1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n, X(ω)=(X 1 (ω),x (ω),...,x k (ω)) Definicja1.. Dystrybuanta n-wymiarowejzmiennejlosowejxnazywamyfunkcję F X (t 1,t,...,t n ):IR n IRokreślonąwzorem F X (t 1,t,...,t n )=P(X 1 <t 1,X <t,...,x n <t n ) Zajmiemy się bliżej zmiennymi losowymi dwuwymiarowymi. Dwuwymiarową zmienną losową(x,y) przyjmującą co najwyżej przeliczalnie wiele wartości (x i,y j ):i I,j J} nazywamydwuwymiarowązmiennąlosowądyskretną. Rozkład prawdopodobieństwa takiej zmiennej można przedstawić w postaci ((x i,y j ),p ij )}, gdzie p ij =P(X=x i,y=y j ), dla i I,j J. Dla zbiorów I, J skończonych wygodnie przedstawia się rozkład prawdopodobieństwa w postaci tabeli X\Y y 1 y... y n x 1 p 11 p 1... p 1n x p 1 p... p n. x m p m1 p m... p mn Dystrybuanta takiej zmiennej jest funkcją schodkową F(x,y)=P(X<x,Y<y)= i,j;x i <x,y j <y p ij. Przykład 1.1. Rzucamy 3 razy monetą. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę wyrzuconych orłów a zmienna losowa Y numer rzutu, w którym orzeł pojawił się po raz pierwszy. Łączny rozkład prawdopodobieństwa wektora losowego(x, Y) przedstawia następujaca tabela. X\Y 1 3 0 0.15 0 0 1 0.15 0.15 0.15 0.5 0.15 0 3 0.15 0 0 1

Mówimy, że zmienna losowa(x, Y) jest typu ciągłego, jeżeli istnieje nieujemna funkcja całkowalna f(x, y) taka, że dystrybuanta ma postać F(x,y)= x y Wpunktachciągłości(x 0,y 0 )funkcjif(x,y) f(u,v))dudv. F x y (x 0,y 0 )=f(x 0,y 0 ). DlaborelowskiegozbioruA IR mamy P((X,Y) A)= f(x,y))dxdy. Następujące twierdzenie charakteryzuje dystrybuantę zmiennej losowej dwuwymiarowej Twierdzenie 1.1. Funkcja F(x, y) jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej(x, Y)wtedy itylkowtedy,gdy: F(x,y)jestniemalejącazewzględunakażdązezmiennych, F(x, y) jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych, dlakażdegoxikażdegoy lim F(x,y)=0, lim F(x,y)=0 x y oraz lim F(x,y)=1. x,y + dlakażdychx 1 <x,y 1 <y A F(x,y ) F(x 1,y ) F(x,y 1 )+F(x 1,y 1 ) 0. Wnioskiem z twierdzenia 1.1 jest następująca charakteryzacja funkcji gęstości. Twierdzenie 1.. Funkcja f(x, y) jest gęstością rozkładu prawdopodobieństwa pewnego wektora losowego wtedy i tylko wtedy, gdy: f(x,y) 0dlakażdego(x,y) IR, + + f(x,y)dxdy=1. Znając rozkład prawdopodobieństwa wektora(x, Y) możemy wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych X, Y. Nazywamy je rozkładami brzegowymi. W przypadku zmiennej losowej dwuwymiarowej dyskretnej(x, Y) są one określone wzorami: p i =P(X=x i )= j p ij, oraz p j =P(Y=y j )= i p ij Dla zmiennej dwuwymiarowej ciągłej(x, Y) tzw. gęstości brzegowe są następujące: f X (x)= f(x,y)dy, f Y (y)= f(x,y)dx. Rozkład wektora losowego(mówimy czasem rozkład łączny) wyznacza jednoznacznie rozkłady brzegowe, ale nie na odwrót. Rozkłady brzegowe wyznaczają rozkład łączny, gdy składowe wektora losowego są zmiennymi niezależnymi.

Twierdzenie1.3.ZmiennelosoweX,Y sąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy F (X,Y) (x,y)=f X (x) F Y (y). W przypadku zmiennych dyskretnych warunek ten równoważny jest warunkowi p ik =p i p k dlawszystkichi,k a dla zmiennych typu ciągłego warunkowi f (X,Y) (x,y)=f X (x)f Y (y) dlawszystkichx,y IR. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej skończonej ilości zmiennych losowych X 1,X,...,X n. Przykład 1.. Zmienna losowa X jest liczbą spalonych zasilaczy w pracowni w ciagu dnia, zmienna losowa Y jest liczbą przepięć w sieci energetycznej. Łączny rozkład wektora losowego (X,Y)opisujetabela X\Y 0 1 0 0.8 0.01 1 0 0.07 0.0 0.1 a)obliczyćp((x,y) (,0),(,1)}). b)wyznaczyćrozkładybrzegowezmiennejlosowejxorazy.ilewynosip(x =1), P(Y=0).ObliczyćEX, EY. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? a) Na podstawie tabeli podanego rozkładu łącznego wektora(x, Y) mamy P((X,Y) (,0),(,1)})=0.0+0.1=0.1. b) Rozkład brzegowy zmiennej losowej X wyznaczamy sumując wiersze tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y), rozkład brzegowy zmiennej losowej Y wyznaczamy sumując kolumny tabeli prawdopodobieństw rozkładu łącznego(x, Y) X\Y 0 1 r.brzegowy X 0 0.8 0.01 0.81 1 0 0.07 0.07 0.0 0.1 0.1 r.brzegowy Y 0.8 0.18 Mamywtedy:P(X=1)=0.07, P(Y=0)=0.8oraz EX=0 0.81+1 0.07+ 0.1=0.31 EY=0 0.8+1 0.18=0.18 c)w twierdzeniu 1.3 podany jest warunek konieczny i wystarczajacy niezależności zmiennych losowych. Zmienne losowe X, Y nie są niezależne bo na przykład P(X=0,Y=0)=0.8 0.81 0.8=P(X=0) P(Y=0). 3

Przykład 1.3. Wektorlosowy(X,Y)marozkładogęstości cxy dla 0 x 1,0 y x 0 poza tym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe. c)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? d)obliczyćp(0.5<x<0.5,y>0.5). e)obliczyćp(0.5<x<1,y X). a)funkcjaf(x,y)jestgęstościąwtedyitylkowtedygdyf(x,y) 0dla(x,y) R i Mamyzatemc 0oraz f(x,y)dxdy=1. czylic=6. f(x,y)dxdy= 1 0 x 1 x dx cxydy=c 0 0 dx=c 6 =1 b) rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 0, x 0,x 1 x 0 6xydy=3x, gdy0<x<1, 0, y 0,y 1 1 y 6xydx=3y 3y5, gdy0<y<1 c)zmiennelosowex,yniesąniezależneboniejestspełnionywarunek f X (x) f Y (y)dlakażdego(x,y) R ; naprzykładf( 1,1 )=3 34 45 =f 3 X( 1) f Y( 1). d)p(0.5<x<0.5,y>0.5)= 0.5 0.5 dx x 0.56xydy=3 0.5 0.5 x(x 0.5)dx= 5 18 e)p(0.5<x<1,y X)= 1 0.5 dx x x 6xydy=6 1 0.5 xdx x x ydy=3 1 0.5 x(x x )dx= 11 64. Przykład 1.4. Gęstośćwektoralosowego(X,Y)danajestwzorem 1 π e x a)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? b)obliczyćp(x>1). c)obliczyćp((x,y) A),gdzieA=(x,y):x +y <1}. a) Wyznaczmy gęstość brzegowa zmiennej losowej X +y. f X (x)= 1 e x +y dy= 1 x 1 π π e e y dy= e x, x R π 4

Wobliczeniachwykorzystaliśmyznanynamfakt,że Podobnie obliczając mamy: e y f Y (y)= 1 π e y, y R. dy= π. Równośćf X (x) f Y (y)zachodzidlakażdego(x,y) R zatemzmiennelosowe X, Y sa niezależne. Zauważmy, że X oraz Y są zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1). Podana gęstość wektora losowego(x, Y) jest szczególnym przypadkiem gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego. b)zmiennalosowaxmarozkładn(0,1)zatemp(x>1)=1 Φ(1)=0.1587. A e x +y dxdy i wykorzystując współrzędne biegunowe otrzy- c)p((x,y) A)= 1 mujemy π 1 e x +y dxdy= 1 π 1 1 dϕ re r dr=1 e. π A π 0 0 1. Parametry rozkładu wektorów losowych Gdydanyjestrozkładwektoralosowego(X,Y)orazh:IR IRjestfunkcjącałkowalną, todlaz=h(x,y) h(x, y)f(x, y)dxdy dla wektora losowego typu ciągłego EZ=Eh(X,Y)= h(x i,y k )p i,k dlawektoralosowegotypudyskretnego i,k Definicja1.3. Dla wektora losowego(x,y) kowariancja zmiennychx,y nazywamy liczbe Cov(X,Y)=E(X EX)(Y EY)=EXY EXEY. Jeżeli VarX > 0, VarY > 0, to definiujemy ważny parametr zwany współczynnikiem korelacji. ρ (X,Y) = Cov(X,Y) VarX VarY. Twierdzenie 1.4.(Własności współczynnika korelacji): 1. ρ(x,y) 1.Jeżelizmiennelosowesąniezależne,toρ(X,Y)=0. 3.ρ(aX+b,cY+d)=sgn(ac)ρ(X,Y). 4.ρ(X,Y)=±1wtedyitylkowtedy,gdyistniejąstałea,btakie,żeP(Y=aX+b)=1. Współczynnik korelacji jest miarą zależności liniowej zmiennych X i Y. W przypadku, gdy ρ=0,zmiennelosowenazywamynieskorelowanymi.jeżeliρ(x,y)=0,tozmienne losowe moga być zależne. Świadczy o tym poniższy przykład. 5

Przykład 1.5. ZmiennalosowaXmarozkładN(0,σ)iniechY=X.Sprawdzić,żeCov(X,Y)=0,a zmiennex,ysązależne. Zmienna losowa o rozkładzie N(0, σ) ma wszystkie momemty stopnia nieparzystego równe 0.WszczególnościEX=0, EX 3 =0,zaśEY=VarX=σ.Mamyzatem Cov(X,Y)=Cov(X,X )=EX 3 EX EX =0. Definicja1.4.Dlawektoralosowego(X 1,X,...,X n )określamymacierzkowariacji C n n,wktórej c ij =Cov(X i,x j ), i,j=1,,...,n MacierzCjestmacierząsymetryczną,c ii 0. Przykład 1.6. Gęstość wektora losowego(x, Y) dana jest wzorem 3 8 y cosx dla π x π,0 y 0 poza tym a) Znaleźć rozkłady brzegowe b) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. Czy X, Y są niezależne? a) Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y są następujące: f X (x)= f Y (y)= f(x,y)dy= f(x,y)dx= 3 8 0, x π,x π 0 y cosxdy= cosx, gdy π<x<π, 3 8 ππ 0, y 0,y y cosxdx= 3 8 y, gdy0<y< b)zauważmy,żezmiennelosowex,y sąniezależne(ponieważf X (x) f Y (y) dlakażdego(x,y))zatemcov(x,y)=0orazρ(x,y)=0. Przykład 1.7. Wektor losowy(x, Y) ma następującą funkcję gęstości 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a) Wyznaczyć kowariancję oraz współczynnik korelacji zmiennych X, Y. b) Napisać macierz kowariancji wektora losowego(x, Y). 6

a)cov(x,y)=exy EX EY Obliczmy najpierw EXY. EXY= 0 x dx xy 1 0 xydy=1 x 5 dx= 16 6 0 9. Do obliczenia pozostałych wielkości potrzebna jest znajomość funkcji gęstości zmiennych XorazY. 0, x 0,x f X (x)= f(x,y)dy= x 0 1 xydy=1 4 x3, gdy0<x<, f Y (y)= Obliczmy jeszcze; EX= 0 x x3 4 dx=8 5 EY= 0 y(y y3 4 )dy= 16 15 EX = 0 x x3 4 dx=8 3 VarX=EX (EX) = 8 75 EY = 0 y (y y3 4 )dy=4 3 VarY=EY (EY) = 44 5 Mamy zatem: Cov(X,Y)= 16 9 ρ(x,y)= Cov(X,Y) VarX VarY = 4 8 5 16 15 = 16 5 f(x,y)dx= 66. 0, y 0,y y 1 xydx=y 1 4 y3, gdy0<y< b)macierzkowariancjicwektoralosowegox,y,gdzie c 1 =c 1 =Cov(X,Y),c 11 =VarX,c =VarY jestnastepująca: C= 8 75 16 5 16 5 44 5 Przykład 1.8. Współczynnik korelacji zmiennych losowych X, Y wynosi 0.5. Jaki współczynnik korelacjimajązmiennelosowe4x 3oraz Y+4? Wykorzystując własności współczynnika korelacji mamy ρ(4x 3, Y+4)=sgn( 8)ρ(X,Y)= 0.5 7

1..1 Rozkładywarunkowe W rozdziale rozważaliśmy prawdopodobieństwo warunkowe( warunek był zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim). Dla wektora losowego(x, Y) interesujące jest pytanie jak wartości jednej składowej wpływają na prawdopodobieństwo przyjmowania wartości przez drugą składową. Zależności te opisują rozkłady warunkowe. Definicja 1.5. Dla dyskretnego wektora losowego(x, Y) warunkowy rozkład zmiennejxprzywarunku(y=y k ),P(Y=y k ) 0określamyjako i analogicznie. (x i,p(x=x i Y=y k )),i I warunkowyrozkładzmiennejyprzywarunku(x=x i ),P(X=x i ) 0to (y k,p(y=y k X=x i )),k J Definicja 1.6. Dla wektora losowego(x, Y) typu ciągłego gęstością warunkową zmiennejlosowejxprzywarunku(y=y),f Y (y)>0nazywamyfunkcję f X Y (x y)= f(x,y) f Y (y) i analogicznie gęstościa warunkową zmiennej losowej Y przy warunku(x = x), f X (x)>0nazywamyfunkcję f Y X (y x)= f(x,y) f X (x). Zauważmy, że bezpośrednio z definicji wynika,że rozkład warunkowy jest prawdopodobieństwem, gęstośc warunkowa jest funkcją gęstości. Ponadto dla niezależnych zmiennych losowych X, Y prawdopodobieństwa warunkowe są prawdopodobieństwami brzegowymi, gęstości warunkowe są gęstościami brzegowymi. Możemy zatem obliczać wartość oczekiwaną rozkładu warunkowego. Definicja 1.7. Warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X przy warunku(y=y k )określamynastępujaco: E(X Y=y k )= i Ix i P(X=x i Y=y k ), gdy(x,y)jestdyskretny xf(x y k)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego i analogicznie warunkowąwartośćoczekiwanązmiennejlosowejy przywarunku(x=x i ) określamy następujaco: E(Y X=x i )= k Jy k P(Y=y k X=x i ), gdy(x,y)jestdyskretny yf(y x i)dx, gdy(x,y)jesttypuciagłego 8

Twierdzenie1.5.JeśliistniejeEXtoistniejeE(X Y=y). W zastosowaniach rachunku prawdopodobieństwa, posługujemy się pojęciem warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X, oznaczanej przez E(Y X). E(Y X)tonowazmiennalosowapostacim Y (X).Najczęściejpodajemywarunkowąwartość oczekiwaną zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X poprzez wzór na funkcję : m Y (x)=e(y X=x). Funkcjęm Y (X)nazywamyfunkcjąregresjizmiennejlosowjYwzględemzmiennej losowej X. Analogicznie określamy warunkową wartość oczekiwaną zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y i oznaczamy E(X Y). Twierdzenie1.6.JeśliVarX<, VarY< todlam Y (X)=E(Y X)zachodzi min h E(Y h(x)) =E(Y m Y (X)), gdzieh(x)jestdowolnąfunkcjąborelowską,żeeh (X)<. Twierdzenie1.7.Niech(X,Y)będziewektoremlosowymiistniejeEXto: 1.E(E(X Y))=EX.dlaniezależnychzmiennychX,Y mamye(x Y)=EX. Przykład 1.9. Dla zmiennych losowych X, Y opisanych w rozwiązaniu Przykładu 3.9 wyznaczyć: a) rozkład warunkowy zmiennej losowej Y przy warunku(x = k), b) rozkład łączny wektora(x, Y), rozkłady brzegowe, c) funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X i narysować jej wykres. Przykład 1.10. Dwuwymiarowazmiennalosowa(X,Y)marozkładjednostajnynazbiorzeD=(x,y): x +y 9,y 0},toznaczy c, gdy(x,y) D 0, pozatym a) Wyznaczyć stałą c. b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe zmiennych losowych X, Y. c)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X. d)czyzmiennelosowex,ysąniezależne? e) Wyznaczyć funkcję regresji zmiennej losowej Y względem X. 9

Przykład 1.11. Gęstością wektora losowego(x, Y) jest funkcja 1 xy, gdy0<x<,0<y<x 0, pozatym a)wyznaczyćgęstościwarunkowef X Y,f Y X.CzyzmiennelosoweX,Ysąniezależne. b) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X. Definicja 1.8. Mówimy,że wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, jeśli jego funkcja gęstości ma postać gdzie 1 πσ x σ y 1 ρ e 1 [(x mx) (1 ρ ) σx ρ(x mx)(y my) σxσy ] + (y my) σy EX=m X, EY=m Y, VarX=σ X, VarY=σ Y, ρ(x,y)=ρ. Jeśli wektor losowy(x, Y) ma dwuwymiarowy rozkład normalny icov(x,y)=0tozmiennelosowex,y sąniezależne. Przykład 1.1. Badano wpływ zawartości pewnego składnika, zawartość składnika opisuje zmienna losowa X, na wytrzymałość Y tworzywa i stwierdzono, że łączny rozkład zmiennych losowych (X,Y)dobrzeopisujedwuwymiarowyrozkładnormalnyoparametrachm X =3,m Y = 1.6,σ X =1, σ Y =0.4,ρ=0.9. a) Wyznaczyć i narysować funkcję regresji Y względem X. b) Obliczyć, ile wynosi najmniejsza zawartość składnika X, przy której wytrzymałość tworzywa Y przekroczy, z prawdopodobieństwem 0.9? W praktycznych zagadnieniach trzeba nieraz wyznaczyć taką prostą, że spośród wszystkich prostych leżących na płaszczyżnie xoy średnie odchylenie kwadratowe zmiennej losowej Y od tej prostej jest najmniejsze. Definicja1.9.Prostąy=a 0 x+b 0 dlaktórejzachodzi E(Y (a 0 X+b 0 )) =min a,b E(Y (ax+b)) nazywamy prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej X. 10

Nietrudno uzasadnić następujący fakt. JeśliVarX,VarY sąskończonetoprostay=a 0 x+b 0 gdzie a 0 = Cov(X,Y) VarX,b 0=EY a 0 EX jest prostą regresji zmiennej losowej Y względem X. Równoważne równanie prostej regresji zmiennej losowej Y względem X ma postać y EY VarX =ρ(x,y) x EX VarY Dla wektora losowego(x, Y) o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym funkcje regresji pokrywaja się z prostymi regresji. Przykład 1.13. Dla wektora losowego opisanego w Przykładzie 3 tego rozdziału wyznaczyć prostą regresji zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X oraz prostą regresji X względem Y. 11