Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych

Podobne dokumenty
Modelowanie systemów empirycznych - analiza modelu amortyzacji samochodu o dwóch stopniach swobody

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

(R) przy obciążaniu (etap I) Wyznaczanie przemieszczenia kątowego V 2

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

PIERWSZEGO. METODA CZYNNIKA CAŁKUJĄCEGO. METODA ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH.

Amortyzator. Model: Dodatkowe zmienne: Należy uwzględnić zmienność tłumienia. oraz możliwość oderwania się koła od powierzchni drogi.

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Definicje i przykłady

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Przepływy laminarne - zadania

Rozwiązywanie równań różniczkowych z niezerowymi warunkami początkowymi

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą komputera

Podstawowy problem mechaniki klasycznej punktu materialnego można sformułować w sposób następujący:

MECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7

Kinematyka: opis ruchu

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 27.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Kinematyka: opis ruchu

TEORIA DRGAŃ Program wykładu 2016

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Rozwiązywanie równań nieliniowych

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Prawa ruchu: dynamika

Nieustalony wypływ cieczy ze zbiornika przewodami o różnej średnicy i długości

Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Prawa ruchu: dynamika

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Laboratorium Mechaniki Technicznej

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Mateusz Saków

Zasady dynamiki Newtona

Projektowanie elementów z tworzyw sztucznych

Wykład z równań różnicowych

DYNAMIKA SIŁA I JEJ CECHY

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH LABORATORIUM FIZYKI INSTRUKCJA

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Kinematyka płynów - zadania

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów

Zasady dynamiki Newtona. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Rozdział 1. Prędkość i przyspieszenie... 5 Rozdział 2. Składanie ruchów Rozdział 3. Modelowanie zjawisk fizycznych...43 Numeryczne całkowanie,

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5

Statyka płynów - zadania

SIŁA JAKO PRZYCZYNA ZMIAN RUCHU MODUŁ I: WSTĘP TEORETYCZNY

Aerodynamika I Efekty lepkie w przepływach ściśliwych.

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )

Siły zachowawcze i energia potencjalna. Katarzyna Sznajd-Weron Mechanika i termodynamika dla matematyki stosowanej 2017/18

Dynamika mechanizmów

Treści dopełniające Uczeń potrafi:

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia

I. KARTA PRZEDMIOTU FIZYKA

Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Równania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski

Laboratorium II: Modelowanie procesów fizycznych Skrypt do ćwiczeń

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Właściwości reologiczne

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

Równania różniczkowe zwyczajne

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki. Mateusz Saków

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

Metody Optymalizacji Laboratorium nr 4 Metoda najmniejszych kwadratów

Równania różniczkowe zwyczajne

1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2

Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

Zagadnienie dwóch ciał

Wykład FIZYKA I. 3. Dynamika punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika)

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Zastosowania Równania Bernoullego - zadania

OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.

Wstęp do równań różniczkowych

przepływ Hagena-Poseuille a 22 października 2013 Hydrodynamika równanie Naviera-Stokesa przepły

Wstęp do równań różniczkowych

Transkrypt:

Ryszard Myhan

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Suwaka porusza się w poziomych prowadnicach, gdzie x=x(t) oznacza przesunięcie suwaka względem nieruchomej prowadnicy w kierunku zgodnym z kierunkiem siły wymuszającej P Suwak jest połączony do obudowy za pośrednictwem ściskanej sprężyny (nieważkiej i bez histerezy) o sztywności c, która oddziaływuje na suwak z siłą S(x) Ponadto założono, że współczynnik tarcia suchego µ ma inną wartość w spoczynku i inną w ruchu. W rozważanym przypadku nie uwzględnia się tarcia lepkiego

Modelowanie zjawiska tarcia suchego x P S c T N

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Analizie poddano dwa stany: stan a poślizgu - gdy stan b brak poślizgu - gdy x > x = Równanie ruchu dla tego przypadku można zapisać w postaci: gdzie: P zew T s m m x + T = P s zew - jest sumą wszystkich sił zewnętrznych; - siłą tarcia suchego; - masą ciała.

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Przebieg siły tarcia suchego T s w funkcji zewnętrznej siły wymuszającej P: T s T gr T gr P T gr co oznacza, że: T gr w stanie a wartość siły tarcia T s = T gr w stanie b wartość siły tarcia T s = P

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Dla stanu a równanie ruchu przyjmie postać: x = Pzew Tgr sign( x ) m Aby zamodelować stan b, wprowadzono dodatkową funkcję Proj, zwaną funkcją projekcji Pr oj(z) = z, gdy z < 1 sign(z), gdy inaczej

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Siła tarcia w stanie b wyrazi się więc zależnością: T sp = t T gdzie t gr [ 1 ; + 1 ] Wartość współczynnika t to wartość funkcji projekcji Pzew t = Pr oj Tgr Równanie ruchu w stanie b ostatecznie przyjmie więc postać: P zew t Tgr 1 Pzew x = = P zew Tgr Pr oj m m Tgr

Modelowanie zjawiska tarcia suchego Do wyznaczenia granicznej wartości siły tarcia T gr, zastosowano najprostszy, powszechnie znany model Newtona: gdzie: N siła nacisku; T gr = N µ µ - współczynnik tarcia suchego. Siła zewnętrzna P zew, to suma wektorowa siły wymuszającej P i siły oddzaływania sprężyny S: gdzie: c stała sprężyny; x przemieszczenie. P = c x + zew P

Modelowanie zjawiska tarcia suchego global c m k P mi c=1; m=1; k=1; P=; mi=input('współczynnik tarcia? '); w=input('wychylenie początkowe? '); p=input('prędkość początkowa? '); options = odeset('reltol',1e-4,'abstol',1e-4 ); hold on [T,Y] = ode45(@tar_such,[ 6],[w p],options); plot(t,y(:,1),'b',t,y(:,),'r') grid xlabel('czas [s]') ylabel('wychylenie [m], Predkosc [m/s]')

Modelowanie zjawiska tarcia suchego % funkcja modelująca suwak z tarciem suchym function [Dx] = tar_such(t, x) global c m k P mi PZew=-c*x(1)+P; TarGr=mi*9.81*m; Dx(1)=x(); if x()== Dx()=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m; else Dx()=(PZew-TarGr*sign(x()))/m; end % funkcja projekcji function [proj]=proj(z) if abs(z)<1 proj=z; else proj=sign(z); end;

Modelowanie wybranych zjawisk. 5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. 1 :. 5 :. 4 p r z y D x =. 5 m i V p = m / s. 4. 3 µ=,5 wychylenie W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ].. 1 -. 1 -. -. 3 -. 4 prędkość µ=,1 µ=,5 µ=,1 -. 5 1 3 4 5 6 c z a s [ s ]

Modelowanie wybranych zjawisk. 6 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 1 :. 1 :. 5 i V p =. 4 X=,5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. -. -. 4 -. 6 X=,1 X=,1 X=,5 prędkość wychylenie -. 8 1 3 4 5 6 c z a s [ s ]

Modelowanie wybranych zjawisk. 5. 4 Vp=,5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x = i V p =. :. 1 :. 5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. 3.. 1 Vp=,5 Vp=,1 wychylenie -. 1 prędkość -. 1 3 4 5 6 c z a s [ s ]

Modelowanie wybranych zjawisk. 6. 4 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 5 i V p = m =. 3 :. 3 : 1. wychylenie m=1, W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. -. -. 4 -. 6 m=,3 m=1, m=,3 -. 8 prędkość - 1 1 3 4 5 6 c z a s [ s ]

Modelowanie wybranych zjawisk W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. 5. 4. 3.. 1 -. 1 -. -. 3 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a m i =. p r z y D x =. 5 i V p = m = 1 c =. 3 :. 3 : 1. 5 c=,3 wychylenie c=1,5 c=,3 -. 4 c=1,5 prędkość -. 5 1 3 4 5 6 c z a s [ s ]

Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego Tarcie to występuje w szczelinie miedzy powierzchniami wzajemnie przesuwających się ciał, jeżeli szczelina wypełniona jest smarem lub innym lepkim płynem (np. powietrzem). Siła tarcia lepkiego jest funkcją prędkości wzajemnego poślizgu s oraz zależy od pola powierzchni styku, natomiast można przyjąć, że nie zależy od siły docisku. Dla siły tej często przyjmuje się model: T lep = k ( x ) n sign[ x ] gdzie: k i n są empirycznie wyznaczonymi wartościami stałymi dla konkretnego przypadku

Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego Jeżeli n=1 to mówimy o tarciu wiskotycznym: T lep Jeżeli płyn jest cieczą newtonowską, to wzór przyjmie postać: T lep gdzie: S jest polem powierzchni zetknięcia; τ - naprężeniem stycznym v danym wzorem τ = η h gdzie: η - to współczynnik lepkości dynamicznej v h x - jest gradientem prędkości = k = S τ sign ( x )

Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego x L k P S c T N

Modelowanie zjawiska tarcia lepkiego % funkcja modelująca suwak z tarciem lepkim function [Dx] = tar_lep(t, x) global c m k P mi PZew=-c*x(1)+P-k*x(); TarGr=mi*9.81*m; Dx(1)=x(); if x()== Dx()=(PZew-TarGr*proj(PZew/TarGr))/m; else Dx()=(PZew-TarGr*sign(x()))/m; end

. 5 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. :. 3 : 1. 5 p r z y m i =, D x =. 5 i V p =. 4 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. 3.. 1 k=, k=1,5 k=, k=1,5 wychylenie -. 1 prędkość -.. 5 1 1. 5. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 c z a s [ s ]

W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ]. 6. 5. 4. 3.. 1 -. 1 W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. 3 :. 3 : 1. 5 p r z y m i =, D x = i V p =. 5 Układ bez sprężyny wychylenie k=,3 k=,3 k=1,5 k=1,5 prędkość. 5 1 1. 5. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 c z a s [ s ]

1. 4 1. W y n i k i d l a w s p. t a r c i a l e p l i e g o k =. 3 :. 3 : 1. 5 p r z y m i = D x = i V p =. 5 Tylko tarcie lepkie W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] 1. 8. 6. 4 k=,3 wychylenie. k=1,5 prędkość k=,3. 5 1 1. 5. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 c z a s [ s ]

Wypływ cieczy ze zbiornika h D H h ξ d

Wypływ cieczy ze zbiornika Przyjmując pewne uproszczenia, układ ten w dowolnej chwili czasu t można opisać układem dwu równań: zachowania ciągłości strugi zachowania energii (równaniem Bernuoliego) gdzie: V - to prędkość wypływu cieczy ze zbiornika ξ π h D 4 = V g h + = ξ π - to współczynnik miejscowych strat hydraulicznych. d 4 V V g t

Wypływ cieczy ze zbiornika Rozwiązanie tego układu stanowi równanie: a, przyjmując założenie, że h, powyższy model dyskretny można zastąpić modelem ciągłym, opisanym równaniem różniczkowym: ξ + = 1 h g D d t h h ξ + = 1 h g D d dt dh

Wypływ cieczy ze zbiornika % Symulacja swobodnego wypływu % cieczy ze zbiornika % Modelowanie dyskretne close all D =input('średnica zbiornika? '); dw=input('średnica otworu? '); H =input('wysokość napełnienia? '); z =input('wsp. strat hydraul.? '); dh=.5; % gradient wysokości hi(1)=h; t(1)=; i=; while hi(i) > i=i+1; hi(i)=h-i*dh; v(i)=sqrt((*9.81*hi(i))/(1+z)); dt=((d/dw)^)*(dh/v(i)); if i==1 t(i)=dt; else t(i)=t(i-1)+dt; end end plot(t,hb,'b'); grid on; axis([ 5 h]) xlabel('czas [s]') ylabel('poziom cieczy w zbiorniku')

5 H z = 5 m ; D z = 1 m ; d w =.,. 3,. 4,. 5 m ; w s p. o p. m i e j. =. 1,. 5 4. 5 4 d=, ξ=,5 P o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u 3. 5 3. 5 1. 5 1 d=, ξ=,1 d=,5 ξ=,5 d=,5 ξ=,1. 5 5 1 1 5 5 c z a s [ s ]

8 d w =.,. 3,. 4,. 5 m ; w s p. o p. m i e j. =. 1 ; Q = 1 m 3 ; h = 4, 6, 8 m P o z i o m c i e c z y w z b i o r n i k u 7 6 5 4 3 d=, d=,3 d=,4 d=,5 1 5 1 1 5 5 3 3 5 c z a s [ s ]

5 W y c h y l e n i e [ m ], P r e d k o s c [ m / s ] 4. 5 4 3. 5 3. 5 1. 5 1. 5 dh dt = Model ciągły d D Model dyskretny h=,1=const. h t = g h 1 + ξ d D g h 1 + ξ 5 1 1 5 5 c z a s [ s ]

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego MATLAB MATLAB zawiera funkcje rozwiązujące zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą : pary metod i 3 - funkcja ode3 [T,X]=ode3( F(t,x), t, tk, x, tol, tr) pary metod 4 i 5 - funkcja ode45 [T,X]=ode45( F(t,x), t, tk, x, tol, tr )

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego MATLAB gdzie: F(t,x) łańcuch zawierający nazwę zapisanej w skrypcie funkcji t, tk granice przedziału czasu poszukiwania rozwiązania x tol tr wektor kolumnowy rozwiązania początkowego parametr opcjonalny określający dokładność (1-3 ) parametr opcjonalny (tr<>) powoduje wypisanie na ekranie kolejnych kroków realizacji obliczeń

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego Przykład: oscylator liniowy z tłumieniem m x 1 d dt d = dt x x x x; 1 = = x k x = ( k dx dt a x 1 dx dt x a x function [Dx]=osc(t,x) global M A K ) 1 m Dx=[x();(-K*x(1)-A*x())/M]; M=1; A=.5; K=1;global M A K [T,X]=ode3('osc',,,[1 ]'); subplot(,1,1); plot(t,x(:,1),t,x(:,)); grid on; title('ode3: m=1, k=1, a=.5'); A=.1; [T,X]=ode45('osc',,,[1 ]'); subplot(,1,); plot(t,x(:,1),t,x(:,)); grid on; title('ode45: m=1, k=1, a=.1');

Rozwiązywanie zagadnienia początkowego 1 o d e 3 : m = 1, k = 1, a =. 5. 5 -. 5-1 1 4 6 8 1 1 1 4 1 6 1 8 o d e 4 5 : m = 1, k = 1, a =. 1. 5 -. 5-1 4 6 8 1 1 1 4 1 6 1 8

Równanie Duffinga Przy rozwiązywaniu układu równań wyższego rzędu konieczne jest sprowadzenie równania do postaci zwyczajnej. równanie wprowadzenie zmiennych d zapis końcowy d dt dt x x x 1 + k dx dt ( 3 x x ) = a sin( t) dx1 x1 = x ; x = dt = k x + b ( 3 x x ) + a sin( t) 1 x

Równanie Duffinga - rozwiązanie o d e 3 : k =., b = 1, a =. 3 1-1 - 1 3 4 5 6 7 8 9 1 o d e 4 5 : k =. 1, b = 1. 1, a =. 3 1 1-1 - 1 3 4 5 6 7 8 9 1