Sforułowae owae zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń: Fukcja celu f( : Zaae otyalzacj olega a zalezeu wektora zeych ecyzyjych aleŝącego o zboru rozwązań ouszczalych R takego Ŝe la R Co jest rówozacze zasow: f ( : R R f f ( f( f R Zaae rograowaa elowego bez ograczeń DEFINICJA. Keruke w rzestrze R azyway owoly -wyarowy wektor koluowy. Nech bęze ay ukt R oraz skalar τ [ ; +. Dowoly ukt y R leŝący a ółrostej wychozącej z uktu w keruku LEMA. Nech f : X R R ZałóŜy Ŝe steje la którego: bęze wówczas określoy zaleŝoścą y + τ bęze fukcją róŝczkowalą w ukce ( < Wówczas steje take σ > Ŝe la wszystkch τ ( σ ] zachoz f ( +τ < f (. Dowó: wyka z własośc róŝczk Gateau. X Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Zaae rograowaa elowego bez ograczeń Mu lokale globale fukcj f( werzee. Nech f : X R R bęze fukcją róŝczkowalą. Jeśl X alzuje fukcję f( tz. f ( f ( X Dowó: e wrost. (ˆ Pukt jest azyway ukte stacjoary. werzee. Nech f : X R R bęze fukcją wyukłą róŝczkowalą. Pukt ˆ X staow u fukcj f( tz. la kaŝego X wtey tylko wtey gy seła waruek to f ( ˆ f ( ( ˆ Jest to waruek koeczy stea ekstreu lokalego f( w ukce. Pukt staow u lokale fukcj f( w rzestrze R jeŝel steje take otwarte otoczee E R uktu Ŝe E Przy czy jeśl zachoz f ( < f ( la f ( f ( to steje wtey ścsłe u lokale. Pukt staow u globale fukcj f( w rzestrze R jeŝel steje take otwarte otoczee R uktu Ŝe R f ( f ( Przy czy jeśl zachoz f ( < f ( la to te ukt staow ścsłe u globale. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Mu globale fukcj f( Waruk wystarczające otyalzacj la zaaa bez ograczeń werzee: Fukcja f( jest fukcją cągłą wukrote róŝczkowalą. Posaa acerz rugch ochoych (hesja - A Macerz A osaa cąg owyzaczków główych A Jeśl f : X R R bęze fukcją ścśle wyukłą róŝczkowalą to wektor ˆ X sełający waruek koeczy ( ˆ jest jeyy u globaly fukcj f(. A ( (.. ( A.. (.. ( ( A ( ( ( ( ( ( ( ( Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st.
Waruk stacjoarośc la zaaa otyalzacj elowej bez ograczeń c. werzee: ZałoŜoo Ŝe jest ukte stacjoary fukcj f(. Wówczas zachozą oŝsze zaleŝośc:. Jeśl hesja A jest oato określoy tz: A( > la to fukcja f( a u lokale w ty ukce. Jeśl hesja A jest ujee określoy tz: ( A( > la to fukcja f( a aksu lokale w ty ukce 3. Jeśl hesja A jest ół-oato określoy tz: bąź hesja ół-ujee określoy ( A( la oraz A( A( la oraz A( to e oŝa rozstrzygąć o tye ekstreu fukcj f( w ty ukce 4. Jeśl e są sełoe waruk z eostry erówośca (wówczas hesja A e jest określoy to fukcja f( e a ekstreu w ukce A ( > A f ( Waruek stacjoarośc: orawć graet ( hesja A WIERDZENIE. Jeśl fukcja f( jest wukrote róŝczkowala to w kaŝy jej u lokaly bez ograczeń sełoe są astęujące waruk koecze otyalośc zaaa ZPN bez ograczeń. la waruek I rzęu waruek II rzęu Macerz A jest acerzą ścśle oato określoą Waruek I rzęu jest często azyway waruke stacjoarośc oewaŝ ozacza zerowae sę erwszej ochoej. Waruek II rzęu la fukcj wukrote róŝczkowalych lkuje lokalą wyukłość alzowaej fukcj celu. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Sforułowae zaaa otyalzacj elowej z ograczea PN : Sforułowae zaaa otyalzacj elowej z ograczea Zaleźć take Ŝe: f (ˆ f ( gze: X { : g ( } f : X R R orazg : X R R. X DEFINICJA. Keruek orowazoy z uktu jest ouszczaly jeśl steje take σ > Ŝe e la owolego τ [ ; σ ] + τ X gze X ozacza zbór r określoy jako PN. Zbór r wszystkch keruków w ouszczalych : D( { : σ > take Ŝe τ [; σ ] + τ X }. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Fukcja Lagrage a Ograczea aktywe: DEFINICJA. Fukcją Lagrage a zaaa PN azyway skalarą fukcję gze L ( λ f ( + λ g ( λ R jest wektore oŝków Lagrage a.. g ( ˆ + τ A ( ˆ rzy czy τ [ τ ]. g ˆ ( ˆ ( ˆ ( + τ g + τ g + O ( τ 3. waruke koeczy a to aby keruek był ouszczaly jest: g ( ˆ A ( ˆ Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st.
Leat Farkasa Wzajee rozłącze zbory keruków Nech bęze ay w R zbór -wyarowych wektorów { b a }. Nerówość zachoz la kaŝego sełającego Wtey tylko wtey gy steje λ [ λ ] take Ŝe b R a b+ λ a. λ D ( : <g ( > A( < ( D ( : <g ( > A( < ( > >< D3 ( : <g( >> la ewych A( ( 3 D D ( D ( D ( Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Waruk koecze Kuh a-ucker a-karusch a Dowó waruków koeczych Kuh a-ucker a-karusch a WIERDZENIE. Jeśl afukcje f g Dr Ŝ. Ewa Szlachcc są róŝczkowale; ˆ. b jest lokaly u ZPN to steje ˆ λ ˆ λ ake Ŝe (ˆ + Wtey tylko wtey gy g (ˆ (ˆ D ( ˆ φ Wyzał Elektrok stua II st. DOWÓD. Nech Dr Ŝ. Ewa Szlachcc oraz a g( ˆ A(ˆ wówczas zgoe z leate Farkasa steje ˆ λ A(ˆ take Ŝe b (ˆ ( ˆ ˆ λ ( g ( ˆ wtey tylko wtey gy ( ˆ R Sełającego waruek la ograczeń: g ( ˆ A ( ˆ tz. wtey tylko wtey gy D ( ˆ φ A ( ˆ Wyzał Elektrok stua II st. Dowó waruków koeczych Kuh a-ucker a-karusch a Waruk koecze Kuh a-ucker a-karusch a z wykorzystae fukcj Lagrage a Dla A(ˆ aleŝy rzyjąć ˆ Węc c sąs sełoe wa rówaa: r (ˆ + λ g (ˆ (ˆ L ( λ f ( + λ waruk koecze: L ( ˆ λ ˆ L ( ˆ λ g (. Ck L λ ( ˆ ˆ λ Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. 3
Waruk wystarczające otyalzacj określae jako waruk regularośc ograczeń:. Wszystke fukcje ograczeń g ( sąs lowe waruek regularośc Karla.. Wszystke fukcje ograczeń g ( sąs fukcja wyukły y oraz zbór r rozwąza zań ouszczalych a euste wętrze waruek regularośc Slatera 3. Graety wszystkch ograczeń aktywych a węc la A( są lowo ezaleŝe waruek regularośc Facco McCorcka. g ( werzee Kuh a-ucker a-karusch a waruk koecze wystarczające la zaaa otyalzacj elowej z ograczea WIERDZENIE. Jeśl afukcje ˆ są róŝczkowale; b jest lokaly u ZPN c Waruek regularośc ograczeń Kuh a-ucker a- Karusch a jest sełoy w ˆ to steje g ake Ŝe w ukce Kuh a-ucker a. f. (ˆ + zachozą waruk koecze g (ˆ (ˆ Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Ilustracja waruków koeczych wystarczających Kuh a-ucker a- Karuscha Przykła I Malzacja fukcj f( a zborze ograczeń erówoścowychx f ( X + * +.5 * + X [ ] f ( Sforułowae zaaa otyalzacj elowej PN z ograczea oatkowo a zee ecyzyje : Fukcja Lagrage a gze: f (ˆ f ( X { : g ( } f ( : R R orazg ( : R R X L ( λ f ( + λ g ( Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Waruk Lagrage a la ZPN z ograczea a zee ecyzyje L λ λl λ L λ L λ λ λ λ Ilustracja waruków koeczych wystarczających Kuh a-ucker a- Karuscha Przykła II Malzacja fukcj f( a zborze ograczeń erówoścowych oraz ograczeach a zak zeej ecyzyjej f ( X + * +.5* + X [ ] f ( Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. 4
gze: Sforułowae zaaa otyalzacj elowej PN z ograczea ejszoścowy rówoścowy: X { : g ( h ( gze Fukcja Lagrage a f ( : X R R g ( : X R R h ( : X R R X f ( f ( } L ( λ f ( + λ g ( + λ h (. + Jeśl Waruk Kuh a-uckera la ZPN z ograczea ejszoścowy rówoścowy a fukcje f ( g ( la oraz h ( la są róŝczkowale; b ˆ jest lokaly u ZPN o steją λ oraz steją λ (ˆ + g (ˆ + (ˆ ˆ λh (ˆ o eograczoy zaku take Ŝe: h (ˆ Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. Ilustracja waruków koeczych wystarczających Kuh a-ucker a- Karusch a Przykła III Malzacja fukcj f( a zborze ograczeń erówoścowych oraz zborze ograczeń rówoścowych + * f ( + X * 4 X [ 3 ] f ( 9 Dr Ŝ. Ewa Szlachcc Wyzał Elektrok stua II st. 5