6. Identyfikacja wielowymiarowych systemów statycznych metodanajmniejszychkwadratów

6. Identyfikacja wielowymiarowych systemów statycznych metodanajmniejszychkwadratów

. Przedmiot identyfikacji System () x (2) x * a z y ( s ) x y = F (x,z)=f(x,z,a ),gdziex = F () znane, a nieznane x () x (2) : x (s) mierzone, a = a a 2 : a s zestaw współczynników konkretyzujacych F () informacja aprioryczna F {F (x,z,a); a R s } istnieje dokładnie jedno a,takieże F (x,z)=f(x,z,a ) dla każdej pary (x,z) (identyfikowalność) informacja pomiarowa {x k,y k } cel znaleźć przepis Ψ() (algorytm identyfikacji) Ψ(inf. aprioryczna, inf. pomiarowa) =a a

założenia o zakłóceniach natura procesów własności a praktyczne: wartości Ea [i] i vara [i] asymptotyczne: fakt i typ zbieżności a a jest addytywne, tj. y = F (x, a )+z {z k } ci ag i.i.d. Ez = 0 varz < z,x niezależne z losowe,x deterministyczne lub losowe, y losowe, a losowe 2. Metoda najmniejszych kwadratów (Gauss 809) wskaźnik teoretyczny oceniajacy jakość dopasowania Q J (a) =E{y F (x, a)} 2 min a Q J (a) = E{F (x, a )+z F (x, a)} 2 = E{[F (x, a ) F (x, a)] 2 +2[F (x, a ) F (x, a)]z + z 2 } = = E{F (x, a ) F (x, a)} 2 + varz konkluzja a =argminq J (a) a w praktyce nie jest możliwe obliczenie Q J (a) (brak znajomości odpowiednich rozkładów), proponuje się estymację wartości oczekiwanej za pomoca wartości średniej Q J, (a) = {y k F (x k, a)} 2 min a

uśredniane składniki {y k F (x k, a)} 2 tworzaci ag i.i.d., zatem na podstawie MPWL Q J, (a) p. Q J (a), gdy pytanie: czy prawdziwe jest następujace wnioskowanie odpowiedź: tylko wtedy, gdy Q J, (a) p. Q J (a) = arg min Q J, (a) p. arg min a a Q J (a) 3. Liniowy system statyczny MIMO sup( Q J, (a) Q J (a)) p. 0 a opis macierzowo wektorowy równanie pomiarów wektor wyjść modelu = x x 2 : x = y = a x + z = x a + z y k = x k a + z k, k =, 2,..., x () x (2).. x (s) x () 2 x (2) 2.. x (s) 2........ x () x(2).. x(s), Y = Y = a + Z Y = a y y 2 : y, Z = z z 2 : z

empiryczne kryterium jakości gradient Q J, (a) = {y k x k a} 2 =(Y a) (Y a)=y a 2 2 =... kwadrat normy euklidesowej równanie normalne... = (Y a )(Y a)=y Y a Y Y a + a 2 min a dim = s s, dim Y = s, dim a = s kwestia isnienia rozwiazania kwestia jednoznaczności rozwiazania Fakt: rank = rank = rank. Warunek jednoznaczności: rank = s a Q J, (a) = 2 Y +2 a =0 a = Y lincol = lincol det > 0 (= 0) inaczej rank = s (nieosobliwa) ) s dostatecznie dużo pomiarów (warunek konieczny, ale nie wystarczajacy) 2) wśród pomiarów musi się znaleźć s niezeleżnych liniowo wektorów Gdy rank <s, wtedy rozwiazanie równania normalnego nie jest jednoznaczne.

kwestia nazwy równania (normalność-prostopadłość) (Y a) = 0 (Y Y ) = 0,gdzieY wyjście modelu o parametrach a = [col x, col 2 x,..., col s x] Y wniosek : Y lincol natomiast w ogólności : Y / lincol = a col x + a 2 col 2 x +... + a s col s x liniowa kombinacja wektorów kolumnowych Y colx Y col2x (Y Y )=0 (col x i) (Y Y )=0dla każdego i =, 2,..., s wniosek: wektor różnicy Y Y jest prostopadły dokażdej z kolumn col x i (rzut prostopadły jest najkrótszy )

4. Własności asymptotyczne estymatora K wejście losowe a = Y {x (i) k }, {z k} dwa niezależne od siebie ciagi losowe typu i.i.d., Ez k =0 y = x a + z xy = xx a + xz Exy = (Exx )a + Exz prawdziwe a = (Exx ) Exy, macierz Exx musi być nieosobliwa (wymaganie dot. rozkładów) korzystajac z alternatywnych postaci = x k x k, Y = estymator K można zapisać następujaco a = elementy {x k x k } saci agami typu i.i.d. (stac.) Ex k x k = Exx dlakażdego k =, 2,..., wniosek x k y k x k x k x k x k x k y k p. Exx,gdy (wyprowadzić!) aponieważ odwracanie macierzy jest operacjaci agła, to x k x p. k Exx,gdy ()

elementy {x k y k } saci agami typu i.i.d. (stac.) Ex k y k = Exy dlakażdego k =, 2,..., wniosek x k y k p. Exy, gdy (2) zatem na podstawie () i (2) a p. a,gdy Przy losowym pobudzeniu i powziętych założeniach, a jest estymatorem mocno zgodnym parametrów a

5. Własności asymptotyczne estymatora K wejście deterministyczne a = Y = ( a + Z )=a + = a + x k x k x k z k ) czynnik x kx k jest czysto deterministyczny 2) {x k z k } niezależne(niemusz abyć typu i.i.d.) 3) Ex k z k = x k Ez k =0,dlakażdego k 4) dodatkowy warunek dotyczacy deterministycznego wejścia (patrz II wersja MPWL) Jeżeli dodatkowo to σ 2 z varx (i) k z k =[x (i) k ]2 varz k =[x (i) k ]2 σ 2 z < [x (i) k ]2 k 2 Przykład ograniczonego wejścia deterministycznego tj. <, dlakażdego i =, 2,..., s x k z k p. 0, gdy x (i) di Z = x [ d,d ] [ d 2,d 2 ]... [ d s,d s ] wielowymiarowy przedział

6. Własności estymatora K dla < analiza obciażenie oznaczajac L a Ea = otrzymujemy a = L Y (estymator liniowy) = L Y = L ( a + Z )=a + L Z = a + E {L } E {Z } = a wniosek: a jest nieobciażony zarówno dla wejścia losowego, jak i deterministycznego analiza macierzy kowariancji cov(a ) = E (a a )(a a ) a a = L Z cov(a ) = E L Z Z L = L EZ Z L struktura macierzy kowariancji zakłóceń EZ Z jest następuj aca EZ Z = Ez 2 Ez z 2.. Ez z Ez 2 z Ez 2 2.. : : : : : Ez z.... Ez 2 = σ2 zi zatem cov(a )=σ 2 zl L postać macierzy L L L L = =

wniosek cov(a )=σ 2 z planowanie ortogonalne gdy jest macierza diagonalna (eksperyment czynny wejście deterministyczne) 6.. Optumalność a w klasie estymatorów LUE klasa LUE {α : α = M Y, Eα = a, M deterministyczna} wartość oczekiwana Eα = EM Y = EM a + EM Z wniosek: M = I macierz kowariancji cov(α ) = E M Z ZM = M EZ Z M cov(α ) = σ 2 zm M pokażemy, że cov(a ) cov(α ) co oznacza znak w odniesieniu do macierzy? Definicja Macierz A R n,n jest nieujemnie określona (zapisujemy A 0), jeśli dla każdego wektora w = R n zachodzi w Aw 0 wierdzenie Macierz postaci AA jest zawsze nieujemenie określona.

podstawmy A = M L spostrzeżenia (M L )(M L ) =(M L )(M L )=M M M L L M + L L =( ) M L L M = M = I = = L L = (M L ) = L L zatem ( )=M M L L zaś na podstawie wierdzenia M M L L 0 / σ 2 z cov(α ) cov(a ) 0