Witold Bednarek. Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam!

Podobne dokumenty
Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum

Matematyka na szóstke

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Matematyka na szóstke

Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA. dla uczniów gimnazjum

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Konkurs matematyczny dla uczniów szko³y podstawowej

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

Przyk³adowe zdania. Wydawnictwo Szkolne OMEGA. Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Zadanie 6. Zadanie 7. Zadanie 8. Zadanie 9.

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Matematyka dla odwa nych

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

Próbne zestawy egzaminacyjne

Gry i zabawy matematyczne

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Joanna Kwatera PO NITCE DO K ÊBKA. czyli jak æwiczyæ sprawnoœæ rachunkow¹ uczniów klas 4 6 szko³y podstawowej OPOLE

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

(0) (1) (0) Teoretycznie wystarczy wzi¹æ dowoln¹ macierz M tak¹, by (M) < 1, a nastêpnie obliczyæ wektor (4.17)

Matematyka na szóstke

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA LISTOPAD ROK 2009

XXII Krajowa Konferencja SNM. Egzamin gimnazjalny- matematyka

IV. UK ADY RÓWNAÑ LINIOWYCH

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

NUMER IDENTYFIKATORA:

D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25.

ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

Gra yna Ryga³, Arkadiusz Bryll. Zadania z b³yskiem. Rozwi¹zywanie zadañ matematycznych metodami geometrycznymi i algebraicznymi

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M z kodem. egzaminu.

matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne, informatyczne, uczenia siê.

Czas pracy 170 minut

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

Kurs z matematyki - zadania

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

KONKURS MATEMATYCZNY

Czas pracy 170 minut

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA LISTOPAD ROK 2009

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 1 Klasa 1

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

Transkrypt:

Witold Bednarek Konkurs matematyczny w gimnazjum Przygotuj siê sam! OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012

Spis treœci Od autora......................................... 4 Rozgrzewka....................................... 5 Równania w liczbach ca³kowitych................... 5 Zasada szufladkowa Dirichleta w arytmetyce.......... 7 Nierównoœci miêdzy œredni¹ arytmetyczn¹ a geometryczn¹.................................. 8 Konstrukcje geometryczne......................... 9 Zestawy zadañ.................................... 11 Wskazówki...................................... 32 Rozwi¹zania..................................... 49 Zadania sprawdzaj¹ce............................. 129 Dodatek........................................ 145 Skorowidz tematyczny............................ 155 3

Od autora Ksi¹ ka przeznaczona jest dla uczniów klas gimnazjalnych, którzy zamierzaj¹ wzi¹æ udzia³ w konkursach matematycznych. Prezentowany zbiór umo liwia samodzielne przygotowanie siê do zawodów, gdy wszystkie zadania maj¹ pe³ne rozwi¹zania. Zadania s¹ pogrupowane w zestawy po 5 zadañ. Ka dy z nich zawiera tematy zwi¹zane z arytmetyk¹, algebr¹ i geometri¹. W ka dym zestawie s¹ zadania z gwiazdk¹ o podwy szonym stopniu trudnoœci. Gdyby rozwi¹zanie któregoœ zadania sprawia³o k³opoty, to nale y w pierwszej kolejnoœci skorzystaæ z podanej wskazówki i spróbowaæ jeszcze raz. Dopiero wtedy, gdy to zawiedzie, mo na zapoznaæ siê z przedstawionym rozwi¹zaniem, którego przeczytanie ze zrozumieniem bêdzie na pewno kszta³c¹ce. Na koñcu ksi¹ ki znajduj¹ siê zadania sprawdzaj¹ce, których rozwi¹zanie ca³kowicie zale y od Czytelnika. yczê Czytelnikowi systematycznoœci, wytrwa³oœci i matematycznych sukcesów. Witold Bednarek 4

Rozgrzewka Równania w liczbach ca³kowitych Przyk³ad 1. Rozwi¹ równanie xy x y w liczbach ca³kowitych x i y. Rozwi¹zanie Mamy kolejno: xy x y 0, xy x y 1 1, ( x 1)( y 1) 1. St¹d x 1 1 y 1 1 lub x 1 1 y 1 1. Zatem ( x, y) ( 2, 2) lub ( x, y) ( 0, 0 ). Przyk³ad 2. Rozwi¹ równanie 2xy x y 1 w liczbach ca³kowitych x i y. Rozwi¹zanie Mamy kolejno: 2xy x y 1, 4xy 2x 2y 2, ( 2x 1)( 2y 1) 3. 5

St¹d 2 x 1 1 2 y 1 3 lub 2x 1 3 2y 1 1, lub 2x 1 1 2y 1 3, lub 2x 1 3 2y 1 1. Zatem ( x, y) {( 1, 2), ( 2, 1), ( 0, 1), ( 1, 0 )}. Przyk³ad 3. Rozwi¹ równanie xyz x y z w zbiorze liczb naturalnych x, y, z. Rozwi¹zanie Za³ó my, e x y z. Dane równanie dzielimy przez xyz. Wów- 1 1 1 czas 1. Gdyby x 2, to y 2 i z 2. yz zx yx Wtedy 1 1 1 1 1 1 3 yz zx yx 2 2 2 2 2 2, wbrew równaniu. 4 Zatem x 1. Mamy wiêc równanie: yz 1 y z, yz y z 1, yz y z 1 2, ( y 1)( z 1) 2. St¹d y 1 1 i z 1 2, czyli y 2 i z 3. Sprawdzamy, e trójka liczb ( x, y, z) ( 1, 2, 3) spe³nia wyjœciowe równanie. Pozosta³e trójki ( x, y, z) to: ( 1, 3, 2 ), ( 2, 3, 1 ), ( 2, 1, 3 ), ( 3, 2, 1 ), ( 3, 1, 2 ). 6

Zasada szufladkowa Dirichleta w arytmetyce Je eli n 1 przedmiotów umieœciæ w n szufladach, to w pewnej szufladzie bêd¹ co najmniej dwa przedmioty. Przyk³ad 1. Wyka, e spoœród trzech dowolnych liczb ca³kowitych mo na wybraæ liczbê podzieln¹ przez 3 lub kilka liczb, których suma jest podzielna przez 3. Rozwi¹zanie Niech a, b, c bêd¹ liczbami ca³kowitymi. Rozwa my liczby 0, a, a b, a b c. Liczb tych jest cztery, a wiêc pewne dwie z nich daj¹ przy dzieleniu przez 3 tê sam¹ resztê. Zatem ich ró nica bêdzie podzielna przez 3. Zauwa my, e ró nice te wynosz¹: a 0 a, a b 0 a b, a b c 0 a b c, a b a b, a b c a b c, ( a b c) ( a b) c, a wiêc któraœ z tych liczb: a, a b, a b c, b, b c, c jest podzielna przez 3. 7

Zestawy zadañ I 1. ZnajdŸ wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n 4 4 jest pierwsza. 2. Niech k bêdzie liczb¹ ca³kowit¹. Wyka, e liczba 4k jest ró nic¹ kwadratów dwóch liczb ca³kowitych. 3. Funkcja liniowa f spe³nia warunki: f ( 1) 3 i f ( 3) 1. Oblicz f ( 4 ). 4. Pewien kwadrat i pó³kole maj¹ równe obwody. Która z tych figur ma wiêksze pole? 5. Wyka, e przek¹tne równoleg³oboku dziel¹ siê na po³owy. II 4 1. ZnajdŸ wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba 4n 1 jest pierwsza. 2. Niech k bêdzie liczb¹ ca³kowit¹. Wyka, e liczba 4k 1 jest ró nic¹ kwadratów dwóch liczb ca³kowitych. 3. Rozwi¹ równanie x 1 2x 3. 4. Dla jakich m wykres funkcji f ( x) mx 2 m ma co najmniej jeden punkt wspólny z kwadratem o wierzcho³kach ( 0, 0 ), ( 1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 0, 1 ). 5. Wyka, e ze œrodkowych dowolnego trójk¹ta mo na zbudowaæ trójk¹t i pole tego trójk¹ta jest równe 3 4 pola danego trójk¹ta. 11

III 4 2 1. ZnajdŸ wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba n n 1 jest pierwsza. 2. Niech ABCDEF bêdzie liczb¹ szeœciocyfrow¹ tak¹, e A D B E C F 9. Wyka, e liczba ABCDEF jest podzielna przez 37. 3. Naszkicuj wykres funkcji f ( x) x 1 2. 4. Oblicz promieñ okrêgu wpisanego w trójk¹t o bokach d³ugoœci 6 cm, 8 cm i 10 cm. 5. Wyka, e w adnym trójk¹cie jego dwie dwusieczne k¹tów nie s¹ prostopad³e. IV 2 2 1. ZnajdŸ wszystkie liczby pierwsze p i q takie, e p 6q 1. 2. Niech n bêdzie liczb¹ naturaln¹. Wyka, e liczby 12 n n i 12 2 maj¹ tak¹ sam¹ liczbê cyfr. 3. Rozwi¹ równanie 5 x x 3. 4. Liczby a i b s¹ dodatnie oraz ab 1. Wyka, e a b 2. 5. Oblicz pole ko³a wpisanego w trójk¹t o bokach 13 cm, 13 cm i 10 cm. n 12