Logika [dla Psychologii UW]

Logika [dla Psychologii UW] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl Uniwersytet Warszawski 19 grudnia 2011 Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 1 / 88

Plan wykªadu 1 [KRP] - podstawowe wiadomo±ci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 2 / 88

[nazywany te» klasycznym rachunkiem funkcyjnym lub rachunkiem kwantykatorów) jest teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) bardziej pogª bion analiz zda«oraz zwi zków inferencyjnych mi dzy zdaniami. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 3 / 88

[nazywany te» klasycznym rachunkiem funkcyjnym lub rachunkiem kwantykatorów) jest teori logiczna, która umo»liwia nam (mi dzy innymi) bardziej pogª bion analiz zda«oraz zwi zków inferencyjnych mi dzy zdaniami. - historia Powstaª pod koniec XIX wieku - jego autorem byª wybitny niemiecki logik - Gottlob Frege (1848-1925). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 3 / 88

Badanie zwi zków inferencyjnych: KRZ nie wystarcza Freud mieszkaª w Wiedniu. Wiede«jest miastem. Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. W KRZ zapiszemy to wnioskowanie jako: p q Zatem: r Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 4 / 88

Badanie zwi zków inferencyjnych: KRZ nie wystarcza Freud mieszkaª w Wiedniu. Wiede«jest miastem. Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. W KRZ zapiszemy to wnioskowanie jako: p q Zatem: r KRZ nie pozwala nam stwierdzi,»e mamy tu do czynienia z poprawnym dedukcyjnie wnioskowaniem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 4 / 88

KRP jako obcy j zyk Mo»emy my±le o klasycznym rachunku predykatów jak o pewnym j zyku, na który przekªadalne s - z maksymalnym stopniem szczegóªowo±ci - obszerne fragmenty j zyka naturalnego. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 5 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): (6) STAŠE INDYWIDUOWE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP Obejmuje: (1) KLASYCZNE SPÓJNIKI LOGICZNE [znane nam z rachunku zda«] (2) SYMBOLE POMOCNICZE - NAWIASY [j.w.]. (3) ZMIENNE INDYWIDUOWE (4) PREDYKATY (5) KWANTYFIKATORY Opcjonalnie za± (mo»emy je wyeliminowa ): (6) STAŠE INDYWIDUOWE (7) SYMBOLE FUNKCYJNE Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 6 / 88

Alfabet KRP - ZMIENNE INDYWIDUOWE Tworz zbiór X = {x 1, x 2, x 3... x n, y, z,...} Markuj one miejsca na argumenty predykatu w danym wyra»eniu. Zast puj c je staªymi indywiduowymi lub wi» c kwantyaktorami mo»emy otrzyma zdanie. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 7 / 88

PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 8 / 88

PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 8 / 88

PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 8 / 88

PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) - predykat trójargumentowy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 8 / 88

PREDYKATY Tworz zbiór P = {P 1, P 2, P 3... P n, Q, R, S...} S to wyra»enia, które reprezentuja wªasno±ci przedmiotów (o których co± mówimy) lub relacje, które zachodz mi dzy przedmiotami. Predykaty ró»ni si od siebie LICZB ARGUMENTÓW. Np. (...) siedzi - predykat jednoargumentowy (...) kocha (...) - predykat dwuargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) - predykat trójargumentowy (...) kocha (...) maj c romans z (...) mieszkaj c z (...) - predykat czteroargumentowy itd. Predykaty o liczbie argumentów wi kszej ni» 1 nazywamy PREDYKATAMI RELACYJNYMI. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 8 / 88

PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 9 / 88

PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 9 / 88

PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) ) = { Jan, Jan, Monika } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 9 / 88

PREDYKATY - INTERPRETACJA Interpretacj (oznacza b dziemy j jako Int) predykatów s ich ZAKRESY (DENOTACJE/EKSTENSJE). W danej dziedzinie U interpretacj predykatu monadycznego (nierelacyjnego) jest zbiór przedmiotów. Interpretacj n-argumentowego predykatu relacyjengo jest zbiór n-tek uporz dkowanych przedmiotów z uniwersum U. PREDYKATY - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami predykatów z poprzedniego slajdu moga by : Int( (...) siedzi ) = { Jan } Int( (...) kocha (...) ) = { Jan, Jan } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) ) = { Jan, Jan, Monika } Int( (...) kocha (...) maj c romans z (...) mieszkaj c z (...) ) = { Jan, Jan, Monika, Magdalena } Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 9 / 88

KWANTYFIKATORY S to wyra»enia, które pozwalaj mówi nam o pewnych, wszystkich przedmiotach maj cych jakie± wªasno±ci (lub powi zanych jakimi± relacjami). W naszym j zyku rozwa»a b dziemy dwa kwantykatory: KWANTYFIKATOR OGÓLNY (UNIWERSALNY): Oznaczany te» niekiedy symbolami:,, (...) odczytanie: ka»dy itp. KWANTYFIKATOR SZCZEGÓŠOWY (EGZYSTENCJALNY): Oznaczany te» niekiedy symbolami:,, (E...) odczytanie: pewien, jaki±, istnieje itp. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 10 / 88

KWANTYFIKATORY cd. Korzystaj c z powy»szych symboli mo»emy zapisa w KRP pierwsze proste zdania j zyka naturalnego: Kto± ±piewa. (...) ±piewa x ±piewa P(x) x P(x) Ka»dy ±piewa. (...) ±piewa x ±piewa P(x) x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 11 / 88

STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 12 / 88

STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 12 / 88

STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b a mieszkaª w b Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 12 / 88

STAŠE INDYWIDUOWE S to wyra»enia, które (przynajmniej w przybli»eniu) odpowiadaj w j zyku naturalnym nazwom wªasnym. Tworz zbiór S = {a 1, a 2, a 3... a n, b, c, d...} Ich podstawienie za zmienn (niezwi zan kwantykatorem) pozwala (je±li w formule nie ma innych zmiennych wolnych) uzyska zdanie w sensie logicznym. Freud mieszkaª w Wiedniu. Staªe indywiduowe: Freud - a, Wiede«- b a mieszkaª w b M(a, b) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 12 / 88

STAŠE INDYWIDUOWE - INTERPRETACJA Interpretacja staªych indywiduowych s przedmioty z danego U. STAŠE INDYWIDUOWE - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Jana, Barbar, Magdalen i Monik, to interpretacjami staªych j, b, m 1, m 2 moga by : Int(j) = Jan Int(b) = Barbara Int(m 1 ) = Magdalena Int(m 2 ) = Monika PRZYJMIEMY, E KA DY PRZEDMIOT Z UNIWERSUM MA NAZW Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 13 / 88

SYMBOLE FUNKCYJNE S to wyra»enia, które reprezentuj funkcje (operacje): zastosowane do jakiego± indywiduum (lub indywiduów) daj wynik w postaci jakiego± innego indywiduum. Tworz zbiór F = {f 1, f 2, f 3... f n, g, h,...} PRZYKŠAD matka x-a, m(x) (przyporz dkowuje ka»demu x-owi jego matk ) stolica x-a, s(x) (przyporz dkowuje ka»demu x-owi jego stolic ) itp. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 14 / 88

SYMBOLE FUNKCYJNE - INTERPRETACJA Odpowiadaj im funkcje (zazwyczaj cz ±ciowe), które przedmiotom (lub n-tk przedmiotów) z U przyporz dkowuj przedmioty z U. W wypadku, gdy symbol funkcyjny poª czymy z argumentem (staª ) otrzymamy zªo»one wyra»enie nazwowe, którego interpretacj jest przedmiot z U. SYMBOLE FUNKCYJNE - INTERPRETACJA Je±li U zawiera Ewe, Kaina, Polsk i Warszaw to interpretacjami zªo»onych wyra»e«nazwowych m(k), s(p) s : matka(kain) = m(k) = Ewa = e stolica(polska) = s(p) = Warszawa = w Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 15 / 88

KWANTYFIKATORY - INTERPRETACJA Przyjmiemy,»e intepretacje kwantykatorów s podane w (koniecznych i wystarczaj cych) warunkach prawdziwo±ci zda«, w których wyst puj wyra»enia kwantykatorowe. WARUNKI PRAWDZIWO CI ZDA Z KWANTYFIAKTORAMI Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest ka»de zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 16 / 88

KWANTYFIKATORY - INTERPRETACJA Przyjmiemy,»e intepretacje kwantykatorów s podane w (koniecznych i wystarczaj cych) warunkach prawdziwo±ci zda«, w których wyst puj wyra»enia kwantykatorowe. WARUNKI PRAWDZIWO CI ZDA Z KWANTYFIAKTORAMI Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest ka»de zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Zdanie xf (x) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno zdanie o postaci F (a), gdzie a jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 16 / 88

WARUNKI PRAWDZIWO CI POZOSTAŠYCH ZDA Zdanie F (a) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a) Int(F ). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 17 / 88

WARUNKI PRAWDZIWO CI POZOSTAŠYCH ZDA Zdanie F (a) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a) Int(F ). Zdanie R(a, b) jest prawdziwe w uniwersum U przy interpretacji Int, gdy Int(a), Int(b) Int(R). etc. Zdania zªo»one zbudowane przy pomocy spójników logicznych (negacji, koniunkcji etc.) s prawdziwe w zgodzie z ich interpretacjami w rachunku zda«. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 17 / 88

ZAPISYWANIE ZDA I WNIOSKOWA W KRP Freud mieszkaª w Wiedniu. Symbole wystepuj ce w zdaniu: a, M 1, b Wiede«jest miastem. Symbole wystepuj ce w zdaniu: M 2, b Zatem: Freud mieszkaª w mie±cie. Symbole wystepuj ce w zdaniu: a, M 1, M 2, W KRP zapiszemy to wnioskowanie jako: M 1 (a, b) M 2 (b) Zatem: x[m 2 (x) M 1 (a, x)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 18 / 88

WARUNKI PRAWDZIWO CI M 1 (a, b) jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: Int(a), Int(b) Int(M 1 ) M 2 (b) jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: Int(b) Int(M 2 ) Zatem: x[m 2 (x) M 1 (a, x)] jest prawdziwe (w U, przy interpretacji Int) wtedy i tylko wtedy, gdy: prawdziwe jest przynajmniej jedno zdanie o postaci M 2 (c) M 1 (a, c), gdzie c jest nazw (staª indywiduow ) jakiego± przedmiotu z uniwersum U. Czyli, gdy: Int(c) Int(M 2 ) oraz Int(a), Int(c) Int(M 1 ) dla przynajmniej jednej nazwy c przedmiotu z uniwersum U. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 19 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 20 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 20 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) PREDYKATY: C - jest czªowiekiem, S - jest ±miertelny Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 20 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 1 Ka»dy czªowiek jest ±miertelny. x(x jest czªowiekiem x jest ±miertelny) PREDYKATY: C - jest czªowiekiem, S - jest ±miertelny x(c(x) S(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 20 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 21 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 21 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) PREDYKATY: T - jest tygrysem, A - jest albinosem Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 21 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 2 Pewien tygrys jest albinosem. x(x jest tygrysem x jest albinosem) PREDYKATY: T - jest tygrysem, A - jest albinosem x(t (x) A(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 21 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Zapis 1: x(p(x) W (x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 3 aden polityk nie jest wiarygodny. Zapis 1: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) Zapis 2: x(x jest politykiem x jest wiarygodny) PREDYKATY: P - jest politykiem, W - jest wiarygodny Zapis 1: x(p(x) W (x)) Zapis 2: x(p(x) W (x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 22 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Zapis 1: x(i (x) L(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 4 Tylko logicy s naprawd interesuj cy. Zapis 1: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) Zapis 2: x(x jest naprawd interesuj cy x jest logikiem) PREDYKATY: L - jest logikiem, I - jest naprawd interesuj cy Zapis 1: x(i (x) L(x)) Zapis 2: x(i (x) L(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 23 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 24 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 24 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 24 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 5 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy x[l(x) y (A(y) P(y, w) U(x, y))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 24 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 25 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 25 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy, mb - Monica Bellucci Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 25 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 6 Ka»dy logik uwielbia pewn wªosk aktork i jest ni Monica Bellucci. x[x jest logikiem y (y jest aktork y pochodzi z Wªoch x uwielbia y y= Monica Bellucci)] PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy, mb - Monica Bellucci x[l(x) y (A(y) P(y, w) U(x, y) y = mb)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 25 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7 Pewna wªoska aktorka jest uwielbiana przez ka»dego logika Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 26 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7 Pewna wªoska aktorka jest uwielbiana przez ka»dego logika Zapis 1: x[x jest aktork x pochodzi z Wªoch y (y jest logikiem y uwielbia x)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 26 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 27 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Zapis 1: x[a(x) P(x, w) y (L(y) U(y, x))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 27 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 7, cd. PREDYKATY I STAŠE NAZWOWE: L - jest logikiem, A - jest aktork, P - pochodzi z [dwuargumentowy], U - uwielbia [dwuargumentowy], w - Wªochy Zapis 1: x[a(x) P(x, w) y (L(y) U(y, x))] Zapis 2: x y[a(x) P(x, w) (L(y) U(y, x))] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 27 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 28 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 28 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Istnieje co najwy»ej n takich,»e (...) oznaczmy jako <n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 28 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE Niektóre z nich mo»na zdeniowa u»ywaj c standardowych kwantykatorów oraz znaku identyczno±ci. Istnieje co najmniej n takich,»e (...) oznaczmy jako >n Istnieje co najwy»ej n takich,»e (...) oznaczmy jako <n Istnieje dokªadnie n takich,»e (...) oznaczmy jako =n Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 28 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJMNIEJ >n x P(x) = df x 1 x 2... x n [P(x 1 ) P(x 2 )... P(x n ) x 1 x 2... x n 1 x n ] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 29 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE - CO NAJWY EJ <n x P(x) = df >n+1 x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 30 / 88

KWANTYFIKATORY LICZBOWE - DOKŠADNIE =n x P(x) = df >n x P(x) <n x P(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 31 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 8 Ka»dy student psychologii uwielbia co najmniej dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 32 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 8 Ka»dy student psychologii uwielbia co najmniej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 32 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 9 Ka»dy student psychologii uwielbia co najwy»ej dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 33 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 9 Ka»dy student psychologii uwielbia co najwy»ej dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 33 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 10 Ka»dy student psychologii uwielbia dokªadnie dwóch wykªadowców. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 34 / 88

PRZEKŠAD ZDA I WNIOSKOWA J ZYKA NATURALNEGO NA KRP - PRZYKŠAD 10 Ka»dy student psychologii uwielbia dokªadnie dwóch wykªadowców. x[x jest studentem psychologii y z (y jest wykªadowc z jest wykªadowc y z x uwielbia y x uwielbia z)] x[x jest studentem psychologii y z t(y jest wykªadowc z jest wykªadowc t jest wykªadowc y z y t z t x uwielbia y x uwielbia z x uwielbia t)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 34 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: x[x A (...)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Bardzo cz sto kwantykatory zapisuje wskazuj c ograniczenie jakiemu podlegaj warto±ci danej zmiennej. Np. x A (...) x A (...) Zapisy takie s odpowiednio skrótami formuª: x[x A (...)] x[x A (...)] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 35 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 36 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): x C (x jest ±miertelny) = df x[x C x jest ±miertelny] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 36 / 88

KWANTYFIKATORY O OGRANICZONYM ZASI GU Mamy zatem na przykªad (niech C - zbiór wszystkich ludzi): x C (x jest ±miertelny) = df x C (x jest ±miertelny) = df x[x C x jest ±miertelny] x[x C x jest ±miertelny] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 36 / 88

FORMA LOGICZNA ZDANIA Schemat danego zdania w rachunku predykatów (lub jakim± rachunku, który zawiera jako swoj cz ± rachunek predykatów). ZINTERPRETOWANA FORMA LOGICZNA ZDANIA Forma logiczna zdania, w której zamiast liter predykatowych wyst puj predykaty wzi te z j zyka potocznego (np. jest aktork zamiast A). SPORY O FORM LOGICZN Wspóªcze±nie bardzo intensywnie dyskutuje si zagadnienie formy logicznej wielu konstrukcji wzi tych z j zyka potocznego. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 37 / 88

SPORY O FORM LOGICZN : ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE Problem: zapisa w rachunku predykatów zdania, w rodzaju: Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 38 / 88

SPORY O FORM LOGICZN : ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE Problem: zapisa w rachunku predykatów zdania, w rodzaju: Magdalena nami tnie pali pod domem. Katarzyna jedzie szybko na rowerze. Matylda pilnie sªucha wykªadu. ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DONALDA DAVIDSONA (1917-2003) Zakªadamy,»e w uniwersum przedmiotów, o których mówimy (tzw. uniwersum dyskursu) znaduj si [poza osobami, zwierz tami i rzeczami] tak»e konkretne ZDARZENIA [w rodzaju tego wybuchu Wezuwiusza, tej konkretnej jazdy na rowerze, tego aktu palenia Magdaleny itp.]. Wprowad¹my dla ich oznaczenia specjalny typ zmiennych v 1...v n. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 38 / 88

ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 39 / 88

ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 39 / 88

ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Katarzyna jedzie szybko na rowerze. v x(v jest jazd Katarzyny x jest rowerem v odbywa si na x v jest szybkie) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 39 / 88

ZDANIA PRZYSŠÓWKOWE - PROPOZYCJA DAVIDSONA, cd. Kwantykacja po zdarzeniach umo»liwia nam zapisanie zda«przysªówkowych. Magdalena nami tnie pali pod domem. v x(v jest paleniem Magdaleny x jest domem v odbywa si pod x v jest nami tne) Katarzyna jedzie szybko na rowerze. v x(v jest jazd Katarzyny x jest rowerem v odbywa si na x v jest szybkie) Matylda pilnie sªucha wykªadu. v x(v aktem sªuchania Matyldy x jest wykªadem v dotyczy x v jest pilne) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 39 / 88

Tautologi KRP nazwywamy formuª, która jest prawdziwa przy ka»dej mo»liwej interpretacji symboli pozalogicznych [predykatów, staªych, symboli funkcyjnych] wyst puj cych w formule. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 40 / 88

Tautologi KRP nazwywamy formuª, która jest prawdziwa przy ka»dej mo»liwej interpretacji symboli pozalogicznych [predykatów, staªych, symboli funkcyjnych] wyst puj cych w formule. Sprawdzanie tautologiczno±ci formuª KRP jest niekiedy trudne. Od roku 1936, dzi ki pracom Alonzo Churcha (1903-1995) wiemy,»e rachunek ten jest nierozstrzygalny (nie ma mechanicznej procedury [w rodzaju metody tabelkowej] sprawdzania tautologiczno±ci formuª KRP) Te same uwagi dotycz poj cia wynikania logicznego (niemo»liwo±ci zachodzenia sytuacji, w której przesªanki s prawd, a wniosek faªszem). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 40 / 88

Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Wszystkie formuªy KRP, które podpadaj pod tautlogiczne schematy KRZ s tautologiamii. PRZYKŠADY p p xp(x) xp(x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 41 / 88

Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Wszystkie formuªy KRP, które podpadaj pod tautlogiczne schematy KRZ s tautologiamii. PRZYKŠADY p p xp(x) xp(x) p ( r p) xp(x) ( xp(x) xp(x)) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 41 / 88

Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 42 / 88

Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) x y(x = y y = x) Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 42 / 88

Cz ±ciowe wskazówki dotycz ce tego, jak rozpoznawa tautologiczno± Je±li uznamy znak identyczno±ci za symbol logiczny (w innym wypadku nie b dzie on wyst powaª w ogóle w alfabecie KRP), wówczas tautologiamii s wszsytkie aksjomaty identyczno±ci. PRZYKŠADY x(x = x) x y(x = y y = x) x y z[(x = y y = z) x = z] Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 42 / 88

Metody graczne Ponadto, badaj c tautologiczno± lub wynikanie, stosowa mo»na ró»norakie metody graczne (rozrysowuj c zdania na schematach, które reprezentuj relacje mi dzy zakresami predykatów wyst puj cych w formule). Metody graczne Najbardziej znan metod tego typu jest tzw. metoda diagramów Venna (John Venn (1834-1932)). Stosowana byªa ona jako metoda badania wnioskowa«w klasycznej sylogistyce. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 43 / 88

Sylogistyka System wnioskowa«opracowany przez Arystotelesa (do czasu odkrycia rachunku predykatów uchodziªa za synonim ogólnej teorii wnioskowania). Rozwa»amy w jej ramach 4 podstawowe typy zda«(samogªoski s brane kolejno z ªaci«skich zwrotów armo i nego): Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 44 / 88

Sylogistyka System wnioskowa«opracowany przez Arystotelesa (do czasu odkrycia rachunku predykatów uchodziªa za synonim ogólnej teorii wnioskowania). Rozwa»amy w jej ramach 4 podstawowe typy zda«(samogªoski s brane kolejno z ªaci«skich zwrotów armo i nego): Ka»de S jest P(SaP) x(s(x) P(x)), Pewne S jest P(SiP) x(s(x) P(x)), adne S nie jest P (Ka»de S jest nie-p) (SeP) x(s(x) P(x)), Pewne S nie jest P (Pewne S jest nie-p) (SoP) x(s(x) P(x)). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 44 / 88

Sylogistyka spolszczenie ;-) Ka»de A jest B(KAB), Pewne A jest B(PAB), adne A nie jest B (Ka»de A jest nie-b) ( AB), Pewne A nie jest B (Pewne A jest nie-b) (PAnB). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 45 / 88

Diagramy Venna - jak czyta plusy? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 46 / 88

Diagramy Venna - jak czyta minusy? Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 47 / 88

Diagramy Venna - KAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 48 / 88

Diagramy Venna - PAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 49 / 88

Diagramy Venna - AB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 50 / 88

Diagramy Venna - PAnB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 51 / 88

Diagramy Venna - TAB Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 52 / 88

Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 53 / 88

Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. 2. Zaznacz na innym diagramie Venna sytuacj, w której wniosek jest prawdziwy. Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 53 / 88

Diagramy Venna - Metoda post powania 1. Zaznacz na diagramie Venna sytuacj, w której przesªanki s prawdziwe. 2. Zaznacz na innym diagramie Venna sytuacj, w której wniosek jest prawdziwy. 3. Porównaj diagramy i zastanów si, czy informacja zawarta we wniosku jest ju» zawarta w przesªankach (je±li jest - wynikanie zachodzi). Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 53 / 88

PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest wra»liwy. PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy wra»liwiec jest melancholikiem. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 54 / 88

PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest wra»liwy. PRZYKŠAD 1: PRZESŠANKI Ka»dy wra»liwiec jest melancholikiem. PRZYKŠAD 1: WNIOSEK Ka»dy psycholog jest melancholikiem. PRZYKŠAD 1: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 54 / 88

PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy sa neurotykami. PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy maj kota. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 55 / 88

PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy sa neurotykami. PRZYKŠAD 2: PRZESŠANKI Niektórzy psycholodzy maj kota. PRZYKŠAD 2: WNIOSEK Niektórzy neurotycy maj kota. PRZYKŠAD 2: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 55 / 88

PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI aden»óªwik nie jest czªowiekiem. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 56 / 88

PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI Ka»dy psycholog jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: PRZESŠANKI aden»óªwik nie jest czªowiekiem. PRZYKŠAD 3: WNIOSEK aden psycholog nie jest»óªwikiem. PRZYKŠAD 3: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 56 / 88

PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI Tylko psycholo»ki s bystre i pi kne. PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI adna czoªgistka nie jest psycholo»k. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 57 / 88

PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI Tylko psycholo»ki s bystre i pi kne. PRZYKŠAD 4: PRZESŠANKI adna czoªgistka nie jest psycholo»k. PRZYKŠAD 4: WNIOSEK adna czoªgistka nie jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 4: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 57 / 88

PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Ka»da psycholo»ka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Pewna psycholo»ka jest czoªgistk. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 58 / 88

PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Ka»da psycholo»ka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: PRZESŠANKI Pewna psycholo»ka jest czoªgistk. PRZYKŠAD 5: WNIOSEK Pewna czoªgistka jest bystra i pi kna. PRZYKŠAD 5: WNIOSEK Tadeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 58 / 88

PRZYKŠAD 6: PRZESŠANKI aden logik nie jest kuropatw. PRZYKŠAD 6: PRZESŠANKI Pewien logik jest potworem. adeusz Ciecierski taci@uw.edu.pl (UniwersytetLogika[dla Warszawski) Psychologii UW] 19 grudnia 2011 59 / 88