Pola Kwant przewodnictwa 2, 2 2 38,7 To są różne definicje częściej jest z 2: 2 77,4 Wzór Landauera (Landauer formula) gdy mamy do czynienia z wieloma kanałami przewodnictwa Trzeba uważać na definicję! Dla dostajemy prawo Ohma. to suma różnych pełnych kanałów przewodnictwa np. dwa różne spiny dają 2 2 Studnia trójkątna Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Studnia trójkątna Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego http://www.phys.unsw.edu.au/qed/research/2d_scattering.htm http://www.phys.unsw.edu.au/qed/research/2d_scattering.htm 3 2 1 4 / 2 / 3 2 1 4 / 2 / 3 4 1
Kwant przewodnictwa Kwant przewodnictwa 2, 2 2 77,5 2 B. J. van Wees et al. Quantized conductance of point contacts in a two dimensional electron gas Phys. Rev. Lett. 60, 848 850 (1988) 5 B. J. van Wees et al. Quantum ballistic and adiabatic electron transport studied with quantum point contacts Phys. Rev. B 43, 12431 12453 (1991) 6 Blokada Kulombowska Blokada Kulombowska Kropka zachowuje się jak mały kondensator o energii ~ 0 http://sces.phys.utk.edu/~dagotto/condensed/lectures_2008/utk_lecture1_march08.pdf Luis Dias UT/ORNL 0 7 8 2
Blokada Kulombowska Blokada Kulombowska Kropka zachowuje się jak mały kondensator o energii ~ 0 Kropka zachowuje się jak mały kondensator o energii ~ 0 0 0 0 0 0 0 9 10 Blokada Kulombowska Tunelowanie Kropka zachowuje się jak mały kondensator o energii ~ Inorganica Chimica Acta 361 (2008) 3807 3819 11 12 3
Tunelowanie Tunelowanie Kolokwium WAN IN 1. Znajdź w literaturze parametry pasmowe InAs (masy efektywne, powinowactwo elektr., ) [0p] 2. Na podstawie danych z rys. 1 wyznacz pojemność kropki kwantowej o średnicy 32 A. [5p] 3. Na podstawie rys. 2 oraz 3 wyznacz rozmiar nanocząstek InAs w przybliżeniu nieskończonej studni potencjału. Porównaj z wartościami mierzonymi oraz z rys. 3. [10p] 4. Na podstawie rys. 2 oraz 3 wyznacz rozmiar nanocząstek InAs w przybliżeniu skończonej studni potencjału. Porównaj z wartościami mierzonymi oraz z rys. 3. [30p] (zadanie numeryczne). 5. Oszacuj powinowactwo elektronowe (electron affinity, energię jonizacji z poziomu studni) oraz pojemność kropek kwantowych z rys. 2. (zadanie numeryczne). Porównaj wyniki z danymi tablicowymi (pkt 1) oraz ze wzorem na pojemność kuli i wyznacz nanocząstki. [30p] (powinowactwo) 13 14 Lokalna gęstość stanów Gęstość stanów (ogólnie) można zdefiniować jako: Jak widać po scałkowaniu: Przykładowo: 1 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 / Rozwiązanie w cechowaniu Landaua: 1 2,,,,, Cechowania Landaua: pole 0,0, (niestety wyróżnia kierunek) 0,, 0 czyli Przyjmujemy, że w płaszczyźnie nie ma innego potencjału 1 2 co daje: 2 2 Ślad siły Lorentza Potencjał paraboliczny! 15 16 4
Symetria względem odwrócenia czasu (time reversal invariance, T symmetry): jeśli rozwiązaniem równania Schrodingera jest funkcja Ψ, to rozwiązaniem musi być także Ψ tylko w przypadku hamiltonianu rzeczywistego. Dla pola magnetycznego musimy także odwrócić kierunek pola magnetycznego: Ψ, Ψ, (musimy odwrócić znak pędu kinetycznego,. Urojona wartość brak symetrii względem odwrócenia czasu Potencjał w funkcji jest niezależny od pozostałych zmiennych (faktoryzacja) rozważamy więc problem 2D + 2 2 Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp 2 1 2 Częstość cyklotronowa 2 Promień cyklotronowy co daje: 2 2 Wektor falowy. Co ciekawe w NIE MA. Potencjał paraboliczny przesunięty o / Ślad siły Lorentza Potencjał paraboliczny! Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp 17 18 2 2 Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp 2 1 2 Długość magnetyczna: Typowa wartość dla 1.0 T to 26nm. nie zależy od masy cząstki, a TYLKO od pola! Rozwiązania (nie zależą od )., exp exp 2 1, 2, 3 to kolejne poziomy Landaua. 2 19 Przypadek 2D Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 2 Funkcje falowe to funkcje oscylatora (wzdłuż, rozmiaru rzędu / 2) i fali biegnącej (wzdłuż ) dziwne, prawda? Dlaczego? Energia nie zależy od wektora stany o różnym maja tą samą energię, są więc zdegenerowane (a więc dowolna ich kombinacja nie zmienia energii). Gęstość stanów redukuje się ze stałej do serii dyskretnych wartości danych przez równanie na są to tzw. poziomy Landaua. Pełna energia (łącznie z potencjałem wiążącym w kierunku ): 1 2 1, 2, 3 1, 2, 3 20 5
Przypadek 2D Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 1, 2, 3 2 Przypadek 2D Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 1, 2, 3 2 21 22 Przypadek 3D (brak potencjału ) Rozwiązania : 1 2 2 1, 2, 3 to kolejne poziomy Landaua. DOS przypomina 1D bo jest możliwy ruch tylko w kierunku Rozwiązanie w cechowaniu symetrycznym: 1 2,,,,, Cechowania symetryczne: pole 0,0,, 0, 0 2 1 1,,,, 8 Tym razem niezmiennikiem jest obrót o kąt, co można powiązać z momentem pędu i funkcją w postaci exp 1, 2, 3 0, 1, 2, 3 http://www2.warwick.ac.uk/fac/sci/physics/current/postgraduate/regs/mpags/ex5/mag/ 23 Potencjał symetryczny też ma swoje wady gdzie zaczynają się WSZYSTKIE orbity cyklotronowe?, exp exp 4 24 2 Stowarzyszony wielomian Laguerra 6
W polu magnetycznym nie możemy zapomnieć o spinie Spin elektronu: (magneton Bohra = wielkość momentu magnetycznego elektronu na orbicie o całkowitym momencie pedu 1) W ogólności g czynnik może być tensorem Wracamy do cechowania Landaua Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 1, 2, 3 2 Pytanie: dla danego (czyli poziomu Landaua) ile jest różnych stanów, o tej samej energii czyli jaka jest degeneracja poziomów Landaua? Policzmy ile jest różnych funkcji o liczbach kwantowych (tylko liczy się, bo w cechowaniu Landaua zależy od ) podobne rozważania można zrobić w dowolnym cechowaniu. W przypadku elektronu swobodnego 2,0023, ale w ciele stałym może mieć bardzo różne wartości (np. 0.44w GaAs i 0.4w Al 0.3 Ga 0.7 As). 25 26 Wracamy do cechowania Landaua Rozwiązania (nie zależy od )., exp exp 1, 2, 3 2 Pytanie: dla danego (czyli poziomu Landaua) ile jest różnych stanów, o tej samej energii czyli jaka jest degeneracja poziomów Landaua? Policzmy ile jest różnych funkcji o liczbach kwantowych (tylko liczy się, bo w cechowaniu Landaua zależy od ) podobne rozważania można zrobić w dowolnym cechowaniu. Jaka jest ilość stanów przypadająca na jeden poziom? Próbka S, w cechowaniu Landaua dla współrzędnej mamy warunek fali płaskiej 2/ ( to liczba całkowita). Ile jest wszystkich stanów o różnych? Poziomy Landaua Rozwiązanie równania Schrödingera w polu magnetycznym daje widmo dyskretne. Jaka jest ilość stanów przypadająca na jeden poziom? Próbka S, w cechowaniu Landaua dla współrzędnej mamy warunek fali płaskiej 2/ ( to liczba całkowita). Dla współrzędnej funkcja falowa jest centrowana w 2 /. Warunek na to, by było w próbce (a nie poza nią): 2 0 czyli 0 (wartość bezwzględna) Nie ma czynnika 2 związanego z degeneracją spinową (bo w polu magnetycznym spin nie jest zdegenerowany) Wymiar to ilość na jednostkę powierzchni Dla współrzędnej funkcja falowa jest centrowana w 2 /. Jeśli będzie zbyt duże, może wyjść poza próbkę. degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem 27 28 7
Poziomy Landaua Rozwiązanie równania Schrödingera w polu magnetycznym daje widmo dyskretne. Jaka jest ilość stanów przypadająca na jeden poziom? Próbka S, w cechowaniu Landaua dla współrzędnej mamy warunek fali płaskiej 2/ ( to liczba całkowita). Dla współrzędnej funkcja falowa jest centrowana w 2 /. Warunek na to, by było w próbce (a nie poza nią): 2 0 czyli 0 Φ Φ flux Φ 4.135667516 10 Wb [Wb]=[T m 2 ] kwant strumienia magnetycznego (w nadprzewodniku /2, więc to nie kwant) Φ całkowity strumień pola magnetycznego w próbce S 0 Φ Φ Ilość dozwolonych stanów łączy się wiec z ilością fluksów przechodzących przez próbkę! Lokalna gęstość stanów Gęstość stanów (ogólnie) można zdefiniować jako: Jak widać po scałkowaniu: Przykładowo: 1 1 2 1 2 2 1 4 1 2 2 / 29 30 Poziomy Landaua Poszerzenie poziomów na skutek rozproszeń Γ / to jednocząstkowy (albo kwantowy) czas życia to NIE jest ten sam czas, który omawialiśmy w modelu Drudego (transportowy) Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Licząc 2 spiny: 2 2 2 2 Każdy ze stanów na poziome Landaua zajmuje powierzchnię 2 Zwiększając pole magnetyczne kolejno zapełniamy poziomy Landaua. Można całkowicie zapełnić ty poziom ( ) i wtedy /, aż osiągniemy 1, czyli wszystkie elektrony będą na tym samym poziomie Landaua (tzw. limit kwantowy). Dla 1zaczynają się dziać ciekawe rzeczy (do których zaraz wrócimy!) 31 32 8
Poziomy Landaua degeneracja poziomów Landaua ilość DOZWOLONYCH stanów na każdym z poziomów Landaua na jednostkę powierzchni rośnie z polem Koncentracja nośników 2D: na ilu poziomach Landaua zmieszczą się te nośniki? Współczynnik wypełnienia filling factor (zwykle nie jest to liczba całkowita) Φ 2 (z uwzględnieniem degeneracji spinów) Poziomy Landaua Poziom Fermiego leży pomiędzy poziomami Landaua nie ma tam DOS, zmiana nie zmienia DOS stany nieściśliwe (incompressible) Poziom Fermiego leży wewnątrz poziomu Landaua duża DOS, zmiana mocno wpływa na DOS stany ściśliwe (compressible) 33 34 Poziomy Landaua Poziomy Landaua Poziom Fermiego w polu magnetycznym: Φ 2 Poziom Fermiego w polu magnetycznym: Φ 2 Fig. 16. Landau level fan diagram for the magnetic 2DEG sample described in Fig. 15. Solid (dashed) lines correspond to spin down (spin up) states. The dark solid line shows the variation of the Fermi energy with magnetic field. Parameters used in this calculation are: E F =7 mev at B=0, and T=360 mk. The spin splitting parameters used are obtained by fitting the magneto optical data in Fig. 3: T 0 =2.1 K and a saturation conduction band spin splitting of 12.9 mev. Spin dynamics and quantum transport in magnetic semiconductor quantum structures D.D Awschalom, N. Samarth, Journal of Magnetism and Magnetic Materials 200 (1999) 130 147 35 36 9
Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji 1/. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_09.pdf 37 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. http://groups.physics.umn.edu/zudovlab/content/sdho.htm 38 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Oscylacje zależą od stodunku energii Fermiego do częśtości cyklotronowej /. Oscylacje są periodyczne w funkcji 1/. Φ 2 Z SdH można także wyznaczyć masę efektywną oraz czas kwantowy. Amplituda oscylacji jest dana przez Δ 4 cos 4 exp sinh 2 / Zależność temperaturowa daje, tłumienie. A. Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011) 138 141 Aneesh Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011) 138 141 39 40 10
Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect 2 / Aneesh Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011) 138 141 41 Aneesh Nainani et al. Solid State Electronics 62 (2011) 138 141 42 Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Henriques et al. Brazil. J. of Phys. 29, 707 (1999) 43 K. Nogajewski et al., Appl. Phys. Lett. 99, 213501 (2011) 44 11
Efekt Shubnikova de Haasa Shubnikov de Haas effect Gęstość stanów oscyluje spada do 0 dla i jest największa dla najprościej to zmierzyć w magnetooporze. Kwantowy (całkowity) efekt Halla (IQHE) Integer Quantum Hall effect (IQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 45 46 Kwantowy (całkowity) efekt Halla (IQHE) Integer Quantum Hall effect (IQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 Tensor przewodnictwa Przewodnictwo Gęstość prądu: w ogólności może być tensorem: oraz W ogólności np. oraz itp. Model Drudego z polem magnetycznym: czas relaksacji pędowej (scattering time) http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_11.pdf Stromer, Nobel Lecture 47 48 12
Efekt Halla Efekt Halla Siła Lorentza: Model Drudego: czas relaksacji pędowej (scattering time) Dostajemy: 1 0 http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_11.pdf Zaniedbując 1i biorąc pod uwagę przewodnictwo elektronów i dziur : 0 Dostajemy tzw. stałą Halla: 1 Np. dla 0 mamy http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_11.pdf 49 50 Efekt Halla Efekt Halla Biorąc / W przypadku efektu Halla,0,0 : 1 1 Tensor przewodnictwa: 1 1 1 Tensor oporności: 1 1 1 1 http://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/bandmt_11.pdf Pełny tensor przewodnictwa Pełny tensor oporności 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 stała Halla 51 52 13
Efekt Halla Efekt Halla Pełny tensor przewodnictwa Pełny tensor oporności 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Opór właściwy (Ω) Pełny tensor przewodnictwa Pełny tensor oporności 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 Dla różnych kanałów przewodnictwa Pole magnetyczne (T) Dla różnych kanałów przewodnictwa transport wielonośnikowy analizujemy tensor Roman Stępniewski 1 transport wielonośnikowy Roman Stępniewski 53 54 Efekt Halla Efekt Halla Transport wielonośnikowy w grafenie (M. Gryglas Borysiewicz) Roman Stępniewski 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 55 56 14
Efekt Halla kwantowy Efekt Halla kwantowy 57 58 Efekt Halla kwantowy Efekt Halla kwantowy Horst Stormer, Nobel Lecture 59 Horst Stormer, Nobel Lecture 60 15
Efekt Halla kwantowy Efekt Halla kwantowy Pełny tensor przewodnictwa 1 1 1 Pełny tensor oporności 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Dla dużych pól magnetycznych 1 / 1/ 1/ / wtedy ~! 61 62 Efekt Halla Kwant przewodnictwa 2, 2 38,7 B. J. van Wees et al. Quantized conductance of point contacts in a two dimensional electron gas Phys. Rev. Lett. 60, 848 850 (1988) 63 64 16
Kwant przewodnictwa 2 Pole elektrycznie i magnetyczne Ruch elektronu w skrzyżowanych polach elektrycznym, 0,0 i magnetycznym 0,0, opisany jest cykloidą: 1cos sin Szczegóły ruchu zależą od warunków początkowych B. J. van Wees et al. Quantum ballistic and adiabatic electron transport studied with quantum point contacts Phys. Rev. B 43, 12431 12453 (1991) Prędkość dryfu w polu B: 65 66 2 2 Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp 2 1 2 2 Pole elektrycznie i magnetyczne 2 2 Potencjał wektorowy nie zależy od, można założyć postać funkcji: exp 2 1 2 2 Częstość cyklotronowa Promień cyklotronowy Człony dołożone żeby suma w kwadracie dawała Wektor falowy. Co ciekawe w NIE MA. Potencjał paraboliczny przesunięty o / Potencjał paraboliczny przesunięty o 1 2 2 1 2 1 2 0 1/ / (klasyczny efekt Halla) 67 68 17
Pole elektrycznie i magnetyczne Potencjał paraboliczny zależy od pola i od Pole elektrycznie i magnetyczne Potencjał paraboliczny zależy od pola i od 69 70 Pole elektrycznie i magnetyczne Pole elektrycznie i magnetyczne Potencjał paraboliczny zależy od pola i od Clive Emary Theory of Nanostructures nanoskript.pdf 71 72 18
Kwantowy (całkowity) efekt Halla (IQHE) Integer Quantum Hall Effect (IQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 Kwantowy ułamkowy efekt Halla (FQHE) Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 Yu, Cardona Stromer, Nobel Lecture Stromer, Nobel Lecture 73 74 Kwantowy ułamkowy efekt Halla (FQHE) Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany Kwantowy ułamkowy efekt Halla (FQHE) Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) dla gazu 2D jeśli poziom Fermiego znajduje się w obszarze stanów zlokalizowanych opór hallowski jest skwantowany 1 http://www.phys.unsw.edu.au/~arh/background/ Semiconductor_Devices/semiconductor_devices.html 1 Stromer, Nobel Lecture 75 76 19
Composite fermions Fractional Quantum Hall Effect (FQHE) composite fermions, fractionally charged quasiparticles Kropki kwantowe Stromer, Nobel Lecture 77 78 Potencjał harmoniczny 2D Potencjał harmoniczny 2D 1 2 w kierunku i taka sama w 1 2 w kierunku i taka sama w 1 2 1 2 1 1 Degeneracja? Degeneracja? 1, 0 (0,0) 1 (1,0) (0,1) 2 (2,0) (1,1) (0,2) 3 (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) 79 80 20
Potencjał harmoniczny 2D Kropki kwantowe Energy [ev] d+ p+ d 0 p- d- s n, m = 0,1,2... L = n m (elektron) -3-2 -1 0 1 2 3 Angular Momentum -L Adam Babiński 81 82 Hofstadter butterfly The Hofstadter butterfly is the energy spectrum of an electron, restricted to move in twodimensional periodic potential under the influence of a perpendicular magnetic field. The horizontal axis is the energy and the vertical axis is the magnetic flux through the unit cell of the periodic potential. The flux is a dimensionless number when measured in quantum flux units (will call it a). It is an example of a fractal energy spectrum. When the flux parameter a is rational and equal to p/q with p and q relatively prime, the spectrum consists of q nonoverlapping energy bands, and therefore q+1 energy gaps (gaps number 0 and q are the regions below and above the spectrum accordingly). When a is irrational, the spectrum is a cantor set. 83 http://physics.technion.ac.il/~odim/hofstadter.html De Haas van Asphen www.itp.phys.ethz.ch/education/lectures_fs10/solid/notes.pdf 84 21
De Haas van Asphen Moment magnetyczny czystego monokryształu metalu oscyluje w zmiennym polu magnetycznym De Haas van Asphen Moment magnetyczny czystego monokryształu metalu oscyluje w zmiennym polu magnetycznym Namagnesowanie 1/ Ashcroft, Mermin 85 Ashcroft, Mermin 86 De Haas van Asphen De Haas van Asphen Ashcroft, Mermin 87 Ashcroft, Mermin 88 22
89 23