1. Zadania z Algebry I

1 Zadania z Algebry I Z 11 Znaleźć podgrupy grup Z 12, Z 8, D 6 i D 12 i narysować graf zawierań mie dzy nimi Z 12 Niech Q 8 := j, k GL(2, C), gdzie j, k sa macierzami: j = ( ) i 0 0 i k = ( 0 ) 1 1 0 Udowodnić, że Q 8 = 8 i sporza dzić tabelke dzia lania dwuargumentowego (grupe Q 8 nazywamy grupa kwaternionowa ) Znaleźć wszystkie podgrupy grupy Q 8 i zawierania mie dzy nimi Z 13 Niech GL(n, Z) oznacza grupe odwracalnych macierzy n n o wyrazach ca lkowitych Znaleźć jej centrum Z 14 Zbadać istnienie monomorfizmów a) Σ n GL(n, K) dla dowolnego cia la K b) D 2n Σ n c) Q 8 Σ 4 Z 15 Udowodnić, że jeżeli G = H to Aut (G) = Aut (H) Z 16 Definicja: Podgrupe w laściwa H grupy G nazywamy maksymalna, jeżeli nie istnieje w laściwa podgrupa K G, K H taka, że H K G Pokazać, że jeżeli grupa skończona G ma dok ladnie jedna podgrupe maksymalna, to G jest grupa cykliczna i G = p m, gdzie p jest liczba i m > 0 Z 17 Niech Φ(G) be dzie cze ścia wspólna wszystkich maksymalnych podgrup G - jeśli takich podgrup nie ma przyjmujemy, że Φ(G) = G Powiemy że element g G jest antygeneratorem jeśli z równości X {g} = G wynika X = G dla dowolnego podzbioru X G Pokazać, że dla skończonej grupy G podgrupa Φ(G) sk lada sie z antygeneratorów grupy G Z 18 Pokazać, że podgrupa dowolnej grupy skończonej generowana przez dwa nieprzemienne elementy rze du dwa jest izomorficzna z grupa dihedralna Z 19 Pokazać, że jeżeli H G jest podgrupa, to G \ H = G Z 110 Udowodnić, że zbiór z lożony z transpozycji (12) i cyklu (1, 2,, n) generuje ca la grupe Σ n Pokazać, że jeżeli p jest liczba, to Σ p jest generowane przez dowolna transpozycje i dowolny cykl d lugości p Pokazać, rozważaja c Σ 4, że za lożenie iż p jest liczba jest istotne Z 111 Udowodnić, że jeżeli g G g 2 = 1, to G jest grupa abelowa Udowodnić, że jeżeli ponadto grupa G jest skończona, to G = 2 m Z 112 Udowodnić, że w skończonej grupie abelowej iloczyn wszystkich elementów jest równy iloczynowi elementów rze du 2 Zastosować to stwierdzenie do grupy Z p i wykazać Tw Wilsona: (p 1)! 1 (mod p) Z 113 Niech G be dzie grupa abelowa, która zawiera pewien element rze du m i pewien element rze du n Pokazać, że G zawiera element, którego rza d jest równy NW W (n, m) Z 114 Niech x, y G, przy czym x y = 1 Pokazać, że jeżeli x i y sa przemienne, to x, y = x y Wywnioskować, że jeżeli xy = yx i rze dy o(x) i o(y) s wzgle dnie pierwsze, to o(xy) = o(x)o(y) Z 115 Niech G < Udowodnić, że liczba elementów rze du n jest wielokrotnościa ϕ(n), gdzie ϕ jest funkcja Eulera

2 Z 116 Jeżeli ϕ : G H jest epimorfizmem, a K H dowolna podgrupa, to [G : ϕ 1 (K)] = [H : K] Z 117 Przedstawić w postaci iloczynu transpozycji elementów sa siednich permutacje (173)(2456) Z 118 Znaleźć klasy sprze żoności elementów grupy dihedralnej D 2n Z 119 Niech G be dzie grupa skończona Pokazać, że prawdopodobieństwo że dwa losowo wybrane (losujemy z powtórzeniami) elementy sa przemienne jest równe k/ G, gdzie k jest liczba klas sprze żoności elementów G Z 120 Niech σ Σ 6 Σ 7, σ = ( 1 2 3 4 5 6 6 4 2 3 5 1 ) Znaleźć C Σ6 (σ) oraz C Σ7 (σ) Czy w Σ 7 istnieje permutacja tego samego rze du co σ, ale z permutacja σ nie sprze żona? Z 121 Udowodnić, że nie istnieje grupa, w której elementów rze du 7 jest dok ladnie 18 Z 122 Niech Φ : G Σ G be dzie monomorfizmem z twierdzenia Caleya Niech g G be dzie elementem rze du n Znaleźć rozk lad na cykle roz la czne permutacji Φ(g) Z 123 Podać przyk lad trzech różnych (to znaczy nie ekwiwariantnie izomorficznych) dzia lań grupy D 20 na zbiorze 23 elementowym, które maja dwie orbity 10 cio elementowe, jedna orbite dwuelementowa i jeden punkt sta ly Z 124 Niech grupa skończona G dzia la na skończonym zbiorze X Udowodnić wzór Burnside a: X/G = 1 G X g gdzie X/G oznacza liczbe orbit dzia lania G na X, a X g liczbe punktów sta lych przekszta lcenia wyznaczonego przez g G Z 125 Za lóżmy, że grupa skończona G dzia la tranzytywnie (to znaczy jest dok ladnie jedna orbita) na zbiorze X Rozważmy dzia lanie G na X X zadane wzorem g(x 1, x 2 ) = (g(x 1 ), g(x 2 )) Udowodnić, że liczba orbit dzia lania G na X X jest równa liczbie orbit dzia lania grupy izotropii G x na X (dla dowolnego punktu x X) Z 126 Niech grupa permutacji Σ 4 dziaa tranzytywnie na zbiorze X i na zbiorze Y Niech dla pewnego punktu x 0 X jego grupa izotropii be dzie podgrupa (Σ 4 ) x0 = (12)(34), zaś dla pewnego punktu y 0 Y jego grupa izotropii be dzie podgrupa (Σ 4 ) y0 = (1234) a) Ile elementów maja zbiory X i Y? Odpowiedź uzasadnić Tyle, ile zbiory warstw wzgle dem podgrup izotropii, czyli X = 12, Y = 6 b) Wypisać wszystkie grupy izotropii punktów zbioru X oraz wszystkie grupy izotropii punktów zbioru Y Jako grupy izotropii wysta pia wszystkie podgrupy sprze żone z grupa izotropii x 0 i y 0 odpowiednio Dla X, to: {id, (12)(34)} w punktach x 0 = (12)(34)x 0, (12)x 0 = (12)(12)(34) = (34)x 0, (13)(24)x 0 = (14)(23)x 0, (1324)x 0 = (1423)x 0 {id, (13)(24)} w punktach (23)x 0 = (1342)x 0, (132)x 0 = (234)x 0, (1234)x 0, (prosze uzupe lnić) g G

3 {id, (14)(23)} (prosze uzupe lnić) Dla Y to: {id, (1234), (13)(24), (1432)} w y 0 i w (24)y 0 {id, (1324), (12)(34), (1423)} w (23)y 0 i w (14)y 0 {id, (1342), (14)(23), (1243)} w (34)y 0 i w (12)y 0 c) Niech grupa Σ 4 dzia la na zbiorze X Y wzorem σ(x, y) = (σ(x), σ(y)) Znaleźć liczb orbit i moce orbit tego dzia lania Rozważmy sytuacje ogólna : grupa G dzia la tranzytywnie na zbiorach X i Y, grupami izotropii punktów x 0 X i y 0 Y sa K G i H G odpowiednio Każdy punkt zbioru X Y jest postaci (g 1 (x 0 ), g 2 (y 0 ) i dzia laja c na niego elementem g1 1 widzimy, że w każdej orbicie dzia lania grupy G jest punkt postaci (x 0, g(y 0 )) dla pewnego g G Dwa różne punkty (x 0, g(y 0 )), (x 0, g (y 0 )) należa do tej samej orbity dzia lania grupy G na X Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k K, takie że kg(y 0 ) = g (y 0 ) Wynika z tego, że jest wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy orbitami dzia lania diagonalnego G na X Y a orbitami dzia lania K na Y, przy czym grupa izotropii dzia lania G w punkcie (x 0, g(y 0 )) jest równa grupie izotropii dzia lania K na Y w punkcie g(y 0 ) i jest nia podgrupa K ghg 1 Wróćmy teraz do naszego przykadu Musimy znaleźć orbity i grupy izotropii dzia lania (12)(34) na Y Można to wypisać, a można popatrzeć na grupy izotropii, które sa równe (12)(34) w punktach (23)y 0 i w (14)y 0 (czyli sa to punkty sta le), a trywialne w pozosta lych Zatem dzia lanie (12)(34) ma dwa punkty sta le i dwie orbity dwulelementowe, bo Y = 6 Dla dzia lania Σ 4 na X Y odpowiada to dwóm orbitom 12 elementowym o grupie izotropii (12)(34) i dwóm orbitom 24 elementowym o trywialnych grupach izotropii Z 127 Niech H G i niech π : G G/H be dzie rzutowaniem Pokazać, że: a) każda podgrupa grupy G/H jest postaci K/H, gdzie K G jest podgrupa G zawieraja ca H i przyporzdkowanie to definiuje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy podgupami grupy G/H a podgrupami grupy G zawieraja cymi H; b) K/H G/H wtedy i tylko wtedy, gdy K G, i wówczas c) jeżeli K G jest dowolna podgrupa, to / G/H K/H = G/K; π 1 (π(k)) = K H = {k h: k K, h H} G i ponadto K H = H K = K H ; d) jeżeli K G jest dowolna podgrupa, to K/(K H) = (K H)/H; Z 128 Podać przyk lady podgrup H G i K G, takich że K H nie jest podgrupa grupy G Z 129 Rozpatrzmy grupe dihedralna D 2n a) Znaleźć abelianizacje grupy D 2n

4 b) Niech n 3 Udowodnić, że jeżeli n jest nieparzyste, to Z(D 2n ) = 1, a jeżeli n jest parzyste to D 2n /Z(D 2n ) = D n c) Pokazać, że kada podgrupa grupy obrotów grupy dihedralnej jest normalna Pokazać, że jeżeli k l = n, to D 2n / ρ k = D 2k Z 130 Pokazać, że Aut(Z n ) jest grupa izomorficzna z grupa multyplikatywna elementów odwracalnych pierścienia Z n Z 131 Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy D 12 Z 12 Z 132 Udowodnić, że GL(2, Z 3 )/Z(GL(2, Z 3 )) jest izomorficzne z Σ 4 Z 133 Wykazać, że jeżeli w grupie G istnieje podgrupa skończonego indeksu, to istnieje zawarta w niej podgrupa normalna skończonego indeksu Z 134 Pokazać, że jeżeli G jest grupa skończenie generowana, a m N liczba naturalna, to w G istnieje co najwyżej skończona liczba podgrup indeksu m Z 135 Pokazać, że jeżeli p jest najmniejsza liczba dziela ca G i H G, G : H = p, to H G Z 136 Udowodnić, że jeżeli [G, G] H G, to H G Z 137 Jeżeli G jest skończona grupa przemienna i n G, to w grupie G istnieje podgrupa rze du n i podgrupa indeksu n Z 138 Niech G be dzie grupa skończona Pokazać, że G zawiera podgrupe normalna indeksu p, gdzie p jest liczba, wtedy i tylko wtedy, gdy p G/[G, G] Z 139 Niech H Σ n, n > 1 Udowodnić, że jeżeli H zawiera permutacje nieparzysta, to H zawiera podgrupe indeksu 2 Z 140 Udowodnić, że jeżeli G = 2r, r > 1 i (2 r), to G nie jest grupa prosta (Wskazówka: rozpatrzeć rozk lad na cykle roz la czne obrazów elementów grupy G przy homomorfizmie z tw Caleya) Z 141 Udowodnić, że jeżeli G = 2 k r, r > 1 i (2 r), oraz G zawiera podgrupe cykliczna rze du 2 k, to G zawiera podgrupe normalna rze du m Z 142 W A n, n 3 znaleźć podgrupe generowana przez 3-cykle

5 2 Piercienie i ich idea ly Z 21 Pokazać, że idea l pierścienia skończonego jest pierwszy wtedy i tylko wtedy gdy jest maksymalny Z 22 Opisać (6) + (15) Z, (6) (15) Z, (6) (15) Z, (x 2 ) + (y 3 ) K[x, y], (x 2 ) (y 3 ) K[x, y] Z 23 Udowodnić, że podzbiór elementów nilpotentnych pierścienia jest idea lem (nazywa sie go nilradyka lem) Wykazać, że pierścień ilorazowy nie zawiera niezerowych elementów nilpotentnych Wykazać, że nilradyka l jest iloczynem wszystkich idea lów pierwszych pierścienia Z 24 Niech I P be dzie idea lem Udowodnić, że podzbiór Ĩ P, z lożony z tych elementów a P, dla których istnieje n N, że a n I, jest idea lem Porównać P/I oraz P/Ĩ Z 25 Niech I P i J P be da idea lami i niech I + J = P (takie idea ly nazywamy wzgle dnie pierwszymi) Pokazać, że I J = i J Z 26 Niech I P i J P be da idea lami i niech I + J = P Pokazać, źe P/I J = P/I P/J Definicja Pierścień R nazywamy lokalnym jeżeli zawiera dok ladnie jeden idea l maksymalny Z 27 Pokazać, że dla pierścienia R naste puja ce warunki sa równoważne: a) suma elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym b) zbiór elementów nieodwracalnych jest idea lem c) R jest pierścieniem lokalnym Z 28 Wykazać, że piercień Z (p) (zadanie 41) jest lokalny Wskazać idea l maksymalny Z 29 Niech R be dzie pierścieniem lokalnym Udowodnić, że jeżeli x R oraz x 2 = x to x = 0 lub x = 1 Z 210 Udowodnić, że k[[x]] jest pierścieniem lokalnym, gdzie k jest cia lem Czy k[[x]] jest dziedzin idea lów g lównych? Opisać idea ly pierwsze i maksymalne Z 211 Udowodnić, że pierścień R[X] jest dziedzina idea lów g lównych wtedy i tylko wtedy gdy R jest cia lem Podać przyk lad idea lu w Z[X], który nie jest g lówny Z 212 Czy wśród idea lów g lównych pierścienia Z[X] sa maksymalne? Z 213 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścieni: a) Z[X]/(X 2 ) Z 24 b) Z[X, Y ]/(X 2 Y 3 ) Z c) Z[X]/(X n 1) Q d) Z[X]/(X n 1) C Z 214 Znaleźć wszystkie homomorfizmy pierścieni Z[X]/(15X 2 + 10X 2) Z 7

6 3 Dziedziny z jednoznacznościa rozkadu Twierdzenie Gaussa Kryterium Eisensteina Jednoznaczność rozk ladu w pierścieniach Z[ d] Z 31 Pokazać, że jeżeli n 3, to 2 Z[ 3] jest elementem nierozkadalnym, który nie jest pierwszy Z 32 Pokazać, że w pierścieniu Z[ 5] istnieje NW D(3, 1 + 5) ale nie istnieje NW D(6, 2(1 + 5)) Z 33 W pierścieniu Z[i] znaleźć NW D(2 + 11i, 1 + 3i) Z 34 W pierścieniu Z[i] roz lożyć na czynniki nierozk ladalne liczbe 70 Z 35 Znaleźć piercie ilorazowy Z[i]/(70) Z 36 Udowodnić, że z lożenie homomorfizmów Z Z[ d] Z[ d]/(a + b d) jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy (a, b) = 1 Z 37 Pokazać, że w pierścieniu Z[ 5] nie istnieje NW D(4, 2 + 2 5) Z 38 W piercieniu Z[i] znaleźć generator idea lu (1 + i, 4 + i) Rozk lad w pierścieniach wieomianów Z 39 W pierścieniu Z 5 [X] znaleźć generator idea lu (x 3 x 2 + 2x + 3, x 4 + 4x 3 + 3x 2 2x + 2) Z 310 Niech R be dzie dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu, zaś Q(R) jej cia lem u lamków a) Udowodnić, że jeżeli dla d R równanie a 2 = d ma rozwia zanie w Q(R), to ma rozwia zanie w R Znaleźć kontrprzyk lad, jeżeli R nie jest dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu (Wskazówka: Skorzystać z lematu Gaussa) b) Niech f R[X] be dzie wielomianem unormowanym (tzn wspó lczynnik przy X w najwyższej pote dze jest równy 1) Niech f(d) = 0 dla d Q(R) Pokazać, że d R Wywnioskować, że jeżeli m N i m nie jest n ta pote ga liczby ca lkowitej, to n m jest liczba niewymierna Z 311 Niech R be dzie dziedzina z jednoznacznościa rozk ladu Udowodnić, że f(x, Y ) = X 4 + 2Y 2 X 3 + 3Y 3 X 2 + 4Y X + 5Y + 6Y 2 jest nierozk ladalny w R[X, Y ] Z 312 Zbadać, które z niżej podanych wielomianów sa nierozk ladalne w pierścieniu Z[X] i Q[X]: (a) 2X 8 + 22X 3 66X + 44 (b) X 4 21 (c) X 3 7X 2 + 3X + 3 (d) X p 1 + X p 2 + + X + 1, gdzie p jest liczba (e) (X a 1 )(X a 2 )(X a n ) 1, gdzie a 1, a 2, a n sa różnymi liczbami ca lkowitymi (f) X 4 + 15X 3 + 7 (Wskazówka: Zredukować modulo 5 i zbadać rozk ladalność X 4 + 2 w Z 5 [X]) (g) X n p, gdzie p jest liczba Z 313 Niech K bdzie ciaem a f, g K[X] wielomianami wzgldnie pierwszymi Niech Y inna zmienna i niech E = Q(K[Y ]) Traktujc wielomiany f, g jako elementy E[X] pokaza, e wielomian f Y g jest nierozkadalny w E[X]

7 Cia lo u lamków Z 314 Znaleźć Q(Z (p) ) (zad 41) Z 315 Niech a R nie be dzie dzielnikiem zera Niech R a = {(b, a n ): b R, n N {0}}/, gdzie (b, a n ) (c, a m ) ba m = ca n z dzia laniami (b, a n ) + (c, a m ) = (ba m + ca n, a m+n ), (b, a n ) (c, a m ) = (bc, a m+n ) Sprawdzić, że R a jest pierścieniem izomorficznym z R[X]/(aX 1) Pokazać, że obraz elementu a przy homomorfizmie R R[X]/(aX 1) przechodzi na element odwracalny Z 316 Niech R be dzie DIG i niech S be dzie pierścieniem takim, że R S Q(R) a) Pokazać, że każdy element S może być przedstawiony w postaci a b gdzie a R i 1 b S b) Pokazać, że S jest DIG Piercienie ilorazowe piercieni wielomianów Z 317 Niech R be dzie dziedzina cakowitości Udowodnić, że jeżeli a R jest elementem odwracalnym, zaś b R dowolnym, to Φ : R[X] R[X] dane wzorem Φ(X) = ax + b jest automorfizmem i że każdy automorfizm R[X] be da cy identycznościa na R jest tej postaci Znaleźć wszystkie automorfizmy Z[X],Q[X] i Z p [X] Z 318 Niech I R be dzie idea lem Udowodnić, że Ĩ = {f R[X]: f = a 0 + a 1 X + + a n X n, a 0 I} jest idea lem Sprawdzić, że Ĩ jest idea lem pierwszym (maksymalnym) wtedy i tylko wtedy, gdy I jest pierwszy (maksymalny) Niech R = Z, I = 2Z Czy Ĩ jest idea lem g lównym? Z 319 Rozpatrzmy Z p [X]/(X 2 2) i Z p [X]/(X 2 3) Dla p = 5,p = 7 i p = 11 rozpatrze czy pierścienie te sa izomorficzne Z 320 Wykazać, że Z 5 [X]/(X 3 + X + 1) jest cia lem o 125 elementach Korzystaja c z algorytmu Euklidesa znaleźć odwrotność elementu reprezentowanego przez wielomian X 2 + 1 Rozszerzenia cia l Z 321 Udowodnić, że Q( 2 + 3) = Q( 2, 3) Z 322 Znajdź stopnie liczb 2, 3, 2 3, 2 3 nad cia lem Q Z 323 Udowodnić, że jeśli cia lo o p n elementach zawiera, jako podcia lo, cia lo o p m elementach, to m n Z 324 Udowodnić, że jeżeli K jest cia lem o q elementach, to w pierścieniu K[X] ma miejsce równość: X q 1 1 = a K (X a)