Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018 Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz przedni/wsteczny/centralny dla pierwszej pochodnej, iloraz centralny dla drugiej pochodnej, błąd dyskretyzacji Schemat jawny i niejawny Eulera. Bezwzględna stabilność schematu Eulera. 1. Dane jest równanie różniczkowe y (x) y (x) + y(x) = x. Zapisz schemat różnicowy Eulera (jawny/niejawny) dla tego równania. 2. Dane jest równanie różniczkowe u (t) = λu(t). Wyprowadź wzór opisujący współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera (jawnego/niejawnego). Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględnej stabilności metody. Schemat trapezów. Bezwzględna stabilność schematu trapezów. 1. Dane jest równanie różniczkowe u (t) = λu(t). Wyprowadź wzór opisujący współczynnik wzmocnienia dla schematu trapezów. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględnej stabilnośic metody. Metody Rungego-Kutty. Ogólna postać wzorów definiujących metodę (u n, k i /U i ). Tablica Butchera, jej własności (jawność/niejawność), zależności pomiędzy współczynnikami b i, c i oraz a i,j. Związek rzędu dokładności metody jawnej z postacią tablicy Butchera. Definicja A-stabilności. 1. Dla podanej tablicy Butchera określ jej typ (jawna/niejawna). 2. Uzupełnij brakujące elementy w tablicy Butchera. 1
3. Określ rząd dokładności metody RK, jeśli wiadomo że liczba elementów a i,j w jej tablicy Butchera wynosi 36 oraz zachodzi warunek a i,j = 0 j i. 4. Jaki jest rząd dokładności trzyodsłonowej metody RK dla której wszystkie elementy a i,j są niezerowe? 5. Określ współczynnik wzmocnienia poniższego niejawnego schematu RK u n = u n 1 + tf(t n 1 + t/2, U 1 ), U 1 = u n 1 + ( t/2)f(t n 1 + t/2, U 1 ) dla problemu autonomicznego y (t) = λy(t) (przyjąć z = λ t). Jaki typ stabilności otrzymamy jeśli λ R oraz λ < 0? Ekstrapolacja Richardsona, problemy sztywne (opis jakościowy). Definicja problemu sztywnego, celowość określania błędu numerycznego w ekstrapolacji. 1. Jak można zdefiniować problem sztywny? 2. Czy do rozwiązania problemu sztywnego można używać metod jawnych? kombinacji jawna/niejawna? czy tylko niejawnych? 3. Automatyczną zmianę kroku czasowego w ekstrpolacji Richardsona można uzyskać modyfikując krok czasowy t new = (S tol/e) 1/(p+1) t. Załóżmy że dla pewnej chwili czasowej t n otrzymaliśmy zależność E = tol i aktualne rozwiąznie nie jest akceptowane. Jaką należy przyjąć wartość parametru S aby zwiększyć prawdopodobieństwo akceptacji wyniku w kolejnym kroku czasowym? 2 Równania różniczkowe cząstkowe Klasyfikacja równań: Poissona, adwekcji, dyfuzji, falowe. Równanie Poissona. Dyskretyzacja równania Poissona, schemat relaksacji lokalnej. 1. Określ współczynniki a, b, c oraz d w schemacie opisującym relaksację lokalną równania Poissona w 1 D: u i = a u i 1 + b u i + c u i+1 + dρ i, gdzie: i to indeks na siatce a ρ jest gęstością. 2. Czy metoda iteracyjna rozwiązywania równania POissona jest zbieżna? Odpowiedź uzasadnij odpowiednim rachunkiem. Równania mechaniki płynów. Przepływ bezwirowy: równania na funkcję strumienia i potencjał przepływu oraz ich związek z wektorem prędkości. 2
1. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz w kierunku y. Jeśli równanie 2 ϕ(x, y) = 0 definiuje potencjał dla takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną? 2. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz w kierunku y. Jeśli równanie 2 ψ(x, y) = 0 funkcję strumienia dla takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną? 3. Dane jest pole prędkości V = (2x, 2y). Jaki jest potencjał i funkcja strumienia? Równanie adwekcji. Schematy upwind, downwind, z centralną pochodną. Liczba Couranta (warunek CFL), schemat Laxa-Friedrichsa, schemat Laxa-Wendroffa (wyprowadzenie), schemat Leap Frog, schemat Cranka-Nicolsona. Odwracalność w czasie schematów różnicowych. 1. Jeśli w schemacie upwind odwrócimy kierunek upływu czasu oraz zwrot prędkości to jaki schemat otrzymamy? 2. Schemat Laxa-Wendroffa uzyskujemy rozwijając funkcję u(x, t + t) w szereg Taylora a następnie zamieniając pochodne czasowe niższych rzędów pochodnymi przestrzennymi. Jaki jest błąd dyskretyzacji zmiennej czasowej i zmiennej przestrzennej w tym schemacie? 3. Dlaczego schemat downwind jest niestabilny dla równania adwkecji gdy v > 0? 4. Korzystając z twierdzenia CFL określ zależność pomiędzy krokami: czasowym i przestrzennym. Definicje: spójność, zbieżność i stabilność schematu różnicowego, twierdzenie Couranta-Friedricha-Levy ego, bezwzględna stabilność schematu różnicowego, zasada maksimum. 1. Dany jest schemat U n+1 j = U n j+1 +U n j 1 2 α 2 (U j+1 n U j 1 n ). Czy współczynniki tego schematu spełniają zasadę maksimum? Analiza von Neumanna schematów różnicowych - interpretacja współczynnika wzmocnienia dla różnych schematów Przykładowe pytanie: 1. Dany jest współczynnik wzomocnienia dla schematu upwind M 2 = 1 + 2α(α 1)(1 cos(2πk/j)), k, J > 0. Określ przedział zmienności liczby Couranta tak aby metoda była bezwzględnie stabilna. 2. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Cranka-Nicolsona ma postać M k = 1 αisin(k x) 1+αisin(k x). Dla jakiego kroku czasowego schemat jest stabilny? 3
3. Wykaż, że schemat Crancka-Nicolson charakteryzuje się największą dokładnością spośród metod generowanych poprzez mieszanie jawnej i niejawnej metody Eulera. Dyfuzja numeryczna dla równania adwekcji. Rozwiązania ogólne dla równania adwekcji i adwekcji-dyfuzji (AD). Określanie współczynnika dyfuzji numerycznej na podstawie porównania zdyskretyzowanego równania AD i schematu różnicowego metody. 1. Rozwiązanie równania adwekcji-dyfuzji w 1D ma postać u(x, t) = exp( 4π 2 σ k 2 t)exp(2πik(x vt)). Dlaczego jest ono stabilne? 2. Dane jest równanie adwekcji-dyfuzji u t + vu x = σu xx oraz schematu upwind U n+1 j = (1 α)uj n +α U j n. Jaka musi być wartość współczynnika dyfuzji aby schemat upwind był zgodny z rówaniem dyfuzji? 3. Czy równanie opisujące adwekcję jest odwracalne w czasie? (równanie jest niezmiennicze względem zmiany znaku zmiennej czasowej i prędkości) 4. Dlaczego równanie dyfuzji nie jest odwracalne w czasie? 5. Dany jest schemat dla równania adwekcji U n+1 j = α(uj+1 n U j 1 n ) +. Czy jest on odwracalny w czasie? U n 1 j 6. Wykaż że schematy upwind i downwind są spójne z równaniem adwekcji. 7. Określ błąd dyskretyzacji schematu upwind dla równania adwekcji. 8. Korzystając z twierdzenia Couranta-Friedrichsa-Leviego (CFL) wyjaśnij w jakim przypadku numeryczne rozwiązanie równiania adwekcji nie będzie zbieżne do rozwiązania dokładnego. 9. Różnicowy schemat dla równania adwekcji z centralną pochodną przestrzenną jest niestabilny bezwzględnie. Stosując analizę von Neumanna wyjaśnij dlaczego. Równanie dyfuzji i adwekcji-dyfuzji. Prawo Ficka/Fouriera, Newtona. Matematyczny opis warunków brzegowych: stały strumień, konwekcyjne warunki brzegowe. Jawny i niejawny schemat Eulera, schemat Cranka-Nicolsona, schemat Leap-Frog. Liczba Pecleta. Stabilność schematów różnicowych. 1. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera ma postać M k = 1 D t x (1 cos(k x)). Jaki warunek musi być spełniony aby M 2 k 1? 4
2. Schemat Eulera dla schematu adwekcji-dyfuzji ma postać U n+1 j = (r α/2)uj 1 n + (1 2r)U j n + (r + α/2)u j+1 n. Dla jakiego zestawu parametrów v, dx, dt, D schemat ten będzie stabilny? 3. Zdefiniuj schemat jawny eulera dla równania adwekcji-dyfuzji a następnie na podstawie zasady maksimum określ warunki dla których będzie on stabilny. 4. Utwórz schemat różnicowy Crancka-Nicolsona dla równania adwekcji i zapisz go w postaci macierzowej. 5. Zaproponuj algorytm iteracyjny pozwalający znaleźć rozwiązanie równania dyfuzji ciepła w stanie ustalonym (naszkicuj geometrię układu zaznaczając warunki brzegowe/źródła ciepła). Równanie falowe. Warunki brzegowe i drgania własne struny, zasada superpozycji, superpozycja drgań własnych. Rozwiązanie równania struny metodą separacji zmiennych. Metoda strzałów. 1. Czy równanie falowe jest odwracalne w czasie? 2. Superpozycja drgań własnych struny daje ogólne rozwiązanie u(x, t) = n=1 c nsin(k n x)cos(ω n t) + n=1 s nsin(k n x)sin(ω n t). Wychylenie struny w t = 0 było dane równaniem u(x, t) = sin(πx/l), gdzie L jest długością struny. Określ które współczynniki c n i s n będą niezerowe. 3. Schemat iteracyjny w metodzie strzałów X k (x+ x) = x 2 ρ(x) ω2 k T 0 X k (x) X k (x x) + 2X k (x) możemy zapisać w postaci macierzowej: Ax = B(x)ω 2 x, gdzie generatorem elementów w A jest druga pochodna przestrzenna. Jaka jest postać macierzy B(x)? Jak, wykorzystując metodę diagonalizacji macierzy, możemy znaleźć ω k oraz X k? 4. Korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora skonstruuj schemat położeniowy Verleta i określ jego rząd dokładności. Skonstruuj schemat prędkościowy Verleta. 5