Metoda aksjomatyczna

Metoda aksjomatyczna Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM www.kognitywistyka.amu.edu.pl http://logic.amu.edu.pl/index.php/dydaktyka pogon@amu.edu.pl MDTiAR 27x2015 Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 1 / 31

Wst p Plan na dzi± Dzisiaj wykorzystamy zaªo»enie,»e studenci przeszli kursy: Logika I oraz Logika II. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdze«. Udowodnimy twierdzenie o dedukcji (KRZ). Udowodnimy twierdzenia o trafno±ci oraz peªno±ci metody aksjomatycznej (KRZ). Przypomnimy operacje na relacjach. Podamy aksjomatyk Tarskiego dla rachunku relacji. Dla t skni cych za logik pierwszego rz du: chi«skie przysªowie mówi,»e cierpliwy dostaje wszystko na czas. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 2 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Dawno temu, w odlegªej galaktyce... Metoda Aksjomatyczna w KRZ Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 3 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Uwagi historyczne Pionierzy Gottlob Frege: Begrisschrift (1879) Alfred N. Whitehead, Bertrand Russell: Principia Mathematica (19101913) David Hilbert, Wilhelm Ackermann: Grundzüge der Theoretischen Logik (1928) David Hilbert, Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik (1934, 1939) David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (1899) Postulaty±ci Ameryka«scy (Edward V.Huntington, Oswald Veblen) Polscy logicy (Stanisªaw Le±niewski, Adolf Lindenbaum, Jan Šukasiewicz, Alfred Tarski) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 4 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Metoda aksjomatyczna: poj cie dowodu Konsekwencja aksjomatyczna W ustalonym j zyku wybieramy: zestaw aksjomatów (przyjmowanych bez dowodu) zestaw (pierwotnych) reguª wnioskowania. Oba te zbiory musz by podane w sposób efektywny. Dowodem w systemie aksjomatycznym A jest dowolny sko«czony ci g formuª (ψ 1, ψ 2,..., ψ n ) taki,»e ka»da formuªa ψ i jest b d¹ aksjomatem, b d¹ wnioskiem reguªy wnioskowania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tym ci gu. Wyprowadzeniem ze zbioru formuª S w systemie aksjomatycznym A jest dowolny sko«czony ci g formuª (ψ 1, ψ 2,..., ψ n ) taki,»e ka»da formuªa ψ i jest b d¹ aksjomatem, b d¹ elementem zbioru S, b d¹ wnioskiem reguªy wnioskowania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tym ci gu. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 5 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Metoda aksjomatyczna: poj cie dowodu Konsekwencja aksjomatyczna: komentarze Tez systemu aksjomatycznego A jest ka»da formuªa ψ, która jest ostatnim elementem jakiego± dowodu. Piszemy wtedy: A ψ. Formuªa ψ jest A-konsekwencj zbioru formuª S, gdy ψ jest ostatnim elementem jakiego± wyprowadzenia z S. Piszemy wtedy: S A ψ Za aksjomaty przyjmujemy formuªy b d¹ schematy formuª. W pierwszym przypadku w±ród reguª wnioskowania uwzgl dniamy reguª ϕ podstawiania RP: ϕ[p i /ψ] (formuªy ψ za zmienn p i w formule ϕ). W razie potrzeby, korzysta si z reguªy zast powania denicyjnego. Aksjomaty charakteryzuj znaczenie staªych logicznych. Wzbogacamy ±rodki inferencyjne systemu poprzez pokazanie,»e pewne reguªy s w nim wyprowadzalne (wtórne). Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 6 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Aksjomatyka w stylu Hilberta-Bernaysa Kurs Logika I wykorzystywaª zapewne tego rodzaju aksjomatyk KRZ: Reguªy wnioskowania: MP ϕ ϕ ψ ψ, RP ϕ ϕ[p i /ψ] Aksjomaty: p 1 (p 2 p 1 ) (p 1 (p 2 p 3 )) ((p 1 p 2 ) (p 1 p 3 )) (p 1 p 2 ) ( p 2 p 1 ) p 1 p 1 p 1 p 1 Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 7 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Aksjomatyka w stylu Hilberta-Bernaysa (p 1 p 2 ) p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (p 1 p 2 ) ((p 1 p 3 ) (p 1 (p 2 p 3 ))) p 1 (p 1 p 2 ) p 2 (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) ((p 3 p 2 ) ((p 1 p 3 ) p 2 )) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ) (p 1 p 2 ) ((p 2 p 1 ) (p 1 p 2 )) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 8 / 31

Metoda aksjomatyczna w KRZ Dla uciechy Dwa polskie przykªady Aksjomatyka Jana Šukasiewicza (implikacyjno-negacyjna) (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) ( ϕ ϕ) ϕ ϕ ( ϕ ψ) Reguªa wnioskowania MP: ϕ ϕ ψ ψ Aksjomatyka Adama Wiegnera (pierwotne: oraz ) p (p p) (p q) p (p q) (q p) (p q) ((q r) (p r)) Reguªy wnioskowania: MP, RP, zast powanie denicyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 9 / 31

Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Aksjomaty Propozycja w Fitting 1990 Schematy aksjomatów: 1 ϕ (ψ ϕ) 2 (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) (ϕ χ)) 3 ϕ 4 ϕ 5 ϕ ϕ 6 ϕ ( ϕ ψ) 7 α α 1 8 α α 2 9 (β 1 ϕ) ((β 2 ϕ) (β ϕ)) Reguªa wnioskowania: ϕ ϕ ψ ψ (modus ponens, reguªa odrywania, MP) Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 10 / 31

Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Przykªad dowodu Prawo to»samo±ci: p p 1 (p ((p p) p)) ((p (p p)) (p p)) Ax.2 2 p ((p p) p) Ax.1 3 (p (p p)) (p p) MP: 1,2 4 p (p p) Ax. 1 5 p p MP: 3,4 W dowodzie korzystano tylko z dwóch pierwszych aksjomatów. Tak samo dowodzimy schematu prawa to»samo±ci: ψ ψ. Ten prosty dowód ukazuje dwie trudno±ci metody aksjomatycznej: Jak zacz dowód aksjomatyczny? W dowodzie wyst puj formuªy bardziej zªo»one od dowodzonej tezy. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 11 / 31

Aksjomatyka KRZ w Fitting 1990 Przykªad dowodu Jeszcze jeden przykªad: ( ϕ ϕ) ϕ Za β-formuª w schemacie aksjomatów 9 we¹my formuª : ϕ ϕ. Wtedy β 1 jest formuª ϕ, a β 2 formuª ϕ. Otrzymujemy wi c: ( ϕ ϕ) ((ϕ ϕ) (( ϕ ϕ) ϕ)). ϕ ϕ podpada pod schemat aksjomatów 5. ϕ ϕ jest tez (jak ju» pokazali±my), czyli doª czy mo»na w tym miejscu kroki dowodu ϕ ϕ. Dwukrotne zastosowanie reguªy odrywania daje ( ϕ ϕ) ϕ. wiczenie. Zapisz powy»sz argumentacj w postaci formalnego dowodu. Czy pami tasz,»e ( ϕ ϕ) ϕ to consequentia mirabilis (prawo Claviusa)? Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 12 / 31

Twierdzenie o dedukcji Twierdzenie Twierdzenie o dedukcji wprost (KRZ) Oznaczenia: niech ph b dzie relacj konsekwencji wyznaczon przez podany wy»ej zestaw aksjomatów i reguª odrywania. Twierdzenie o dedukcji. S {ϕ} ph ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S ph (ϕ ψ). Uwagi. Implikacja odwrotna wynika z monotoniczno±ci ph (Fitting pisze: jest trywialna). W dowodzie implikacji prostej wykorzystamy pierwsze dwa aksjomaty systemu (oraz reguª odrywania). Twierdzenie o dedukcji udowodnili (niezale»nie od siebie) Herbrand i Tarski. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 13 / 31

Twierdzenie o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Zaªó»my,»e S {ϕ} ph ψ. Niech χ 1, χ 2,..., χ n b dzie wyprowadzeniem ψ z S {ϕ}. Wtedy χ n jest identyczna z ψ. Ka»dy element ci gu (χ 1, χ 2,..., χ n ) jest b d¹ aksjomatem, b d¹ elementem S, b d¹ wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach b d cych wcze±niejszymi elementami tego ci gu. Tworzymy ci g formuª ( ): (ϕ χ 1, ϕ χ 2,..., ϕ χ n ). Ostatnim jego elementem jest zatem ϕ ψ. Ci g ten nie musi by wyprowadzeniem, ale: Rozszerzymy ten ci g do ci gu, który b dzie wyprowadzeniem ϕ ψ z S, co zako«czy dowód twierdzenia o dedukcji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 14 / 31

Twierdzenie o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji Dowód twierdzenia o dedukcji χ i jest aksjomatem lub elementem S. Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy: χ i oraz χ i (ϕ χ i ). χ i jest formuª ϕ. Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy tworz ce dowód formuªy ϕ ϕ. χ i jest wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach b d cych wcze±niejszymi elementami tego ci gu, czyli istniej χ j, χ k takie,»e j, k < i oraz χ k jest formuª χ j χ i (czyli ϕ χ k jest formuª ϕ (χ j χ i )). Wtedy przed formuª ϕ χ i wstawiamy do ci gu ( ) formuªy: (ϕ (χ j χ i )) ((ϕ χ j ) (ϕ χ i )) (aksjomat) oraz (ϕ χ j ) (ϕ χ i ). Wtedy ϕ χ i jest wnioskiem reguªy odrywania o przesªankach wyst puj cych wcze±niej w tak rozszerzonym ci gu. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 15 / 31

Twierdzenie o dedukcji Wykorzystanie twierdzenia o dedukcji Korzy±ci z twierdze«o dedukcji Zauwa»my,»e dowód twierdzenia o dedukcji byª konstruktywny: podano przepis, jak wyprowadzenie ψ z {ϕ} przeksztaªci na dowód ϕ ψ. Korzystanie z twierdzenia o dedukcji bardzo uªatwia dowodzenie w systemach aksjomatycznych. wiczenia. Wykorzystuj c twierdzenie o dedukcji, poka»,»e: ph (ϕ (ψ χ)) (ψ (ϕ χ)) ph (ϕ (ψ χ)) ((ϕ ψ) χ) ph (ϕ ψ) ((ψ χ) (ϕ χ)) prawo komutacji prawo importacji sylogizm hipotetyczny Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 16 / 31

Twierdzenie o dedukcji Oktawa twierdze«o dedukcji Studenci poznali wcze±niej nast puj ce twierdzenia o dedukcji w KRZ ( = krz to relacja wynikania logicznego w KRZ, krz to konsekwencja aksjomatyczna w KRZ, której u»ywano): Semantyczne twierdzenie o dedukcji wprost: S {ϕ} = krz ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S = krz (ϕ ψ). Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji wprost: S {ϕ} krz ψ wtedy i tylko wtedy, gdy S krz (ϕ ψ). Semantyczne twierdzenie o dedukcji nie wprost: S { ϕ} = krz wtedy i tylko wtedy, gdy S = krz ϕ. Syntaktyczne twierdzenie o dedukcji nie wprost: S krz ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy S {ϕ} krz. Powy»ej udowodnili±my drugie z nich dla krz = ph. W przypadku KRP potrzebne jest dodatkowe zaªo»enie (»e ϕ jest zdaniem) w syntaktycznych twierdzeniach o dedukcji. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 17 / 31

Trafno± metody aksjomatycznej Trafno± Twierdzenie o trafno±ci. Je±li S ph ϕ, to S = krz ϕ. Ka»dy aksjomat jest tautologi KRZ. wiczenie: sprawd¹. Je±li ϕ oraz ϕ ψ s tautologiami KRZ, to ψ jest tautologi KRZ. wiczenie: sprawd¹. A mo»e pami tasz semantyczne twierdzenie o odrywaniu w KRZ? Tak wi c, ka»dy wiersz (w szczególno±ci: ostatni wiersz) dowolnego dowodu jest tautologi w KRZ. A zatem, je±li ϕ jest tez rozwa»anego sytemu, to jest tautologi KRZ. Fitting pisze (Fitting 1990, 74): This argument extends easily to derivations as well; we do not give details, co przetªumaczymy tak: Przez indukcj po dªugo±ci wyprowadzenia ϕ z S ªatwo pokaza,»e ka»dy jego krok wynika logicznie z S. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 18 / 31

Peªno± metody aksjomatycznej Peªno± Twierdzenie o peªno±ci. Je±li S = krz ϕ, to S ph ϕ. W dowodzie wykorzystamy: pewn zdaniow wªasno± niesprzeczno±ci oraz Twierdzenie o Istnieniu Modelu. Niech ϕ b dzie dowoln formuª. Zbiór S nazwiemy Hilbertowsko ϕ-sprzecznym, gdy S ph ϕ. Zbiory, które nie s Hilbertowsko ϕ-sprzeczne nazywamy Hilbertowsko ϕ-niesprzecznymi. Lemat. Dla dowolnej formuªy ϕ, rodzina wszystkich zbiorów Hilbertowsko ϕ-niesprzecznych jest zdaniow wªasno±ci niesprzeczno±ci. Dowód. Niech S b dzie zbiorem Hilbertowsko ϕ-niesprzecznym. Oznacza to,»e nie zachodzi S ph ϕ. Trzeba pokaza,»e S speªnia wszystkie warunki nakªadane na elementy zdaniowej wªasno±ci niesprzeczno±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 19 / 31

Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Proponujemy dowód nie wprost (dla ka»dego warunku). Gdyby S, to mieliby±my S ph. Aksjomatem jest ϕ, a zatem mieliby±my S ph ϕ, w sprzeczno±ci z zaªo»eniem o Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Tak wi c, / S. Gdyby S, to mieliby±my S ph. Pod schemat aksjomatu 4 podpada, a zatem S ph. Pod schemat aksjomatu 6 podpada ( ϕ), a zatem S ph ϕ, w sprzeczno±ci z zaªo»eniem o Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Tak wi c, / S. Przypu± my,»e S {ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli S {ψ} ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S { ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Aksjomat 5 daje: ψ ψ, a twierdzenie o dedukcji i poczynione przypuszczenie daj : S ph (ψ ϕ). Na mocy prawa sylogizmu hipotetycznego: S ph ( ψ ϕ). Na mocy twierdzenia o dedukcji: S { ψ} ph ϕ, czyli S { ψ} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 20 / 31

Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Przypu± my,»e S {α 1, α 2 } jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli: S {α 1, α 2 } ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S {α} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny, czyli»e: S {α} ph ϕ. Skoro S {α 1, α 2 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!): S {α 1 } ph (α 2 ϕ) oraz S ph (α 1 (α 2 ϕ)). Na mocy prawa importacji (zob. wiczenie) oraz MP: (α 1 (α 2 ϕ)) ((α 1 α 2 ) ϕ) mamy S ph ((α 1 α 2 ) ϕ) Na mocy aksjomatów α α 1 oraz α α 2, prawa mno»enia nast pników (α α 1 ) ((α α 2 ) (α (α 1 α 2 ))) oraz MP mamy S ph (α (α 1 α 2 )) Na mocy prawa sylogizmu hipotetycznego: S ph (α ϕ). Twierdzenie o dedukcji daje: S {α} ph ϕ. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 21 / 31

Peªno± metody aksjomatycznej Dowód lematu Przypu± my,»e S {β 1 } oraz S {β 2 } s Hilbertowsko ϕ-sprzeczne. Oznacza to,»e: S {β 1 } ph ϕ oraz S {β 2 } ph ϕ. Poka»emy,»e wtedy S {β} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Skoro S {β 1 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!) S ph (β 1 ϕ). Skoro S {β 2 } ph ϕ, to (twierdzenie o dedukcji!) S ph (β 2 ϕ). Przypomnijmy schemat aksjomatów 9: (β 1 ϕ) ((β 2 ϕ) (β ϕ)) Dwukrotne zastosowanie reguªy odrywania daje: S ph (β ϕ). Na mocy twierdzenia o dedukcji: S {β} ph ϕ, czyli S {β} jest Hilbertowsko ϕ-sprzeczny. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 22 / 31

Peªno± metody aksjomatycznej Dowód twierdzenia o peªno±ci Zaªó»my,»e S = krz ϕ i przypu± my (dla dowodu nie wprost),»e nie zachodzi S ph ϕ. Oznacza to,»e S jest Hilbertowsko ϕ-niesprzeczny. Wynika z tego,»e tak»e S { ϕ} jest Hilbertowsko ϕ-niesprzeczny. Gdyby bowiem tak nie byªo, to mieliby±my S { ϕ} ph ϕ, a zatem tak»e (twierdzenie o dedukcji!) S ph ( ϕ ϕ). Poniewa» (jak wcze±niej pokazano) tez jest ( ϕ ϕ) ϕ, to wynikaªoby z tego,»e S ph ϕ, co przeczy Hilbertowskiej ϕ-niesprzeczno±ci S. Na mocy udowodnionego przed chwil lematu oraz Twierdzenia o Istnieniu Modelu S { ϕ} jest speªnialny. W konsekwencji, nie zachodzi S = krz ϕ, co ko«czy dowód twierdzenia o peªno±ci. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 23 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Z cyklu: jak Polacy tworzyli logik wspóªczesn Aksjomatyka Rachunku Relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 24 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Operacje na relacjach Operacje na relacjach Znane z kursu Logika I: operacje mnogo±ciowe na relacjach. Zªo»eniem relacji R X Y i S Y Z nazywamy relacj R S X Z zdeniowan wzorem: xr Sz wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje y Y taki,»e xry i ysz. Przechodnim domkni ciem relacji R nazywamy relacj R tr zdeniowan indukcyjnie: R 1 = R R n+1 = R n R R tr = R n. n Wzgl dna suma: x R S y wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego z zachodzi: xrz lub zsy. Oswoimy si z tymi operacjami na konwersatorium. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 25 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Operacje na relacjach Operacje na relacjach a wªasno±ci relacji Niech R X X. Przez id X rozumiemy relacj identyczno±ci w X. R jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy id X R R jest przeciwzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy R id X = R jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R = R 1 R jest asymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 = R jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 id X R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R R R R jest przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy R = R tr R jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy R R 1 id X = X X. wiczenie: które wªasno±ci s zachowywane przez operacje na relacjach? Jakie struktury tworz : wszystkie porz dki (cz ±ciowe, liniowe), wszystkie równowa»no±ci, itd. na danym zbiorze? Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 26 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty Aksjomaty Tarskiego Matematyczny rachunek relacji zapocz tkowany zostaª w pracach Peirce'a oraz Schrödera. Aksjomatyczne uj cie tego rachunku podaª Tarski. Aksjomatyka Tarskiego zapisana jest w j zyku u»ywaj cym (oprócz. funktorów prawdziwo±ciowych, predykatu identyczno±ci = i zmiennych dla relacji) nast puj cych symboli operacji podanych w kontek±cie ich u»ycia wraz z (zamierzon ) interpretacj w uniwersum U: Symbol Interpretacja Symbol Interpretacja R + S R S 0 R S R S 1 U U R; S R S 0 di U = (U U) id U R S R S 1 id U R R 1 R (U U) R R =. S R = S Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 27 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty (1) (R =. S R =. T ) S =. T (2) R =. S (R + T =. S + T R T =. S T ) (3) R + S =. S + R R S =. S R (4) (R + S) T =. (R T ) + (S T ) (R S) + T =. (R + T ) (S + T ) (5) R + 0 =. R R 1 =. R (6) R + R =. 1 R R =. 0 (7) (1 =. 0) (8) (R ). = R (9) (R; S). = (S) ; (R) (10) R; (S; T ) =. (R; S); T (11) R; 1. = R (12) R; 1 =. 1 1; R =. 1 (13) (R; S) (T ). = 0 (S; T ) (R). = 0 (14) 0. = 1 (15) R S. = (R); (S). Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 28 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Aksjomaty Twierdzenie Schrödera-Tarskiego Twierdzenie Schrödera-Tarskiego. Na bazie aksjomatów (1)(15) ka»de zdanie (j zyka rachunku relacji) jest inferencyjnie równowa»ne zdaniu o postaci R. = 1. Zakªadamy przy tym aksjomatyk KRZ. Reguªy: modus ponens oraz reguªy dla predykatu identyczno±ci. =. Niech R(U) oznacza rodzin wszystkich relacji dwuargumentowych na zbiorze U, czyli R(U) = {R : R U U}. Wtedy ukªad (R(U),,,,, =, 1,, U U,, id U, di U ) speªnia wszystkie aksjomaty (1)(15), przy interpretacji podanej w powy»szej tabeli. Teraz rozwa»ymy problem ogólniejszy: Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 29 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Algebry relacyjne wiaty relacji Algebr relacyjn nazywamy ka»dy ukªad o postaci (A, +,, ;,, 1 ), gdzie A jest zbiorem, 1 elementem A, a operacje +,, ;, speªniaj warunki: (R1) x + y = y + x przemienno± + (R2) x + (y + z) = (x + y) + z ª czno± + (R3) x + y + x + y = x aksjomat Huntingtona (R4) x; (y; z) = (x; y); z ª czno± ; (R5) (x + y); z = (x; z) + (y; z) dystrybutywno± ; wzgl dem + (R6) x; 1 = x 1 jest elementem identyczno±ciowym wzgl dem ; (R7) (x ) = x idempotencja (R8) (x + y) = x + y dystrybutywno± wzgl dem + (R9) (x; y) = y ; x (R10) (x ; x; y) + y = y inwolucyjna dystrybutywno± aksjomat Tarskiego-De Morgana. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 30 / 31

Aksjomatyczne uj cie rachunku relacji Reprezentowalno± Wielkie pytanie Je±li (A, +,, ;,, 1 ) jest algebr relacyjn, to deniujemy: x y = x + y, x y = x y, 0 = 1 + 1, 1 = 1 + 1. Wtedy (A, +,,, 0, 1) jest algebr Boole'a. Algebra relacyjna jest reprezentowalna, gdy jest izomorczna z podalgebr algebry R(U) wszystkich relacji dwuargumentowych na jakim± zbiorze U. Czy ka»dy model aksjomatów (1)(15) jest algebr reprezentowaln? Odpowied¹: NIE (Lyndon). Istniej modele aksjomatów (1)(15), które nie mog by homomorcznie wªo»one w»adn algebr R(U). Tarski. Równo±ciowa teoria reprezentowalnych algebr relacyjnych jest nierozstrzygalna. Jerzy Pogonowski (MEG) Metoda aksjomatyczna MDTiAR 27x2015 31 / 31