeśli jest acyklicznym korozwłóknieniem, to jest silnym retraktem deormacyjnym. 10

11 Dowód. Stosujemy poprzednie twierdzenie do diagramu: id i i Twierdzenie 6.2. Niech i będzie korozwłóknieniem. Każdej homotopii F : I Y odpowiada homotopijna równoważność h : Y 0 Y 1 rel (Y ), przy czym homotopii trywialnej odpowiada id a kompozycji homotopii odpowiada (z dokładnością do homotopii) złożenie homotopijnych równoważności. Dowód. Niech F : I Y będzie homotopią między 0 i 1. Wykażemy, że oba włożenia k Y ( I) F Y dla k = 0, 1 są retraktami deormacyjnymi. Ze względu na symetrię wystarczy ograniczyć się do k = 0. Zauważmy oczywisty homeomorizm, wynikający z deinicji doklejania: 0 Y = ( {0} I) F Y ( I) F Y. Niech r : I {0} I będzie silną retrakcją deormacyjną zaś G homotopią deiniującą silną deormację. Kładąc identyczność na przestrzeni Y retrakcję r rozszerzamy do retrakcji r 0 : ( I) F Y 0 Y. Ponieważ homotopia G jest stała na {0} I, to rozszerza się w oczywisty sposób do homotopii Ḡ kładąc identyczność na przestrzeni Y. Wniosek 3. Jeśli j : jest parą Borsuka oraz jest zbiorem ściągalnym, to projekcja / jest homotopijną równoważnością. Dla dowolnej pary Borsuka j : projekcją C() := Z()/ {1} / jest homotopijną równoważnością, czyli homotopijne kowłókno korozwłoknienia jest homotopijnie równoważne z przestrzenią ilorazową. Zad. 11. Udowodnić ostatni wniosek bezpośrednio z deinicji korozwłóknienia. Zad. 12. Jeśli j : jest parą Borsuka i jest ściągalna, to przestrzeń / jest homotopijnie równoważna z zawieszeniem Σ(). Ostatni wniosek jest potężnym narzędziem dowodzenia nieoczywistych homotopijnych równoważności.[p.zadania różne.] Zachodzi także następująca wersja Tw.6.1 dotycząca morizmów między dwoma korozwłóknieniami zdeiniowanymi na różnych przestrzeniach. Twierdzenie 6.3. Jeśli w diagramie g B i. j Y i, j są korozwłóknieniami, a oraz d są homotopijnymi równoważnościami, to (, d) jest homotopijną równoważnością par. 11

12 7 Włókniste homotopijne równoważności Udowodnimy własności rozwłóknień, dualne do własności rozwłóknień opianych w poprzednim rozdziale. Twierdzenie 7.1. Jeśli w diagramie przemiennym przestrzeni topologicznych E E p p B odwozrowania p, p są rozwłóknieniami a odwzorowanie jest (zwykłą) homotopijną równoważnością, to jest włóknistą homotopijną równoważnością. Zad. 13. Sormułować Twierdzenie 7.1 w terminach kategoryjnych, analogicznie do Twierdzenia 6.1 Dowód. Dowody odpowiedników lematów 1-3 poprzedzających dowód Tw. 6.1 pozostawiamy jako ćwiczenie. Wykażemy, że jeśli id E jest włóknistym endomorimem rozwłóknienia E p B, to jest posiada prawą włóknistą homotopijną odwrotność. Niech H : E I E homotopią między a id. Żeby skonstruować włoknistą prawą homotopijną odwrotność rozpatrzmy pdniesienie G : E I E homotopii G := p H : E I B z warunkiem początkowym E 0 id E. Zdeiniujmy g(e) := G(e, 1); wykażemy, że id B g. Zdeiniujmy homotopię K 0 := H 1 ( G) : id g i rozważmy p K = H 1 G. Ta homotopia rozszerza się na kwadrat do homotopii K : E I I B takiej, że K(e, t, 0) = K 0 (e, t) oraz K(e, 0, t) = K(e, 1, t) = K(e, t, 1) = p(e). Podnieśmy ją do K : E I I E z warunkiem poczatkowym K 0 : E 0 E. Kompozycja homotopii otrzymanych przez obcięcie K do trzech wolnych boków kwadratu deiniuje homotopię id B g (p.dowód tw. 0.1). Twierdzenie 7.2. Jeśli E p B jest rozwłóknieniem oraz B dowolnym przekształceniem, to pull-back E p jest rozwłóknieniem. Twierdzenie 7.3. Niech E p B będzie rozwłóknieniem. Każda homotopia I F B wyznacza klasę homotopijnych równoważności rozwłoknień indukowamych 0 E 1 E, przy czym homotopii trywialnej odpowiada identyczność, a kompozycji homotopii odpowiada złożenie równoważnosci. Dwa przekształcenia F 0, F 1 : I B homotopijne rel ( {0, 1}) wyznaczają tę sama klasę włóknistych równoważności Dowód. Przy pomocy homotopii F mozna przeciągnąć rozwłóknienie p nad walec I; wystarczy więc pokazać jak rozwłóknienie E p I wyznacza włóknistą homotopijną równoważność obcięć do dolnej i górnej podstawy. Oznaczmy dla k = 0, 1 przez E k := p 1 (E {k}) = i ke. Utożsamienie E 0 z E 1 polega na przeniesieniu włókien E 0 wzdłuż tworzących walca do E 1. Zdeiniujmy homotopię E 0 I p 0 id I i jej podniesienie P : E 0 0 E z warunkiem początkowym E 0 0 E. Oczywiście, dla każdego t I mamy P (, t) : E 0 1 E t. Kompozycji homotopii można przyporządkować złożenie tych przekształceń. Trzeba sprawdzić, że klasa włoknistej homotopii nie zależy od wyboru podniesienia P. Wykażemy od razu więcej - że dwa przekształcenia F 0, F 1 : I B homotopijne rel ( {0, 1}) wyznaczają tę sama klasę włóknistych równoważności. Niech g 0 : E 0 I F0 E oraz g 1 : E 0 I F1 E będą homotopiami 12

13 skontruowanymi według powyższego przepisu. Rozważmy homotopię F : F 0 F 1 rel ( {0, 1}) i rozwłóknienie przeciągniete F E I I oraz homotopię p 0 id id : E 0 I I I I. Podnosząc H := p 0 id id z warunkiem początkowym określonym na korytku : H I 0 : E 0 I 0 E, HI 0 (e, t, 0) = e E 0 F E H 0 I : E 0 0 I E, H 1 I : E 0 1 I E, H0 I (e, 0, t) = g 0 (e, t) F 0 E F E H1 I (e, 1, t) = g 1 (e, t) F 1 E F E otrzymujemy homotopię H : E 0 I I E, której obcięcie H E 0 1 I zadaje szukaną włóknista homotopię. Wniosek 1. Niech p : E B bedzie rozwłóknieniem. Istnieje unktor z grupoidu podstawowego G(B) przestrzeni B do kategorii homotopii przestrzeni topologicznych przypisujący każdemu punktowi b B włokno nad nim p 1 (b) a klasie homotopii drogi ω : I B klasę homotopii h [ω] : p 1 (ω(0)) p 1 (ω(1)) Dowód. Traktujemy drogę ω : I B jako homotopię między wlożeniami punktów końcowych i stosujemy twierdzenie 3.3 Wniosek 2. Jeśli p : E B jest rozwłóknieniem, to istnieje włóknista homotopijna równoważność E B P p, gdzie P p B jest kocylindrem odwzorowania p. W szczegolności dla każdego puntu b B włókno p 1 (b) i homotopijne włokno F ib (, b) są homotopijnie równoważne. Dowód. Z konstrukcji kocylindra wiemy, że istnieje przekształcenie włókniste s : E P p, które jest zwykłą homotopijną równoważnością. Skoro p jest rozwłóknieniem, z twierdzenia 7.1 wynika, że s jest włóknistą homotopijną równoważnością. Zad. 14. Jesli p : E B jest rozwłóknieniem nad przestrzenią łukowo spójną, a przestrzeń E jest ściągalna to istnieje homotopijna równoważność: p 1 (b 0 ) Ω(B, b 0 ). (Jest to dualna własność do Przykładu 12.) 8 Zadania różne 8.1 Retrakty Zad. 15. Podać przykład włożenia, które jest homotopijną równoważnością i takiego, że nie jest retraktem deormacyjnym. Zad. 16. Podać przykład retraktu, który nie jest retraktem deormacyjnym. Podać przykład retraktu deormacyjnego, który nie jest silnym retraktem deormacyjnym. Zad. 17. Pokazać, że przekształcenie : Y jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko wtedy, gdy = {1} Z() jest retraktem deormacyjnym. Zad. 18. Jeśli jest silnym retraktem deormacyjnym, to dla dowolnego przekształcenia : Y włożenie Y Y też jest silnym retraktem deormacyjnym. 13

14 8.2 Walce i kowalce Zad. 19. Opisać walec i kowalec identyczności id : przekształcenia stałego pt oraz włożenia punktu pt. Zad. 20. Walec o podstawie jest korozwłóknieniem. Kowalec nad jest rozwłóknieniem. 8.3 Homotopijne równoważności Zad. 21. Istnieją następujące homotopijnie równoważności: 1. S n /S k S n S k+1 2. (S n S m )/(S n {s 0 }) S n+m S m 3. Σ(S n S m ) S n+1 S m+1 S n+m+1 4. ΣP g, gdzie P g jest preclem genusu g, jest homotopijnie równoważne z bukietem 2g oraz egezemplarzy ser S 2 i sery S 3. Wskazówka: Dla dowolnej punktowanej przestrzeni (, x 0 ) i przestrzeni Y istnieje homeomorizm Y/{x 0 } Y Y + gdzie Y + := Y {+}. W szczególności dla dwóch niepunktowanych przestrzeni, Y mamy + Y + ( Y ) +. Zad. 22. Jeśli jest przestrzenią ściągalną to stożek przekształcenia : Y jest homotopijnie równoważny z zawieszeniem ΣY. 8.4 Rozwłóknienia i korozwłóknienia Zad. 23. Niech V, W będą rzeczywistymi skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z naturalną topologią w której działania są ciągłe). 1. Dowolny monomorizm j : V W jest korozwłóknieniem; 2. dowolny epimorizm p : W V jest rozwłóknieniem; 3. Jeśli V W jest podprzestrzenią liniową a U W podzbiorem otwartym, to włożenie V U U jest korozwłóknieniem. Zad. 24. Jeśli = B gdzie, B są podzbiorami domkniętymi oraz B jest parą Borsuka, to włożenie jest parą Borsuka. Zad. 25. Jeżeli jest parą Borsuka, to {0} I {1} I jest także parą Borsuka. Zad. 26. Para Borsuka i : jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy jest silnym retraktem deormacyjnym. Zad. 27. Jeśli p: E B jest rozwłoknieniem z włóknem F, to dla dowolnej przestrzeni loklalnie zwartej odwzorowanie indukowane p : Map (, E) Map (, B) jest rozwłóknieniem. Zbadać jego włókno. Zad. 28. Podać przykład dwóch przekształceń włóknistych, które są homotopijne, ale nie są włókniście homotopijne. 14

15 Zad. 29. Czy homotopijne przekształcenia muszą mieć homotopijnie równoważne homotopijne włókna i homotopijne kowłókna? Zad. 30. Niech p : E B będzie rozwłóknieniem nad łukowo spójną przestrzenią. 1. Jeżeli istnieje b B takie, że p 1 (b) jest łukowo spójne, to E jest także łukowo spójna; 2. Jeżeli E jest łukowo spójna zaś B jednospójna, to włókna p są łukowo spójne. Zad. 31. Skonstruować rozwłóknienie E B takie, że B CP, E S 2, zaś włókno jest homotopijnie równoważne z S 3. 15

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011 Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta 50 zadań na Egzamin z Topologii Algebraicznej I Semestr zimowy roku akademickiego 2010/2011 Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 10 lutego 2011 1 Kategorie i

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

3 CW kompleksy Definicja i własnosci CW kompleksów Homologie komórkowe... 13

3 CW kompleksy Definicja i własnosci CW kompleksów Homologie komórkowe... 13 Spis treści 1 Teoria Homologii i Kohomologii 3 1.1 Aksjomaty Eilenberga Steenroda................ 3 1.2 Homologie relatywne. Para Borsuka............... 3 1.3 Ciąg trójki i ciąg Mayera - Vietoroisa.............

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 7. Klasyfikacja homotopijna odwzorowań Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 31 stycznia 2011 1 Odwzorowania w sfery Wykażemy, że klasa homotopii odwzorowania

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).

Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne.

3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. 3 Abstrakcyjne kompleksy symplicjalne. Uwaga 3.1. Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów, niech R J = {(x α ) α J J α x α R} będzie produktem kartezjańskim J kopii R, niech E J = {(x α ) α J R J x α

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Topologia I Wykład 4.

Topologia I Wykład 4. Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. 12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.

II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),

Bardziej szczegółowo

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy

Ciągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa I

Geometria Różniczkowa I Geometria Różniczkowa I wykład drugi Powierzchnie zanurzone, o których rozmawialiśmy na poprzednim wykładzie są bardzo istotną klasą przykładów rozmaitości różniczkowych. Pod koniec dzisiejszego wykładu

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń

Analiza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.

Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu

Bardziej szczegółowo

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013

Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013 Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013

Zad.3. Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek. 14 grudnia 2013 Zad.3 Jakub Trojgo i Jakub Wieczorek 14 grudnia 2013 W pierwszej części naszej pracy będziemy chcieli zbadać ciągłość funkcji f(x, y) w przypadku gdy płaszczyzna wyposażona jest w jedną z topologii: a)

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Sto zadań o homologiach

Sto zadań o homologiach Sto zadań o homologiach Stefan Jackowski 20 maja 2007 Aksjomaty teorii homologii i kohomologii Definicja. Teorią homologii na kategorii punktowanych przestrzeni topologicznych T (lub jej podkategorii zamkniętej

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii

Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011 Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo