Wykład VI Teoria pasmowa ciał stałych
Energia elektronu (ev) Powstawanie pasm w krysztale sodu pasmo walencyjne (zapełnione częściowo) Konfiguracja w izolowanym atomie Na: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 Ne Położenie równowagowe Odległość między atomami
Energia elektronu (ev) Powstawanie pasm w krysztale diamentu pasmo przewodnictwa (puste) Konfiguracja w izolowanym atomie C: 1s 2 2s 2 2p 2 pasmo walencyjne (pełne) Położenie równowagowe Odległość między atomami
-Każdy atom ma dwa stany1s dwa 2s, 6 stanów 2p, dwa 3s, 6 stanów 3p i wyższe Konfiguracja w izolowanym atomie Si: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 -Dla N atomów dostępnych jest 2N stanów 1s, 2N stanów 2s, 6N stanów 2p, 2N stanów 3s i 6N stanów 3p Po zbliżeniu atomów największemu rozszczepieniu ulegają stany 3s i 3p. Stany te mieszają się dając 8N stanów. Przy odległości równowagowej, pasmo to rozszczepia się na dwa pasma oddzielone przerwą E g. Górne pasmo przewodnictwa - zawiera 4N stanów i dolne walencyjne - też 4N stanów. W Si 4 podpasma łączą się w pasmo walencyjne
Krzem Konfiguracja w izolowanym atomie Si: 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 2 Po zbliżeniu atomów rozszczepieniu ulegają stany 3s i 3p. Stany te mieszają się dając 8N stanów. Przy odległości równowagowej, pasmo to rozszczepia się na dwa pasma oddzielone przerwą E g. Górne pasmo przewodnictwa zawiera 4N stanów i dolne walencyjne, też 4N stanów. Każdy atom ma dwa stany1s dwa 2s, 6 stanów 2p, 2 stany 3s, 6 stanów 3p i wyższe. W Si 4 podpasma łączą się w pasmo walencyjne
Metale, izolatory, półprzewodniki Zbliżenie atomów w krysztale prowadzi do rozszczepienia poziomów energetycznych Rozszczepione poziomy grupują się w pasma a) i b) - metale, c) Półprzewodnik (przerwa wzbr. 1eVumownie) d) izolator
Metale, izolatory, półprzewodniki metale półprzewodnik izolator To podejście tłumaczy: małą oporność metali w niskiej T (brak przerwy wzbronionej: stany wolne znajdują się w sąsiedztwie stanów zajętych elektronami); większą oporność półprzewodników i największą - izolatorów (im większa E g, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa); E g p~e kt k = 1. 38 10 23 J/K wykładniczy wzrost przewodności półprzewodników ze wzrostem temperatury (im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa).
Krawędź absorpcji To podejście tłumaczy również występowanie krawędzi absorpcji w półprzewodnikach i izolatorach (tylko fotony o energii większej od E g zostaną zaabsorbowane): h = 6. 63 10 34 Js c = 3 10 8 m/s CdS
Elektronovolt (ev) Bardzo użyteczna jednostka energii w fizyce ciała stałego 1eV to energia potrzebna do przeniesienia elektronu w polu elektrycznym między punktami o różnicy potencjałów równej 1V Aby zamienić 1eV na 1J korzystamy z równania: 1eV = 1. 6 10 19 C V = 1. 6 10 19 J Aby obliczyć jakiej długości fali λ odpowiada foton o energii E, wyrażonej w ev, korzystamy z równania: λ(μm) = 1. 24 E(eV) λ(nm) = 1240 E(eV)
Kłopoty To podejście nie jest wystarczające aby wyjaśnić, dlaczego trudno jest wykonać diodę świecącą z krzemu. Problem rozwiązuje uwzględnienie periodyczności sieci krystalicznej.
2 atomy Na izolowane
Atomy w krysztale sodu Periodyczna sieć w krysztale
Periodyczność sieci i dozwolone pasma energii Izolowane atomy mają dyskretne dozwolone poziomy energetyczne Periodyczność sieci w ciele stałym prowadzi również do pojawienia się pasm energetycznych oddzielonych obszarami wzbronionymi
Twierdzenie Blocha W krysztale funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera z potencjałem periodycznym U(r) są iloczynem zespolonej fali płaskiej e i(k r) (odpowiadającej swobodnemu elektronowi) i funkcji periodycznej u n,k (r) (n liczba całkowita). ( r) e i kr u ( r) nk nk
Niejednoznaczność wektora k Funkcje Blocha posiadają dziwną własność: zarówno same funkcje jak i odpowiadające im wartości własne energii E obliczone dla k oraz k+g są identyczne: E n ( r) ( r) n. k n. kg ( k) E ( k G) gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej: G n1b 1 n2b2 n3b3 a a a a a a b1 2 b 2 b 2 a a a a a a a a a n 2 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 n 1,n 2 i n 3 liczby całkowite, a i są wektorami podstawowymi sieci krystalicznej, b i są wektorami podstawowymi sieci odwrotnej. Węzły sieci odwrotnej są wyznaczone przez zbiór wektorów G
Sieć odwrotna Sieć odwrotna to zbiór wektorów falowych dla których odpowiednie fale płaskie mają okresowość sieci krystalicznej: gdzie T wektor translacji G T=2n lub cos(g T)=1 Dla sieci 1D, w której odległość między atomami wynosi a: G=2/a
Periodyczność E(k) E n ( k) E ( k G) n Ze względu na tę periodyczność, wystarczy ograniczyć się do obszaru od π a do + π, czyli do tzw. I-szej strefy Brillouina a
I strefa Brillouina dla sieci regularnej fcc Komórka elementarna sieci fcc I strefa Brillouina dla sieci fcc
E(k) (relacja dyspersji) Jak wcześniej wspomniano, ze względu na periodyczność E(k), wystarczy ograniczyć się do obszaru tzw. I-szej strefy Brillouina. W większości półprzewodników pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne w pobliżu swoich krawędzi mają postać jak na rysunku obok. Z całej zależności E(k) wycinamy obszar zaznaczony na górnym rys. na czerwono
Półprzewodniki z prostą i skośną przerwą wzbronioną Przerwa prosta Przerwa skośna
E(k) dla Si i GaAs E(k) dla Si (skośna przerwa) i GaAs (prosta przerwa)
Koncepcja dziury Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje prąd elektryczny. W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się. J ( e) Vi 0 Jeśli zabierzemy jeden elektron, to wytworzymy dziurę, ale prąd będzie wówczas różny od zera: J ( e) Vi ( e) Ve eve i 0 N i Taki sam prąd wytworzymy jeśli do całkowicie zapełnionego pasma wprowadzimy dziurę o nieznanym ładunku q h i nieznanej prędkości v h J ( e) Vi qhvh qhvh i 0
Pojęcie i właściwości dziury J ( e) V ( e) V ev i 0 i e e J ( e) Vi qhvh qhvh i 0 qh e v = v h e Przyspieszenie brakującego elektronu i dziury są takie same: a e ee ee m m * * e h a h m m * * h e
Masa efektywna Dla elektronu swobodnego: E p k 2m 2m 2 2 2 de dk 2 k m de 2 dk 2 2 m m 2 1 2 de 2 dk Dla elektronu w sieci krystalicznej: m Dla dziury w sieci krystalicznej (w pasmie walencyjnym): 2 1 * 2 de e 2 dk E h m m * * h e = - k -Ee h e k Ponieważ p = m v = ħk v h v e
Relacja E(k) decyduje o masie efektywnej! Masa efektywna elektronów w punkcie w GaAs w pasmie 2 d E przewodnictwa jest mała (duża krzywizna, pochodna 2 duża i m e * dk mała) w porównaniu do masy efektywnej dziur w punkcie (mała 2 d E krzywizna, pochodna mała i m h * duża) 2 dk m e * 2 1 2 de 2 dk Elektrony przy wierzchołku pasma walencyjnego mają masę efektywną ujemną. Dziury dodatnią.
Prawdziwe (m e, m h ) i efektywne masy (m e *, m h *) - masy efektywne są różne dla różnych półprzewodników - prawdziwe równe masie elektronu swobodnego - dlaczego? dp/dt =d(mv)/dt = F : II zasada dynamiki Newtona! F = F wewn + F zewn F zewn = siła zewnętrzna F wewn = siła wynikająca z istnienia potencjału periodycznego; to oddziaływanie prowadzi do zależności E(k), z której z kolei wynika masa efektywna, m e *. dp/dt =d(m e * v)/dt = F zewn Zatem elektron zachowuje się w polu siły zewnętrznej, tak jakby miał nową masę, m e *.
Półprzewodnik w polu elektrycznym dep F dx dv e ( x) ( e) dx + - dv ( x) dx ( x) const c V cx E p cex