Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3 są liniowo zależne? 2. Podać warunek liniowej niezależności wektorów v, v 2 i v 3. 3. Podać definicję przestrzeni liniowej, przykład. 4. Co to jest baza i wymiar przestrzeni liniowej. Podać przykład. 5. Co to jest przestrzeń euklidesowa, norma wektora, iloczyn skalarny. Podać nierówność Schwarza. 6. Baza ortonormalna. Istnienie bazy ortonormalnej w dowolnej przestrzeni liniowej. 7. Odwzorowanie liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych i jego macierz. Transformacja podobieństwa. 8. Odwzorowania liniowe i macierze ortogonalne (unitarne). 9. Wartości i wektory własne definicja i sposób wyznaczania. 0. Diagonalizacja macierzy przypadek macierzy symetrycznych (hermitowskich).. Formy kwadratowe sprowadzanie do postaci kanonicznej. 2. Równanie prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni. 3. Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie. 4. Równanie płaszczyzny. Odległość punktu od płaszczyzny.
5. Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie: równanie elipsy, hiperboli i paraboli. 6. Sprowadzanie krzywych 2 go stopnia do osi głównych. 7. Sprowadzanie powierzchni 2 go stopnia do osi głównych w przestrzeni. 8. Omówić powierzchnie 2 go stopnia w przestrzeni. 9. Co to jest całka dolna i górna Riemanna-Darboux i jak ma związek z całką Riemanna 20. Warunek konieczny całkowalności. Warunek dostateczny. 2. Całki niewłaściwe omówić, podać przykład. 22. Czy całka Riemanna jest funkcjonałem liniowym? 23. Twierdzenie podstawowe rachunku różniczkowego i całkowego związek całki z pochodną. Twierdzenie o wartości średniej w rachunku całkowym. 24. Twierdzenie Riemanna. Podać warunek wystarczający całkowalności funkcji. 25. Czy każda funkcja, która ma funkcję pierwotną jest całkowalna w sensie Riemanna? 26. Na czym polega metoda całkowania za pomocą rozkładu na ułamki proste? Przykład. 27. Metoda całkowania przez części. 28. Całki niewłaściwe. Kryteria zbieżności. Przykład. 29. Podać warunek Cauchy zbieżności szeregów liczbowych. 30. Podać warunek konieczny zbieżności szeregów liczbowych. Uzasadnienie. 3. Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregów liczbowych. 32. Omówić zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów liczbowych. Szeregi naprzemienne. 33. Podać kryterium pierwiastkowe Cauchy i kryterium d Alemberta zbieżności szeregów liczbowych. 34. Omówić kryterium porównawcze zbieżności szeregów liczbowych. 2
35. Omówić kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych. 36. Omówić zbieżność warunkową szeregów liczbowych. 37. Podać warunki zbieżności szeregu geometrycznego oraz wyrażenie na sumę tego szeregu. 38. Omówić zbieżność szeregów naprzemiennych. Kryterium Leibniza 39. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów i szeregów funkcyjnych. 40. Omówić ciągi funkcyjne funkcji ciągłych. 4. Przechodzenie do granicy pod znakiem całki i pochodnej. Całkowanie szeregu funkcyjnego. 42. Podać kryterium Weierstrassa zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 43. Szeregi potęgowe. Promień zbieżności. Ciągłość, różniczkowalność i całkowalność sumy szeregu potęgowego. 44. Wyznaczanie promienia zbieżności szeregu potęgowego. Wzór Cauchy-Hadamarda 45. Omówić rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Taylora. Postać ogólna rozwinięcia. 46. Metryka pitagorejska. Własności metryki. 47. Otoczenie punktu w R n, zbiory otwarte, domknięte, brzeg. 48. Zbiory spójne, ograniczone, otwarte i domknięte. 49. Zbieżność ciągów w przestrzeni wektorowej. Punkty skupienia ciągu. Punkty skupienia zbioru w R n, zbiory otwarte, domknięte, brzeg. 50. Pokazać, że zbiór domknięty zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. 5. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa w R 2, zbiory zwarte. 52. Definicja granicy funkcji wielu zmiennych określonej na zbiorze D. 53. Granica odwzorowania przestrzeni wektorowych. 54. Granica funkcji wielu zmiennych. 55. Ciągłość funkcji i odwzorowań w przestrzeniach wektorowych. 3
56. Ciągłość jednostajna. 57. Odwzorowanie ciągłe na zbiorze ograniczonym i domkniętym. 58. Pochodne cząstkowe funkcji 2 zmiennych. Sens geometryczny. Pochodne wyższych rzędów. 59. Ciągłość funkcji a istnienie pochodnych cząstkowych. 60. Przemienność pochodnych cząstkowych mieszanych. 6. Różniczkowalność funkcji. Związek z pochodną cząstkową i ciągłością funkcji. 62. Różniczka funkcji. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji. 63. Gradient i poziomica funkcji. Operator gradientu. 64. Płaszczyzna styczna do poziomicy funkcji trzech zmiennych. Podać równanie ogólne tej płaszczyzny 65. Pochodna kierunkowa funkcji. 66. Twierdzenie o wartość średniej i wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. 67. Różniczkowanie odwzorowań przestrzeni wektorowych. Macierz Jacobiego. Różniczkowanie superpozycji odwzorowań. 68. Pochodna odwzorowania odwrotnego. 69. Ciągłość i różniczkowalność odwzorowania liniowego. 70. Lokalna odwracalność odwzorowań. Podać warunek wystarczający. 7. Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Wzór na pochodną funkcji uwikłanej 72. Ekstrema funkcji 2 zmiennych. Warunki konieczne i wystarczające. 73. Ekstrema związane funkcji. Metoda mnożników Lagrange a. Warunki konieczne i wystarczające 74. Podać warunek wystarczający na ciągłość i różniczkowalność całki względem parametru 4
pytania praktyczne:. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 0 0 0 0 0 2. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 0 0 0 0 3. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: 0 0 0 0 0 4. Czy istnieje baza w R 3, w której macierz odwzorowania T : R 3 R 3 danego przez: y = 2x x 2 x 3 y 2 = x x 3 y 3 = x + x 2 + 2x 3 jest diagonalna? Jeśli tak, to podać taką bazę. 5. Czy odwzorowanie trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej zadane przez iloczyn wektorowy z ustalonym wektorem ā: x Tā( x) = ā x jest a) hermitowskie, b) ortogonalne? Podać macierz tego odwzorowania w bazie ortonormalnej, w której ā = (0, 0, ) oraz jego wartości i wektory własne. 6. Podać ortogonalną/unitarną macierz transformacji P taką, że macierz P AP jest diagonalna dla: A = 3 2 0 2 4 0 0 0 5 7. Podać ortogonalną/unitarną macierz transformacji P taką, że macierz P AP jest diagonalna dla: A = 3 0 0 4 0 2 0 2 5 5
8. Za pomocą ortogonalnej transformacji współrzędnych sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową: f( x) = 5x 2 + 8x x 2 + 5x 2 2, Sprawdzić, czy jest ona dodatnio określona. 9. Za pomocą ortogonalnej transformacji współrzędnych sprowadzić do postaci kanonicznej formę kwadratową: f( x) = x 2 2x 2 2 2x 2 3 + 4x x 3. Sprawdzić, czy jest ona dodatnio określona. 0. Pokazać, że jeśli a = 2 i j + 4 k, b = 5 i + 2 j 2 k, to wektory a i b są wektorami ortogonalnymi. Czy są one ortonormalne?. Znaleźć równanie ogólne płaszczyzny zawierającej punkty A = (, 2, ), B = (4, 3, 2) i C = (, 3, 2), oraz wyznaczyć odległość tej plaszczyzny od początku układu współrzędnych i odległość punktu P = (0, 3, 2) od tej płaszczyzny. 2. Wektor r = (5, 20, 5) wyrazić przez wektory a = (2,, 2), a 2 = (,, ) i a 3 = (0, 0, 2). Skorzystać z macierzy odwrotnej. 3. Znaleźć wartości i unormowane wektory własne macierzy A, oraz taką macierz S, że S AS jest macierzą diagonalną. ( ) 2 A = 2 4 4. Znaleźć wartości i unormowane wektory własne macierzy A, oraz taką macierz S, że S AS jest macierzą diagonalną. ( ) 2 3 A = 3 2 5. Obliczyć całkę: sin 3 x cos 4 x dx 6. Obliczyć całkę: + x dx 6
7. Obliczyć całkę: x 2 + 6x + 3 dx 8. Obliczyć całkę: 3x 5 x 2 5x + 6 dx 9. Obliczyć całkę: 3 2x x 2 dx 20. Obliczyć całkę: x 3 5x 2 + 6x dx 2. Obliczyć całkę: (x 4 ) dx 22. Obliczyć całkę: x arctg x dx 23. Obliczyć całkę: 0 xe x dx 24. Obliczyć całkę: 0 4 x 2 dx 25. Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi: y = x 2 i y = 2 x 2. 26. Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej krzywymi: xy = 6, x + y = 7. 7
27. Obliczyć pole powierzchni figury ograniczonej liniami: y 2 = x, x = 3. 28. Obliczyć długość łuku paraboli y = x 2 na odcinku x. 29. Zbadać zbieżność szeregu n= sin(n/3) n 3 30. Zbadać zbieżność szeregu n= sin(n/3) n 2 3. Zbadać zbieżność szeregu ( ) n n= n 32. Zbadać zbieżność szeregu ( ) n n n= 33. Zbadać zbieżność szeregu cos( n 2 ) n= 34. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu n= 2 n n(n + ) xn 35. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu n= n 3 n (n + ) xn 36. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu n= (2n)! n n xn 8
37. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu n= n 2 xn 38. Czy funkcja: ma granicę w (0, 0)? x y e x 2 y 2 gdy (x, y) (0, 0) f(x, y) = 0 gdy (x, y) = (0, 0) 39. Obliczyć pochodne cząstkowe do 2 go rzędu z funkcji z = x 3 y 2 + x 4 sin(xy) + cos(xy) 40. Czy funkcja: f(x, y) = jest ciągła i ma pochodne cząstkowe w (0, 0)? xy x 2 +y 2 gdy (x, y) (0, 0) 0 gdy (x, y) = (0, 0) 4. Obliczyć pochodne cząstkowe 2 go rzędu, mieszane funkcji w (, ). f(x, y) = xy(x2 y 2 ) x 2 + y 2 42. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji: z = x 2 y 2 43. Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji: w punkcie (0, 0). z = xy 44. Obliczyć pochodną kierunkowe w (0, 0) wzdłuż dowolnego wektora (t x, t y ) f(x, y) = x 3 y x 4 +y 2 + x + y gdy (x, y) (0, 0) 0 gdy (x, y) = (0, 0) 9
w (0, 0). Czy funkcja f różniczkowalna w tym punkcie? 45. Rozwinąć w szereg Taylora do 2 go rzędu wokół (0,0): f(x, y) = sin(x + y) cos(x y) 46. Obliczyć: d x(t)2 + y(t) dt 2 jeżeli x(t) = (x x o cos t) oraz y(t) = (y y o sin t). 47. Pokazać, że gradient funkcji jest prostopadły do poziomicy. 48. Dla jakich wartości x i y można lokalnie wyrazić z = f(x, y) tak, aby spełniona była równość: Obliczyc pochodne z x, z y, x 3 xy 2 + yz 2 z 3 = 5 49. Równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x 2 + 2y 2 3z 2 = 0. w punkcie (,, ). 50. Wyznaczyć ekstrema funkcji: f(x, y) = (2x 2 + 3y 2 )e (x2 +y 2 ) 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji: f(x, y) = x 2 + xy + y 2 2x y 52. Wyznaczyć ekstrema funkcji: f(x, y) = x 3 + 8y 3 6xy + 53. Wyznaczyć ekstrema funkcji: f(x, y) = x 2 xy + y 2 + 9x 6y + 20 0
54. Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 z warunkiem: (x 2) 2 + (y 3) 2 = 3