LIII Oimpiada Fizyczna zawody III stopnia ZADANIE 1 Pojazd sk ada si postopad oêciennego nadwozia o szeokoêci d i d ugoêci oaz z tzech kó. Jedno ko o umocowane jest na Êodku pzedniej kaw dzi nadwozia w taki sposób, e mo e byç sk cane pzez kieujàcego pojazdem wokó osi pionowej pzechodzàcej pzez Êodek ko a. Pozosta e dwa ko a umieszczone sà na koƒcach jednej osi pokywajàcej si z tynà kaw dzià nadwozia patz ysunek. ROZWIÑZANIE 1. Piewszym etapem ozwiàzania jest wyznaczenie p dkoêci pojazdu w takcie uchu na zak cie. Zagadnienie b dziemy taktowaç jako p askie. F 1 ma doœ F F 3 O d Na zak cie, majàc sk cone pzednie ko o o kàt α π/4, pojazd pousza si z maksymanà p dkoêcià, pzy któej jeszcze nie wpada w poêizg. Z jakà p dkoêcià pojazd b dzie si pousza po wyjechaniu na postà, jeêi kieowca b dzie badzo agodnie postowa pzednie ko o? Wspó czynnik tacia statycznego ko o pod o e wynosi µ. Ca kowita masa pojazdu waz z kieowcà wynosi m i jest ównomienie oz o ona wewnàtz nadwozia. Ko a sà jednakowe, wàskie i obacajà si niezae nie od siebie. Ich mas pomijamy. W ozwa aniach zaniedbaj ównie wysokoêç pojazdu. Sinik pojazdu jest wy àczony na ca ej ozwa anej dodze, opó toczenia i opó powietza pomijamy. Doga jest ideanie pozioma. Pzyspieszenie ziemskie wynosi g. Ruch jest jednostajnym obotem wokó punktu O b dàcego pzeci ciem postych stanowiàcych osie obotu kó. Punkt O znajduje si na pzed u eniu tynej osi pojazdu, w odeg oêci tgα od jej Êodka. Na pojazd dzia ajà si y tacia postopad e do p aszczyzny kó czyi wzd u ich osi obotu F 1, F i F 3. Si y te wywo ujà pzyspieszenie doêodkowe a doś Êodka masy pojazdu: F1 + F + F 3 m a doś. Rozk adajàc powy sze ównanie na sk adowe wzd u boków pojazdu i uwzg dniajàc zae noêci geometyczne, dostajemy F 1 cos α + F + F 3 ma doś M 1 / F 1 sin α ma doś, M gdzie M +/ jest odeg oêcià Êodka masy pojazdu od punktu obotu O. Eiminujàc z powy szych ównaƒ a doś, dostajemy / M F 1 cos α + F + F 3 M F 1 sin α, 4/4 35 43
czyi F + F 3 / sin α cos α F 1 + F 1. 3 Równanie 3 mo na te otzymaç z waunku zeowania si momentu si wzg dem Êodka masy. Z 3 otzymujemy, e F 1 > F + F 3. 4 Ci a pojazdu ozk ada si ównomienie na pzednià i tynà oê. Ko a si nie Êizgajà, co oznacza, e F 1 mg µ, F + F 3 mg µ. 5 Poniewa pojazd pousza si na ganicy poêizgu, z 5 i 4 otzymujemy F 1 mg µ. Wstawiajàc ten wynik do, otzymujemy 4 + a doś gµ +. Niech ω oznacza p dkoêç kàtowà, a v p dkoêç iniowà Êodka masy. Poniewa a doś ω M v / M, mamy ω 1 gµ +, 4 + v gµ +.. Moment bezw adnoêci pojazdu wzg dem Êodka masy wynosi I m d +. Datego enegia 1 kinetyczna pojazdu pouszajàcego si na zak cie jest ówna E zak 1 m M + Iω 1 m + 3 + d 1 gµ. 1 + Ta enegia jest ówna enegii kinetycznej uchu post powego pojazdu po wypostowaniu pzedniego ko a, czyi E zak 1 mv końc. Stàd v końc + 3 + d 1 gµ 1 +. Da α π/4 mamy, co daje 4 v końc gµ 3 1+ d 16. Wspó czynnik gµ w tym wzoze odpowiada maksymanej p dkoêci, z jakà mo e pouszaç si samochód o badzo ma ych ozmiaach na zak cie o pomieniu. Czynnik 4 3 1+ d 16,971 1+ d 16 jest, bioàc pod uwag wszystkie ideaizacje, badzo zbi ony do 1 np. v końc,971 gµ da d, a v końc 1,1 gµ da d. Mo e on byç znaczàco ó ny od 1 jedyne da du ych d/, co aczej nie odpowiada adnemu eaistycznemu pzypadkowi. Wato zauwa yç, e w paktyce watoêç v końc nie jest osza amiajàca: np. da d 1 m, m, µ 1otzymamy v końc 4,4 m/s. ZADANIE Skonstuowano dwa baony, z któych piewszy jest wype niony goàcym powietzem o tempeatuze T 373 K, a dugi paà wodnà o takiej samej tempeatuze. Spawdzono, e tu nad powiezchnià ziemi ka dy z baonów mo e unieêç mas m 3 kg, w àczajàc w to mas pow oki, inek i innych eementów konstukcyjnych. Tempeatua otoczenia wynosi T 93 K, ciênienie p 1 5 Pa. a Ie wynoszà obj toêci i V baonów? b Jaka jest minimana ioêç ciep a niezb dna do podgzania od tempeatuy otoczenia powietza w piewszym baonie? Ie wynosi minimana ioêç ciep a niezb dna do wytwozenia, z wody o tempeatuze ównej tempeatuze otoczenia, pay wodnej potzebnej do wype nienia dugiego baonu? c Stwiedzono, e tu po nape nieniu piewszego baonu, tempo utaty jego si y noênej udêwigu jest ówne k 1,3N/s. Ie wynosi tempo utaty si- y noênej dugiego baonu k tu po jego nape nieniu? Rozwa dwie mo iwoêci: i ca a skopona paa z dugiego baonu pozostaje w jego wn tzu zbiea si w specjanym pojemniku oaz ii ca a skopona paa z dugiego baonu jest natychmiast usuwana spada na ziemi. Kszta t obu baonów jest taki sam, pow oki majà takie samo pzewodnictwo ciepne, sà nieozciàgiwe, wiotkie i nie pzepuszczajà ani pay, ani powietza. Zak adamy, e paa wodna spe nia ównanie stanu gazu doskona ego. Ka dy z baonów ma na doe ma y otwó. Po nape nieniu baonów nie jest do nich dostaczane ciep o. Do obiczeƒ pzyjmij nast pujàce watoêci: masa moowa powietza M p,9 kg/mo; masa moowa wody M w,18 kg/mo; sta a gazowa R 8,3J mo 1 K 1 ; ciep o moowe powietza 44 36 fizyka w szkoe
pzy sta ej obj toêci c V 5 / R; ciep o w aêciwe wody c w 4 J kg 1 K 1 ; tempeatua wzenia wody pod ciênieniem p 1 5 Pa 373 K; ciep o paowania wody w tempeatuze 373 K i ciênieniu p 1 5 Pa,3 1 6 J/kg; pzyspieszenie ziemskie g 9,8m/s. ROZWIÑZANIE a G stoêç gazu doskona ego wya a si wzoem ρ pm, gdzie M jest jego masà moowà, zatem g stoêci sà odpowiednio ówne: RT powietza na zewnàtz baonów ρ pm p 1,191 kg RT m 3, powietza w piewszym baonie ρ 1 pm p RT,936 kg m 3, pay wodnej w dugim baonie ρ pm w RT,581 kg m 3. Kozystajàc z pawa Achimedesa, otzymujemy ρ V i m + ρ i V i, zatem V m mrtt ρ ρ 1 pm p T T 1174 m3, m ρ ρ mr pm p Mp T M w T 491 m 3. b Ciep o, niezb dne do ogzania powietza, wynosi Q 1 nc p T, gdzie c p c V + R jest ciep em moowym pzy sta ym ciênieniu w takich waunkach odbywa si podgzewanie. Otzymujemy Q 1 p RT c pt T 88,1 MJ. Ciep o dostaczone w dugim pzypadku jest sumà ciep a potzebnego do podgzania wody do 1 C Q pod m c w T oaz ciep a potzebnego do odpaowania wody m Q pa m, gdzie m V ρ 85 kg M p T 1 M w T jest masà pay wody. Zatem Q m [c M p T w T T + 75 MJ. 1 M w T c Za ó my, e w pzypadku piewszego baonu p dkoêç wyp ywu ciep a pzez pow ok wynosi q 1. Po czasie dt wyp ynie q 1 dt ciep a, co spowoduje obni enie tempeatuy powietza o dt q 1dt, nc p a w konsekwencji jego obj toêci o d nr p dt n i p sà sta e!. Zatem spadek si y noênej wyniesie dn 1 gρ d g M pq 1 T c p dt 3,4 1 6 kg J gq 1 dt. Powiezchnia dugiego baonu jest ówna V /3 azy powiezchnia piewszego baonu, czyi p dkoêç wyp ywu ciep a w tym pzypadku jest ówna V /3 q q1. W ciàgu czasu dt skopeniu uegnie q dt kiogamów pay, czyi obj toêç pay zmniejszy si o dv q dt. Zatem spadek si y wypou w tym pzypadku ρ w wynosi dn wypou gρ dv /3q1 V ρ g dt ρ w 5,7 1 7 kg J gq 1 dt. JeÊi skopona paa pozostaje w baonie, to spadek si y noênej jest ówny spadkowi si y wypou: dn dn wypou. Otzymujemy k dn k dn 1,15k 1,45 N 1 s. JeÊi woda powsta a ze skopenia pay wycieka na zewnàtz ub za oga jà wyewa, to spadek si y no- Ênej jest ówny spadkowi si y wypou minus zmniejszenie ci au pay: dn g ρ q ρ w q ρ g ρ 1 w V dt,6 1 7 kg J /3 q 1 dt gq 1 dt. W tym pzypadku tempo spadku si y noênej wynosi k dn dn 1 k 1,8k 1,3 N s. 4/4 37 45
ZADANIE 3 Wekto indukcji magnetycznej B tu nad powiezchnià nadpzewodnika jest zawsze styczny do tej powiezchni. a Kozystajàc z tego faktu, obicz si dzia ajàcà na jednostk d ugoêci nieskoƒczenie d ugiego, cienkiego, postoiniowego pzewodu znajdujàcego si w odeg oêci d od p aszczyzny nadpzewodzàcej. Wyznacz poe B tu nad nadpzewodnikiem. W pzewodzie p ynie pàd o nat eniu I. b Rozwa my wykonanà z pzewodnika, postokàtnà amk o wymiaach a b, pzy czym a b, w któej p ynie ustaony pàd o nieznanym nat eniu. Masa amki jest ówna m. Pzewodnik jest cienki. Spawdzono, e gdy amka ustawiona jest tak, e jej kótsze boki sà pionowe, to unosi si ewituje nad poziomà, nadpzewodzàcà p aszczyznà na wysokoêci d iczonej do Êodka amki, pzy czym a d b. Czy amka b dzie si unosiç ównie w pzypadku, gdy jej p aszczyzna b dzie ównoeg a do powiezchni nadpzewodnika? JeÊi tak, to na jakiej wysokoêci d? Pzyspieszenie gawitacyjne jest ówne g. ROZWIÑZANIE: a Pzyjmijmy, e powiezchnia nadpzewodnika jest okeêona ównaniem y, pzewodnik oke- Êajà ównania y d i x, a pàd p ynie w nim zgodnie z wektoem e z. Poe B da y > jest sumà pó pochodzàcych od pàdu p ynàcego w naszym ducie i pàdów wyindukowanych w nadpzewodniku. Zak adamy, e da y > poe magnetyczne pochodzàce od pàdów wyindukowanych w nadpzewodniku jest ówne pou pochodzàcemu od pzewodnika o ównaniach y d, x wktóym p ynie pàd I zgodnie z wektoem e z. àcznie mamy Bx, y, z µ [ I y d π y d + x, x y d + x, + + µ I [ y + d π y + d + x, x y + d + x,, gdzie wykozystaiêmy wzó na indukcj magnetycznà poa nieskoƒczonego, postoiniowego pzewodu. Tu nad powiezchnià nadpzewodnika y + dostajemy Bx, y +, z µ I π + µ I π [ d d + x, [ d d + x, x d + x, + x d + x,. Aby spe niç waunek bzegowy, musimy pzyjàç d d, I I. Otzymujemy wtedy Bx, y +, z µ [ I d π d + x,,. Si a dzia ajàca na nasz pzewód pochodzi od poa magnetycznego wytwozonego pzez pzewód obaz i zgodnie ze znanym wzoem jest ówna na jednostk d ugoêci µ I f 4πd e y. Nasz pzewód jest odpychany od nadpzewodnika. b Kozystajàc z zasady supepozycji i wyników punktu a otzymujemy, e poe magnetyczne nad nadpzewodnikiem jest sumà poa magnetycznego naszej amki i amki obazu, b dàcej odbiciem zeczywistej amki wzg dem p aszczyzny nadpzewodnika z zamianà pàdu I p ynàcego w amce na I. Zatem si a dzia ajàca na amk jest si à pochodzàcà od amki obazu. JeÊi wysokoêç y amki nad nadpzewodnikiem spe nia waunek a y b, to mo emy pzyjàç, e poe magnetyczne od amki obazu jest poem od dwóch nieskoƒczonych, ównoeg ych pzewodników z pàdem I i I. Pzyjmijmy, e nadpzewodnik e y w p aszczyênie y i e d u sze boki amki sà okeêone ównaniami x x 1, y y 1, a z a oaz x x 1, y y, a z a. Si y dzia ajàce na te boki b dà ówne F1 µ [ x 1 π I a x 1 +y 1 + y, y 1 y 1 y 1 + y x 1 +y 1 + y,, F µ [ x 1 π I a + x 1 +y 1 + y, y y y 1 + y x 1 +y 1 + y,. Poniewa a b, si y pochodzàce od kótszych boków pomijamy. Suma si F 1 i F, da amki ównoeg ej do nadpzewodnika x 1 b, y 1 y y, jest ówna F µ [ π I a, y y [ µ π I a, b 4y 3,. y b +y, Da amki postopad ej do nadpzewodnika x 1, y 1 y + b, y y b F µ [ π I a, µ [ π I a y + b y + b + y b y b 4y y, b 4y 3,,, 46 38 fizyka w szkoe
czyi w obu pzypadkach si a jest taka sama! Oznacza to, e w obu pzypadkach amka b dzie si unosi a na tej samej wysokoêci nad nadpzewodnikiem, czyi d d. ZADANIE DOÂWIADCZALNE Masz do dyspozycji: optycznà czanà skzynk, ase, dwa spinacze do bieizny, papie miimetowy, postopad oêcienny kocek, pastein i taêm kejàcà. Optyczna czana skzynka zawiea p asko-ównoeg à p ytk z pzezoczystego mateia u. Wyznacz guboêç p ytki d oaz wspó czynnik za amania n mateia u, z któego jest wykonana. Uwaga! 1 Lase emituje spoayzowane iniowo Êwiat o o d ugoêci fai λ 65 nm. Zachowaj szczegónà osto noêç i w adnym wypadku nie dopuêç do tego, by pomieƒ Êwiat a aseowego bezpoêednio, bàdê po odbiciu dosta si do oka. 3 Gdy nie wykonujesz pomiaów, wy àcz ase. pasteina ub taœma kej¹ca postopad³oœcian ROZWIÑZANIE Optyczna czana skzynka sk ada si ze szkanej p ytki oaz niepzezoczystej podk adki o zbi onej guboêci. Szkana p ytka po àczona by a z podk adkà za pomocà niepzezoczystej pastikowej istwy w sposób pzedstawiony Rys. 1 na ysunku 1. Do pomiaów optycznych dost pna by a tyko jedna powiezchnia szkanej p ytki. Wspó czynnik za amania pzezoczystego mateia- u szk a n oaz guboêç p ytki d mo na wyznaczyç, badajàc odbicie Êwiat a od p ytki. Poniewa wêód dost pnych pzyzàdów nie ma kàtomieza, odpowiednie kàty tzeba wyznaczyç, odwzoowujàc bieg pomienia aseowego na papieze miimetowym i kozystajàc z odpowiednich funkcji tygonometycznych. Takie pomiay mo na wykonaç w uk adzie doêwiadczanym pzedstawionym schematycznie na ys.. Optyczna czana skzynka ustawiona jest obok postopad oêciennego kocka w taki sposób, aby powiezchnia p ytki by a postopad a do kocka. Papie miimetowy zamocowany na wi kszym z boków kocka, pzy u yciu pasteiny ub taêmy kejàcej, pe ni o ekanu. Lase zamocowany jest w uchwycie spozàdzonym z dwóch spinaczy do bieizny ys.. Takie ozwiàzanie umo iwia nie tyko zmian kàta padania Êwiat a na p ytk, ae pozwaa ównie na swobodne obacanie asea, umo iwiajàce zmian oientacji p aszczyzny poayzacji Êwiat a. Pomieƒ Êwiat a aseowego pada na p ytk pod kàtem α ys. 3. Cz Êç Êwiat a odbija si, a cz Êç za- amuje pod kàtem β i wnika do p ytki, po czym odbija si od tynej Êcianki p ytki i po za amaniu ównie pod kàtem α, pada na ekan. W efekcie, na ekanie pojawiajà si dwie pamki, jedna pochodzi od pomienia odbitego od pzedniej, duga od tynej powiezchni p ytki. Z postych ozwa aƒ geometycznych wynika, e c b tgα, c d tgβ. àczàc te wya enia, mo emy wyaziç odeg oêç mi dzy pamkami b w postaci b dtgβctgα. Bioàc pod uwag, e wspó czynnik za amania n sin α i kozystajàc z zae noêci sin β sin α d a +, cos α a a +, a b papie miimetowy p³ytka ase c Rys. spinacz taœma kej¹ca nakejona na wy³¹cznik Rys. 3 4/4 39 47
po postych pzekszta ceniach dostajemy wya enie na odeg oêç pomi dzy pamkami: b ad n 1 + a n. 1 Z wya enia 1 wynika, e odeg oêç mi dzy pamkami jest funkcjà guboêci d p ytki oaz wspó czynnika za amania n pzezoczystego mateia u. Da wyznaczenia obu tych wiekoêci wystaczy zmiezyç b da co najmniej dwóch ó nych kàtów padania Êwiat a na p ytk oznacza to wykonanie pomiaów da dwóch pa odeg oêci a oaz. Znacznie epszà dok adnoêç osiàgnàç mo na, wykonujàc pomiay da wi kszej iczby konfiguacji i póbujàc pzedstawiç je gaficznie w sposób umo iwiajàcy dopasowanie postej do danych doêwiadczanych. Jedna z mo iwoêci poega na dopowadzeniu zwiàzku 1 do postaci: a b n 4d + a 4d. JeÊi wykonaç pomiay w taki sposób, e pomieƒ asea padaç b dzie zawsze w to samo miejsce na p ytce czyi pzy ustaonej odeg oêci, a zmieniaç si b dzie odeg oêci a pamki od bzegu ekanu, to zae noêç pzyjmie postaç iniowà: y Ax B, 3 gdzie y a /b, x + a, A n /4d, B /4d. Dopasowanie do danych doêwiadczanych pozwoi wyznaczyç zaówno wspó czynnik za amania n jak i guboêç p ytki d. Wadà takiego ozwiàzania jest to, e wiekoêci te sà ze sobà powiàzane i niepewnoêç wyznaczenia guboêci p ytki wp ywa na niepewnoêç wyznaczenia wspó czynnika za amania. Mo na tego uniknàç, wyznaczajàc wspó czynnik za- amania w niezae nym ekspeymencie, natomiast ównanie pzekszta ciç mo na do postaci ównania postej, w któym jedynym paametem dopasowania b dzie guboêç p ytki, np. + a n 4d a b, 4 co mo na zapisaç jako: y 1 4d x 1, 5 gdzie y 1 + a n, x 1 a /b. Wspó czynnik za amania pzezoczystego mateia- u mo na wyznaczyç, kozystajàc z tego, e Êwiat o emitowanie pzez ase jest spoayzowane. Zmieniajàc ustawienie kieunku poayzacji Êwiat a popzez obacanie obudowy asea, nae y znaeêç taki kàt odbicia, pzy któym nat enie Êwiat a odbitego jest minimane. Z takà sytuacjà mamy do czynienia, gdy p aszczyznà poayzaci Êwiat a padajàcego jest p aszczyzna padania, natomiast kàt padania odbicia jest ówny kàtowi Bewstea α B, tzn. zachodzi zwiàzek n tgα B. 6 Znajàc wspó czynnik za amania n, nae y podstawiç dane doêwiadczane do zae noêci 5 i dopasowaç postà. Cz Êç doêwiadczana Zmontowano uk ad pomiaowy zgodnie ze schematem pzedstawionym na ys.. Pastikowe os onki p ytki by y zaokàgone i datego, eby ustawiç jà w pozycji pionowej, u yto pasteiny. Pzyk adowe wyniki pomiaów d ugoêci a oaz odeg o- Êci pomi dzy pamkami b uzyskane da 68 ± 1 mm zebano w tabei 1. Pzyj to dok adnoêç pomiaów,5 mm. Uzyskane ezutaty pzedstawiono na wykesie i dopasowano postà ys. 4. TABELA 1 a, mm 18,5 8,5 33 4,5 63,5 b, mm 4,5 6,5 7 8,5 1,5 y 4 3 1 y,55,3 x 8,9 1,5-1 4 6 x mm Rys. 4 8 Z dopasowania postej uzyskano wspó czynnik kieunkowy A,55 ±,3 mm, B 8,9 ± 1,5, co nast pnie pozwoi o wyznaczyç wspó czynnik za amania A n 1,67 ±,15 oaz B d / B 11,4 ±,95 mm. Wyznaczenie wspó czynnika za amania z pomiau kàta Bewstea da o dok adniejsze ezutaty. Na podstawie Êedniej z kiku pomiaów uzyskano watoêç n tgα B 1,48 ±,5. Wyniki pomiaów kàtowych naniesiono na wykes ys. 5. Z dopasowania postej do zae noêci 5 otzymano 4d 38 ± mm, co daje d 9,7 ±,3 mm. 48 4 fizyka w szkoe
y 1 mm Rys. 5 15 1 5 4d 38 mm 5 1 15 5 3 35 4 Uzyskana w ten sposób guboêç p ytki jest badzo biska watoêci 1, mm zmiezonej wczeêniej pzy u yciu suwmiaki. Autozy: zadania teoetyczne d Jacek Jasiak, zadania doêwiadczane d Andzej Wysmo ek. Obaj z KGOF i Wydzia u Fizyki Uniwesytetu Waszawskiego Laueaci Fina u LIII Oimpiady Fizycznej 1. Magdaena Anna Guewicz, nauczycie: mg Anna Mazukiewicz, kasa IV, V LO im. ks. Józefa Poniatowskiego w Waszawie. Piot Kzysztof Migda, nauczycie: mg Ewa Gajda, kasa II, V LO w Biesku-Bia ej 3. Sieciech Czajka, nauczycie: mg Andzej Majeowski, kasa II, V LO im. ks. Józefa Poniatowskiego w Waszawie 4. ukasz Zbigniew Kysiak, nauczycie: mg Zbigniew Kysiak, kasa IV, V LO w Piotkowie Tybunaskim 5. Kzysztof Macin Choomaƒski, nauczycie: mg Tomasz Goazdowski, kasa IV, II LO im. Stefana Batoego w Waszawie 6. Bat omiej Maciej Szczygie, nauczycie: mg Andzej Januszkiewicz, kasa IV, Zespó Szkó Ogónokszta càcych n im. Cypiana Kamia Nowida w Jeeniej Góze 7. Piot Findeisen, nauczycie: d E bieta Zawistowska, kasa IV, XIV LO im. Stanis awa Staszica w Waszawie 8. Jan Macin Gzybowski, nauczycie: mg Stanis aw Szymonik, kasa II, LO n 1 im. Komisji Edukacji Naodowej w Staowej Woi 9. Tomasz Kao Pietzak, nauczycie: mg Jaos aw Szyda, kasa IV, II LO im. Maii Sk odowskiej-cuie w Piotkowie Tybunaskim 1. Mateusz Micha Nowaczyk, nauczycie: mg Hanna Szybuska, kasa IV, I LO im. Miko aja Kopenika w odzi x 1 11. Les aw Adam Rachwa, nauczycie: mg Anna Suiga, kasa IV, I LO im. Boes awa Kzywoustego w G ogowie 1. Macin Suszczewicz, nauczycie: mg Kzysztof yszczek, kasa IV, XIII LO w Szczecinie 13. Gzegoz ukasz Goonka, nauczycie: mg Aicja Wcis o, kasa IV, IV LO im. Hanki Sawickiej w Kiecach 14. Jacek Pawe Puchta, nauczycie: mg Ga yna K cisz, kasa IV, I LO im. Stefana eomskiego w Kiecach 15. Piot Rafa Guzik, nauczycie: mg Gzegoz Depczyƒski, kasa IV, I LO im. Miko aja Kopenika w KoÊnie 16. ukasz Piot Bàk, nauczycie: d S awomi Bzezowski, kasa IV, V LO im. Augusta Witkowskiego w Kakowie 17. Piot Eugeniusz KuÊka, nauczycie: mg Gzegoz opatka, kasa IV, II LO im. Andzeja Fycza Modzewskiego w Rybniku 18. Bat omiej Romaƒski, nauczycie: d E bieta Zawistowska, kasa IV, XIV LO im. Stanis awa Staszica w Waszawie 19. Wojciech Maaƒski, nauczycie: mg Mios aw Augustyniak, kasa IV, LO im. Stefana Banacha w aganiu. Macin Pawe Kisieowski, nauczycie: mg Joanna Misiua, kasa IV, I LO im. W adys awa Boniewskiego w Boes awcu. Tot z nazwiskami aueatów fot. ukasz Badowski. 4/4 41 49