07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego λ Poissona λ k k! e λ 0,,, λ λ geometryczny p ( p k p p,, p p ujemny dwumianowy hipergeometryczny p, r N, m, n ( k r p r ( p k r r r, r +, p ( m k( N m n k ( N n r( p p liczba doświadczeń do pierwszego sukcesu liczba doświadczeń do r tego sukcesu 0,,,, n liczba wylosowanych el typu I, jeśli losujemy jednocześnie n el z urny, w której jest N el z tego m el typu I Słynne rozkłady ciągłe nazwa rozkładu parametry gęstość E(X Var(X normalny N(m, σ f(x = wykładniczy λ f(x = jednostajny na odcinku [a, b] f(x = πσ λe λx dla x 0 e (x m σ m σ 0 w przeciwnym wypadku b a dla a x b 0 w przeciwnym wypadku UWAGA: Poniższe fakty nie są do końca formalnie odpowiednio sformułowane Fakt Niech X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p oraz np λ (tzn n jest duże a p małe, wtedy P (X = k λk k! e λ Fakt Niech X ma rozkład hipergeometryczny z parametrami N, m, n Jeżeli m/n i (N m/n są duże, to ( n ( m k ( P (X = k m n k k N N λ a+b λ (a b A Zadania na ćwiczenia Zadanie A W poprzednim zestawie w zadaniach A, A i A wyznaczyliśmy dystrybuanty trzech zmiennych losowych 0 dla x < A F (x = 9 dla x < 9 dla x < dla x Dla każdej z tych zmiennych losowych: podaj na jakim zbiorze jest skupiona; podaj wszystkie atomy rozkładów; A F (x = x dla 0 x < dla x rozstrzygnij czy jest dyskretna/ciągła/ani ciągła ani dyskretna; jeśli jest ciągła lub dyskretna podaj jej rozkład A F (x = x + dla 0 x < dla x
Zadanie A Niech X ma gęstość f(x = c( x dla < x < ; 0 dla pozostałych x a Znajdź c b Wyznacz P ( X /, P (X = 0 c Wyznacz dystrybauntę tej zmiennej losowej Zadanie A a Sprawdź, że ciąg p n = n n+ (n =, określa rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej dyskretnej dla której P X (n} = P(X = n = p n b Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X o tym rozkładzie Zadanie A4 Hurtownia zaopatruje 0 sklepów Każdy sklep przysyła w danym dniu zamówienie z prawdopodobieństwem 0,4 Sklepy są daleko od siebie, więc złożenie zamówienia przez sklep nie wpływa na złożenie zamówień przez inne sklepy Podaj rozkład zmiennej losowej, jaką jest dzienna liczba zamówień otrzymanych przez hurtownię Czy to jakiś słynny rozkład? Zadanie A Jak wiadomo, każda czekolada może zawierać śladowe ilości orzechów arachidowych W fabryce czekolady do kadzi z masą czekoladową, z której wyprodukowano 000 tabliczek czekolady wpadło 4000 mikroskopijnych odłamków orzeszków arachidowych Charlie kupił w sklepie czekoladę wyprodukowaną z masy z tej kadzi Jaki ma rozkład zmienna losowa równa liczbie odłamków orzeszka w tabliczce czekolady Charliego Ile w przybliżeniu wynosi prawdopodobieństwo, że natrafił na co najmniej trzy odłamki orzeszka Zadanie A6 W kasynie krupier tasuje 00 talii kart po karty (tzn 00 kart Następnie losuje a kolejno ze zwracaniem; b kolejno bez zwracania; 0 kart Niech X będzie liczbą wylosowanych Asów Wyznacz rozkład zmiennej losowej X Czy ten rozkład ma jakąś nazwę? Wyznacz P (X = 4 i porównaj wyniki w punktach a i b Zadanie A7 (bonus Pokazać, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym wykładniczym ma własność braku pamięci, tzn P (X > n + k X > n = P (X > k B Zadania domowe Zadanie B Znajdź stałą c, dla której poniższy ciąg jest rozkładem prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej a p i = c(/ i, i =,,, poza tym 0 b p i = ci, i =,, 6, poza tym 0 Podaj dystrybuantę zmiennej losowej X, dla której P X (i} = P (X = i = p i Zadanie B Podaj rozkład zmiennej losowej, której dystrybuanta dana jest wzorem: 0 dla x < ; 6 dla x < ; a F (x = dla x < 4; dla 4 x < 0; dla x 0 0 dla x < ; b F (x = x dla x Zadanie B Pięć kobiet i pięciu mężczyzn zostaje ustawionych w ranking na podstawie wyników egzaminu Zakładamy, że każdy wynik jest inny i wszystkie uporządkowania są jednakowo prawdopodobne Niech X będzie najwyższą pozycją w rankingu uzyskaną przez kobietę (np X =, jeśli na pierwszym miejscu jest kobieta Podaj rozkład zmiennej losowej X Zadanie B4 Łucznik strzela do tarczy do momentu trzeciego trafienia w 0 Wyznacz rozkład zmiennej losowej X równej liczbie oddanych strzałów, jeśli łucznik trafia w 0 przy każdym strzale niezależnie z prawdopodobieństwem / Czy ten rozkład ma jakąś szczególną nazwę
Zadanie B W losowaniu totolotka wybiera się 0 różnych liczb ze zbioru,, n} (n 0 Niech X oznacza najwiękaszą z wylosowanych liczb Podaj rozkład zmiennej losowej X Zadanie B6 Losujemy kart z talii Niech X będzie liczbą wylosowanych kierów Podaj rozkład zmiennej losowej X Czy X ma znany rozkład? Zadanie B7 Dla gęstości zmiennej losowej X f(x = znajdź P( X < i P(X < 9 oraz wyznacz jej dystrybuantę x /8 dla < x < ; 0 dla pozostałych x Zadanie B8 Zmienna losowa X posiada dystrybuantę: 0 dla x < 0 F (x = x dla 0 x dla x > Oblicz prawdopodobieństwa: P(X X, P(X X oraz wyznacz jej gęstość Zadanie B9 (Zad 4 Czy ta zmienna losowa ma rozkład ciągły/dyskretny? Zadanie B0 Dana jest zmienna losowa X o dystrybuancie: F (x = x dla 0 x < a dla x a Wyznacz wszystkie parametry a, dla których rozkład tej zmiennej losowej jest ciągły i wyznacz w tych przypadkach gęstość Zadanie B Zmienna losowa X posiada gęstość daną wzorem: 6x(x C dla x [0, ] f(x = 0 dla pozostałych x a Wyznacz stałą C b Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej X c Oblicz P(X < 4 dwoma sposobami: korzystając z gęstości oraz korzystając z dystrybuanty C Zadania dla chętnych Zadanie C Asia i Basia umówiły się w restauracji między 700 a 800 Każda z nich przychodzi w losowym momenie między 700 a 800 Wyznacz rozkład zmiennej losowej równej okresowi oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza Zadanie C różnych liczb rozdano (po graczom o numerach,,, 4, Gdy gracze porównują swoje liczby, ten z większą liczbą jest zwycięzcą Najpierw gracze i porównują swoje liczby, a zwycięzca porównuje swoją z graczem itd Niech X oznacza liczbę zwycięstw gracza Znajdź rozkład prawdopodobieństwa P X Zadanie C Wykaż, że jeśli f i g są gęstościami, to, dla każdego 0 λ, funkcja λf + ( λg też jest gęstością Zadanie C4 Pokaż, że nie można tak wyważyć dwóch kostek do gry, by suma S wyrzuconych oczek miała rozkład równoprawdopodobny, tzn by P (S = i = dla wszystkich i =,, Zadanie C Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem 0 dla x < F (x = 6 (x + dla x < dla x Przedstaw F jako wypukłą kombinację liniową dystrybuant: dyskretnej F d i ciągłej F c Zadanie C6 Zad 6 4
Zadanie C7 Zad 7 4 Zadanie C8 Piekielny Piotruś hoduje bakterie Na początku w terrarium znajduje sie jedna bakteria Escherichia Coli oraz jedna bakteria Salmonella Enteritidis Jeden cykl rozmnażania polega na tym, że losowo wybrana bakteria (każda sposród bakterii obecnych w terrarium ma równe prawdopodobieństwo dzieli sie przez podział na dwie bakterie tego samego rodzaju (czyli np zamiast jednej bakterii Escherichia będa dwie bakterie Escherichia Powyżej opisane rozmnażanie jest powtarzane tak długo, aż łączna liczba wszystkich bakterii w terrarium będzie wynosiła dokładnie 0 (czyli sto miliardów Przez X oznaczamy liczbę bakterii Salmonella na samym końcu Znajdź rozkład zmiennej losowej X Jak zmieni się odpowiedź, gdy w terrarium znajdują się trzy bakterie Escherichia oraz pięć bakterii Salmonella? Zadanie C9 W urnie znajduje się ponumerowanych kul:,,, 4, } Losujemy różne z nich Niech a będzie największym numerem na wylosowanych kulach Jeśli a jest parzyste, to zapisujemy liczbę wlosowaną w sposób jednostajny z przedziału (a + Jeśli a jest nieparzyste, to zapisujemy a Niech X będzie zapisaną liczbą Wyznacz dystrybuantę F tej zmiennej losowej Czy jest ona dyskretna/ciągła? Jeśli tak, podaj jej rozkład Jeśli nie, zapisz jej dystrybuantę jako kombinację liniową dystrybuanty zmiennej losowej ciagłej i dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej Zadanie C0 Dana jest liczba naturalna k Rzucamy monetą do momentu aż wyrzucimy przynajmniej k reszek i przynajmniej k orłów Oznaczamy przez X liczbę rzutów Wyznacz rozkład zmiennej losowej X Zadanie C Wykonujemy rzut n monetami, z których na każdej wypada orzeł z prawdopodobieństwem p, niezależnie od pozostałych Rzucamy ponownie każdą monetą na której wypadł orzeł Jaki jest rozkład liczby orłów które wypadną w wyniku drugiego rzutu? Zadanie C Pokazać, że zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym wykładniczym ma własność braku pamięci, tzn P (X > n + k X > n = P (X > k 4
Odpowiedzi do niektórych zadań B a c = /, b c = /, F (x = 0 dla x <, (/ x dla x, 0 dla x < / dla x < / dla x < F (x = 6/ dla x < 4 0/ dla 4 x < / dla x < 6 dla x 6 B ap (X = = /6, P (X = = /6, P (X = 4 = /6, P (X = 0 = / bp (X = = / oraz P (X = k = k k dla k = 4,, B P (X = k = ( k (0 k! 0!, k =,,, 4,, 6 B4 P (X = k = ( k (/ k (/, k =, 4,, uwaga: rozkład ujemny dwumianowy B P (X = k = ( ( k 9 / n 0, k = 0,, n B6 P (X = k = B7 /7, ( ( 9 k k (, k = 0,,,, 4, 0 dla t < t F (t = 4 + dla t dla t > B8 /, /4, B0 a = /4 0 dla x < 0 f(x = dla 0 x 0 dla x > 0 dla x 0 f(x = / x dla 0 < x < /4 0 dla x /4 B a C = b 0 dla a < 0 F (a = a a dla 0 a dla a > c /