MATEMATYKA DYSKRETNA. doc. dr hab. inż. Marek Libura

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 1 MATEMATYKA DYSKRETNA doc. dr hab. inż. Marek Libura Instytut Badań Systemowych PAN 01-447 Warszawa, Newelska 6, pok. 324 Marek.Libura@ibspan.waw.pl tel.(48)(22)8373578 w.193

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 2 NOTACJA Dla dowolnego zdania Q Q = 1 jeśli zdanie Q jest prawdziwe, 0 jeśli zdanie Q jest fałszywe.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 3 Funktory zdaniotwórcze: lub (alternatywa, suma logiczna) i (koniunkcja, iloczyn logiczny) nie (negacja) jeśli..., to... (implikacja), wtedy i tylko wtedy, gdy (równoważność).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 4 Rachunek zdań p, q zdania

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 5 FUNKCJE podłoga i sufit Dla dowolnej liczby rzeczywistej x: x =max{y Z : y x}, podłoga x x =min{y Z : y x}. sufit x Dla x, y R, y 0,symbol x mod y z dzielenia x przez y: oznacza resztę x mod y = x y x/y.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 6 Zbiory: N = {0, 1, 2,...} zbiór liczb naturalnych Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} zbiór liczb całkowitych B = {0, 1} R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 7 Dla dowolnego zbioru A, zapisx A oznacza, że x jest elementem tego zbioru. Dla zbiorów A, B, zapisa B oznacza, że A jest podzbiorem zbioru B. Zapis A B oznacza, że A jest podzbiorem właściwym zbioru B, tzn. A B (A B) (B \ A ).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 8 Zbiory: zbiór pusty {a} zbiór jednoelementowy, zawierający tylko element a {a 1,a 2,...,a n } zbiór, którego elementami są a 1,a 2,...,a n {x X : W (x)} zbiór tych elementów zbioru X, dla których funkcja zdaniowa W (x), x X, staje się zdaniem prawdziwym

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 9 X liczność (moc) zbioru skończonego X P(X) rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X Operacje na zbiorach: suma (mnogościowa) zbiorów przecięciezbiorów \ różnica zbiorów różnica symetryczna zbiorów iloczyn kartezjański zbiorów

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 10 Diagramy Venna

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 11 Dla a, b E, gdziee jest dowolnym zbiorem, symbol (a, b) oznacza parę uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b. Iloczyn kartezjański zbiorów A i B A B = {(a, b) : a A, b B}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 12 RELACJE BINARNE Definicja Relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy dowolny podzbiór zbioru A B. W przypadku, gdy oba zbiory są identyczne, tzn. A = X oraz B = X, mówimy o relacji binarnej w zbiorze X. Jeśli R A B jest relacją binarną w iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B, to dla zaznaczenia faktu, że para (a, b) jest elementem relacji R piszemy: (a, b) R albo arb

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 13 Zbiór wszystkich poprzedników par należących do relacji R nazywamy dziedziną relacji R. Zbiór wszystkich następników par należących do relacji R nazywamy przeciwdziedziną relacji R. W iloczynie kartezjańskim zbiorów A i B możemy zdefiniować co najwyżej 2 m n różnych relacji binarnych, gdzie m = A oraz n = B, bowiem dokładnie tyle elementów liczy rodzina wszystkich podzbiorów zbioru A B. R = relacjapusta w A B R = A B relacjapełna w A B

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 14 GRAF RELACJI A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}} R A B relacja przynależności do zbioru w A B R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})} Dziedzina relacji R: {1, 2, 4} Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}}

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 15 TABLICA RELACJI A = {1, 2, 3, 4}, B = {{1, 2}, {1, 4}} R A B relacja przynależności do zbioru w A B R = {(1, {1, 2}), (1, {1, 4}), (2, {1, 2}), (4, {1, 4})} Dziedzina relacji R: {1, 2, 4} Przeciwdziedzina relacji R: {{1, 2}, {1, 4}}

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 16 R X X relacjawzbiorzex OrelacjiR mówimy, że jest: zwrotna jeślixrx dla każdego x X przechodnia jeśli (xry yrz) xrz dla dowolnych x, y, z X symetryczna jeślixry yrx dla dowolnych x, y X antysymetryczna jeśli(xry yrx) x = y dla dowolnych x, y X

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 17 Definicja Relacją równoważności w zbiorze X nazywamy relację, która jest zwrotna, przechodnia i symetryczna. Relacja równoważności R wzbiorzex dzieli ten zbiór na podzbiory, nazywane klasami równoważności (albo klasami abstrakcji) relacjir wzbiorzex. Dla x X definiujemy zbiór oznaczany symbolem x/r, gdzie x/r = {y X : xry}. Zbiór taki nazywamy klasą abstrakcji relacji R wyznaczoną przez element x. Zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji R w zbiorze X oznaczamy symbolem X/R.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 18 Przykład Rozważmy relację oznaczoną symbolem, zdefiniowaną R wzbiorze + = {x R : x 0} w sposób następujący: x y wtedy i tylko wtedy, gdy x y Z. Relacja jest symetryczna, zwrotna i przechodnia, a zatem jest relacją równoważności. Klasą abstrakcji tej relacji, wyznaczoną przez element x R +, jest zbiór liczb rzeczywistych, które mają tę samą część ułamkową co x.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 19 Definicja Relacją częściowego porządku wzbiorzex nazywamy relację, która jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Parę uporządkowaną (X, ), gdziex jest dowolnym zbiorem, a jest relacją częściowego porządku w X, nazywamy zbiorem (częściowo) uporządkowanym.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 20 Przykład Rozważmy relację podzielności, oznaczaną symbolem, którą definiujemy w zbiorze liczb naturalnych w sposób następujący: a b dla a, b N wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje k N,dlaktóregob = k a. Relacja podzielności N w jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego porządku.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 21 FUNKCJE Definicja Funkcją ze zbioru X wzbióry nazywamy dowolną relację f X Y, mającą tę właściwość, że dla każdego x X istnieje dokładnie jeden element y Y,takiże(x, y) f. Dziedziną relacji f X Y, będącej funkcją, jest więc cały zbiór X. Ponieważ dla danego elementu x, należącego do dziedziny funkcji f, istnieje dokładnie jedna para (x, y) f, zwykle piszemy y = f(x) na oznaczenie faktu, że (x, y) f. Takielementy Y nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Dla zaznaczenia, że relacja f X Y jest funkcją, stosujemy zapis: f : X Y

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 22 Zbiór wszystkich funkcji f : X Y oznaczamy symbolem Fun(X, Y ). Dla dowolnego zbioru A X oraz funkcji f Fun(X, Y ), zbiór f(a) Y,gdzie f(a) = {y Y : istnieje x A, taki że y = f(x)}, nazywamy obrazem zbioru A przez funkcję f. Dla podzbioru B Y,zbiór f 1 (B) = {x X : f(x) B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B przez funkcję f. Rodzinę przeciwobrazów wszystkich jednoelementowych podzbiorów zbioru Y, to znaczy rodzinę N(f) ={f 1 ({y}), y Y }, nazywamy jądrem funkcji f.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 23 SURJEKCJE Jeśli dla funkcji f Fun(X, Y ) zachodzi warunek f(x) =Y, to mówimy, że jest to funkcja ze zbioru X na zbiór Y. Funkcja o tej własności nazywana jest też surjekcją. Podzbiór wszystkich surjekcji w zbiorze Fun(X, Y ) oznaczamy symbolem Sur(X, Y ).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 24 INJEKCJE Jeśli f Fun(X, Y ) oraz dla dowolnych elementów a, b X zachodzi warunek a b f(a) f(b), to funkcję f nazywamy funkcją różnowartościową lub injekcją. Podzbiór wszystkich injekcji w zbiorze Fun(X, Y ) oznaczamy symbolem Inj(X, Y ).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 25 BIJEKCJE Funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją, jest nazywana bijekcją. Podzbiór wszystkich bijekcji w zbiorze Fun(X, Y ) oznaczamy symbolem Bij(X, Y ).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 26 CIĄGI Funkcję f Fun(X, Y ), której dziedziną jest k-elementowy zbiór liczb naturalnych X = {0, 1, 2,...,k 1} (albo X = {1, 2,..., k}), nazywamy k-elementowym ciągiem o wyrazach ze zbioru Y i oznaczamy symbolem (a 0,a 1,...,a k 1 ) (albo (a 1,...,a k )). Jeśli dla dowolnych dwóch różnych argumentów, wartości tej funkcji są różne, to wówczas mówimy o ciągu różnowartościowym.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 27 ZAGADNIENIA ZLICZANIA Na ile sposobów można przydzielić n programów do m ffl procesorów? Ile nazw plików można utworzyć przy zadanym alfabecie ffl i zadanych ograniczeniach na długość nazwy? Na ile sposobów można rozmieścić n obiektów w m ffl pudełkach, jeśli istotna jest kolejność obiektów? Na ile sposobów można skonstruować system wieloprocesorowy typu hypercube mając do dyspozycji zadany ffl zestaw procesorów? Ile jest różnych łańcuchów DNA, zawierających dane liczby ffl nukleotydówc,g,t,a?

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 28 ZLICZANIE FUNKCJI Dane są zbiory skończone X, Y Ile elementów ma zbiór Fun(X, Y )? Twierdzenie Jeśli X = n oraz Y = m, to liczba wszystkich funkcji f : X Y jest równa m n. Fun(X, Y ) = Y X = m n

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 29 X = {x 1,x 2,x 3 }, Y = {y 1,y 2,y 3,y 4 } (x 1,y 1 ), (x 1,y 2 ), (x 1,y 3 ), (x 1,y 4 ), X Y = (x 2,y 1 ), (x 2,y 2 ), (x 2,y 3 ), (x 2,y 4 ), (x 3,y 1 ), (x 3,y 2 ), (x 3,y 3 ), (x 3,y 4 ) Przykład funkcji w X Y : (x 1,y 3 ), f = (x 2,y 1 ), (x 3,y 1 ),

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 30 Ile elementów ma zbiór Inj(X, Y )? Twierdzenie Jeśli X = n oraz Y = m, to liczba wszystkich funkcji różnowartościowych f : X Y jest równa m (m 1)... (m n +1). Oznaczenie (n-ta potęga ubywająca liczby m): Dla m, n N, 0 <n m, m n = m (m 1)... (m n +1) Dla m<n, m n =0 Dla m N przyjmujemy, że m 0 =1 Inj(X, Y ) = m n

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 31 Ile elementów ma zbiór Bij(X, Y )? Wniosek Jeśli X = Y = n, to liczba wszystkich bijekcji w zbiorze Fun(X, Y ) jest równa n n = n (n 1)... 1 Oznaczenie Dla 0 N <n (n silnia) n! =n n = n (n 1)... 1 0! = 0 0 =1 Bij(X, Y ) = n!

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 32 Permutacje Definicja Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f Fun(X, X). Wniosek Liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!. Dla n N, n>0 n! 2πn n e n, gdzie e jest podstawą logarytmów naturalnych, e 2, 7182....

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 33 Rozmieszczenia uporządkowane Dane: n obiektów, m pudełek Wszystkie rozmieszczenia uporządkowane obiektów ze zbioru {a, b} w trzech pudełkach.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 34 Oznaczenie ( n-ta potęga przyrastająca liczby m ) Dla m, n N,n>0: m n = m (m +1)... (m + n 1). Dla m N przyjmiemy, że m 0 =1. Twierdzenie Liczba wszystkich rozmieszczeń uporządkowanych n obiektów w m pudełkach jest równa m n.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 35 Twierdzenie Dla m, n N, dla których wyrażenia poniższe są dobrze określone, zachodzą następujące tożsamości: 1 n = n! (1) m n =(m + n 1) n (2) m n = m n 1 (m n +1) (3) m n =(m 1) n 1 m (4) m n = m m n n! (5) (m n)! m n =(m 1) n m (6) m n m n m! = (7) (m n)!

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 36 PERMUTACJE Permutacją zbioru X nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : X X. Zapis permutacji f w postaci tablicy: w górnym wierszu umieszczamy elementy zbioru X, pod nimi w dolnym wierszu odpowiednie wartości funkcji f dla tych argumentów. Przykład X = {a, b, c, d} f(a) =d, f(b) =a, f(c) =c, f(d) =b. Zapis permutacji f w postaci tablicy jest następujący: f = abcd dacb.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 37 Jeśli X = {1,...,n}, topermutacjezbiorux są ciągami różnowartościowymi o wyrazach ze zbioru X. Permutację f : {1,...,n} {1,...,n} identyfikujemy zwektorem (a 1,...,a n ), gdzie a i = f(i), i =1,...,n. Oznaczenie Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,...,n} oznaczamy symbolem S n.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 38 Składanie permutacji Wynikiem złożenia dwóch permutacji f i g ze zbioru S n jest również permutacja należąca do tego zbioru, którą oznaczamy symbolem fg. Zgodnie z zasadą składania funkcji mamy: fg(i) =f(g(i)) dla i =1,...,n Permutację f nazywamy permutacją zewnętrzną, natomiast permutację g permutacjąwewnętrzną.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 39 Przy składaniu permutacji istotna jest ich kolejność. W ogólnym przypadku permutacja fg jest różna od permutacji gf. Przykład Rozważmy dwie permutacje f oraz g zbioru {1,...,n}, gdzie f = 12345 53214, g = 12345 25314 Złożeniem permutacji f i g jest następująca permutacja fg:. fg = 12345 34251. Natomiast złożeniem permutacji g i f jest permutacja gf: gf = 12345 43521.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 40 Permutacja identycznościowa e S n e(i) =i dla i =1,...,n e = 12... n 12... n Dla każdego f S n mamy zależności ef = fe = f

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 41 Permutacja odwrotna Permutacją odwrotną do permutacji f S n nazywamy permutację f 1 S n, spełniającą warunek f 1 f = e. Dla każdej permutacji f S n permutacja odwrotna istnieje i jeśli f = to f 1 =... i...... j...... j...... i...,.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 42 Działanie dwuargumentowe (operacja binarna) S, T zbiory Definicja Działaniem dwuargumentowym wzbiorzes nazywamy dowolną funkcję ze zbioru S S wzbiórt. Zwykle dla oznaczenia działania dwuargumentowego stosujemy specjalny symbol (na przykład, +, itp.). Na oznaczenie faktu, że element c T jest wartością funkcji dla argumentu, będącego parą uporządkowaną (a, b) S S, piszemya b = c. W przypadku złożenia permutacji symbol działania jest zwykle pomijany dla uproszczenia zapisu.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 43 Grupa Definicja Parę uporządkowaną (S, ), gdzies jest zbiorem, a jest działaniem dwuargumentowym w S, nazywamy grupą, jeśli: ffl dla dowolnych a, b, c S, (a b) c = a (b c); ffl dla dowolnych a, b S, a b S; istnieje taki element e S, żedlakażdegoa S, ffl a e = a; dla każdego a S istnieje taki element a 1 S, ffl dla którego a a 1 = e.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 44 Liczność zbioru S nazywamy rzędem grupy (S, ). Element e w definicji grupy nazywamy elementem neutralnym grupy. Element a 1,dlaktóregoa a 1 = e, nazywamy elementem odwrotnym dla elementu a. Jeśli rząd grupy spełnia warunek S <, togrupę taką nazywamy grupą skończoną.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 45 Grupa symetryczna stopnia n Zbiór permutacji S n z działaniem złożenia spełnia wszystkie warunki definicji grupy; grupa ta jest nazywana grupą symetryczną stopnia n. ffl Wynikiem złożenia permutacji f,g S n jest permutacja fg S n. ffl Dla dowolnych permutacji f,g,h S n mamy (fg)h = f(gh). ffl Elementem neutralnym grupy S n jest permutacja e. Elementem odwrotnym dla elementu f S ffl n jest permutacja odwrotna f 1 S n.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 46 Grupa permutacji stopnia n ffl ffl Definicja Grupą permutacji stopnia n nazywamy dowolny podzbiór G S n, spełniający następujące warunki: f G g G fg G dla wszystkich f,g G; f G f 1 G dla każdego f G.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 47 Przykład Rozważmy zbiór S 4 = {π 1,...,π 24 }, składający się ze wszystkich permutacji zbioru {1, 2, 3, 4}. Niech G = {π 1,π 2,π 3,π 4 } będzie podzbiorem zbioru S 4, przy czym π 1 = π 3 = 1234 1234 1234 1243, π 2 =, π 4 = 1234 2134 1234 2143 Zbiór G z działaniem złożenia jest grupą permutacji stopnia 4. Rząd tej grupy jest równy 4. Elementem neutralnym jest permutacja π 1.,.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 48 Rozkład permutacji na cykle rozłączne Przykład f = 12345 53214 Rysunek grafu permutacji f:

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 49 (a i1,...,a ik ) ciąg różnowartościowy o wyrazach wzbiorze{1,...,n} Definicja Permutację π S n nazywamy cyklem wyznaczonym przez ciąg (a i1,...,a ik ), jeśli: π(a ij )=a ij+1 dla j =1,...,k 1; π(a ik )=a i1 ; π(a l )=a l dla l i 1,...,i k. Cykl wyznaczony przez ciąg (a i1,...,a ik ), oznaczamy symbolem [a i1,...,a ik ]. Liczbę k nazywamy długością cyklu.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 50 Rysunek grafu permutacji π S n, będącej cyklem wyznaczonym przez ciąg (a i1,...,a ik ): Cykle wyznaczone przez ciągi (a i 1,...,a i k ) oraz (a i 1,...,a i l ) nazywamy cyklami rozłącznymi, jeśli {a i 1,...,a i k } {a i 1,...,a i l } =

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 51 Definicja Rozkładem permutacji f S n na cykle rozłączne nazywamy zbiór cykli parami rozłącznych, których złożeniem jest permutacja f. Rozkład permutacji na cykle rozłączne jest wyznaczony jednoznacznie. Dla permutacji f ze zbioru S n jej rozkład na cykle rozłączne zawiera od jednego do n elementów. Z pierwszą sytuacją mamy do czynienia w przypadku permutacji, która sama jest cyklem o długości n, natomiast druga dotyczy permutacji identycznościowej.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 52 Przykład f = 12345 53214 f = 12345 52314 =[1, 5, 4], f = 12345 13245 =[2, 3] f = f f = f f =[1, 5, 4][2, 3] = [2, 3][1, 5, 4]

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 53 Typ permutacji Mówimy, że permutacja f S n jest typu (λ 1,...,λ n ),jeśli jej rozkład na cykle rozłączne zawiera dokładnie λ i cykli o długości i dla i =1,...,n. Typ permutacji będziemy również podawać w postaci następującego równoważnego zapisu: 1 λ 1 2 λ 2...n λ n. Często dla uproszczenia będziemy pomijać w takim zapisie elementy, dla których λ i =0.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 54 Przykład Rozważmy permutację f S 9,gdzie f = 123456789 751423698. Rozkład tej permutacji na cykle rozłączne ma postać: f =[1, 7, 6, 3][2, 5][4][8, 9]. Permutacja f jest więc typu (1, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), co możemy również zapisać w postaci 1 1 2 2 4 1.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 55 Inwersje permutacji Definicja Inwersją permutacji f =(a 1,...,a n ) S n nazywamy parę (a i,a j ),dlaktórej i<j n oraz a i >a j. Liczbę wszystkich inwersji permutacji f oznaczamy symbolem I(f).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 56 Znak permutacji Definicja Znakiem permutacji f S n nazywamy liczbę sgn(f) =( 1) I(f). Permutację f nazywamy: permutacją parzystą, jeśli sgn(f) =1, permutacją nieparzystą, jeśli sgn(f) = 1.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 57 Przykład Rozważmy permutację f S 5,gdzie f = 12345 53214. Inwersjami tej permutacji są następujące pary: (5, 3), (5, 2), (5, 1), (5, 4), (3, 2), (3, 1), (2, 1). Zatem I(f) =7 oraz sgn(f) =( 1) 7 = 1. Permutacja f jest więc permutacją nieparzystą.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 58 Transpozycje Definicja Transpozycją nazywamy permutację, która jest cyklem o długości 2. Permutacją odwrotną do dowolnej transpozycji jest ta sama permutacja. Jeśli permutacja t S n jest transpozycją o postaci [i, i +1] dla pewnego i {1,...,n 1}, to taką permutację nazywamy transpozycją sąsiednich elementów.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 59 Twierdzenie Dowolną permutację f S n można przedstawić w postaci złożenia I(f) transpozycji sąsiednich elementów. Jeśli f =(a 1,...,a n ) S n oraz t =[i, i +1] dla pewnego i =1,...,n 1, to ft =(a 1,...,a i 1,a i+1,a i,a i+2,...,a n ) Przykład f =(2, 4, 3, 5, 1) S 5, I(f) =5 f [4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4] = e f = (2, 4, 3, 5, 1) =([4, 5][3, 4][2, 3][1, 2][3, 4]) 1 = [3, 4][1, 2][2, 3][3, 4][4, 5]

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 60 M. Rejewski An application ot the theory of permutations in breaking the Enigma cipher. Applicationes Mathematicae, (1980) nr 4.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 61 Dla f S n i dowolnej transpozycji sąsiednich elementów t S n mamy sgn(ft)= sgn(f). sgn(fg)=sgn(f t 1...t I(g) )=sgn(f) ( 1) I(g) = sgn(f) sgn(g). Twierdzenie Dla dowolnych permutacji f,g S n, sgn(fg)=sgn(f) sgn(g). Wniosek Dla dowolnej permutacji f S n, sgn(f 1 )=sgn(f).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 62 Twierdzenie Każda transpozycja jest permutacją nieparzystą. Twierdzenie Znak cyklu o długości k jest równy ( 1) k 1. [a 1,...,a k ]=[a 1,a 2 ][a 2,a 3 ]...[a k 1,a k ]. Twierdzenie Znak dowolnej permutacji f typu 1 λ 1...n λ n wzorem sgn(f) =( 1) n/2 j=1 λ 2j. wyraża się

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 63 Przykład Rozważmy permutację f = 123456789 751423698. Rozkładając f na cykle rozłączne otrzymujemy: f =[1763][25][4][89]. Permutacja f jest więc typu 1 1 2 2 4 1. Z twierdzenia o znaku mamy: sgn(f) =( 1) 4 j=1 λ 2j =( 1) λ 2+λ 4 +λ 6 +λ 8 =( 1) 2+1 = 1. Permutacja f jest zatem permutacją nieparzystą.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 64 PODZBIORY ZBIORÓW SKOŃCZONYCH X = {x 1,...,x n } P(X) rodzina wszystkich podzbiorów zbioru X Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru X? P(X) =2 X

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 65 Wektory charakterystyczne podzbiorów Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami zbioru P(X) dla X = n aelementamizbioru B n. Każdemu podzbiorowi Y X = {x 1,...,x n } odpowiada jednoznacznie wektor ξ(y )=(b 1,...,b n ) B n nazywany wektorem charakterystycznym zbioru Y,gdzie b i = x i Y dla i =1,...,n. Podobnie, wektorowi b =(b 1,...,b n ) B n możemy jednoznacznie przyporządkować podzbiór Y zbioru X = {x 1,...,x n }, biorąc Y = {x i X : b i =1, i =1,...,n}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 66 Generowanie wszystkich podzbiorów zbioru X Wektory charakterystyczne ξ(y ) B n dla Y X, można traktować jako zapisy w dwójkowym systemie pozycyjnym wszystkich 2 n liczb naturalnych z przedziału domkniętego [0, 2 n 1]. Metoda wyznaczenia elementów rodziny P(X): Wypisz kolejno podzbiory zbioru X, którychwektory charakterystyczne są reprezentacjami dwójkowymi kolejnych liczb naturalnych z przedziału [0, 2 X 1].

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 67 Przykład Dany jest zbiór X = {a, b, c} W kolejnych wierszach tabeli wypisane są: podzbiór Y zbioru X, jego wektor charakterystyczny ξ(y ) i liczba naturalna η(y ), dlaktórejten wektor jest reprezentacją w systemie dwójkowym. Y ξ(y ) η(y ) (0, 0, 0) 0 {c} (0, 0, 1) 1 {b} (0, 1, 0) 2 {b, c} (0, 1, 1) 3 {a} (1, 0, 0) 4 {a, c} (1, 0, 1) 5 {a, b} (1, 1, 0) 6 {a, b, c} (1, 1, 1) 7

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 68 (, {c}, {b}, {b, c}, {a}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c} )

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 69 (, {a}, {a, b}, {b}, {b, c}, {a, b, c}, {a, c}, {c} )

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 70 Kod Graya rzędu n: Ciąg wszystkich wektorów należących do B zbioru n, uporządkowanych w taki sposób, aby sąsiednie wektory ciągu oraz wektory pierwszy i ostatni różniły się dokładnie na jednej pozycji. Taki ciąg wektorów ze B zbioru n istnieje dla dowolnego n 1 inosinazwękodu Graya rzędu n. Na przykład w przypadku n =3jeden z możliwych kodów Graya rzędu 3 ma postać następującego ciągu: ((0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1) )

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 71 Zwierciadlany kod Graya Jeśli mamy kod Graya rzędu k dla pewnego k N, k 1, zapisany w postaci ciągu: ((C 1 ), (C 2 ),...,(C m 1 ), (C m )), gdzie m =2 k, (C i ) B k, to następujący ciąg wektorów należących B do k+1 jest kodem Graya rzędu k +1: ((C 1, 0), (C 2, 0),...,(C m 1, 0), (C m, 0), (C m, 1), (C m 1, 1),...,(C 2, 1), (C 1, 1) ). Zapisy (C i, 0) oraz (C i, 1) oznaczają dla k-elementowego wektora (C i ), gdzie i =1,...,m, odpowiednio (k +1)-elementowe wektory, otrzymywane przez uzupełnienie wektora (C i ) przezzeroalbojedynkęnaostatniej pozycji.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 72 Przykład Kody Graya rzędu n dla n =1, 2, 3, 4 (dla uproszczenia zapisu pominięte są nawiasy i przecinki w oznaczeniach wektorów): n =1 0 1 n =2 00 10 11 01 n =3 000 100 110 010 011 111 101 001 n =4 0000 1000 1100 0100 0110 1110 1010 0010 0011 1011 1111 0111 0101 1101 1001 0001

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 73 Podzbiory k-elementowe zbiorów skończonych X = {x 1,...,x n } zbiór, k liczba naturalna Ile jest wszystkich różnych podzbiorów zbioru X, mających dokładnie k elementów? Liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego będziemy oznaczać symbolem n k i nazywać współczynnikiem dwumianowym. Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast symbol k indeksem dolnym.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 74 Wzór dwumianowy Newtona Dla x, y R oraz n N zachodzi następująca równość: (x + y) n = n i=0 n x i y n i. i

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 75 Twierdzenie n k = nk k! = n(n 1)...(n k +1) 1 2... k = n! k! (n k)! Dowód Dowolna injekcja f Fun(A, X), gdzie A = k oraz X = n, wyznacza dokładnie jeden k-elementowy podzbiór f(a) n-elementowego zbioru X. Liczba wszystkich takich funkcji jest równa n k. Ale jednocześnie dla f Fun(A, X) oraz dowolnej permutacji π zbioru A również funkcja fπ Fun(A, X) wyznacza ten sam podzbiór. Oznacza to, że liczba wszystkich różnych podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego jest dokładnie k! razy mniejsza niż liczba injekcji w zbiorze Fun(A, X), to znaczy jest równa nk k!. Pozostałe zależności otrzymuje się w wyniku prostych przekształceń algebraicznych. Λ

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 76 Współczynniki dwumianowe tożsamości n k = n 1 k + n 1 k 1 n k = n n k n i=0 n i =2 n n i=0 i n i = n 2 n 1 m + n k = k s=0 m s n k s

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 77 Trójkąt Pascala

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 78 Współczynniki wielomianowe Ile jest wszystkich funkcji f Fun(X, Y ), gdzie X = n, Y = {1,...,m}, dla których f 1 ({i}) = k i, i =1,...,m? Liczbę takich funkcji oznaczamy symbolem n k 1 k 2...k m i nazywamy współczynnikiem wielomianowym. Symbol n w tym zapisie nazywamy indeksem górnym, natomiast symbole k 1,...,k m indeksami dolnymi.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 79 Twierdzenie Dla n N oraz liczb naturalnych k 1,k 2,...,k m, spełniających warunek k 1 + k 2 +...+ k m = n, zachodzi równość n k 1 k 2...k = n! m k 1! k 2!... k m!. Dla m =2 oraz k 1 = k i k 2 = n k, gdzie k, n N, k n, mamy: k n n k = n! k! (n k)! = n k = n n k k.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 80 Przykład Sekwencjonowanie RNA Interesuje nas struktura fragmentu łańcucha RNA, o którym wiemy, że składa się z dziesięciu nukleotydów. Wiemy ponadto, że w łańcuchu występuje czterokrotnie adenina (A), trzykrotnie guanina (G), dwukrotnie cytozyna (C) i jeden raz uracyl (U). Dodatkowo wiemy, że na początku łańcucha znajduje się guanina. Chcemy policzyć, ile jest wszystkich różnych łańcuchów RNA zgodnych z taką analizą. Mamy tutaj m = {A, G, C, U} =4, k 1 =4,k 2 =2,k 3 =2,k 4 =1, n =9. Liczba wszystkich możliwych łańcuchów RNA, odpowiadających powyższym warunkom jest równa: n k 1 k 2 k 3 k 4 = 9 4221 = 9! 4! 2! 2! 1! = 3780.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 81 Wzór wielomianowy N R Twierdzenie Dla m, n oraz x 1,...,x m zachodzi następująca równość: (x 1 +...+ x m ) n = k 1,...,k m N k 1 +...+ k m = n n x k 1 1 k 1...k... xk m m m.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 82 Tożsamości dla współczynników wielomianowych n = m n k 1...k m k 1,...,k m N k 1 +...+ k m =n n k 1 k 2 k 3... k m = +... + n 1 k 1 1 k 2 k 3... k m + n 1 +... k 1 k 2 1 k 3... k m n 1 k 1 k 2 k 3... k m 1

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 83 Dla zbioru z powtórzeniami Q =(X, (k 1,...,k n )) stosujemy następujące oznaczenie: Q = k 1 x 1,...,k n x n. Liczność zbioru z powtórzeniami Q = k 1 x 1,...,k n x n oznaczamy symbolem Q i definiujemy jako sumę krotności wszystkich jego elementów, tzn. Q = k 1 +...+ k n.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 84 Podzbiory zbioru z powtórzeniami Zbiór z powtórzeniami S = m 1 x 1,...,m n x n jest podzbiorem zbioru z powtórzeniami Q = k 1 x 1,...,k n x n wtedy i tylko wtedy, gdy 0 m i k i dla każdego i =1,...,n. Dla zaznaczenia faktu, że S jest podzbiorem zbioru zpowtórzeniamiq, używamy zapisu: S Q.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 85 Rodzinę wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami Q oznaczamy symbolem P(Q). Liczba wszystkich podzbiorów zbioru z powtórzeniami Q = k 1 x 1,...,k n x n jest równa P(Q) =(1+k 1 ) (1 + k 2 )... (1 + k n ).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 86 Podzbiory k-elementowe zbioru z powtórzeniami Twierdzenie Liczba wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru zpowtórzeniami k 1 x 1,...,k n x n, gdzie k i k dla i =1,...,n, jest równa n k k! = n + k 1 k.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 87 Przykład Rozważmy liniowe równanie diofantyczne: x 1 + x 2 +...+ x n = k. ( ) Chcemy wyznaczyć liczbę wszystkich nieujemnych rozwiązań równania (*), czyli liczbę wektorów (x 1,...,x n N ) n, spełniających powyższą równość. Każdy taki wektor (x 1,...,x n N ) n jednoznacznie odpowiada k-elementowemu podzbiorowi x 1 z 1,...,x n z n zbioru zpowtórzeniamiq = k z 1,...,k z n. Liczba wszystkich nieujemnych całkowitoliczbowych rozwiązań równania (*) jest więc równa liczbie wszystkich k-elementowych podzbiorów zbioru Q, tzn. ( ) n+k 1 k.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 88 PODZIAŁY ZBIORU NA BLOKI X k zbiór skończony liczba naturalna Definicja Podziałem zbioru skończonego X na k bloków nazywamy rodzinę zbiorów A = {A 1,...,A k }, spełniającą następujące warunki: (i) A i dla 1 i k; (ii) A 1... A k = X; (iii) A i A j = dla 1 i<j k. Podzbiory A 1,...,A k, nazywamy blokami podziału A.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 89 Przykład X = {a, b, c, d}, k =3 Istnieje dokładnie sześć podziałów zbioru X na trzy bloki: A 1 = {{a},{b},{c, d} }, A 2 = {{a},{b, c}, {d} }, A 3 = {{a, b}, {c}, {d} }, A 4 = {{a, c}, {b}, {d} }, A 5 = {{a},{b, d}, {c} }, A 6 = {{a, d}, {b}, {c} }.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 90 Oznaczenia: Π k (X) zbiór wszystkich podziałów zbioru X na k bloków; Π(X) zbiór wszystkich podziałów zbioru X. Π(X) =Π 1 (X)... Π n (X). n = Π k k (X), gdzie X = n. Wielkości { n k } noszą nazwę liczb Stirlinga drugiego rodzaju albo liczb podzbiorowych Stirlinga.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 91 Liczby Stirlinga drugiego rodzaju Przyjmiemy, że istnieje dokładnie jeden podział zbioru pustego na 0 bloków, tzn. 0 =1. n k 0 =0 dlak>n n =1 dlan 0 n n =0 0 n =1 1 dlan>0 dlan>0

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 92 Wyznaczanie liczby podziałów zbioru na bloki Twierdzenie Dla n N oraz k N,gdzie0 <k<n, zachodzi następująca równość: n k = n 1 + k k 1 n 1 k.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 93 Liczby Bella Liczności zbioru Π(X), gdy X = n, n N nazywamy n-tą liczbą Bella i oznaczamy symbolem B n. Zachodzi następująca równość: B n = n k=0 n k

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 94 Tabela liczb Stirlinga drugiego rodzaju { n k } i liczb Bella Bn dla k, n =0, 1,...,10.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 95 Wyznaczanie wszystkich podziałów zbioru na bloki Załóżmy, że dla pewnego k, gdzie1 k<n, mamy rodzinę zbiorów A = {A 1,...,A l }, będącą podziałem zbioru {1,...,k 1} na bloki. Wówczas następujące rodziny zbiorów są podziałami zbioru {1,...,k}: {A 1 {k}, A 2,...,A l }, {A 1,A 2 {k},...,a l },. {A 1,A 2,...,A l {k}}, {A 1,A 2,...,A l, {k} }. Zaczynając od rodziny, która zawiera tylko jednoelementowy zbiór {1}, i powtarzając opisany wyżej krok procedury rekurencyjnej n 1 razy, otrzymamy drzewo, którego liście odpowiadają wszystkim możliwym podziałom zbioru {1,...,n}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 96 Przykład Drzewo podziałów zbioru {1, 2, 3}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 97 Tożsamości dla liczb Stirlinga i liczb Bella Dla k, n, x N zachodzą następujące równości: x n = n k=0 n x n = k n k=0 ( 1)n k n x n. k Dla n N zachodzi zależność: B n+1 = n i=0 n i B i.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 98 Podziały zbiorów a relacje Z dowolnynm podziałem A zbioru X na bloki można związać pewną relację, którą oznaczymy symbolem R A i zdefiniujemy następująco: R A = A A. A A Powyższy zapis oznacza, że dwa elementy x oraz y zbioru X są wrelacjir A wtedy i tylko wtedy, gdy należą do tego samego bloku podziału. Jeśli na przykład X = {a, b, c, d} i A = {{a}, {b, d}, {c}}, to: R A = {(a, a), (b, b), (b, d), (d, b), (d, d), (c, c)}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 99 Podziały zbiorów a relacje ZdowolnynpodziałemA zbioru X na bloki można związać pewną relację, którą oznaczymy symbolem R A i zdefiniujemy następująco: R A = A A. A A Dla dowolnego podziału A zbioru X relacja R A jest symetryczna, zwrotna i przechodnia, a zatem jest relacją równoważności wzbiorzex.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 100 Dowolnej relacji równoważności R w zbiorze X można przyporządkować jednoznacznie podział A R = X/R zbioru X na bloki, będący zbiorem wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności R w X. Przykład Jeśli X = {x : x 10} i jako relację równoważności weźmiemy relację R zdefiniowaną następująco: xry x mod3=y mod 3, to otrzymamy podział A R zbioru X na bloki, gdzie: A R = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 101 Wniosek Liczba wszystkich różnych relacji równoważności wzbiorzen-elementowym jest równa n-tej liczbie Bella B n. Zatem na przykład liczba wszystkich możliwych relacji równoważności, które można zdefiniować w zbiorze pięcioelementowym, jest równa 52.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 102 Podziały zbioru na bloki i relacja rozdrobnienia A, A podziałyzbiorux na bloki. Podział A zbioru X jest rozdrobnieniem podziału A wtedy i tylko wtedy, gdy każdy blok podziału A jest sumą pewnej liczby bloków podziału A. Fakt ten zapisujemy następująco: A A i mówimy, że podział A jest w relacji rozdrobnienia zpodziałema.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 103 Przykład Podział zbioru X = {x N : x 10} na bloki jest rozdrobnieniem podziału A = {{0, 3}, {6, 9}, {1, 4, 7}, {10}, {2, 5, 8}} A R = X/R = {{0, 3, 6, 9}, {1, 4, 7, 10}, {2, 5, 8}}. Relacja rozdrobnienia jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, a zatem jest relacją częściowego porządku w zbiorze podziałów danego zbioru na bloki.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 104 Podziały zbiorów a zliczanie surjekcji Przykład Mamy do dyspozycji m ponumerowanych procesorów i n m programów, z których każdy może być wykonany na dowolnym z tych procesorów. Chcemy przydzielić wszystkie programy do procesorów w taki sposób, by każdy procesor otrzymał co najmniej jeden program. (Zakładamy przy tym, że każdy program jest wykonywany w całości przez jeden procesor.) Należy policzyć, na ile sposobów można dokonać takiego przydziału. Każdy przydział programów do procesorów może być opisany przez pewną funkcję z n-elementowego zbioru programów X w m-elementowy zbiór procesorów Y. Z warunku, że każdy procesor ma dostać do wykonania co najmniej jeden program wynika, że funkcja ta musi być surjekcją.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 105 Zliczanie surjekcji Niech X, Y będą dowolnymi zbiorami i niech X = n oraz Y = m. Chcemy policzyć: Ile jest wszystkich surjekcji w zbiorze Fun(X, Y )? Liczbę wszystkich surjekcji w zbiorze Fun(X, Y ), gdzie X = n oraz Y = m, będziemy oznaczać symbolem s n,m, tzn. s n,m = Sur(X, Y ) dla X = n, Y = m.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 106 Twierdzenie Liczba s n,m surjekcji w zbiorze Fun(X, Y ), gdzie X = n, Y = m, spełnia zależność s n,m = m! Dowód Jądro każdej surjekcji f ze zbioru Fun(X, Y ) wyznacza podział N(f) zbioru X na m bloków: n m. N(f) ={f 1 ({y}) : y Y }. Dla dowolnej permutacji π zbioru Y jądra funkcji f i πf są identyczne, a zatem dokładnie m! surjekcji ze zbioru Fun(X, Y ) ma to samo jądro A Π m (X). Liczba wszystkich surjekcji w zbiorze Fun(X, Y ) jest więc m! razy większa niż liczba wszystkich podziałów n-elementowego zbioru X na m bloków. Λ

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 107 PODZIAŁY LICZBY n, k liczby naturalne Definicja Podziałem liczby n na k składników nazywamy ciąg liczb naturalnych (a 1,...,a k ), spełniający warunki a 1 +...+ a k = n oraz a 1... a k > 0. Liczbę wszystkich podziałów liczby n N składników oznaczamy symbolem na k N P (n, k), a liczbę wszystkich podziałów liczby n symbolem P (n).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 108 Podziały liczby na składniki Zachodzi zależność: P (n) = n k=1 P (n, k) Przyjmiemy, że P (0, 0) = P (0) = 1. Dla n, t N, liczność zbioru wszystkich podziałów (a 1,...,a k ) liczby n, dla których spełniony jest warunek a i t, i =1,...,k, będziemy oznaczać symbolem P t (n).

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 109 Twierdzenie Dla n, k N,gdzien k>0, zachodzi zależność P (n, k) =P (n 1,k 1) + P (n k, k) Twierdzenie powyższe pozwala na rekurencyjne obliczanie wartości P (n, k) dla dowolnych parametrów n k>0, korzystając z faktu, że P (0,k)=P (k, 0) = k =0.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 110 Liczność podziałów liczby naturalnej n na składniki dla n, k =0,...,12.

Marek Libura MATEMATYKA DYSKRETNA 111 Diagramy Ferrersa i podziały sprzężone