WYKŁAD 3 DYNAMIKA 2. Kinematyka punktu materialnego: 3. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 3.1. Oddziaływania podstawowe 3.2. Masa, pęd i siła 3.3. Zasady dynamiki Newtona 3.4. Prawo powszechnego ciążenia 3.5. Siły kontaktowe i siły tarcia ( ) Siła nośna równoważy się z wypadkowym wektorem siły odśrodkowej i ciężaru. Samolot znajduje się w stanie równowagi. 1
DYNAMIKA DYNAMIKA to dział mechaniki, w którym zajmiemy się przyczynami ruchu, badaniem związków między wzajemnymi oddziaływaniami ciał i zmianami ich ruchu. Rozważania ograniczymy do przypadku ciał poruszających się z małymi prędkościami ( w porównaniu z prędkością c), tzn. zajmiemy się mechaniką klasyczną. Żeby móc przewidzieć jaki będzie ruch ciała wywołany siłą na nie działającą, trzeba wiedzieć jakiego rodzaju jest to siła i skąd się bierze. 3.1 CZTERY PODSTAWOWE ODDZIAŁYWANIA (siły) Siła grawitacji -siła powszechnego ciążenia lub oddziaływanie grawitacyjne, dotyczy ciał posiadających masę (jest siłą powszechną), ma długi zasięg i najmniejsze względne natężenie. Powoduje spadanie ciał i rządzi ruchem ciał niebieskich. 2
ODDZIAŁYWANIA PODSTAWOWE c.d. Oddziaływanie elektromagnetyczne - są to siły działające między ładunkami elektrycznymi: Oddziaływanie to jest dalekozasięgowe. Siły międzyatomowe mają charakter elektromagnetyczny ponieważ atomy zawierają naładowane elektrony i protony. Większość sił z jakimi spotykamy się na co dzień np. tarcie, siła sprężystości jest wynikiem oddziaływania atomów, są to więc siły elektromagnetyczne. Oddziaływanie elektromagnetyczne ma wielokrotnie większe natężenie od grawitacyjnego; Przykładowe skutki: uderzenia piorunów, prąd elektryczny, struktura atomów, cząsteczek, ciał stałych. 3
ODDZIAŁYWANIA FUNDAMENTALNE c.d. Oddziaływanie jądrowe (silne) - występuje na poziomie jądra atomowego i cząstek elementarnych. Siła utrzymująca w całości jądra atomowe pomimo odpychania między protonami (ładunki dodatnie). Jądro atomowe Kwarki łączą się w protony i neutrony dzięki gluonom, które przenoszą oddziaływanie silne. Protony i neutrony noszą wspólną nazwę nukleony. Nukleony łączą się w jądra również przez oddziaływanie silne Oddziaływanie to ma bardzo krótki zasięg i największe względne natężenie. 4
ODDZIAŁYWANIA FUNDAMENTALNE c.d. Oddziaływanie słabe - temu oddziaływaniu podlegają wszystkie cząstki elementarne, w szczególności oddziaływanie to odpowiada za rozpad niektórych cząstek elementarnych. np. neutronu Oddziaływanie to jest również krótkozasięgowe. Tab. Cztery oddziaływania fundamentalne 5
DEFINICJE 3.2. DYNAMIKA -podstawowe pojęcia Punkt materialny to ciało, którego rozmiary są do zaniedbania w danym zagadnieniu dynamiki. Zaniedbujemy również rozkład przestrzenny masy tego ciała. Masa m (1 kg) ojeżeli położymy na podłodze piłkę tenisową i kulę do kręgli i kopniemy je z jednakowa siłą, to? Bez doświadczenia wiesz jaki będzie wynik Ale co to właściwie jest masa ciała? o Zaproponowana metoda postępowania jest jednym ze sposobów definiowania masy. Opiera się ona na porównaniu nieznanej masy m x z wzorcem masy np. m 0 = 1 kg. x Hipoteza: mx a0 m 0 a 0 a x a x Stąd, masę m x definiujemy jako: Masa ciała to wielkość fizyczna, charakteryzująca ciało;miara liczebności. m x m 0 a a 0 x ( kg) (3.1) 6
DYNAMIKA -podstawowe pojęcia c.d. m ( kg ) s Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego prędkości (wektorowej). Pęd p p mv (3.2) Siła F (1N), Jest wielkością wektorową, która jest miarą oddziaływania innych ciał na dane ciało. Może być teraz zdefiniowana jako zmiana pędu w czasie. F dp (3.3) 7
SIŁA- równanie dynamiczne Jednostka siły. Podstawiając wyrażenie (? ) i wykonując różniczkowanie otrzymujemy: (3.4) Dla ciała o stałej masie m = const. Uzyskujemy równanie dynamiczne siły: dv F m ma (3.5) Jednostka siły m s ( 1N 1kg 2 ) (3.6) Siła, która nadaje ciału wzorcowemu o masie 1 kg,przyspieszenie 1m/s 2, ma wartość 1 N 8
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 3.3. ZASADY DYNAMIKI NEWTONA Isaac Newton Phylosophiae Naturalis Principia Mathematica - Matematyczne zasady filozofii przyrody w 1687r. I. ZASADA ( inaczej zasada bezwładności) : Sir Isaac Newton, (4 January 1643-31 March 1727) Jeżeli na ciało nie działają siły lub działające się równoważą (siła wypadkowa jest równa zeru), to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. (3.7) 0 a 0 F wyp Uwagi: Układ odniesienia, w którym spełniona jest I zasada dynamiki, nazywamy układem inercjalnym. Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego z prędkością o stałej wartości i kierunku jest też układem inercjalnym. Stany spoczynku oraz ruchu jednostajnego, prostoliniowego są równoważne z punktu widzenia zasad dynamiki. 9
II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA W POSTACI UOGÓLNIONEJ Zmiana pędu ciała jest proporcjonalna do siły wypadkowej działającej na to ciało i zachodzi wzdłuż kierunku jej działania: Dla ciał o stałej masie: dp F F wyp II. ZASADA DYNAMIKI NEWTONA d mv dp (3.8) dv m ma a, stąd: F wyp m (3.9) (3.10) Jeżeli na ciało działa stała, niezrównoważona siła wypadkowa F wyp,to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem proporcjonalnym do tej siły, a odwrotnie proporcjonalnym do masy miary bezwładności tego ciała. 10
III ZASADA DYNAMIKI NEWTONA F AB F BA (3.11) Te siły występujące między ciałami nazywane są siłami reakcji (albo: siłami oddziaływania). Uwaga: Siły reakcji działają na INNE ciała, więc siły wzajemnego oddziaływania nie równoważą się! 11
Masa ciała a ciężar ciała Dynamika punktu materialnego 12
Podstawy dynamiki 3.5. Prawo powszechnego ciążenia W roku 1665, 23-leni Isaac Newton dokonał wielkiego odkrycia w fizyce- spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m 1 i m 2. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m 1 i m 2 oddzielnie czyli: F m 1 m 2 Wykazał, że siła utrzymująca księżyc na orbicie to ta sama siła, która sprawia, że jabłko spada z drzewa na Ziemię. Każde ciało we Wszechświecie przyciąga każde inne. Tę skłonność zbliżania się ciał do siebie nazwał ciążeniem (grawitacją). F m1m2 ~ r 2 13
PRAWO GRAWITACJI Przyciąganie ciał opisuje prawo powszechnego ciążenia (prawo grawitacji): F G m m 1 r 2 2 (3.15) gdzie: m1 i m2- masy cząstek, r- odległość między nimi, G- stała grawitacji. Na powierzchni Ziemi: jeżeli G mm 1 2 2 Z R mg m m m M 1 2 Z Otrzymujemy: G gr M 2 Z Z 14
Siły kontaktowe: 3.4. SIŁY KONTAKTOWE I SIŁY TARCIA. Gdy dwa ciała są dociskane do siebie, występują miedzy nimi siły kontaktowe, których źródłem jest siła odpychająca między atomami obu ciał. Siła F jest przyłożona do klocka o masie m 1 ale nadaje przyspieszenie a obu klockom, stąd: (3.12) Siła kontaktowa F k z jaką klocek o masie m 1 działa na klocek o masie m 2 nadaje przyspieszenie klockowi m 2. Ponieważ klocek m 2 porusza się z przyspieszeniem a, więc siła kontaktowa wynosi : F k m 2 a (3.13) Oczywiście, zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona klocek o masie m 2 działa na klocek o masie m 1 siłą reakcji -F k. 15
Podstawy dynamiki TARCIE Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. F N Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało zatrzyma się. Z II z. d. Newtona wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem (opóźnieniem) to musi na nie działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi nazywamy siłą tarcia. Siła tarcia występuje w konsekwencji istnienia sił kontaktowych. Jest prostopadła do normalnej do powierzchni siły nacisku i może istnieć nawet wówczas, gdy powierzchnie są nieruchome względem siebie. Współczynniki tarcia statycznego i kinetycznego: Tablica- rozwiązywanie zadań. s, k F t s, k F N siła tarcia (3.14) siła nacisku ciała na drugie ciało 16
Co ważniejsze siły Przykład 1 Pasażer o masie m=72,2 kg, stoi na wadze w kabinie windy. Jakie jest wskazanie siły normalnej F N, działającej na pasażera ze strony wagi a) gdy winda pozostaje w bezruchu, b) gdy winda porusza się do góry z przyspieszeniem a = 3,2m/s 2 (lub w dół)? Uwaga: Kabina windy nie jest układem inercjalnym, stąd wybieramy układ odniesienia związany z ziemią układ inercjalny. Wyrażenie ogólne na siłę F N, słuszne dla każdego rodzaju ruchu windy: Otrzymujemy: Ad a) a = 0, otrzymujemy F N 708 N. Ad b) dla a > 0, otrzymujemy F N 939 N gdy a < 0, to F N 477 N. 17
Co ważniejsze siły Przykład 2. (tablica) Mikołaj ciągnie sanie o łącznej masie m= 75 kg, po poziomej powierzchni i ze stałą prędkością. Współczynnik tarcia kinetycznego między płozami sań a śniegiem wynosi 0,1, a kąt nachylenia liny = 42 0. Wyznacz wartość siły F N działającej na sanie ze strony liny. F N F N Odp.: F N mg k cos sin k FN 91 N 18
Co ważniejsze siły Przykład 3.(tablica) Moneta o masie m, pozostaje w spoczynku na okładce książki, nachylonej do poziomu pod kątem = 13 0. Wyznacz współczynnik tarcia statycznego k między monetą a książką. Odp.: sin s cos tg s 0, 23 19
DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH zbiór skończonej liczby punktów materialnych o zadanej konfiguracji przestrzennej. Obłok Oorta Pas Kupiera Pluton Neptun Uran Saturn Jowisz Planetoidy Mars Księżyc Ziemia Wenus Merkury Słońce Układ planetarny, w którym planety i Słońce można traktować jak układ punktów materialnych 20
UKŁADY CZĄSTEK ŚRODEK MASY (środek bezwładności) Załóżmy, że układ jest złożony z n punktów materialnych o masach:. Środek masy ciała lub układu ciał to punkt, który porusza się tak, jak gdyby była w nim skupiona cała masa układu, a wszystkie siły zewnętrzne były przyłożone w tym właśnie punkcie. Rys. źródło: http://semesters.in Położenie punktu ś.m., dane jest wzorem: r S n 1 miri i1 M wektor położenia ciała o masie m i (3.1) wektor położenia środka masy układu ciał Masa całego układu n M m i i1 (3.2) 21
Środek masy układu ciał - przykłady x s Dane: 22 mk 7,35 10 kg 24 24 M z 5,98 10 kg 6 10 kg d 384400km RZ 6378,14km x s M mk m Z K d x s 4667, 28km 22
Środek masy układu ciał - przykłady Przykład. Cząstka Rys. źródło: D. Holliday, R. Resnick, J. Walker, "Podstawy fizyki. 23
Środek masy ciało rozciągłe Obiekt o ciągłym rozkładzie masy W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli na n- małych części o masach dm 1, dm2,..., dm n Wzór (3.1) przyjmuje: Gdy liczba części n, wtedy r S lim n n i1 n i1 m r i m i i (3.3) Granice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiednimi całkami oznaczonymi, stąd PROMIEŃ M WODZĄCY ŚRODKA MASY: wektor położenia środka masy danego ciała r S 0 1 M 0 rdm dm M całkowita masa V 0 r dv (3.4) - gęstość ciała. 24
Układy cząstek Środek masy ciało rozciągłe. Przykład Stożek jest bryłą symetryczną środek masy leży na osi symetrii. 25
ŚRODEK MASY C.D. PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH przypomnienie) Każde ciało można traktować jako układ punktów materialnych. Dlatego pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich n- punktów materialnych ciała: Pamiętając o wyrażeniu na prędkość: p n i1 n p i1 m v i i n i1 m v i i m i dri d n i1 m r i i (3.5) (3.6) Po podstawieniu do wyrażenia (3.6) wzoru (3.1), otrzymamy: Zatem: p sm d dr Mr S S M MvS pęd środka masy układu (3.7) (3.8) Suma pędów układu punktów materialnych = Pędowi jego środka masy 26
PRĘDKOŚĆ I PRZYSPIESZENIE ŚRODKA MASY (3.9) (3.10) 27
II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek Założenie: M całkowita masa układu nie może się zmieniać układ zamknięty. dp Sumując stronami: 1 dp dp F, 2 F, 3 1 2 F3,..., n i1 dp i n i1 F i dp oraz uwzględniając zależność: n F n n i1 dp i dp sm Otrzymujemy równanie ruchu środka masy układu : dp sm n i1 F i (3.11) II zasada dynamiki Newtona dla układu cząstek Szybkość zmian pędu środka masy układu cząstek jest równa wypadkowej sił działających na układ i ma kierunek tej siły. 28
II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA UKŁADU CZĄSTEK Z równania ruchu środka masy układu wynika, twierdzenie o ruchu środka masy: Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak, jak punkt materialny, w którym skupiona jest całkowita masa układu, i na który działa siła, równa wypadkowej sił zewnętrznych przyłożonych do układu. Inna postać II ZASADY DYNAMIKI NEWTONA DLA UKŁADU CZĄSTEK : Fwyp Ma S (3.12) F wyp wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych, M całkowita masa układu. a s przyspieszenie środka masy 29
Czy siły wewnętrzne mają wpływ na ruch układu? Ze wzoru (3.10) wynika, że na każdy punkt działają siły wewnętrzne i zewnętrzne dp i F i F F ( w) ( z) i i (3.13) Oddziaływania dowolnych dwóch ciał w układzie znoszą się wzajemnie (III zasada dynamiki), zatem: (3.14) WNIOSKI: Siły wewnętrzne nie mają wpływu na ruch układu. F ( z) 0 (3.15) Gdy, to przyspieszenie środka masy jest równe zeru, czyli środek masy albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, albo spoczywa. n i1 dp i n i1 F ( z) i 30
3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Dynamika punktu materialnego Układ odosobniony (zamknięty, izolowany): jest to układ, na który nie działają żadne siły zewnętrzne (źródła wszystkich sił znajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływania między ciałami układu). Rozpatrzmy układ odosobniony złożony z n ciał o masach m, 1 m2,..., m n.ciała te mają prędkości v 1, v2,..., v n. Oznaczmy siły (wewnętrzne!) jakimi ciała działają na siebie jako: Fik siła, jaką ciało k-te działa na ciało i-te. Z II zasady dynamiki Newtona: Dodając stronami powyższe równania: n i1 d d d d dp F wyp m1 v1 F12 F13... F1 n m2 v2 F21 F23... F2 n mnvn Fn 1 Fn 2... Fnn m ivi F12 F21... F n1n Fn n1 (3.16) 31
Z III zasady dynamiki Newtona mamy: Zasada zachowania pędu c.d. F ik F ki Podstawiając ten warunek do poprzedniego równania (3.15), otrzymujemy: n i1 d d m ivi mivi n i1 0 (3.17) Pęd układu równy jest sumie pędów poszczególnych elementów: Ostatecznie, otrzymujemy: ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU p dp n p i mivi i1 0 stąd n i1 p const (3.18) (3.19) Jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity pęd układu nie ulega zmianie. 32
Przykład: rakieta z butelki Zasada zachowania pędu - konsekwencje Z butelki plastikowej, w połowie wypełnionej wodą i odwróconą do góry dnem, wypompowujemy powietrze. Zwolnienie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę. Pęd układu pozostaje równy zeru. 33
3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej n masie ciała: M RUCH OBROTOWY M i1 m i Bryła sztywna,to takie ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. średnie odległości pomiędzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniają się, niezależnie od działających sił. Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych. Rodzaje ruchów bryły sztywnej: a) ruch postępowy- dowolny odcinek łączący dwa dowolne punkty bryły pozostaje równoległy do swoich poprzednich położeń. b) ruch obrotowy wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej osi obrotu. Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczony i fizyk -Archimedes (około 287-212 p.n.e.). W całym antycznym świecie śruba Archimedesa używana była do podnoszenia poziomu wody. 34
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI - wielkość charakterystyczna dla danego ciała i określonej osi obrotu: (3.22) W przypadku ciał rzeczywistych, takich dla których masa jest rozłożona w sposób ciągły stosuje się postać całkową definicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momenty bezwładności: POSTAĆ CAŁKOWA: (3.23) gdzie: r 2 - oznacza zmienną określającą odległość elementu masy dm od osi obrotu. 35
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Momenty bezwładności kilku popularnych brył: a) rura b) walec pełny c) kula d) pręt (WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY) 36
RUCH OBROTOWY. 3.5.2. TWIERDZENIE STEINERA (twierdzenie o osiach równoległych) O O m Jeżeli moment bezwładności danego ciała względem osi przechodzącej przez środek masy wynosi I 0, to moment bezwładności I liczony względem innej osi równoległej do niej i oddalonej od niej o d, wynosi : d I I md 0 2 (3.24) WNIOSKI: * Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu. *Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi wzrasta. 37
MOMENT SIŁY RUCH OBROTOWY. (M ) (względem punktu O). M r F (3.29) M r F sin r F. ramię siły Zdolność siły do wprawiania ciała w ruch obrotowy zależy także od tego jak daleko od punktu (osi) obrotu jest ona przyłożona. 38
II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO Punkt materialny A, porusza się po okręgu o promieniu pod wpływem siły F, stycznej do okręgu. wektorowo : I m 2 r skalarnie : M rf m a r r r m r 2 a r I (3.31) M I (3.32) Przyspieszenie kątowe bryły sztywnej (obracającej się wokół nieruchomej osi) jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu sił zewnętrznych działających na ciało, a odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności tego ciała. 39
RUCH OBROTOWY. Przykład. Dla danych: M, R i m, znajdź przyspieszenie układu przedstawionego na rysunku. Pomiń opór powietrza oraz tarcie na osi krążka. M a F w m M w I 40
STATYKA Warunki równowagi ciała Środek ciężkości Jeśli dla wszystkich elementów ciała przyspieszenie g jest jednakowe, to środek ciężkości ciała i jego środek masy znajdują się w tym samym punkcie. Przykład -tablica. 41
Równowaga ciała - przykład dla zainteresowanych Żuraw wieżowy (rys.) musi być zawsze starannie wyważony, tak że nie ma żadnego momentu obrotowego. Żuraw na placu budowy ma podnieść klimatyzator m = 3300 kg. Wymiary żurawia są pokazane na rysunku 2. Przeciwwaga żurawia ma masę M = 10000 kg. Zignoruj masę belki. Gdzie należy umieścić przeciwwagę żurawia, gdy ładunek jest podnoszony z ziemi? (Przeciwwaga jest zazwyczaj przenoszona automatycznie przez czujniki i silniki, aby precyzyjnie kompensować obciążenie). Rys. źródło: http://www.chegg.com 42
RUCH OBROTOWY c.d.. Moment pędu - ciało punktowe (3.31) (3.33) Związek między momentem pędu a prędkością kątową Czy wektory momentu pędu i prędkości kątowej bryły sztywnej zawsze są równoległe? 43
Moment pędu bryły sztywnej RUCH OBROTOWY. (3.35) (3.36) 44
UOGÓLNIONA- II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO (3.37) Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się wypadkowemu momentowi sił zewnętrznych działających na ciało. 45
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Energia kinetyczna ciała w ruchu obrotowym E K 2 I 2 (3.38) WNIOSEK: Aby zwiększyć energie kinetyczną ciała w ruchu obrotowym trzeba nie tylko nadać mu dużą prędkość kątową, ale także uczynić możliwie dużym jego moment bezwładności. Można to zrealizować zwiększając masę ciała lub poprzez rozmieszczenie masy w możliwie dużej odległości od osi obrotu. 46
RUCH OBROTOWY. CAŁKOWITA ENERGIA KINETYCZNA (3.39) Toczenie złożenie ruchu postępowego i obrotowego. obrót ruch postępowy toczenie 47
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Przykład. (Rola momentu bezwładności) Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średnicy staczają się z tej samej równi pochyłej. Który pierwszy osiągnie podstawę? Co jest powodem tej różnicy? 48
DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU Z II z. d. N. dla ruchu obrotowego: dl dl M wynika wprost: M 0 0 L constt (3.40) Jeśli działający na układ wypadowy moment sił jest równy zeru, to całkowity moment pędu układu jest stały. Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego unktu nieruchomego jest stały. Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu. (Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe) 49
RUCH OBROTOWY. Przykład. Zasada zachowania momentu pędu 50
Dziękuję za uwagę! 51