Subdyfuzja w układach membranowych Tadeusz Kosztołowicz Institute of Physics, Jan Kochanowski University, ul. Świȩtokrzyska 15, 25-406 Kielce, Poland, tadeusz.kosztolowicz@ujk.edu.pl Między teorią a zastosowaniami matematyka w działaniu Będlewo, 16 22 czerwca 2013 r.
Spis treści 1 Pochodne ułamkowe 2 Pochodne ułamkowe wykorzystywane w równaniach subdyfuzji 3 Dlaczego subdyfuzja jest opisywana przez równania różniczkowe z pochodną ułamkową? 4 Równania dyfuzji anomalnej z pochodnymi ułamkowymi 5 Numeryczna metoda rozwiązywania równania subdyfuzji 6 Subdyfuzja w układzie membranowym 7 Czy równania nieliniowe mogą zastąpić równania ułamkowe w opisie subdyfuzji?
Pierwsza próba - różniczka rzędu 1/2 List Leibniza do de l Hospitala (1695) d 1/2 x = x dx : x
Przepis na pochodną rzędu ułamkowego (dodatniego) Bierzemy wyrażenie związane z pochodną rzędu naturalnego n, zamieniamy n α, α > 0, zamieniamy n! = Γ(1 + n) Γ(1 + α). Każdy operator, który zawiera parametr α i który dla α = n odpowiada operatorowi, który charakteryzuje pochodną rzędu n, może być traktowany jako operator pochodnej ułamkowej dodatniego rzędu.
Przepis na pochodną rzędu ułamkowego (ujemnego) Pochodna rzędu 1 to całka x a f (x)dx, bierzemy wyrażenie związane z powyższą całką i zamieniamy n α, α < 0, zamieniamy n! = Γ(1 + n) Γ(1 α). Każdy operator, który zawiera parametr α i który dla α = 1 odpowiada całce oznaczonej, może być traktowany jako operator pochodnej ułamkowej ujemnego rzędu.
Pochodna Lacroix Klasyczne wyrażenie: m, n N, m n. Pochodna Lacroix (1819) d n x m dx n = m! (m n)! x m n. d α x m Γ(1 + m) = dx α (Γ(1 + m α) x m α.
Pochodna Hadamarda Klasyczne wyrażenie: f (x) = d α f (x) dx α = k=0 k=0 Pochodna Hadamarda (1892) d α f (x) dx α = k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! k! (k n)! Γ(k + 1) Γ(k + 1 α) f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k!
Pochodna Fouriera Klasyczne wyrażenia: f (x) = 1 f (u)du cos[z(x u)]dz, 2π d n f (x) dx n = 1 f (u)du z n cos[z(x u) + 1 2π 2 nπ]dz, Pochodna Fouriera (1822) d α f (x) dx n = 1 f (u)du z α cos[z(x u) + 1 2π 2 απ]dz.
Pochodna Liouville a Klasyczne wyrażenie: Pochodna Liouville a (1832) d n exp(ax) dx n = a n exp(ax). d α exp(ax) dx α = a α exp(ax).
Pochodna Grünwalda Letnikova df (t) f (t) f (t t) = lim t 0, dt t uogólniając powyższy wzór na n-tą pochodną otrzymamy d n f (t) dt n = lim t 0 nk=0 ( 1) k n! k!(n k)! f (t k t) ( t) n. Pochodna ułamkowa Grünwalda Letnikova (1867) ad α f (t) dt α ( ) ( ) t a α i α = lim i ( 1) k f i k k=0 ( t k t a i ), gdzie ( α) k = Γ(α+1) t a k!γ(α k+1), t = i.
Pochodna Grünwalda Letnikova Wykorzystując relację 1/Γ( n) = 0, n = 0, 1, 2,... łatwo sprawdzić, że dla α = n powyższe wzory zgadzają się. Dla ujemnego rzędu pochodna definiowana jest wzorem ad α f (t) dt α ( ) ( t a α i ) ( α = lim i ( 1) k f i k k=0 t k t a i gdzie (α ) k = α(α+1)...(α+k 1) k!, α > 0. Dla α = 1, wzór przyjmuje postać całki oznaczonej Riemanna d 1 f (t) = t dx 1 a f (t )dt. ),
Pochodna Riemanna-Liouville a α 0 ad α f (t) dt α = 1 Γ(n α) dx n d n t a (t t ) n α 1 f (t )dt, gdzie n jest najmniejszą liczbą naturalną spełniającą warunek n α, ad α f (t) dt α = 1 t (t t ) α 1 f (t )dt. Γ(α) a
Pochodna Riemanna-Liouville a Podajmy przykłady ilustrujące własności pochodnych ułamkowych odmienne od pochodnych rzędu naturalnego. I tak np. ad α (t a) p dt p = Γ(p + 1) Γ(p α + 1) (t a)p α, gdzie p > 1. Wzór ten, zastosowany do funkcji stałej, daje ad α 1 dt p = 1 Γ(1 α) (t a) α. Pochodna ułamkowa iloczynu funkcji wyraża się wzorem ad α [f (t)g(t)] dt α = i=0 ( ) α ad α i f (t) d i g(t) k dt α i dt i.
Pochodna Riemanna-Liouville a - transformata Laplace a L{f (t)} = ˆf (s) = 0 exp( st)f (t)dt, a = 0 { d α } f (t) L dt α = s αˆf n 1 (s) s k d α k 1 f (t) dt α k 1. k=0 t=0 0 < α < 1, f (t ) A, t [0, t], { d α } f (t) L dt α = s αˆf (s). d α 1 f (t) dt α 1 = 1 t (t t ) α f (t )dt Γ(1 α) 0 A Γ(1 α) t1 α.
Pochodna Caputo dc αf (t) dt α = 1 t (t t ) α 1 d n Γ(α) a dt n f (t )dt. Związek pomiędzy pochodnymi RL i Caputo wyraża się wzorem gdzie d α f (t) dt α = d C αf (t) n 1 dt α + Φ k α+1 (t) d n f (t) dt n Φ q+1 (t) = k=0 { t q Γ(q+1), t > 0, 0, t 0., t=0 Transformata Laplace a pochodnej Caputo wyraża się wzorem { d α } L C f (t) dt α = s αˆf n 1 (s) s α k 1 d k f (t) dt k. t=0 k=0
0 x1 x2 x ω(t -t ) λ(x -x ) 1 0 2 1 Green s function n G(x, t; x 0 ) x = lim N N The initial condition G(x, 0; x 0 ) = δ(x x 0 ).
Funkcja Green a G 0 (x, t; 0) = t 0 φ(t t )Q(x, t ; 0)dt, gdzie Q(x, t ) oznacza, że cząsteczka - startując z punktu 0 - przeskoczyła do punktu x po raz ostatni dokładnie w chwili t, φ(t t ) jest prawdopodobieństwem tego, że w przedziale czasowym t t cząsteczka nie zmieniła swojego położenia. Q(x, t ) = Ψ j (t )n j (x), j=0 gdzie Ψ j (t ) jest prawdopodobieństwem zdarzenia, że w przedziale czasowym (0, t ) cząsteczka wykona j kroków, n j (x) - prawdopodobieństwo tego, że dotarcie do punktu x zostanie dokonane także w j krokach.
Ψ j (t) = n j (x) = t 0 ω(t t )Ψ j 1 (t )dt, Ψ 1 (t) = ω(t), λ(x x )n j 1 (x )dx, n 0 (x) = δ(x).
Transformata Fouriera ˆf (k) F {f (x)} := exp( kx)f (x)dx { } F f (x)g(x x )dx = ˆf (k)ĝ(k), Transformata Laplace a ˆf (s) L{f (t)} := 0 exp( st)f (t)dt { t } L f (t)g(t t )dt = ˆf (s)ĝ(s). 0
t G(x, t; 0) = φ(t t )Q(x, t ; 0)dt, 0 Po transformatach Q(x, t ) = Ψ j (t )n j (x), j=0 Ĝ(k, s; 0) = ˆφ(s) ˆQ(k, s), Ψ j (t) = t 0 ω(t t )Ψ j 1 (t )dt ˆQ(k, s) = ˆΨ j (s)ˆn j (k) j=0 Ψ 1 (t) = ω(t), ˆΨ j (s) = ˆω j (s) n j (x) = λ(x x )n j 1 (x )dx n 0 (x) = δ(x), t φ(t) = 1 ω(t )dt = ω(t )dt 0 t ˆn j (k) = ˆλ j (k) ˆφ(s) = 1 ˆω(s) s.
Zakładając ˆω(s)ˆλ(k) < 1 otrzymujemy ˆQ(k, s) = j=0 [ ] j 1 ˆω(s)ˆλ(k) = 1 ˆω(s)ˆλ(k). Ĝ(k, s; 0) = 1 ˆω(s) s 1 1 ˆω(s)ˆλ(k).
ˆω(s) = 0 exp( st)ω(t)dt, ˆλ(k) = exp( kx)λ(x)dx exp(u) = j=0 u j /j!, t j = 0 t j ω(t)dt, x j = x j λ(x)dx, x j ˆλ(k) = (ik) j j! j=0 t j, ˆω(s) = ( s) j j! j=0. x 2 = 2σ 2 = d 2ˆλ(k) dk 2, t = τ = d ˆω(s) k=0 ds. s=0
x = 0 D = σ2 2τ ˆω(s) 1 τs, ˆλ(k) 1 σ2 2 k2, Ĝ(k, s; 0) = 1 Dk 2 + s.
Ĝ(k, s; 0) = Wykorzystując odwrotne transformaty 1 Dk 2 + s. otrzymamy a F 1 {exp( k 2 /(4a))} = π exp( ax 2 ), { } 1 L 1 = exp( βs), s + β 1 G(x, t; 0) = 2 πdt e x 2 4Dt.
sĝ(k, s; 0) 1 = Dk2 Ĝ(k, s; 0) F 1 { k 2ˆf (k)} = d 2 f (x) dx 2, F 1 {1} = δ(x) = G(x, t; 0) t=0, G(x, 0; x 0 ) = δ(x x 0 ) L 1 {sˆf (s) f (0)} = df (t) dt G(x, t; 0) = D 2 G(x, t; 0) t x 2. C(x, t) = G(x, t; x 0 )C(x 0, 0)dx 0. A, C(x, t) t = D 2 C(x, t) x 2.
Funkcja Greena dla subdyfuzji ˆω(s) 1 τ α s α, ˆλ(k) 1 σ2 2 k2, t = d ˆω(s) ds =. ˆω(s) = e ταsα, co jest transformatą s=0 jednostronnego rozkładu α stabilnego. T. Kosztołowicz, J. Phys. A: Math. Gen. 37, 10779 (2004). L 1 { s ν e asβ } f ν,β (t; a) = 1 t 1+ν gdzie a, β > 0. k=0 1 Wykorzystując wzór Γ( u) = sin(πu)γ(1+u) π ( 1 a ) k k!γ( kβ ν) t β, zauważymy, że ω(t) τ αsin(πα)γ(1 + α) t (α+1). π
Funkcja Greena dla subdyfuzji Transformata funkcji Green a Ĝ(k, s; 0) = 1 D α s 1 α k 2 + s, gdzie D α = σ 2 /(2τ α ) jest współczynnikiem subdyfuzji. Korzystając ze wzorów { } F 1 1 k 2 + a 2 = 1 2a e a x, a > 0, G(x, t; 0) = 1 ( ) 2 x f α/2 1,α/2 t;. D α Dα W przypadku, w którym położenie początkowe x 0 jest dowolne, proces opisany jest przez powyższą funkcję po dokonaniu w niej zamiany x x x 0.
Rysunek : Funkcje Green a dla różnych wartości parametru α podanych w tabelce, α = 1 odpowiada dyfuzji normalnej, w każdym przypadku D = 0.001, t = 500. Funkcja Greena dla subdyfuzji G 0 (x,t;0) 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 1.0 0.9 0.7 0.5 0.3-2 -1 0 1 2 x
Równanie subdyfuzji Równanie subdyfuzji z pochodną Reimanna Liouville a sĝ(k, s; 0) 1 = D α s 1 α k 2 Ĝ(k, s; 0). C(x, t) t = D α 1 α t 1 α 2 C(x, t) x 2, 0 < α < 1. L { 1 α C(x, t) t1 α } = s 1 α Ĉ(x, s) α C(x, t) t α. t=0 sĉ(x, s) C(x, 0) = D α s 1 α 2 Ĉ(x, s) x 2 D α 2 C(x, t) α t α x 2. t=0
Subdiffusion equations Równanie subdyfuzji z pochodną Caputo L s α Ĝ 0(k, s; 0) s α 1 = D αk 2 Ĝ 0(k, s; 0), C α C(x, t) t α = D α 2 C(x, t) x 2, α (0, 1), { C } α C(x, t) = s α Ĉ(x, s) s α 1 C(x, 0), 0 < α < 1. t α s α Ĉ(x, s) s α 1 C(x, 0) = D α 2 Ĉ(x, s) x 2.
Dyfuzja anomalna Średni kwadrat długości przemieszczenia cząsteczki x 2 (t) x 2 (t) = D α t α, where α parametr dyfuzji anomalnej, D α współczynnik dyfuzji anomalnej, [D α ] = m 2 s α. Klasyfikacja dyfuzji α 0 < α < 1 subdyfuzja, α = 1 dyfuzja normalna, α > 1 superdyfuzja.
Dyfuzja anomalna i subdyfuzja 0 x1 x2 x ω(t -t ) λ(x -x ) 1 0 2 1 λ 2 (x) < λ 2 (x) < λ 2 (x) = ω(t) < ω(t) = ω(t) < dyfuzja normalna subdyfuzja superdyfuzja C t = D 2 C x 2 λ(x) e x2 /2σ C t = D 1 α 2 C α t 1 α x 2 λ(x) e x2 /2σ C t = D β β C x β λ(x) σ β x 1 β x σ, 1 < β < 2 ω(t) e t/τ ω(t) ( τt ) 1+α, t τ, 0 < α < 1 ω(t) e t/τ Średni kwadrat długości przemieszczenia x 2 (t) dla subdyfuzji x 2 (t) = 2 D α Γ(1 + α) tα, gdzie for 0 < α < 1, D α współczynnik subdyfuzji, Γ(z) funkcja Gamma.
Numeryczne rozwiązanie równania subdyfuzji C α f (t) t α = lim t 0 ( t) α [ t t ] ( ) ( 1) r α f (t r t) r r=0 1 t α Γ(1 α) f (0) Rozwiązanie numeryczne C(x, t) = L ( 1) r α(α 1)(α 2)... [α (r 1)] C(x, t r t) + 1 2 3... r r=1 + D ( t) α α [C(x + x, t t) 2C(x, t t) + ( x) 2 1 +C(x x, t t)] + C(x, 0) t α Γ(1 α)
Rozwiązanie analityczne C α C(x, t) = t D 2 C(x, t) α α, x 2 rozwiązanie z warunkami brzegowymi { C0, x < 0, C(x, 0) = 0, x 0, jest następujące C(x, t) = C 0 C 0 α H10 11 C 0 α H10 11 ( x 2/α D 1/α α t ( ( x) 2/α D 1/α α t ) 1 1, x < 0, 0 2/α ) 1 1, x 0, 0 2/α gdzie H oznacza funkcję Foxa ( ) H11 10 x 2/α D α 1/α t 1 1 = 2 0 2/α α k=0 ( ) k 1 x. k!γ (1 kα/2) Dαt α/2
Rysunek : The concentration profiles C(x, t) calculated for α = 0.2, D α = 0.2, t s,max = 50 and with different memory length L = 50( ), 40( ), 30( ), 20( ), 10( ) i 5( ); continuous line represents the exact analytical solution. K.D. Lewandowska, T. Kosztołowicz, Acta Phys. Pol. B 38, 1847 (2007)
Comparision with the experimental data T. Kosztołowicz, K. Dworecki, S. Mrówczyński, Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 170602, Phys. Rev. E71 (2005) 041105. C The initial condition C 0 { C0, x < 0, C 0(x, 0) = 0, x > 0. + C(0, t) C(δ, t) C(x, t) = 2C0 α 0 δ b 1 H 1 0 1 1 b 1 b 2 x ( δ(t) = A ( α, D α, κ ) t α/2, A ( α, D α, κ ) = where ( H11 10 a 1/β t 1 1 (1 + ν)/β 1/β ) = βa(1+ν)/β t 1+ν Near membrane layer x D αt α ) 2/α 1 1 0 2/α C(δ, t) = κc(0 +, t). [ ( (H ) D 1 0 1 ακ α 1 1 2, 1 1 0 2/α ( 1 a ) k k!γ( kβ ν) t β. )] α/2,
Comparision with the experimental data The experimentally measured thickness of near-membrane layer over time δ(t) for glucose with κ = 0.05( ), κ = 0.08( ), and κ = 0.12( ) and for sucrose with κ = 0.08( ) on log-log scale. The solid lines represent function At 0.45, the dotted lines correspond to the function At 0.50. δ(t) = A ( α, D α, κ ) t α/2 δ E (t) = A E t γ For glucose A E = 0.091 ± 0.004 for κ = 0.05 γ = 0.45 A E = 0.081 ± 0.004 for κ = 0.08 γ = 0.45 A E = 0.071 ± 0.004 for κ = 0.12 γ = 0.45 α = 0.90 D 0.90 = (9.8±1.0) 10 4 mm 2 /s 0.90 For sucrose A E = 0.064 ± 0.003 for κ = 0.08 γ = 0.45 α = 0.90 D 0.90 = (6.3±0.9) 10 4 mm 2 /s 0.90
Układ dwumembranowy
Układ dwumembranowy
Układ dwumembranowy
Układ dwumembranowy
Porównanie rozwiązań
Porównanie rozwiązań
Porównanie rozwiązań