1 / 21 Výzvy, které před matematiku staví výpočetní technika Edita Pelantová Katedra matematiky, FJFI, České vysoké učení technické v Praze 25. pledna 2018 Praha
Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I
Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII
Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848
Zápisy čísel v minulosti 2 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční
3 / 21
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = 21 5 2
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = 21 5 2 79 krát 37 = 12 1 krát 43
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = 21 5 2 79 krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel:
Zápisy čísel v minulosti 4 / 21 Římský zápis: M, D, L, C, X, V, I revoluční rok MDCCCXXXXVIII Desítková soustava: 0, 1, 2,..., 9 revoluční rok 1848 poziční 79 krát 37 = LXXIX krát XXXVII Cauchy: desítková soustava s ciframi 5, 4,..., 0, 1,..., 5 revoluční rok 2252 = 21 5 2 79 krát 37 = 12 1 krát 43 Co ovlivňuje volbu zápisu čísel: za jakým účelem číslo zaznamenáváme jednoduchost algoritmů technické možnosti vykonávatele (velká pamět? hodně procesorů? )
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D.
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 =
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? Grunwald 1854 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1}
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n 1 +... + a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}.
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n 1 +... + a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 =
Poziční soustavy 5 / 21 Mírná exotika základ b N, cifry D = {0, 1, 2,... b 1}. Každé x N lze jednoznčně zapsat x = a n b n + a n 1 b n 1 +... + a 1 b + a 0, kde a i D. Např. b = 2, D = {0, 1} Ale co x Z, x < 0? 54 = 1.2 5 + 1.2 4 + 0.2 3 + 1.2 2 + 1.2 1 + 0.2 0 Grunwald 1854 báze b = 2, D = {0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n ( 2) n + a n 1 ( 2) n 1 +... + a 1 ( 2) 1 + a 0 ( 2) 0, kde a i {0, 1}. 54 = 1.( 2) 6 +0.( 2) 5 +0.( 2) 4 +1.( 2) 3 +0.( 2) 2 +1.( 2) 1 +0.( 2) 0
Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů?
Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1}
Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n 1 +... + a 1 3 1 + a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 =
Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n 1 +... + a 1 3 1 + a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 = 3 4 + 1.3 3 + 0.3 2 + 0.3 1 + 0.3 0
Poziční soustavy 6 / 21 Mírná exotika II Úloha: kolik závaží je třeba k laboratorním vahám, aby šlo navážit 0, 1, 2,..., 40 gramů? symetrická ternární soustava báze b = 3, D = { 1, 0, 1} Každé x Z lze zapsat jednoznačně ve tvaru x = a n 3 n + a n 1 3 n 1 +... + a 1 3 1 + a 0 3 0, kde a i {1, 0, 1}. 54 = 3 4 + 1.3 3 + 0.3 2 + 0.3 1 + 0.3 0 V této soustavě počítaly první ruské počítače Výhody: kratší zápis čísla než binárně lze zpasat kladné i záporné čísla rozvoj x snadno z rozvoje x, stačí umět sčítat, odčítání stejné vhodná abeceda na násobení
Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21
Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců
Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců
Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A
Paralelní sčítání (libovolný počet procesorů ) 7 / 21 Hledáme algoritmus na paralelní sčítání, tj. algoritmus, který by našel výsledek v čase nezávislém ne délce sčítanců x =... x j+t... x j+1 x j x j 1... x j r... x j A y =... y j+t... y j+1 y j y j 1... y j r... y j A u j = x j + y j... u j+t... u j+1 u j u j 1... u j r }{{}... u j A + A v j = φ(u j+t... u j r )... v j+t... v j+1 v j v j 1... v j r... v j A
klasická desítková soustava 8 / 21 39999999999999... 99999999999999996 00000000000000... 0000000000000000x
klasická desítková soustava 8 / 21 39999999999999... 99999999999999996 00000000000000... 0000000000000000x Nutná redundance!!!
klasická desítková soustava 8 / 21 39999999999999... 99999999999999996 00000000000000... 0000000000000000x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2.
klasická desítková soustava 8 / 21 39999999999999... 99999999999999996 00000000000000... 0000000000000000x Nutná redundance!!! Avizienis 1961: pro báze b N, b 3, abecedy A = { a, a + 1,..., 1, 0, 1,..., a}, kde a b 2. Pentium používá pro dělení algoritmus SRT a redundantní soustavu se základem β = 4 a pěti ciframi { 2, 1, 0, 1, 2},
9 / 21 Algorithm: Base b = 4, alphabet A = { 2 1, 0, 1, 2} Input: two finite sequences of digits (x i ) and (y i ) of { 2 1, 0, 1, 2} Output: a finite sequence of digits (z i ) of { 2 1, 0, 1, 2}, such that xi 4 i + y i 4 i = z i 4 i. for each i in parallel do 0. w i := x i + y { i } wi 3 1. case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 { } wi 3 case then q w i = 2 and w i 1 2 i := 1 else q i := 0 2. z i := w i q i 4 + q i 1
Jak chytře násobit? 10 / 21
Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n
Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A?
Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N
Jak chytře násobit? 10 / 21 Co je špatně na klasických algoritmech pro A B? 0 x 1 x 2 x n 0 y 1 y 2 y n = 0 z 1 z 2 z n z n+1 z 2n Co je špatně na klasických algoritmech pro A/B a pro A? On-line algoritmus se zpožděním δ N Trivedi a Ercegovac v roce 1974 zavedli on-line algoritmus na násobení a dělení pro redundantní soustavy.
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků:
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze:
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině)
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer
Číslovky v přirodzených jazycích 11 / 21 Najstálejší složka indoevropských jazyků: dva, tři two, three duo, tre kaksi, kolme kettő, harom jiho- a východoázijské jazyky: číslovky jsou zápůjčky z čínštiny používané báze: základ 10: vo většině jazyků - neplatí to pre Novou Guineu, Austrálii, Střední Ameriku základ 20: v Nepále, Čadu, mezi Inuity, v Nigérii, v čukotštině, (částečně francouštině) základ 4: papuánsky jazyk kewa základ 6: papuánsky jazyk ndom základ 8: kalifornský jazyk yuki základ 12: jazyk berom v Nigérii základ 24: něktoré papuánské jazyky z rodiny skow základ 200: Jorubština v kombinaci s bází 5 základ 60: Sumer
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,...
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady:
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno)
Číslovky v přirodzených jazycích 12 / 21 Jazyk haruai na Novej Guinee nepoužívá báze ani vyšsí číslovky 1 - pan, 2 - mos, 3 - mos pan, 4 - mos mos, 5 - mos mos pan,... Extrém v amazónském jazyce piraha: chyběbají číslovky a plurál Tělo jako model číselné řady: 10 prstů 4 klouby zat até pěsti 20 prstů na rukách a nohách v grónském jazyce yimas se 19 řekne: obě ruce, skočit dole potom na noze pět, druhá strana dva - druhé dva v jazyce kobon sa počítají postupně: prsty, zápěstí, loket, rameno, kĺıční kost, krk a dále v opačném pořadí v některých jazycích se počítají: ĺıce, uši, oči, nos, nosné dírky, brada, prsní kost, prsty na nohách, atd. Výjimečně i genitálie (číslovky 31, 32, 33 v jazyce yupno) Jan Pokorný: Lingvistická antropologie, Grada 2010
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k=
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = 1+ 5 2 = 1, 618... a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = 1+ 5 2 = 1, 618... a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = 1+ 5 2 = 1, 618... a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = 10 01
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = 1+ 5 2 = 1, 618... a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = 10 01 = 10 0011 =...
Nestandardní poziční soustavy 13 / 21 Rényi 1957 Báze α > 1 a A = {a Z : 0 a < α}. Každé x [0, + ) lze zapsat ve tvaru n x = x k α k, kde x k A; k= Příklad báze τ = 1+ 5 2 = 1, 618... a abeceda {0, 1} τ je kořeň rovnice τ 2 = τ + 1 (2) τ = 1 11 = 10 01 = 10 0011 =... ( 1 2 ) τ = 0 (010) ω = 0 010010010010010...
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A.
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A;
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,...
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = 111010000 ( 1) γ = 11101
Komplexní báze γ = i 1, abeceda A = {0, 1} 14 / 21 Penney 1965 Nech γ = i 1 a A = {0, 1}. Potom každé x Z[i] = {a + ib : a, b Z} lze jednoznačně zapsat ve tvaru x = x n γ n + x n 1 γ n 1 + + x 1 γ 1 + x 0 γ 0, kde x k A. každé x C sa dá zapísat v tvare x = n k= x k γ k, kde x k A; γ = i 1, γ 2 = 2i, γ 3 = 2 + 2i, γ 4 = 4,... 2 = γ 3 + γ 2 = (2) γ = 1100 (3) γ = 1101 (4) γ = 111010000 ( 1) γ = 11101 Jak v této soustavě sčítat?
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi?
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i.
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace:
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6),
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3)
Když nepotřebujeme porovnávat a dělit 15 / 21 Úloha: Když děĺım věk děkana číslem d 1 = 3 dostanu zbytek 1, když d 2 = 5 dostanu zbytek 0, když d 3 = 7 dostanu zbytek 6. Kolik let je děkanovi? Věta o čínských zbytcích Necht d 1, d 2,..., d k N jsou po dvou nesoudělná čísla. Pak pro každou k-tici (r 1, r 2,..., r k ) zbytků r 1 {0, 1,..., d 1 1}, r 2 {0, 1,..., d 2 1},..., r k {0, 1,..., d k 1} existuje jediné celé číslo 0 N < d 1 d 2 d k takové, že pro každé i = 1, 2,..., k je zbytek po dělení čísla N číslem d i roven r i. Čísla N reprezentujeme jako (r 1, r 2,..., r k ). Operace: 55 (1, 0, 6), 10 (1, 0, 3) součet 55 + 10 = 65 (2, 0, 2).
Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0
Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3
Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 )2 5 1 2 + 3 = 5 4 = 1, 25
Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 )2 5 1 2 + 3 = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x
Výpočet elementárních funkcí 16 / 21 Polynom p(x) = a k x k + a k 1 x k 1 +... + a 1 x + a 0 Např. p(x) = 3x 2 5x + 3 p( 1 2 ) = 3( 1 2 )2 5 1 2 + 3 = 5 4 = 1, 25 Další funkce sin x 2 x ln x e x = 1 + 1 1! x + 1 2! x 2 + 1 3! x 3 + 1 4! x 4 +... = sin x = x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 + 1 9! x 9 +... = k=0 k=0 1 k! x k ( 1) k (2k + 1)! x 2k+1
Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1
Rozvoje čísla do nekonečných řad 17 / 21 Věta Necht (w n ) je klesající posloupnost kladných čísel taková, že w n je konvergentní a w n tvaru k=n+1 x = n=1 w k. Pak každé x [0, w n ] lze zapsat ve n=1 d n w n, kde d n {0, 1} n=1 Hladový algoritmus pro hledání d n { 1 když tn 1 + w t 0 = 0, t n = t n 1 + d n w n, d n = n x 0 jinak splňují x = lim t n = lim n n n d k w k k=1
Výpočet exp(x) 18 / 21
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,...
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). i=1
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 = (1 + 2 i ) d i i=1 i=1
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1
Výpočet exp(x) 18 / 21 1) Tabelovány hodnoty w n = ln(1 + 2 n ) pro n = 1, 2, 3,... 2) Najdi d i {0, 1} pro i = 1, 2, 3,... tak, aby x = d i ln(1 + 2 i ). Pak ( ) exp x = exp d i ln(1 + 2 i ) výpočet e x i=1 i=1 i=1 = (1 + 2 i ) d i = (1 + d i 2 i ) i=1 E 0 := 1, E n = E n 1 (1 + d n 2 n ) = E n 1 + d n 2 n E n 1 Kvůli odhadu chyby: exp x E n Pro x [0, ln 2] ( = exp i=n+1 0 e x E n = ) ( d i ln(1 + 2 i ) < exp i=n+1 2 i) = exp( 1 2 n ) ( 1 E n e x ) e x < 2 ( 1 e 1 2 n ) 1 2 n 1
Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x?
Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu
Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst)
Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1}
Výpočet exp(x) 19 / 21 Co velká x? Posun proměnné do vhodného intervalu Algoritmus: vstup x 1 Najdi k N tak, aby y = x k ln 2 [0, ln 2] 2 Spočítej předchozí metodou e y 3 Polož e x = e y+k ln 2 = 2 k e y (tedy posuň binární tečku v e y o k míst) Shift and Add Algorithm pro výpočet sin a cos : rozvoj do řady dn arctan 2 n, kde d n { 1, 1} tzv. algoritmus CORDIC
20 / 21
katalytické výpočty 20 / 21
Děkuji za pozornost 21 / 21