SZACOWANI NIPWNOCI PRZY POMIARZ I OKRLANIU POZIOMU RÓWNOWANGO mgr Mołaj KIRPLUK NTL-M.Krplu 00-76 Warszawa, ul.belwedersa 3 m.6 www.tlm.com tel..: 50 660 e-mal: mrplu@tlm.com. WSTP Nejszy referat staow otyuacj poprzedo wyoaej pracy [7] dotyczcej prawdłowego sposobu orelaa epewoc wyów badaa hałasu a podstawe wyoaych pomarów pozomu dwu. Supam s tym razem a dwóch zagadeach zwzaych z orelaem epewoc oblczaego / merzoego rówowaego pozomu dwu: wpływem wybraej statysty pomarów rótooresowych, w zaleoc od czasu pomaru (mejszego od ormatywego czasu obserwacj) a epewo wyu ocowego, oszacowaem epewoc orelea pozomu rówowaego z czasu pomaru, wyoywaego metod pomaru cgłego a do mometu ustablzowaa s wyu według zadaych ryterów obserwacj. Dla osób ezajcych mojego poprzedego artyułu, ja dla przypomea podstawowych formacj - zamecłem w rozdzale Repetytorum podstawowe formacje t. statysty oraz epewoc, a w rozdzale 3 - przypomam podstawy zastosowaa statysty w oblczeach austyczych. Główy temat ejszego referatu zaczya s od rozdzału 4.
. RPTYTORIUM.. Parametry rozładu zmeych losowych Warto oczewaa zmeej losowej X (warto przecta, adzeja matematycza) dla zmeej losowej dysretej: dla zmeej losowej cgłej: ( X ) x P{ X } x ( X ) x f ( x) dx Momet rzdu zmeej losowej X to warto oczewaa zmeej losowej X, czyl: dla zmeej losowej dysretej: dla zmeej losowej cgłej: ( X ) x P{ X x } ( X ) x f ( x) dx Momet cetraly rzdu zmeej losowej X to warto oczewaa zmeej losowej (X-(X)), czyl: dla zmeej losowej dysretej: dla zmeej losowej cgłej: ( X ( X )) ) x ( X ) ( ) P{ X x } ( ( )) ) ( ( ) ) X X x X f ( x ) dx Waracja zmeej losowej X jest oreloa zaleoc: D [ ] ( X ) ( X ) ( X ) Perwaste wadratowy z waracj azywamy odchyleem stadardowym (w populacj).
.. Przypad szczególe A. reda arytmetycza to warto oczewaa zmeej losowej dysretej o jedaowych prawdopodobestwach dla soczoej lczby molwych wartoc: ( X ) X Dla redej arytmetyczej waracja wyraa s wzorem: D ( X ) ( X ) ( X ) [ ] X X (...) [ X ( X )] jest to warto oczewaa wadratu odchylea zmeej losowej od jej wartoc oczewaej, czyl momet cetraly drugego rzdu lub rede odchylee wadratowe [6] lub red błd wadratowy [] - tae azewctwo jest prawdłowe (przyp.mk), a perwaste wadratowy z tej waracj to: reda wadratowa odchylea, ale te odchylee stadardowe (w populacj) lub dyspersja []. B. Waoa reda arytmetycza to warto oczewaa zmeej losowej dysretej o jedaowych prawdopodobestwach dla soczoej lczby molwych wartoc: ( X ) P( ) X X Gdze P(X ) to wag zormalzowae do (czyl prawdopodobestwa). Dla waoej redej arytmetyczej waracja wyraa s wzorem: D ( X ) ( X ) ( X ) [ ] P( X ) X P( X ) X... _ oec _ a _ tym _! W ogólym przypadu e ma aaltyczego rozwca powyszego wzoru! A zatem waracja ( dalej odchylee stadardowe jao perwaste z ej) ju e mog by lczoe jao rede odchylee wadratowe!
.3. Nepewo epewo rozszerzoa - U R : (zasada propagacj epewoc) U U U R A B Nepewo moemy orela z róym pozomem ufoc, wyraaym zazwyczaj w procetach, ozaczajcym prawdopodobestwo uzysaa wyu lecego w poblu wartoc oczewaej w przedzale zdefowaym przez t epewo, p.: PX przedzal epewosc ( ( X ) U ( X ) ) 95% R, 95, U R, 95 epewo typu A - U A moemy j orela metodam statysty matematyczej, dotyczy główe wyów pomarów tratowaych jao zmee losowe: - ezalee, - powtarzale, - pomar e wpływa a wy. epewo typu B - U B orelamy j metodam ym statysty matematyczej, p: - metry, certyfaty, - dae lteraturowe, - wczeej uzysae dae pomarowe, - włase dowadczee wedza, - szczegółowa zajomo badaych zjaws. Szacowae epewoc typu B to bardzej sztua dowadczala rzemosło []
3. STATYSTYKA W POMIARACH AKUSTYCZNYCH 3.. Zdarzea statystycze w austyce Aby bada zjawsa austycze orela dla ch parametry statystycze, trzeba zdefowa zdarzea statystycze, dla tórych musz by spełoe waru stosowaa statysty: zdarzea austycze powy by ezalee - std aley merzy całe cyle jao zdarzee austycze (p. cyl wjazd maewry wyjazd pojazdu), zdarzea austycze powy by powtarzale - aley uwzglda czy majce wpływ a przebeg badaego zdarzea poprzez prawdłowe orelee modelu zjawsa - błdem jest p. badae statystycze hałasu omuacyjego w czase arastaa atea ruchu pomdzy olejym pomaram lub podczas bloowaa pasa ruchu spowodowaego awar pojazdu, badae e powo wpływa a przebeg zdarzea austyczego - p. ustawee putu pomarowego zbyt blso jezd w polu wdzea erowcy adjedajcego pojazdu powoduje jego reacj (a ogół zmejszee prdoc...). UWAGA : Ne aley myl hstogramów rozładu statystyczego wyów pomarów odczytywaych z merów pozomu dwu ze statysty badaego zjawsa! Hstogram pozomów statystyczych orela ja jest udzał w czase obserwacj (pomaru) pozomów dwu o wartocach pomdzy zadaym rozdzelczoc statysty (p. co 0, db lub co db) - jest to statystya zmerzoych pozomów. Na przyład: dla pojedyczego przejazdu samochodu bd to pozomy merzoe co s - pozom o wartoc masymalej wystp jede raz, a pozomy sze (w przypadu dealym) - po dwa razy. Uzysujemy z taego pomaru ja rozład statystyczy zmerzoych pozomów dwu dla pojedyczego przejazdu, tóry dopero sam w sobe jest jedym zdarzeem austyczym!.
3.. Pozom red (eergetycza reda arytmetycza) red pozom dwu (dla jedaowo prawdopodobych zdarze / pomarów) oblczamy jao tzw. red logarytmcz orelo wzorem: L r. log0 0 L 0 0 [A ] Defcja pozomu dwu Pozom dwu wyraoy w decybelach to 0 logarytmów dzestych ze stosuu wadratu cea austyczego do wadratu cea odesea rówego *0-5 Pa: p L p 0log0, p 0 db gdze: p 0 - cee odesea *0-5 Pa (próg słyszea dla 000 Hz) [B] Przeształcajc wzory [A ] [B] otrzymujemy: p p r. 0 p p 0 czyl warto oczewa dla weloc p /p 0 - espozycj wzgldej - orelo wzorem dla redej arytmetyczej - dla tórej jest stworzoy cały statystyczy aparat matematyczy! W dalszych rachuach espozycj wzgld, rozuma jao welo p /p 0, bd ozaczał przez (e myl z wartoc oczewa (X) w poprzedch rozdzałach!) tratował jao zme losow opsujc zdarzea austycze: r. spozycja jest proporcjoala do eerg fal austyczej, jest addytywa moa oczewa, e jej rozład bdze mał charater rozładu ormalego woół wartoc redej. Dla opsu taej weloc moa stosowa parametry statystycze wyprowadzae ze wzorów a warto oczewa. [C]
UWAGA : Pozom dwu e jest weloc fzycz - jest umow reprezetacj weloc fzyczej przy wyorzystau fucj logarytmczej ze wszelm tego osewecjam: e jest addytywy - e dodaje s algebracze - sumowae pozomów polega a sumowau eerg ( suma logarytmcza pozomów), róca pozomów jest rotoc - jest to róca logarytmów! - choca jest stosowaa jao wsa suteczoc austyczej (p. dwozolacyjoc, wycszea), to lczee waracj a rócach pozomów e ma sesu fzyczego, pozom dwu e reprezetuje wartoc zerowej - odpowadajcej brau emsj eerg (warto pozomu dy do ). 3.3. Pozom rówoway (eergetycza reda waoa) red pozom dwu oblczamy jao tzw. red logarytmcz orelo wzorem: L r. 0 log0 T 0 T L 0 [D] W welocach eergetyczych, jao rówowaa espozycja: r. T T [] Odchylee stadardowe dla espozycj rówowaej: T T T σ [F] T gdze: T T
3.4. Przedzał epewoc Dopero przy orelau przedzału epewoc przy wybraym pozome ufoc, p.95%, decydujemy s a przyjce jaego modelu rozładu - w domyle, ze wzgldu a dalsze rachu stosowae wzory - jest to rozład ormaly (dla espozycj wzgldych!). Zgode z Przewodem... [3] moemy epewo dla pozomu ufoc 95% orel jao σ w ad stro (przedzał obustroy) lub sorzysta z rozładu t-studeta dla zadaej lczby prób (stop swobody) przyjtego pozomu stotoc. Kosewecj orelea redej wartoc espozycj wzgldej r. z epewoc symetrycz ±, czyl przedzału ufoc dla espozycj wzgldej [ r. -, r. ], jest przedzał ufoc dla pozomów dwu [0log 0 ( r. - ), 0log 0 ( r. )] rówy przedzałow [L r. - L -, L r. L ], gdze warto oczewaa pozomu dwu L r. 0log 0 ( r. ) ley esymetrycze wewtrz tego przedzału (blej wartoc górej), std warto reda pozomu dwu podawaa wraz z epewoc mus me esymetrycze wartoc epewoc: L r. ( L ; - L-) pozom dwu L, db Lr. L Lr. Lr. - L - L L - r. - r. r. espozycja wzglda, bezwymarowa
4. NIPWNO POZIOMU RÓWNOWANGO 4.. Wpływ wybraej statysty pomarowej Wyoajmy oblczea dla tego samego zarejestrowaego sygału austyczego (pozom rówoway z 3-godzego pomaru wyósł 65,4 db - dalej jest te wy przyjmoway jao waro dołada w tym esperymece) przy róych załoeach pomarowych, tj. dla róych czasów trwaa pomaru elemetarego - muta, 5 mut 5 mut - wyresy a astpych stroach: Przypade A - tyle samo pomarów elemetarych - po 5 - o róym czase próbowaa, Przypade B - pomary elemetare o róym czase próbowaa wyoywae przez te sam czas obserwacj, tj. 75 mut, czas pomaru elemetarego lczba próbe czas pomaru Przypade A pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% lczba próbe czas pomaru Przypade B pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% muta 5 5 m. 66,6,5; -6,68 75 75 m. 65,9 0,6; -0,7 5 mut 5 5 m. 66,5,84; -3,4 5 75 m. 65,9 0,68; -0,80 5 mut 5 75 m. 65,9 0,65; -0,77 5 75 m. 65,9 0,65; -0,77 3 godz. pomar cgły 65,4 warto dołada pomar cgły 65,4 warto dołada Jeel srócmy czas pomaru lub lczb próbe, to oczywce zaresy epewoc bd wsze: Przypade C - tyle samo pomarów elemetarych - po 3 - o róym czase próbowaa, Przypade D - pomary elemetare o róym czase próbowaa wyoywae przez te sam czas obserwacj, tj. 45 mut. czas pomaru elemetarego lczba próbe czas pomaru Przypade C pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% lczba próbe czas pomaru Przypade D pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% muta 3 3 m. 66,0,83; -0,9 45 45 m. 65,9 0,83; -,03 5 mut 3 5 m. 65,5,37; -5,60 9 45 m. 65,9,6; -,59 5 mut 3 45 m. 65,9,5; -,35 3 45 m. 65,9,5; -,35 3 godz. pomar cgły 65,4 warto dołada pomar cgły 65,4 warto dołada
Przypade A - tyle samo pomarów elemetarych - po 5 - o róym czase próbowaa Przypade B - pomary elemetare o róym czase próbowaa wyoywae przez te sam czas obserwacj, tj. 75 mut
Aalogcze wyoajmy oblczea dla pewego modelowaego sygału o orese T3 muty astpujcej charaterystyce podstawowej: muta: 75 db muta: 35 db 3 muta: 55 db w adej muce pozom zmea s losowo w zarese 0 5 db (geerator lczb losowych) I dla tego modelu rówe orelmy przypad: Przypade - tyle samo pomarów elemetarych - po 3 - o róym czase próbowaa, Przypade F - pomary elemetare o róym czase próbowaa wyoywae przez te sam czas obserwacj, tj. 45 mut. czas pomaru elemetarego lczba próbe czas pomaru Przypade pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% lczba próbe czas pomaru Przypade F pozom red z pomaru zares epewoc typu A 95% muta 3 3 m. 74, 7,9; - 45 45 m. 73,,6; -,58 5 mut 3 5 m. 7,4,65; -5,6 9 45 m. 73,,; -,5 5 mut 3 45 m. 73,,43; -,5 3 45 m. 73,,43; -,5 3 godz. pomar cgły 73, warto dołada pomar cgły 73, warto dołada
Na podstawe przedstawoych wyów oblcze obserwujemy atychmast, co astpuje: wyoae lu pomarów elemetarych (m.3) od razu wsazuje, czy wybralmy włacwy czas pomaru elemetarego - patrz p. zares epewoc przy 3 mutowym czase pomaru dla przypadów C - moa to powza z rozstpem wyów pomarów elemetarych, emej jeda pommo uzysaa w przypadu wyu tylo o db róego od wyu doładego (czysty przypade!), to czas obserwacj był ewdete za rót do ocey zjawsa austyczego o orese podstawowym wyoszcym 3 muty, pommo, e dla tego samego czasu pomaru (łczego) przy podzale tego czasu a coraz rótsze czasowo odc elemetare w zwzu z tym wzrost lczby pomarów elemetarych - oczewałoby s, e zaresy epewoc bd proporcjoale male - to w pewych sytuacjach, ja dla przypadu B, we s to ze zwszeem jaby rozdzelczoc wdzea zjawsa zaobserwowae slejsze odchylea pogarszaj statysty - w przypadu B rozstp (pomdzy masymalym a mmalym wyem pomarów elemetarych) jest a tyle wszy dla pomarów 5-mutowych dla pomarów 5-mutowych, e eco wsza lczba pomarów elemetarych e ompesuje tego fatu, statystya zaley od wyboru czasu pomaru elemetarego, ale jest eczuła a jedost czasu - jeel te same przebeg odelbymy do seud - to zaleoc lczbowe pozostaj, wya to m.. ze sposobu orelaa eergetyczej redej arytmetyczej dla daego pomaru (patrz wzór [C] w rozdzale 3..): r. t t t t p t t 0 p gdze: t 0 - czas pomaru elemetarego t p - czas pomaru (obserwacj zdarze): t p x t 0 wyajcy z fatu rozpoczca pomaru od ajbardzej eergetyczej czc modelowego cylu, gdyby zacz od ajmej eergetyczego, to wy wyósłby 70,6 db byłby zacze mejszy od doładego )
4.. Orelee epewoc oszacowaa pozomu rówowaego Ja zobaczylmy w poprzedm podrozdzale - zmejszee epewoc poprzez wybrae włascwej (odpowedej) statysty pomarowej, polega a wybrau dostatecze długego czasu pomaru elemetarego (aby obejmował badae zjawso, p. cyl, lub jego weloroto) wyoau dostatecze duej lczby pomarów (za czym dze, oczywce, wydłuee samego czasu pomaru jao sumy czasów pomarów elemetarych). I jeel jestemy w stae udowod (lub przyj a war ), e czas fatycze wyoaego pomaru (czyl czas obserwacj - tu: pomarowej, e myl z ormatywym czasem obserwacj, o tórym dalej) odpowada charaterystyce zjawsa w ormatywym czase obserwacj (czyl: czase obserwacj dla tórego orelamy pozom rówoway w celu porówaa go z wartocam dopuszczalym oreloym w odpowedch ormach lub rozporzdzeach), to moemy badae zaoczy. Natomast, jeel wemy, e czas trwaa badaego hałasu jest y ormatywy czas obserwacj (tu: rótszy, gdy dla dłuszego przyjmujemy czas ormatywy), to musmy sorzysta ze zaego wzoru a pozom rówoway (patrz wzór [D] w rozdz.3.3.) wyprowadz wzory a epewo typu A dla espozycj wzgldej rówowaej daej sytuacj austyczej: U gdze: A,95 ( U A,95 ( em_ ) U A,95 (t ) t T eq _ ) t U T A,95 ( em _ ) 0 0, L em _ U A,95 - epewo orelea espozycj wzgldej emsj hałasu - epewo orelea czasu trwaa sytuacj austyczej - czas trwaa sytuacj austyczej - ormatywy czas dla orelea pozomu rówowaego T ( t ) UWAGA: epewo U A,95 (t ) orelea czasu trwaa sytuacj austyczej moa p. orel metod prostota dla weloc graczych przyj zares 95% tego czasu. Przedzały epewoc dla rówowaych pozomów dwu orelamy zgode z procedur opsaa w rozdzale 3.4. a podstawe oblczoych epewoc dla espozycj wzgldych.
4.3. Nepewo pomaru cgłego do czasu ustablzowaa wyu Korzystajc z obserwacj z rozdz.4.., e statystya w modelu jest eczuła a wybór jedoste czasu - przyjmjmy te sam model zmeego hałasu ( dla wygody - te same wartoc pozomów dwu) tylo, e zamast w mutach - asze modelowe zjawso bdze wystpowało w seudach. Teraz zaczjmy wyoywa pomar cgły, odczytujc co seud wy LQ (zmerzoego pozomu rówowaego - uredaego a beco od mometu rozpoczca pomaru - fucja realzowaa przez całujce mer pozomu dwu): UWAGA: a wyrese zazaczoo pomary wrtuale - perwszy rozpoczyajcy s od masymalej wartoc w 3-seudowym cylu pomarowy, drug - rozpoczyajcy s od mmalej wartoc - co łade wda a wyrese jao rozbeo wyów dla perwszych seud pomaru. Z wyresu wda, e dla aszego modelu, ju po o. 70 seudach wy jest ustablzoway, czyl jego zmay (wahaa) s e wsze 0, db a seud woół ustaloej wartoc ( ustablzowae obserwujemy wówczas gdy zmay s w gór w dół - czyl wahaa, atomast jeel to byłyby zmay w jedym eruu, czyl ja tred, to oczywce pomar aley prowadz dalej) odczytujemy wy LQ 73, db.
De facto wyoalmy pomar obejmujcy 45 jedoste czasu (tu: seud). Do dalszej aalzy moemy przyj wy z rozdzału 4.. przypade F - lczbowe wartoc epewoc bd te same. Obserwujemy, e: otrzymalmy, oczywce, ta sam wy pozomu dwu, tj. 73, db (pomar trwał przez te sam czas), aalza pozomów masymalych mmalych jest w zasadze bezprzedmotowa - zgode z załoeam aszego modelu pozom masymaly mógł wye 80 db, a pozom mmaly 35 db (fatycze wygeerowae pozomy uyte w modelu wyosły odpowedo 80,0 db 35,3 db), w przypadach rzeczywstych bdze jeszcze gorzej z terpretacj, co ozacza, w sese statystyczym, wahae wyu pozomu rówowaego z czasu pomaru o zadaych parametrach, czyl ±0, db a seud? Polczmy: ( ) 0 lg( ) 0, db 0 lg gdze: - reda eerga do mometu t - reda eerga do mometu t t s std ogóle: 0,977,03 czyl zmay eerg (od pocztu pomaru) s mejsze,3% a seud. Załadamy, e dla dostatecze długego pomaru: σ [ ] ( ) [ ] ( )
std: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) sdd: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) wemy ju te, e dla aszych załoe: 03 0,,03 ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 0,03 0,03 0,03 zauwaamy, e: ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03 0, 0,03 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 03 0, 0,03 [ ] ( ) ( ) ( ) 0,03 ( ) ( ) 0,03 σ ( ) 0
Zatem epewo typu A o pozome ufoc 95% dla espozycj wzgldej bdze wyos: ( ) σ 0,03 ( ) U A 95 std dla pozomów dwu: [ ] ( L ) 0 lg± 0,03 ( ) ± U A95 eq gdze: - lczba seud od pocztu pomaru do mometu spełea zaloea stablzacj Wda, e przy aszym załoeu, e wy alczaego od pocztu pomaru pozomu rówowaego z czasu pomaru e zmea s bardzej 0, db a seud, wya, e epewo wyraaa dla pozomów dwu (asymetrycza!) zaley wyłcze od czasu trwaa pomaru, wyraoego w seudach, do mometu zaobserwowaa spełea załoe. Powyszy wzór ma t włacwo, e przedzał epewoc roe wraz z czasem - jest to fzycze zrozumałe: m wcej czasu musmy czea a ustablzowae s wyu, tym bardzej zmey był baday pozom hałasu, a co za tym dze jest wszy przedzał epewoc. Jedoczee bezporedo we wzorze jest zaodoway warue zmeoc eerg ja przyjlmy do ocey ustablzowaa s wsazaa wyu pomaru pozomu rówowazego z czasu pomaru. Dla aszego modelu obserwujemy ustablzowae s wyu pomaru pozomu rówowaego z czasu pomaru po o. 70 seudach, co daje am przedzał ufoc U A95 w zarese od,05 db do -,39 db, co jest całem warygodym szacuem, gdy aalzujc zaps pozomów aszego modelu dla 5 pomarów elemetarych po 5 seud otrzymujemy przedzał epewoc (0,57; -0,65).
5. KONKLUZJA Orelajc przedzał epewoc dla wyu badaa pozomu rówowaego, musmy pamta, e: do aalzy statystyczej pomarów austyczych e moa bezrytycze zagszcza wyów pomarów z daego czasu obserwacj - dol grac czasu pomaru elemetarego jest czas obejmujcy badae zdarzea austycze, po włacwym wyborze czasu pomaru elemetarego aley, oczywce, wyoa ja ajwcej pomarów (jest to aaloga do podzelea zarejestrowaych wyów z pomaru cgłego a pomary elemetare) - uzysujemy w te sposób dobre uredee wraz ze szczegółowym zbadaem rozrzutu wyów dla badaego zjawsa austyczego, co potwerdzaj am oblczea statystycze - czyl małe przedzały epewoc typu A, Orellmy te przedzały epewoc pozomu rówowaego dla astpujcych sytuacj: czas emsj hałasu jest rótszy ( e jest csle oreloy, ale zamy p. wartoc gracze) od czasu ormatywego dla ustalea pozomu rówowaego - epewo espozycj wzgldej daej sytuacj austyczej przedstawa s wzorem: U A,95 ( eq _ ) t U T A,95 ( em _ ) 0 0, Lem _ U A,95 T ( t ) wyoujemy pomar zmeego hałasu obserwujc wy merzoego pozomu rówowaego z czasu pomaru oraz czas pomaru do mometu, a wahaa wyu bd poej 0, db a seud - wtedy przedzał eufoc zmerzoego pozomu rówowazego moemy szacowa a podstawe wzorów: U ( [ ]; 0 lg [ 0,03 ( ) ]) ( L ) 0 lg 0,03 ( ) A95 eq czas [s] U A95 -U A95 5 0,53-0,6 30 0,7-0,87 45 0,87 -,08 60 0,98 -,7 75,08 -,45 90,7 -,6 05,5 -,77 0,33 -,9
LITRATURA:. I.N.Brosztej, K.A.Semedajew, Matematya - Porad ecylopedyczy, PWN, Warszawa 976. Roma Nowa, Statystya dla fzyów, Wydawctwo Nauowe PWN, Warszawa 00, ISBN 83-0-370-9 3. Wyraae epewoc pomaru. Przewod., GUM, 999, ISBN 83-906546--x 4. Tablce matematycze, Wydawctwo Adamata, Warszawa 004, ISBN 83-7350-048-0 5. Polsa Norma PN-83/B-054/0 - Austya budowlaa. Pomary zolacyjoc austyczej w budyach zolacyjoc austyczej elemetów budowlaych. Ustalea dotyczce doładoc. 6. T.Gersteor, T. róda, Kombatorya rachue prawdopodobestwa, PWN, Warszawa 97, ISBN 83-0-0004-7. mgr Mołaj Krplu "Statystya w pomarach austyczych - podstawy" - referat opubloway w Materałach XXXIV Zmowej Szoły Zagroe Wbroaustyczych (luty 006),