1 Úvodem Prezentace předmětu VMP je vytvořena pro nový předmět, který si klade za cíl seznámit studenty se základy lineární algebry a se základy numerické matematiky. Zejména v prvním tématu budeme pracovat s reálnými a komplexními čísly dále je vhodné seznámit se základy analytické geometrie, která s lineární algebrou úzce souvisí V druhém tematickém celku se předpokládá základní znalosti z matematické analýzy funkce jedné proměnné a funkcí více proměnných. Pro procvičení základních pojmů na typických příkladech doporučuji i sbírku příkladů pro předmět Matematika 1 (BMA1) Sbírka z matematiky 1 autora Zdeňka Svobody Pro zájemce o hlubší seznámení se s těmito pojmy z vícerozměrné analýzy je vhodné doporučit studijními texty Matematika 2 autorů Zdeňka Svoboda Jiřího Vítovce Dále je možné doporučit pro rozšíření pojmů i studijní texty určené pro magisterské studium Maticový a tenzorový počet autor Martina Kovára. Komplexní čísla mohou být pro některé studenty novým pojmem, proto uved me stručný přehled jejich vlastností.
0.1 Komplexní čísla 2 0.1 Komplexní čísla Připomeňme, že komplexní čísla zapisujeme z = a + jb, kde a, b R jsou reálná čísla a imaginární jednotka j splňuje vlastnost j 2 = 1. Číslo a se nazývá reálná část a = R(z) a b je imaginární část b = I(z) komplexního čísla z. Pro počítání s komplexními čísly z i = a i + jb i, kde i = 1, 2. platí pravidla: z 1 ± z 2 = a 1 + jb 1 ± (a 2 + jb 2 ) = a 1 ± a 2 + j(b 1 ± b 2 ) z 1 z 2 = (a 1 + jb 1 )(a 2 + jb 2 ) = a 1 b 1 + j 2 a 2 b 2 + ja 1 b 2 + ja 2 b 1 = a 1 b 1 a 2 b 2 + j(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) z 1 = z 1 z 2 = a 1 + jb 1 a 2 jb 2 = a 1a 2 b 1 b 2 + j(a 1 b 2 + a 2 b 1 ) z 2 z 2 z 2 a 2 + jb 2 a 2 jb 2 a 2 + b 2 Zde použité číslo z = a jb se nazývá číslo komplexně sdružené k číslu z = a + jb. Komplexní čísla z = x + jy zobrazujeme jako body v rovině, pak z = x 2 + y 2 je vzdálenost bodu z = [x, y] od počátku, které nazýváme modul nebo velikost komplexního čísla z = x + jy, a ϕ úhel, který svírá průvodič bodu z = [x, y] s kladným směrem reálné osy x a ϕ = arg z nazýváme argumentem komplexního čísla z. Další možností jak vyjádřit komplexní číslo z = x + jy 0 je goniometrický tvar z = x + jy = z (cos ϕ + j sin ϕ) = z (cos arg z + j sin arg z).
0.1 Komplexní čísla 3 y Im z z = x + jy z arg z 0 x Re z y z = x jy Tento nový zápis komplexních čísel zjednodušuje násobení a dělení komplexních čísel: z 1 z 2 = z 1 z 2 arg z 1 z 2 = arg z 1 + arg z 2
0.1 Komplexní čísla 4 z 1 z 2 = z 1 z 2 arg z 1 z 2 = arg z 1 arg z 2, navíc je možné snadno počítat mocniny komplexního čísla z n = z n arg z n = n arg z
5 1 Vektory, vektorové prostory 1.1 Motivace Studenti středních škol se již seznámili s pojmem vektor. V geometrii a fyzikálních úvahách se za vektor považuje orientovaná úsečka ( dvojice bodů ), která je charakterizována velikostí směrem a orientací. V analytické geometrii se také k popisu vektorů používají uspořádané dvojice resp. trojice reálných čísel. Užitečnost těchto nástrojů je motivací k zobecnění. Rozlišujeme přitom dva základní typy - vektory a skaláry. Skaláry rozumíme čísla - reálná nebo komplexní.
1.2 Vektorový prostor 6 1.2 Vektorový prostor Definice 1.1. Necht je dána množina V vektorů a množina skalárů S (čísel). Necht je definována binární operace : V 2 V na množině V (sčítání vektorů), taková, že pro a, b, c V platí : a b = b a, (1.1) ( a b ) c = a ( b c ), (1.2) existuje prvek 0 V (nulový vektor) takový, že pro libovolný prvek a V platí ke každému vektoru a existuje vektor a (opačný vektor) takový, že tuto skutečnost také zapisujeme jako odčítání vektorů a 0 = a (1.3) a ( a ) = 0 (1.4) a a = 0 Dále je definována operace : S V : V násobení vektoru skalárem α a
1.2 Vektorový prostor 7 Pro libovolné vektory a, b V a libovolné skaláry α, β S platí Potom trojici V = (V,, ) nazýváme vektorovým prostorem. α ( a b) = α a α b (1.5) (α + β) a = α a β b (1.6) α (β a) = (αβ) a (1.7) 1 a = a (1.8) Přestože je tato definice poměrně obecná, což umožňuje studovat nejrůznější prostory ( příklady jsou uvedeny v následující poznámce ), lze poměrně snadno dovodit některé jednoduché důsledky Existuje jediný 0,nebot z existence dvou nulových vektorů 0 1, 0 2 plyne užitím (1.3) jejich rovnost 0 1 = 0 1 + 0 2 = 0 2 Nulový násobek libovolného vektoru je nulový vektor podle (1.6), (1.3) a = (1 + 0) a = 1 a 0 a = a + 0 a 1 a = a, nebot užitím předchozího vztahu a (1.4), (1.6) platí: 0 = (1 1) a = 1 a ( 1) a = a ( a).
1.2 Vektorový prostor 8 Uved me některé příklady. Poznámka 1.2. 1. Prostor reálných n-tic spolu s reálnými čísly a operací sčítání a násobení skalárem definovaných takto: (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ), α(a 1,..., a n ) = (αa 1,..., αa n ) Tvoří vektorový prostor, který značíme R n. Kdybychom uvažovali komplexní čísla jako skaláry o vektorový prostor by nešlo, protože násobek komplexního skaláru s reálnou n-ticí čísel je n-tice komplexních čísel. Prostor všech komplexních n-tic spolu s komplexmi čísly s analogicky definovanými operacemi tvoří vektorový prostor, který značíme C n. 2. Prostor všech volných vektorů tj. množin orientovaných úseček, které mají stejný směr, velikost a orientaci spolu s reálnými čísly a operacemi definovanými obvyklým způsobem. 3. Prostor všech funkcí se stejným definičním oborem a s obvyklým sčítáním funkcí a násobení funkce číslem. 4. Prostor všech polynomů (všechny polynomy mají za definiční obor množinu reálných čísel R). Také prostor všech polynomů stupně nejvýše n tvoří vektorový prostor, který značíme P n.
1.2 Vektorový prostor 9 5. Dále poznamenejme, že v mnohých případech operace,, zapisujeme pomocí obvyklých operací +,,. Jedná se zejména o prostory funkcí o uspořádané n-tice atp. Pokud Nebude řečeno jinak budou v následujícím textu všechny vektorové prostory uvažovány nad reálnými čísly. Tak jako je množina polynomů podmnožinou množiny všech funkcí s definičním oborem R, tak i jiné podmnožiny uzavřené vzhledem k operaci sčítání a násobení, např. prostor všech periodických funkcí s periodou p tvoří vektorové prostory. Na druhou stranu ne každá podmnožina prostoru funkcí tvoří vektorový prostor, jako např. množina všech periodických funkcí (součet funkcí s různými periodami nemusí být periodická funkce) nebo množina nezáporných funkcí, nebot není uzavřená vzhledem k násobení číslem atd. Tyto úvahy vedou k zavedení pojmu podprostoru. Definice 1.3. Necht V = (V,, ) je vektorový prostor. Necht je dána podmnožina U V. Jestliže pro všechny u 1, u 2 U a všechna čísla α platí u 1 u 2 U, α u U, je trojice U = (U,, ) vektorový prostor a říkáme, že je podprostorem vektorového prostoru V.
1.2 Vektorový prostor 10 Poznamenejme, že neprázdný průnik vektorových prostorů je vektorový prostor. Velmi důležitým pojmem je lineární závislost resp. nezávislost vektorů, proto zavedeme pojem lineární kombinace vektorů. Necht a 1,..., a n jsou vektory a α 1,..., α n jsou čísla potom vektor α 1 a 1 α 2 a 2 α n a n = n α i a i (1.9) i=1 nazýváme lineární kombinací vektorů a 1,..., a n s koeficienty α 1,..., α n. Volbou α i = 0 pro i = i,..., n má rovnice n i=1 α i a i = 0 vždy tzv. triviální řešení. Proto je pojem lineární nezávislosti zaveden následovně: Definice 1.4. Řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé, jestliže z rovnosti n α i a i = 0 plyne α i = 0 pro všechna i = 1,..., n. (1.10) i=1 V opačném případě říkáme, že vektory jsou lineárně závislé. Příklad 1.5.
1.2 Vektorový prostor 11 1. Ukažte, že v prostoru reálných trojic spolu s reálnými čísly jsou vektory a 1 = (1, 0, 1), a 2 = (1, 1, 1), a 3 = (1, 0, 0) lineárně nezávislé a přidáním libovolného vektoru a 4 = (a, b, c) vzniknou vektory lineárně závislé. Řešení. Řešíme rovnici ze vztahu (1.10) pro konkrétní vektory α 1 (1, 0, 1) + α 2 (1, 1, 1) + α 3 (1, 0, 0) = (α 1 + α 2 + α 3, α 2, α 1 ) = (0, 0, 0) Porovnáním jednotlivých pozic těchto trojic získáme tři rovnice α 1 +α 2 +α 3 = 0 α 2 = 0 α 1 +α 2 = 0 Z druhé rovnice dostáváme α 2 = 0, dosazením do třetí dostáváme α 3 = 0 a dosazením do první rovnice α 1 = 0 Přidáním čtvrtého vektoru a 4 = (a, b, c) se rovnice (1.10) pro konkrétní vektory a 1, a 2, a 3, a 4 modifikuje na rovnici α 1 (1, 0, 1) + α 2 (1, 1, 1) + α 3 (1, 0, 0) + α 4 (a, b, c) = (α 1 + α 2 + α 3 + aα 4, α 2 + bα 4, α 1 + cα 4 ) = (0, 0, 0)
1.2 Vektorový prostor 12 Porovnáním jednotlivých pozic těchto trojic získáme tři rovnice α 1 +α 2 +α 3 + aα 4 = 0 α 2 bα 4 = 0 α 1 +α 2 cα 4 = 0 Tato soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení. Položíme-li α 4 = 1, podobně jako v předchozích rovnicích dostáváme α 2 = b, dosazením do třetí dostáváme α 3 = c b a následným dosazením do první rovnice α 1 = a c. 2. Ukažte, že v prostoru všech polynomů stupně nejvýše 4 jsou polynomy P i (x) = x i pro i = 0,..., 4 lineárně nezávislé a přidáním libovolného polynomu P (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 vzniknou polynomy lineárně závislé. Řešení. Lineární kombinace v polynomů P i (x) s koeficienty α i se porovná s nulovým vektorem 0(x) = 0: 4 α i P i (x) = α 4 x 4 + α 3 x 3 + α 2 x 2 + α 1 x + α 0 = 0. i=0 Z vlastností operací s polynomy dostáváme. α 4 = 0, α 3 = 0, α 2 = 0, α 1 = 0, α 0 = 0,
1.2 Vektorový prostor 13 což dokazuje lineární nezávislost. Přidáním polynomu P (x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 dostáváme 4 (α i P i (x)) α 5 P (x) = i=0 α 4 x 4 + α 3 x 3 + α 2 x 2 + α 1 x + α 0 + α 5 (a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) = (α 4 + α 5 a 4 )x 4 + (α 3 + α 5 a 3 )x 3 + (α 2 + α 5 a 2 )x 2 + (α 1 + α 5 a 1 )x + α 0 + α 5 a 0 = 0. Tato soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení např. α 4 = a 4, α 3 = a 3, α 2 = a 2, α 1 = a 1, α 0 = a 0, α 5 = 1. V obou příkladech bylo možné přidaný vektor vyjádřit jako lineární kombinaci původních vektorů (a, b, c) = (a b)(1, 0, 1) + b(1, 1, 1) + (c b)(1, 0, 0) nebo a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 4 a i x i i=1 Tyto úvahy jsou motivací zavést následující pojmy. Existuje-li maximální počet lineárně nezávislých vektorů vektorového prostoru V nazýváme toto číslo dimenzí vektorového prostoru V a zapisujeme ji dim(v ).
1.2 Vektorový prostor 14 Definice 1.6. Je-li V vektorový prostor dimenze n = dim(v ), potom každou n-tici lineárně nezávislých vektorů v i i = 1,..., n nazýváme bází vektorového prostoru. Přidáním libovolného vektoru v k bázi vektorového prostoru v 1,..., v n závislých vektorů a vektor v lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci vznikne soustava lineárně v = n α i v i. (1.11) i=1 Čísla α i ze vztahu 1.11 jsou určena jednoznačně, nebot při dvojím vyjádření tohoto vektoru, plyne rovnost těchto čísel z lineární nezávislosti vektorů v i i = 1,..., n a ze skutečnosti, že koeficienty lineární kombinace 0 = v v jsou nulové. Definice 1.7. Čísla α 1,..., α n ze vztahu 1.11 nazýváme souřadnicemi vektoru v vzhledem k bázi v 1,..., v n. Pro systém lineárně nezávislých vektorů platí, že množina všech lineárních kombinací těchto vektorů spolu s původními operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem tvoří vektorový prostor, který je podprostorem původního.
1.2 Vektorový prostor 15 Definice 1.8. Necht je dána množina lineárně nezávislých v 1,..., v k potom vektorový prostor všech lineárních kombinací těchto vektorů nazýváme jejich lineárním obalem a značíme jej L( v 1,..., v k ). Poznámka 1.9. V prostoru polynomů uvažujme systém polynomů P i (x) = x i pro i = 0, 1, 2,.... Každá konečná podmnožina této množiny je lineárně nezávislá. V takovém případě hovoříme vektorovém prostoru nekonečné dimenze. Z příkladu 1.5 1) plyne, že vektorový prostor reálných trojic má dimenzi 3 ( obecně prostor lineární n-tic má dimenzi n ) a vektor (a, b, c) má souřadnice a b, b, c b vzhledem bázi (1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0) Z příkladu 1.5 2) plyne, že vektorový prostor polynomů stupně nejvýše 4 má dimenzi 5 ( obecně polynomů stupně nejvýše n, který značíme P n, má dimenzi n+1 ) a vektor a 4 x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 má souřadnice a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 vzhledem bázi x 4, x 3, x 2, x, 1 Souřadnice vektoru vzhledem k bázi umožňují detailnější studium. Navív spolu s pojmem lineárního zobrazení umožňují studovat vlastnosti vektorových prostorů pomocí prostoru reálných n-tic. Definice 1.10. Zobrazení L : V 1 V 2 vektorového prostoru V 1 do V 2 se nazývá lineární, jestliže zachovává linearitu, což znamená, že pro libovolné vektory u, v V 1, jejich obrazy L( u), L( v) a libovolné skaláry α, β platí: L(α u β v) = α L( u) β L( v) (1.12)
1.2 Vektorový prostor 16 Je-li navíc toto zobrazení bijekcí nazýváme vektorové prostory V 1, V 2 isomorfní. Snadno lze ukázat, že obraz nulového vektoru je nulový vektor, obraz L( V 1 ) vektorového prostoru V 1 je vektorovým podprostorem vektorového prostoru V 2. Jsou-li isomorfní prostory V 1, V 2 konečné dimenze platí dim(v 1 ) = dim(v 2 ), nebot inverzní zobrazení je také lineární a obraz báze je báze. Příklad 1.11. Ukažte, že zobrazení L z prostoru reálných čtveřic R 4 do prostoru polynomů stupně nejvýše 4 P 4 definované vztahem: L(a, b, c, d) = dx 2 + (b + c)x + a + c (1.13) je lineární a obraz L(R 4 ) je vektorovým podprostorem dimenze 3 vektorového prostoru P 4. Řešení. Uvažujme libovolné 2 vektory v i = (a i, b i, c i, d i ) pro i = 1, 2 a 2 libovolná čísla α 1, α 2. Ukážeme rovnost L(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = L((α 1 a 1 + α 2 a 2, α 1 b 1 + α 2 b 2, α 1 c 1 + α 2 c 2, α 1 d 1 + α 2 d 2 )) = (α 1 d 1 + α 2 d 2 )x 2 + (α 1 b 1 + α 2 b 2 + α 1 c 1 + α 2 c 2 )x + α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 1 c 1 + α 2 c 2 = α 1 [d 1 x 2 + (b 1 + c 1 )x + a 1 + c 1 )] + α 2 [d 2 x 2 + (b 2 + c 2 )x + a 2 + c 2 )] = α 1 L( v 1 ) + α 2 L( v 2 ) Protože obrazy lineárního zobrazení jsou polynomy stupně nejvýše 2, může být dimenze L(R 4 ) maximálně 3. To, že je právě 3, prověříme tak, že najdeme 3 lineárně nezávislé obrazy vhodných vektorů z R 4 : L((0, 0, 0, 1) = x 2, L((0, 1, 0, 0)) = x L((1, 0, 0, 0)) = 1.
1.2 Vektorový prostor 17 Poznámka 1.12. Protože všechny vektorové prostory dimenze n jsou isomorfní s prostorem reálných n -tic je možné vektory popsat n-ticemi tak, že v daném vektorovém prostoru V zvolíme konkrétní bázi e 1,..., e n a libovolný vektor v zobrazíme na n-tici jeho souřadnic v i vzhledem k základní, elementární bázi e 1,..., e n. Proto často píšeme v = (v 1,..., v n ). V prostoru reálných n-tic se báze z vektorů e i, které obsahují 0 s výjimkou i-té pozice obsahující 1 nazývá elementární bází. V prostoru polynomů se báze z vektorů e i = x i nazývá elementární bází. V prostoru volných vektorů je báze z vektorů e i, které jsou jednotkové vektory na souřadných osách v pořadí X, Y, Z nazývá elementární bází. Lineární zobrazení je možné popsat pomocí obdélníkového schématu (matice) čísel. Uvažujme, že je definováno lineární zobrazení L : U V vektorového prostoru U o dimenzi n s bází u 1,..., u n do vektorového prostoru V o dimenzi m s bází u 1,..., v m. Každý obraz L( u i ), i = 1,..., n vektoru báze u 1,..., u n je vektorem prostoru V, proto můžeme nalézt jeho souřadnice vzhledem k bázi v 1,..., v n. L( u i ) = a i1 v j a im v m
1.2 Vektorový prostor 18 Obdélníkové schéma a 11 a 12 a 1,m a 21 a 22 a 2,m A =...... a n1 a n2 a nm nazýváme matice lineárního zobrazení L a zapisujeme ji M(L) = A. Prvky této matice spolu se souřadnicemi libovolného vektoru u = (u 1, u 2,..., u n ) umožní určit souřadnice vektoru L( u) = v = (v 1, v 2,..., v m ) n n m n m L((u 1,..., u n )) = u i L( u i ) = u i a ij v j = u i a ij v j = i=1 m n u i a ij v j = i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 j=1 ( m n ) ( n u i a ij v j = u i a i1, ) n n u i a i2,..., u i a in (1.14) Příklad 1.13. Nalezněte matici lineárního zobrazení z příkladu 1.13 vzhledem k elementárním bázím a ověřte vztah (1.14) pro vektor (1, 2, 4, 8). Řešení. Zobrazeni je definováno vztahem L(a, b, c, d) = dx 2 + (b + c)x + a + c. Určíme souřadnice vektorů
1.2 Vektorový prostor 19 elementární báze prostoru R 4 vzhledem k elementární bázi prostoru polynomů stupně nejvýše 4: L((1, 0, 0, 0)) = 1 1 0 0 0 0 L((0, 1, 0, 0)) = x A = 0 1 0 0 0 L((0, 0, 1, 0)) = x + 1 1 1 0 0 0 L((0, 0, 0, 1)) = x 2 0 0 1 0 0 Nyní na tomto příkladě prověříme vztahy 1.14. Nejdíve nalezneme souřadnice vektoru L((1, 2, 4, 8)) vzhledem k standartění bázi 1, x, x 2, x 3, x 4 z definice tohoto zobrazení: L((1, 2, 4, 8)) = 8x 2 + (2 + 4)x + 1 + 4 = 4x 2 + 5x + 4 = 8x 2 + 6x + 5 = (5, 6, 8, 0, 0) Nyní budeme počítat souřadnice obrazu L((1, 2, 4, 8)) podle pravé strany rovnosti 1.14 1 1 +2 0 +4 1 +8 0 = 5 1 0 +2 1 +4 1 +8 0 = 6 1 0 +2 0 +4 0 +8 1 = 8 1 0 +2 0 +4 0 +8 0 = 0 1 0 +2 0 +4 0 +8 0 = 0 Porovnáním se souřadnicemi vektoru L((1, 2, 4, 8)) = (5, 6, 8, 0, 0) jsou ověřeny vzorce 1.14.
1.2 Vektorový prostor 20 Poznámka 1.14 (motivační). Zmíníme se o velmi důležitém isomorfismu z analytické geometrie. Cílem analytické geometrie je přiřazení souřadnic bodům v trojrozměrném Euklidovském prostoru E 3 a popsat nejrůznější množiny bodů pomocí řešení rovnic..každý bod A = [a x, a y, a z ] je určen trojicí čísel tak, že je zaveden tzv. souřadný systém, což je trojice souřadných os (X,Y,Z), které jsou na sebe vzájemně kolmé, a odpovídající čísla a x, a y, a z jsou souřadnice průsečíku odpovídající souřadné osy s rovinou, která prochází bodem A a je kolmá na tuto osu.
1.2 Vektorový prostor 21 Potom orientované úsečce AB, která vychází z bodu A = [a x, a y, a z ] a končí v bodě B = [b x, b y, b z ] je přiřazena uspořádaná trojice reálných čísel v = AB = B A = (b x a x, b y a y, b z a z ), což je isomorfismus mezi prostorem volných vektorů a prostorem reálných trojic, který obvykle zapisujeme jako rovnost. V Euklidovském prostoru je definována vzdálenost AB bodů A, B jako velikost úsečky AB takto AB = (b x a x ) 2 + (b y a y ) 2 + (b z a z ) 2. navíc je v tomto prostoru definován skalární součin AB AC vektorů AB, AC jako reálné číslo, které je součinem velikostí těchto vektorů s kosinem úhlu ϕ, které tyto vektory svírají AB AC = AB AC cos ϕ. Tomu odpovídá číslo v prostoru R 3, které je určeno vektory AB = v = (v 1, v 2, v 3 ) a AC = u = (u 1, u 2, u 3 ) vztahem u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. Tato definice je zobecněna pro prostor reálných n-tic a pro vektory v = (v 1,..., v n ) a u = (u 1,..., u 3 ) dostáváme n u v = u i v i. i=1
1.2 Vektorový prostor 22 Pro další zobecnění je třeba vycházet pouze z vlastností výše uvedených součinů: u v = v u (1.15) ( u + v) w = u w + v w (1.16) (α u) v = α u v (1.17) u u 0 (1.18) u u = 0 v = 0 (1.19) Definice 1.15. Necht V je vektorový prostor a je definována operace v 2 : S, které splňuje vztahy (1.15), (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) pro reálná čísla a pro čísla komplexní je vztah (1.15) nahrazen u v = v u, (1.20) kde je číslo v u komplexně sdružené k číslu v u. Potom tuto operaci nazýváme skalární součin vektorů. Tato definice je splněna pro všechny výše uvedené příklady a je poměrně obecná. Umožňuje také definovat více skalárních součinů pro jeden vektorový prostor jak ukážeme na příkladech. Příklad 1.16. V prostoru reálných n-tic můžeme skalární součin zobecnit do podoby (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = n α i x i y i, i=1
1.2 Vektorový prostor 23 kde α i > 0 jsou libovolná čísla. V prostorou C[a, b] spojitých funkcí na intervalu [a, b] je možné definovat skalární součin takto f g = b a µ(x)f(x)g(x)dx, kde µ(x) > 0 je libovolná spojitá funkce na intervalu [a, b]. Nazýváme ji váhovou funkcí. V prostoru polynomů stupně nejvýše n můžeme skalární součin definovat více způsoby. 1. Polynomy jsou spojité funkce, proto můžeme použít předchozí postup s libovolným konečným intervalem [a, b]. 2. Prostor polynomů stupně nejvýše n má dimenzi n+1, proto jej můžeme ztotožnit s prostorem n+1-tic a skalární součin definovat jako součet součinů odpovídajících koeficientů. Definice 1.17. Řekneme, že vektory u, v jsou kolmé, právě když u v = 0 a toto skutečnost zapisujeme u v. Poznámka 1.18. Definice kolmosti vektorů reflektuje cos(π/2) = 0. Vzájemné kolmosti vektorů báze tj. ortogonální báze lze využít k určení souřadnic libovolného vektoru vzhledem k této bází. Vynásobíme-li skalárně formální vyjádření tohoto vektoru jako lineární kombinace vektorů pomocí i-tého vektoru ortogonální báze dostaneme rovnici, ve které jsou všechny souřadnice kromě i-té souřadnice násobeny 0. Snadno pak z dané rovnice určíme i-tou souřadnici k této bázi.
1.2 Vektorový prostor 24 Příklad 1.19. Ověřte, že vektory v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (1, 1, 1), tvoří ortogonální bázi a určete souřadnice libovolného vektoru v = (a, b, c) vzhledem k této bázi. Řešení. Protože prostor B 3 má dimenzi 3, stačí prověřit jejich lineární nezávislost, kterou dokazuje jejich ortogonalita: (1, 2, 1) (1, 0, 1) = 1 + 0 1 = 0, (1, 2, 1) (1, 1, 1) = 1 2 + 1 = 0, (1, 0, 1) (1, 1, 1) = 1 1 = 0 Označme α 1, α 2, α 3 souřadnice vzhledem k ortogonální bázi v 1, v 2, v 3 = (1, 1, 1). Napíšeme rovnici pro souřadnice. (a, b, c) = α 1 (1, 2, 1) + α 2 (1, 0, 1) + α 3 (1, 1, 1) (1.21) Postupně budeme násobit rovnici (1.21) jednotlivými vektory báze: (a, b, c) (1, 2, 1) = α 1 (1, 2, 1) (1, 2, 1) a 2b + c = α 1 (1 + 4 + 1) α 1 = a 2b + c 6 (a, b, c) (1, 0, 1) = α 2 (1, 0, 1) (1, 0, 1) a c = α 2 (1 + 11) α 2 = a c 2 (a, b, c) (1, 1, 1) = α 3 (1, 1, 1) (1, 1, 1) a + b + c = α 3 (1 + 1 + 1) α 3 = a + b + c 3
1.2 Vektorový prostor 25 Dosazením takto získaných hodnot α 1, α 2, α 3 do vztahu (1.21) ověíme, že α 1, α 2, α 3 jsou souřadnicemi daného vektoru vzhledem k bázi v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (1, 1, 1): a 2b + c 6 (1, 2, 1) + a c 2 a + b + c (1, 0, 1) + (1, 1, 1) = (a, b, c) 3 Zavedení skalárního součinu ve vektorovém prostoru umožňuje měřit velikosti vektorů a jejich vzájemné úhly. Podobně jako v prostoru volných vektorů zavádíme pojem velikosti nebo-li normy vektorů Definice 1.20. Nezáporné číslo nazýváme norma nebo velikost vektoru. v = v v (1.22) Podobně lze určit úhel ( u, v) sevřený mezi vektory u, v: cos ( u, v) = u v u v
26 2 Matice, algebra matic, determinant. 2.1 Základní pojmy a operace Definice 2.1. Maticí nazýváme obdélníkové schéma prvků, pro které jsou definovány algebraické operace (např. čísla, funkce...). Prvky matice popisujeme pomocí indexů a ij označuje prvek nacházející se v i-tém řádku a j-tém sloupci. Matice označujeme obvykle velkými písmeny. O matici, která má m řádků a n sloupců, říkáme, že má typ matice m/n. Matici A T, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce (je typu n/m), nazýváme
2.1 Základní pojmy a operace 27 transponovanou maticí k matici A. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =......, AT = a 11 a 21... a m1 a 12 a 22... a m2......, a m1 a m2... a mn a 1n a 2n... a mn také používáme zkrácený zápis A = [a ij ]. Pro, matici A označujeme i-tý řádek (a i1... a in ) jako A(i, ) a podobně označujeme i-tý sloupec (a 1i... a mi ) T jako A(, i) Pro matice stejného typu definujeme součet resp. rozdíl matic jako matici součtů resp. rozdílů odpovídajících prvků, dále α - násobkem matice A nazýváme matici,která vznikne z původní tak, každý prvek násobíme α: A ± B = [a ij ± b ij ] = [a ij ] ± [b ij ] αa = α[a ij ] = [αa ij ]. Součet matic a jejich násobení číslem je natolik jednoduché, že je stačí ilustrovat jediným příkladem. Příklad 2.2. Vypočtěte: 5 3 3 4 2 + 6 1 ( ) T 9 10 12 = 7 5 8 15 9 9 7 6 2 12 6 + 10 5 = 2 1 18 3 12 8 6 5
2.1 Základní pojmy a operace 28 Poznámka 2.3. Snadno je možné prověřit, že množina všech matic stejného typu např. m/n spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice číslem tvoří vektorový prostor dimenze mn. Nulovým vektorem tohoto vektorového prostoru je nulová matice tj. matice, která je tvořena pouze 0. Abychom mohli ukázat některé podprostory těchto vektorových prostorů zavedeme další pojmy Definice 2.4. Je-li matice typu n/n, nazýváme ji maticí čtvercovou, číslo n nazýváme řádem matice. Jestliže pro prvky matice A = [a ij ] platí: i j a ij = 0, nazýváme matici diagonální a prvky a ii tvoří diagonálu matice, což zapisujeme A = diag(a 11,..., a nn ). Matici, pro kterou platí A T = A nazýváme maticí symetrickou. Jestliže pro čtvercovou matici A = [a ij ] platí: i < j a ij = 0, nazýváme ji horní trojúhelníkovou maticí, analogicky pro i > j a ij = 0, i nazýváme spodní trojúhelníkovou maticí. V prostoru čtvercových matic řádu n je podprostorem prostor všech symetrických matic řádu n a v něm je podprostorem prostor všech diagonálních matic řádu n. Podobně horní resp. dolní trojúhelníková matice tvoří podprostory v odpovídajících prostorech matic. Pro následující definici násobení matic můžeme hledat motivaci ve vlastnostech lineárního zobrazení a jeho maticích. Definice 2.5. Násobení matic je definováno pro matice A typu a B typu n/p tak, že výsledná matice n C = AB je typu m/p a platí c ij = a il b lj. l=1
2.1 Základní pojmy a operace 29 Násobení matic provedeme nejdříve pro speciální tvar matic: A = (1 2 3) je typu 1/3, B = (5 2 3) T je typu 3/1. Součin AB je matice typu 1/1 a součin BA je matice typu 3/3: 5 5 5 10 15 (1 2 3) 2 = 1 5 2 2 3 3 = 8 2 (1 2 3) = 2 4 6 3 3 3 6 9 První součin ukazuje jak se násobí řádek první matice se sloupcem matice druhé. Druhý ilustruje kam tento výsledek ve výsledné matici umístit. Příklad 2.6. Vynásobte matice: 1. ( ) ( ) 4 4 3 6 5 3 5 4 3 2 = ( ) 12 16 24 + 12 20 8 = 9 20 15 + 12 15 10 ( 4 3 ) 12 11 3 5 2. 4 2 3 2 6 5 1 2 2 2 1 4 3 4 5 6 2 3 = 32 6 17 16 32 37 16 3 0
2.1 Základní pojmy a operace 30 3. 2 1 4 3 4 5 6 2 3 4 2 3 2 6 5 1 2 2 = 6 6 20 15 8 43 23 18 0 Poznamenejme, že obecně násobení matic není komutativní tj. AB BA ani v případě čtvercových matic. V dalším příkladě uvedené postupy budeme násobení matic kombinovat s již dříve uvedenými operacemi. Příklad 2.7. Vypočtěte maticový výraz: T 3 2 1 4 1 4 3 2 5 3 2 1 3 0 3 4 5 + 2 5 3 3 4 1 3 3 2 = 2 3 4 1 0 5 8 1 3 8 1 1 5 1 3 7 2 3 8 27 26 6 3 3 8 10 3 6 7 2 3 1 = 40 15 53 6 1 4 5 30 25 1 1 2 1
2.1 Základní pojmy a operace 31 Poznámka 2.8. Ztotožníme-li vektory reálných n-tic s maticemi typu 1/n (řádkové vektory) můžeme vztah (1.14) přepsat v přehlednější maticový zápis L((u 1,..., u n )) = (u 1,..., u n )M(L). Navíc je možné ověřit, že pro složené lineární zobrazení L 1 L 2, které je definované pro dvojici lineárních zobrazení L 1 : U V, L 2 : V W tak, že L 1 L 2 ( v) = w existuje alespoň jeden vektor v V takový, že L 1 ( u) = v a současně L 1 ( v) = w, platí: Pro násobnení matic platí asociativní zákon: M(L 1 L 2 ) = M(L 1 )M(L 2 ). A(BC) = (AB)C = ABC. Definice 2.9. Matici E n typu n/n, která se při násobení chová jako 1 při násobení číselném oboru, nazýváme jednotkovou maticí a je s výjimkou tzv. hlavní diagonály (e ii = 1) tvořena nulami. 1 0... 0 0 1... 0 E n = diag(1,..., 1) =..... (2.1). 0 0... 1
2.2 Determinant 32 Inverzní matici A 1 k čtvercové matici A, je taková matice, že platí AA 1 = E n = A 1 A. Motivací pro zavedení inverzní matice může být řešení maticových rovnic AX = B A 1 AX = A 1 B X = A 1 B, protože jednotková matice při násobení matic zachová původní matici, tj. chová se jako jednotka při násobení čísel. Proto násobení inverzní maticí můžeme přirovnat k dělení matic. Poznamenejme, že obecně inverzní matice nemusí existovat. Kritériem existence je nenulovost determinantu. 2.2 Determinant Poznámka 2.10 (motivační). Na středních školách se někdy učí řešit soustavu dvou lineárních rovnic ax + by = e, cx + dy = f o dvou proměnných pomocí vzorců. Vynásobíme-li první rovnici číslem c a druhou číslem a a rovnice odečteme dostáváme (bc ad)y = ce df y = af ce ad bc analogicky x = de bf ad bc.
2.2 Determinant 33 V obou zlomcích je stejný jmenovatel, jehož nulovost předurčuje nebo li determinuje možnost použití těchto vzorců. Proto číslo a b ( ) a b c d = ad bc nazýváme determinantem matice A =. c d Tento pojem umožňuje symbolický zápis daného řešení e b f d a e c f x = a b y = c d a b c d Pro čtvercovou matici zavádíme determinant, což je postup, jak této matici přiřadit objekt stejného typu jako jsou prvky této matice a sice jako součet součinů prvků této matice opatřených znaménkem. Zavedeme proto pojem permutace množiny {1, 2,..., n}, což je uspořádaná n-tice (i 1, i 2,..., i n ) prvků této množiny (tj. {i 1, i 2,..., i n } = {1, 2,..., n}). Inverzí v permutaci (i 1, i 2,..., i n ) nazýváme dvojici j, k {1, 2,..., n} takovou, že j < k i j > i k. Znaménkem permutace (i 1, i 2,..., i n ) rozumíme číslo ( 1) k(i 1,i 2,...,i n), kde k(i 1, i 2,..., i n ) je počet inverzí v permutaci (i 1, i 2,..., i n ). Nyní můžeme definovat determinant. Definice 2.11. Determinantem A (také det(a)) matice A označujeme objekt stejného typu jako jsou prvky této matice, který získáme jako součet všech součinů prvků matice A takových, že je v něm z
2.2 Determinant 34 každého řádku a sloupce obsažen právě jeden prvek nebo-li a 1i1 a 2i2... a nin (tj. (i 1, i 2,..., i n ) je permutace), opatřených znaménky permutace (i 1, i 2,..., i n ). Což lze formálně zapsat A = ( 1) k(i 1,i 2,...,i n) a 1i1 a 2i2... a nin (2.2) (i 1,i 2,...,i n) Pro matici typu 2/2 existují dvě permutace (1, 2), (2, 1) množiny {1, 2}. První neobsahuje inverzi a znaménko této permutace je 1 = ( 1) 0, druhá obsahuje jednu inverzi a znaménko této permutace je 1 = ( 1) 1. Determinant matice typu 2/2 vyhovuje obecné definici: A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21, kde součin a 11 a 22 odpovídá permutaci (1, 2) a součin a 12 a 21 odpovídá permutaci (2, 1). Pro matici typu 3/3 existuje 6 permutací (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) množiny {1, 2, 3} (obecně pro matici n/n to je n!). Permutace (1, 2, 3) neobsahuje inverzi, permutace (2, 1, 3), (1, 3, 2) obsahují 1 inverzi, permutace (2, 3, 1), (3, 1, 2) obsahují 2 inverze a (3, 2, 1) obsahuje 3 inverze. Determinant matice typu 3/3 je tedy tvořen třemi součiny se znaménkem 1 a třemi se znaménkem 1: a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32, a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33
2.2 Determinant 35 Již determinant matice typu 3/3 je obtížně zapamatovatelný, proto je možné použít tzv. Sarrusovo pravidlo. Kdy sepíšeme pod matici její první a druhý řádek a vytvoříme trojice ve směru hlavní resp. vedlejší diagonály, se znaménkem 1 resp. -1. Analogicky je možné vedle matice dopsat první a druhý sloupec. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 + a 21 a 22 a 23 + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + 3 4 7 Příklad 2.12. Vypočtěte determinant třetího řádu matice A = 2 3 4 8 4 4 Řešení. 3 4 7 2 3 4 = 3 3 4 + 4 4 8 + ( 2) ( 4) 7 (8 3 7 + 3 ( 4) 4 + ( 2) 4 4) = 8 4 4 36 + 128 + 56 (168 48 32) = 220 88 = 132.
2.2 Determinant 36 Uved me úpravy matice, které hodnotu determinantů nemění nebo mění předepsaným způsobem. Transponování matice hodnotu determinantu nemění, tj. A = A T. Tato vlastnost umožní další vlastnosti uvádět pouze pro řádky s tím, že pro sloupce platí analogicky. Nahrazení řádku jeho α-násobkem α-krát znásobí hodnotu determinantu. Přičtení α-násobku řádku matice k jinému řádku matice hodnotu determinantu nemění. Záměna dvou řádků matice změní znaménko determinantu. Je-li řádek tvořený 0 je determinant roven 0. Součet determinantů matic, které se liší pouze jedním řádkem, je roven determinantu matice, která se od původních liší tím, že má v uvedeném řádku součet řádků původních matic. Determinant součinu matic je roven součinu determinantů.
2.2 Determinant 37 Tyto úpravy jsou spolu s Laplaceovou větou základem výpočtu determinantů řádu n, nebot výpočet podle definice se nepoužívá pro jeho značnou pracnost (pro n = 4 součinů 4! = 16, pro n = 5 součinů 5! = 125,..). Před uvedením Laplaceovy věty je vhodné zavést pojem subdeterminantu a algebraického doplňku prvku. Definice 2.13. Vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce determinantu A řádu n vznikne determinant S ij řádu n 1, který nazýváme subdeterminantem determinantu A příslušným k prvku a ij. Opatříme-li tento znaménkem ( 1) i+j S ij = A ij hovoříme o algebraickém doplňku prvku a ij. Následující větu budeme formulovat pouze pro řádek, pro sloupce platí také Věta 2.14 (Laplaceova). Pro libovolný řádek determinantu platí, že hodnota determinantu je rovna součtu součinů prvku s jeho algebraickým doplňkem, přičemž součet se provádí přes všechny prvky tohoto řádku. Tato vlastnost je základem pro výpočet determinantu vyšších řádů nebot umožňuje snižovat jejich řád. Dále je možné v případě determinantu řádu n, který obsahuje blok nul (nulovou obdélnikovou submatici), které zaplňují původní determinant od levého spodního rohu až po prvek a i i, určit jeho hodnotu jako součin determinantů, které leží na hlavní diagonále tak, že první má svoji hlavní diagonálu od prvku a 1 1 po prvek a i i a druhý ji má od prvku a i+1 i+1 po prvek a n n.
2.2 Determinant 38 Příklad 2.15. Vypočtěte determinant: 1 2 4 5 1 2 1 1 1 2 2 0 2 4 1 1 Řešení. Nejdříve pomocí 4. řádku vynulujeme 4. sloupec tak, že k 1. řádku přičteme 5-ti násobek 4. řádku a k 2. řádku přičteme 4. řádek. Po rozvoji podle 4. sloupce (užitím Lapalceovy věty) určíme získaný determinant 3. řádu Sarussovým pravidlem. 1 2 4 5 9 18 9 0 9 18 9 1 2 1 1 3 2 2 0 1 2 2 0 = 1 2 2 0 = ( 1) 4+4 3 2 2 = 2 4 1 1 2 4 1 1 1 2 2 9( 2)( 2) + 3( 2)( 9) + 1( 18)( 2) 1( 2)( 9) ( 2)( 2)9 ( 2)3( 18) = 36. Další možností je pomocí prvního řádku vytvořit blok nul ve 3. a 4. řádku tak, že první řádek přičteme ke
2.2 Determinant 39 3. řádku a dvojnásobek 1. řádku přičteme ke 4. řádku. 1 2 4 5 1 2 4 5 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 0 = 1 2 0 0 6 5 = 1 2 2 4 1 1 0 0 9 9 6 9 5 9 = ( 2 2)(54 45) = 36. V dalším příkladu si ukážeme, že je možné určit determinant obecně řádu n. Příklad 2.16. Vypočtěte determinant: D(x 0,..., x n ) = 1 x 0 x 2 0... x n 0 1 x 1 x 2 1... x n 1....... 1 x n x 2 n... x n n Řešení. Při výpočtu užijeme rekurentní přístup a budeme postupně snižovat řád determinantu:
2.2 Determinant 40 1 x 0 x 2 0... x n 0 1 x 0 x 2 0... x n 0 1 x 1 x 2 1... x n 1 0 x 1 x 0 x 2 1 x 2 0... x n 1 x 2 0. =............ 1 x n x 2 n... x n n 0 x n x 0 x 2 n x 2 0... x n n x n 0 1 x 1 + x 0 x 2 1 + x 1 x 0 + x 2 n 1 0... x n i 1 x i 0 i=0 n 1 x (x i x 0 ) 2 + x 0 x 2 2 + x 2 x 0 + x 2 n 1 0... x n i 2 x i 0 i=0....... 1 x n + x 0 x 2 n + x n x 0 + x 2 n 1 0... x n i n x i 0 i=0 1 x 1 x 2 n 2 1 + x 1 x 0... x1 n i x i 0 n i=0 (x i x 0 )....... i=1 1 x n x 2 n 2 n + x n x 0... xn n i x i 0 i=1 i=0 Abychom získali jednoduchý rozvoj podle 1. sloupce, odečtením prvního řádku od každého následujícího získáme v prvním sloupci pod diagonálou 0. Po rozvoji z i-tého řádku vytkneme závorku (x i x 0 ), abychom získali v 1. sloupeci 1. Připomeňme vzorec použitý ( n 1 ) a n b n = (a b) a n 1 i b i i=0 Pomocí násobku x 0 prvního sloupce odečteme z druhého sloupce sčítance x 0 a analogicky násobkem x i 1 0 prvního sloupce odečteme z i 1-ho sloupce sčítance x i 1 0.
2.3 Inverzní matice 41 Tento postup budeme opakovat dále druhým až předposledním sloupcem a odvodíme tak vztah mezi determinanty n D(x 0,..., x n ) = (x i x 0 )D(x 0,..., x n ) Opakovaným použitím tohoto rekurentního vztahu dovodíme i=1 D(x 0,..., x n ) = n n (x i x 0 ) (x i x 1 ),... (x n x n 1 ) = i=1 i=2 n (x i x j ). i>j Pro výpočet determinantu je možné použít tento Maplet. Užitečnost pojmu determinantu a algebraického doplňku je možné ukázat ve vztahu k inverzní matici A 1. 2.3 Inverzní matice Inverzní matice existuje právě když, A 0. Definice 2.17. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže A 0. V opačném případě se matice A nazývá singulární.
2.3 Inverzní matice 42 Definice 2.18. Navíc K matici A vytvoříme matici adjungovanou adja tak, že každý prvek a ij nahradíme jeho algebraickým doplňkem A ij Potom je možné nalézt inverzní matici pomocí vzorce. A 1 = 1 A (adj(a))t (2.3) 5 1 2 Příklad 2.19. Vypočtěte inverzní matici k matici A = 4 3 2. 1 1 1 Řešení. Výpočet inverzní matice A 1 k matici začneme výpočtem determinantu. Ověříme totiž, že matice A je regulární. 5 1 2 5 1 4 3 2 4 3 = 15 2 + 8 (6 10 4) = 9 ( 8) = 1 1 1 1 1 1 + + + Dále vypočteme všechny algebraické doplňky: A 11 = ( 1) 1+1 3 2 1 1 = 1 ( 3 1 1 ( 2)) = 1
2.3 Inverzní matice 43 A 12 = ( 1) 1+2 4 2 1 1 = 2 A 13 = ( 1) 1+3 4 3 1 1 = 1 A 21 = ( 1) 2+1 1 2 1 1 = 3 A 22 = ( 1) 2+2 5 2 1 1 = 7 A 23 = ( 1) 2+3 5 1 1 1 = 4 A 31 = ( 1) 3+1 1 2 3 2 = 8 A 32 = ( 1) 3+2 5 2 4 2 = 18 A 33 = ( 1) 3+3 1 1 4 3 = 11 a sestavíme adjungovanou matici k matici A. 1 2 1 adj(a) = 3 7 4 8 18 11 a vypočteme A 1 A 1 = (adj(a))t A = 1 1 2 1 3 7 4 1 8 18 11 T 1 3 8 = 2 7 18 1 4 11
2.3 Inverzní matice 44 Poznamenejme, že inverzní matici je možné určit i podle algoritmu, užívajícího tzv. elementárních úprav, které provádíme bud pouze s řádky nebo pouze se sloupci. Pro výpočet inverzní matice se používají pouze tři typy úprav. Následující tři úpravy, které zprostředkuje násobení vhodnou maticí, nazýváme ele- Definice 2.20. mentárními: 1. prohození dvou řádků (sloupců). Tato matice se od jednotkové liší tím, že v i-tém řádku je 1 na j-té pozici a j-tém řádku je 1 na i-té pozici. 2. vynásobení i-tého řádku (sloupce) nenulovým výrazem α. Tato matice se od jednotkové liší tím, že v i-tém řádku je místo 1 výraz α. 3. přičtení α násobku i-tého řádku (sloupce) k jinému j-tému řádku (sloupci).tato matice se od jednotkové liší tím, že v i-tém řádku a j-tém sloupci místo 0 výraz α. Protože se jedná o stále násobení zleva resp. zprava, nelze řádkové nebo sloupcové úpravy střídat. Pro praktické použití této metody je vhodné vedle A resp. pod matici A napsat jednotkovou matici a provádět stejnou řádkovou resp. sloupcovou úpravu s celým řádkem resp. sloupcem. Protože součin elementárních matic, odpovídajících dané úpravě, dává matici inverzní, ve kterou se změní matice jednotková. Postup jak volit zmíněné úpravy není jednoznačný, ale je vhodné v matici A vytvořit nuly nejdříve pod diagonálou po sloupcích ve směru zleva doprava resp. po řádcích ve směru zprava doleva, poté podobně nad
2.3 Inverzní matice 45 diagonálou. Tyto nuly vytvoříme tak, že do diagonály umístíme nenulový prvek (např. záměnou řádků) a potom k ostatním řádkům přičteme vhodné násobky tohoto řádku. Abychom se vyhnuli počítání se zlomky je vhodné ponechat na konec postupu případné podělení řádků nebo sloupců vhodnými čísly, které upraví diagonální matici na matici jednotkovou. Postup budeme ilustrovat u výše vypočtené matice. Jednotlivé úpravy, prováděné s maticí, jsou naznačeny vedle ní. 5 1 2 1 0 0 (1) 4 3 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 (4) 1 3 6 1 0 4 ( 4) 0 1 2 0 1 4 0 4 7 1 0 5 1 3 6 1 0 4 0 1 2 0 1 4 1 1 1 0 0 1 1 3 6 1 0 4 0 1 2 0 1 4 0 0 1 1 4 11 (2)(6) 1 3 0 7 24 62 1 0 0 1 3 8 ( 3) 0 1 0 2 7 18 0 1 0 2 7 18 ( 1) 0 0 1 1 4 11 0 0 1 1 4 11 Po úpravách v pravé polovině matice stojí inverzní matice 1 3 8 A 1 = 2 7 18. 1 4 11
2.3 Inverzní matice 46 Pokud při úpravách není možné do hlavní diagonály umístit nenulový prvek, inverzní matice neexistuje. Užití této metody se doporučuje u větších matic, to jest pro matice typu n/n, kde n 3. Daný postup lze s výhodou použít i při řešení maticové rovnice AX = B resp. XA = B, kdy hledanou matici X vyjádříme z dané rovnice X = A 1 B resp. X = BA 1. Stačí totiž v tomto algoritmu nahradit matici E n maticí B. V případě rovnice AX = B musí být Matice B napsána vlevo od matice A a používáme pouze řádkové úpravy a v případě rovnice AX = B musí být Matice B napsána pod matici A a používáme pouze sloupcové úpravy. Příklad 2.21. Řešte maticové rovnice: 5 1 2 5 10 8 5 1 2 a)x 4 3 2 = 7 14 11 b) 4 3 2 Y = 1 1 1 6 11 9 1 1 1 5 10 8 7 14 11 6 11 9 Řešení. Protože k matici, která násobí neznámou matici, známe inverzní matici, stačí jí danou rovnici vynásobit zprava resp. zleva: 5 10 8 5 1 2 X = 7 14 11 4 3 2 6 11 9 1 1 1 1 5 10 8 1 3 8 17 53 132 = 7 14 11 2 7 18 = 10 33 75 6 11 9 1 4 11 19 59 147
2.3 Inverzní matice 47 5 1 2 Y = 4 3 2 1 1 1 5 10 8 1 3 8 5 10 8 7 14 11 = 2 7 18 7 14 11 = 6 11 9 1 4 11 6 11 9 22 120 97 49 276 223 33 167 135 1 Nyní výpočty provedeme druhým postupem. Využijeme úprav, které jsme prováděli s maticí A při výpočtu její inverzní matice, proto vypočteme matici Y 5 1 2 5 10 8 1 3 6 29 54 44 4 3 2 7 14 11 0 1 2 17 58 47 1 1 1 6 11 9 1 1 1 35 65 53 1 3 0 29 54 44 1 0 0 1 3 8 0 1 0 17 58 47 0 1 0 2 7 18 0 0 1 33 167 135 0 0 1 1 4 11 1 3 0 169 948 766 1 0 0 22 120 97 0 1 0 49 276 223 0 1 0 49 276 223 0 0 1 33 167 135 0 0 1 33 167 135
2.3 Inverzní matice 48 Matice Y se nachází vedle jednotkové matice tj. 22 120 97 Y = 49 276 223 33 167 135 Matici X určíme pomocí sloupcových úprav matice, která vznikne tak, že pod matici A napíšeme matici z pravě strany rovnice: 5 1 2 7 3 2 1 3 8 4 3 2 2 1 2 0 1 0 1 1 1 5 10 8 0 0 1 13 2 8 0 0 1 17 2 4 7 14 11 4 3 11 10 3 5 6 11 9 15 2 9 19 2 5 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 17 53 132 0 0 1 17 53 132 10 33 75 19 59 147 10 33 75 19 59 147
2.4 Hodnost a norma matice 49 Podobně se matice X nachází pod jednotkovou maticí tj. 17 53 132 X 10 33 75 19 59 147 Inverzní matici lze přímo najít pomocí tohoto Mapletu. 2.4 Hodnost a norma matice Pomocí pojmu determinant definujeme také hodnost h(a) matice A. Definice 2.22. Řekneme, že matice A má hodnost h(a), což je řád největšího nenulového subdeterminantu této matice A, tj. determinantu čtvercové matice, která z matice A vznikne vynecháním potřebných řádků a sloupců. Výpočet hodnosti matice se obvykle neprovádí z definice, ale budeme danou matici pomocí úprav, které nemění nulovost determinantu (elementární úpravy z definice 2.20, dále vynechání nulového řádku, vynechání lineárně závislého řádku, transponování,..) převádět na schodovitý tvar.
2.4 Hodnost a norma matice 50 Definice 2.23. Matice je ve schodovitém tvaru, jestliže každý její další řádek začíná více nulami než řádek předcházející a řádky ze samých nul (pokud tam jsou) jsou na konci matice. Věta 2.24. Je-li matice ve schodovitém tvaru je její hodnost rovna počtu nenulových řádků. Protože určování hodnosti matice pomocí řádkových úprav je součástí Gaussovy eliminační metody řešení soustav lineárních rovnic, bude určování hodnosti matice procvičováno při této příležitosti. Další důležitou charakteristikou matice je norma matice. Definice 2.25. Necht je definována funkce, která každé matici A přiřadí nezáporné číslo A. Tuto funkci nazveme normou matice A, jestliže pro tuto funkci platí: 1. αa = α A 2. A + B A + B 3. A = 0 A je nulová matice. Uvedeme některé příklady používaný norem: norma řádková A 1 = max 1 j n m a ij, i=1
2.4 Hodnost a norma matice 51 norma sloupcová A = max 1 i m n a ij, j=1 ( m ) 1/2 n Frobeniova norma A = a ij 2 i=1 j=1
52 3 Soustavy lineárních rovnic. Definice 3.1. Systémem n lineárních rovnic o m neznámých x 1, x 2,..., x m rozumíme a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1m x m = b 1... a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a im x m = b i, (3.1)... a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nm x m = b n
53 který lze maticově zapsat ve tvaru: a 11 a 12... a 1m x 1 b 1..... a i1 a i2... a im x i = b i..... a n1 a n2... a nm x m b m nebo li A x = b. Za řešení považujeme každou m-tici, která po dosazení do všech rovnic dává identity. 1. A nazýváme maticí soustavy 2. x nazýváme vektorem neznámých 3. b nazýváme vektorem pravých stran 4. A b nazýváme rozšířenou maticí soustavy Poznamenejme, že v této kapitole budeme mluvit o sloupcových vektorech. Před uvedením obecného postupu při řešení systému lineárních rovnic se budeme zabývat speciálním případem, kdy je matice A soustavy čtvercová řádu n. Je-li matice A regulární ( A 0) má soustava právě jedno řešení, které můžeme určit pomocí inverzní matice A x = b x = A 1 b.
3.1 Gaussova eliminační metoda 54 Druhou možností je Cramerovo pravidlo, kdy je neznámá proměnná x i vyjádřená jako podíl detrminantů x i = A i A pro i = 1,..., n, (3.2) kde matice A i je vytvořena z matice soustavy tak, že nahradíme i-tý sloupec vektorem pravých stran. 3.1 Gaussova eliminační metoda Obecně je eliminační metoda založena na principu, že z jedné rovnice systému rovnic vyjádříme jednu neznámou a toto vyjádření dosadíme do zbývajících rovnic. Získáme tak systém, který má o jednu rovnici méně a tyto rovnice mají o jednu neznámou méně. Abychom celý proces měli přehledně zapsaný převedeme při Gaussově eliminační metodě na jiný systém snadněji řešitelný. Napíšeme rozšířenou matici soustavy a pomocí úprav popsaných při hledání hodnosti matice (s vyjímkou transponování) předeme matici na schodovitý tvar, ze kterého určíme strukturu řešení soustavy rovnic. Věta 3.2 (Frobeniova). Soustava má řešení, právě když h(a) = h(a b). Je-li navíc h(a) = n je toto řešení jediné. Jestliže h(a) < n, potom má soustava nekonečně mnoho řešení a je možné je popsat pomocí n h(a) parametrů. Poznamenejme, že neuděláme chybu, když budeme parametrizovat ty proměnné, kterými nezačíná řádek ve schodovitém tvaru.
3.1 Gaussova eliminační metoda 55 Příklad 3.3. Řešte systém lineárních rovnic x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 9 2x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 6x 4 = 10 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 1 2x 1 + 2x 3 + 4x 4 = 6 Řešení. Řešení zahájíme vytvořením rozšířené matice soustavy, kterou budeme dále pomocí elementárních úprav převádět na schodovitý tvar. Pro zvýraznění oddělíme sloupec pravých stran. 1 2 4 5 9 ( 2)( 3) 1 2 4 5 9 2 2 4 6 10 3 2 4 2 1 0 2 4 4 8 ( 3/2)( 2) 0 3 6 6 12 2 1 2 4 6 0 4 8 13 26 1 2 4 5 9 1 2 4 5 9 0 2 4 4 8 ( 1/2) 0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 0 0 0 5 10 1/5 0 0 0 1 2 V poslední matici jsme vynechali řádek tvořený 0. Hodnosti matice soustavy a rozšířené matice soustavy jsou stejné, proto řešení existuje. Protože soustava rovnic má 4 neznámé (4 > 3), řešení existuje nekonečně mnoho a je možné je popsat pomocí jednoho parametru (4 3). Protože x 3 nezačíná řádek volíme x 3 = p.
3.1 Gaussova eliminační metoda 56 Postupným řešením upraveného systému x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 9 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 x 4 = 2 dostáváme x 4 = 2, x 3 = p, x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 4 a po dosazení za x 3 a x 4 vypočteme x 2 = 2p, analogicky odsazením do první rovnice x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 = 9 dostáváme x 1 = 1. Z Tvaru řešení ( 1, 2p, p, 2) je patrné, že v tomto případě je možné parametrizovat pouze proměnné x 2, x 3, nebot proměnné x 1 = 1 a x 4 = 2. Vyřešíme ještě jeden příklad. Příklad 3.4. Řešte soustavu rovnic 2u 1 + 3u 2 u 3 + 2u 4 = 1 u 1 + 5u 2 3u 3 u 4 = 1 u 1 2u 2 + 2u 3 + 3u 4 = 1 3u 1 + u 2 + u 3 + 5u 4 = 1
3.1 Gaussova eliminační metoda 57 Řešení. Při řešení této soustavy rovnic 2u 1 + 3u 2 u 3 + 2u 4 = 1 u 1 + 5u 2 3u 3 u 4 = 1 u 1 2u 2 + 2u 3 + 3u 4 = 1 3u 1 + u 2 + u 3 + 5u 4 = 1 je vhodné při nulování prvního sloupce rozšířené matice soustavy nejdříve upravit první prvek hlavní diagonály na jedničku: 2 3 1 2 1 1 2 2 3 0 (1) (3) 1 5 3 1 1 1 2 2 3 1 1 5 3 1 1 1 2 2 3 1 3 1 1 5 1 ( 1) 3 1 1 5 1 1 2 2 3 0 0 7 5 4 1 0 0 0 0 1 0 7 5 4 1 (( 1)) 1 2 2 3 0 0 7 5 4 1 0 0 0 0 1 Podobně jako v předcházejícím případě jsme vynechali poslední řádek, který je stejný jako druhý. V tomto případě řešení neexistuje, protože hodnost matice je 2 a hodnost rozšířené matice soustavy je 3. Tato soustava rovnic je také zajímavá tím, že ji je možné interpretovat jako soustavu dvou rovnic o
3.1 Gaussova eliminační metoda 58 dvou neznámých v komplexním oboru. kde z 1 = u 1 + ju 3, z 2 = u 2 + ju 4. (2 + j)z 1 + (3 2j)z 2 = 1 + j (1 + 3j)z 1 + (5 + j)z 2 = 1 + j, Obecně je možné převést systém n rovnic v komplexním oboru na systém 2n rovnic v reálném oboru: (A + jb)(x + jy) = c + jd upravíme na tvar Ax By + j(bx + Ay) = c + jd tj. Ax By = c a současně Bx + Ay = d. Tyto dva systémy reálných rovnic lze zapsat ve tvaru ( ) ( ) ( ) A B x c =. B A y d Ve výše uvedeném příkladu jsou matice A, B a sloupce c, d rovny: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 A = B = c = d = 1 5 3 1 1 1
3.1 Gaussova eliminační metoda 59 V dalším příkladě si ukážeme, že postup řešení lze někdy vhodně modifikovat, abychom výpočet prováděli pokud možno v oboru celých čísel. Příklad 3.5. Řešte soustavu rovnic 6u 1 + 5u 2 2u 3 = 1 5u 1 + 8u 2 + u 3 = 12 2u 1 + u 2 + 8u 3 = 0 Řešení. Napíšeme rozšířenou matici soustavy a budeme komentovat jednotlivé kroky 6 5 2 5 8 1 2 1 8 1 3 3 0 23 16 0 5 2 1 12 0 11 67 22 Odečtením druhého řádku od prvního dostaneme v diagonále 1 1 3 3 5 8 1 2 1 8 11 12 0 Místo vynulování 2. prvku ve 3. řádku, tak abychom dostali horní trojúhelníkovou matici, systém rozřešíme tak,že vynulujeme 3. prvek ve 2. řádku odečtením 8 násobku 3. řádku od 2. řádku. Odtud řešení systém u 1 = 7 2, u 2 = 27 7, u 3 = 19 14 Odečteme 5-ti násobek 1. řádku od 2. řádku a přičteme 2 násobek 1. řádku od 3. řádku abychom dostali 0 pod diagonálou 1 3 3 0 63 0 0 5 2 11 243 22 s tím, že jsme při úpravách nepočítali se zlomky.
3.2 Homogenní systémy 60 3.2 Homogenní systémy Definice 3.6. Jestliže je v definici systému lineárních rovnic 3.1 vektor pravých stran b = 0 nulový, říkáme, že je systém homogenní. Stručně shrneme základní vlastnosti takovýchto systémů Tyto systémy mají vždy řešení Protože lineární kombinace řešení homogenního systému je řešení, platí tyto sloupcové vektory řešení tvoří podprostor prostoru reálných n-tic. Dimenze tohoto podprostoru je rovna počtu parametrů použitých k popisu obecného řešení to jest n h(a).
61 4 Vlastní čísla, vlastní vektory V různých oblastech matematiky jsou tyto pojmy hojně využívány. Budeme-li čtvercovou matici řádu n interpretovat jako matici lineárního zobrazení prostoru reálných n-tic do sebe, zaměříme se na invariantní podprostory, které se zobrazují samy na sebe. Nejjednodušším případem je vektor, který se zobrazí na svůj násobek. 4.1 Základní pojmy Definice 4.1. Řekneme, vektor v je vlastním vektorem matice A, jestliže existuje číslo λ takové, že platí A v = λ v, (4.1)
4.1 Základní pojmy 62 toto číslo λ nazýváme vlastním číslem. Při hledání vlastní čísel a vektorů postupujeme, tak že rovnici (4.1) přepíšeme na tvar 0 = A v λ v = A v E n λ v = (A λe n ) v Homogenní systém n rovnic o n neznámých má netriviální (nenulové) řešení, právě když je matice tohoto systému singulární tj. p A (λ) = A λe n = 0. (4.2) Na levé straně je p A (λ) zvaný charakteristický polynom. Protože uvažovaný determinant je vzhledem k λ polynomem řádu n je tato algebraická rovnice je řádu n. Protože počet kořenů takovéto rovnice je n uvažujeme-li kořeny v komplexní oboru a každý kořen počítáme včetně jeho násobnosti, má každá matice tolik vlastních čísel jako je její rozměr. To ovšem neznamená, že existuje n vlastních vektorů, což může být způsobeno tím, že algebraická násobnost jako kořene charakteristického polynomu je větší než geometrická násobnost, což je počet vlastních vektorů odpovídajících daném vlastnímu číslu. Poznamenejme, že algebraická násobnost vlastního čísla nemůže být větší než jeho geometrická násobnost. V případě komplexního kořene je kořenem i číslo komplexně sdružené a jim odpovídající vlastní vektory jsou také komplexně sdružené. Jsou-li tyto kořeny násobnosti 1, má v reálném případě invariantní podprostor dimenzi 2 a můžeme jej charakterizovat tak, že reálná část komplexního vlastního vektoru se zobrazí na reálnou část jeho obrazu, podobně to platí i pro ryze imaginární část. Uvedené skutečnosti budeme ilustrovat na následujících příkladech.