Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Analizy populacyjne i rzedy Kraków, 30 listopada 2005 Analizy populacyjne i rzedy

O czym mówimy? Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Analizy populacyjne podzia l populacji N elektronów miedzy poszczególne atomy, a nawet orbitale atomowe w rozsadny sposób. Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Do czego sie przydaja? Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Przybliżona informacja o rozk ladzie g estości elektronowej w rozdzielczości atomów Szybkie obliczanie predyktorów reaktywności chemicznej (np. funkcji Fukuiego) w rozdzielczości atomowej Interpretacja elektrostatyki oddzia lywań molekularnych Określanie przep lywów ladunku (CT) mi edzy fragmentami Nawiazanie do intuicji chemicznej Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Różne typy analiz populacyjnych Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Podzia l populacji elektronowej na 2 zasadnicze sposoby: w przestrzeni Hilberta podzia l pomi edzy orbitale atomowe - analiza Mullikena - analiza Löwdina > odmian e stanowi analiza multipolowa w przestrzeni fizycznej rozk lad g estości na przyczynki atomowe - analiza Hirshfelda podzia l przestrzeni na baseny atomowe - analiza Voronoi - analiza Badera Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Jednoczastkowa macierz gestości Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Definicja: ρ(q, q ) := dq 2... Reprezentacja ρ(q, q ) w bazie funkcyjnej: dq N Ψ(q, q 2,..., q N )Ψ (q, q 2,..., q N ) (1) ρ(q, q ) = ij φ i (q)φ j (q )P ij (2) w przypadku bazy ortogonalnej: P ij = dq dq φ i (q)ρ(q, q )φ j (q ) (3) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Jednoczastkowa macierz gestości c.d. Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Przejście od bazy {φ i } do bazy {φ i } zwi azanej z poprzednia transformacja typu LCAO φ = φ C: P = CPC Wykorzystujac warunek normalizacji dla gestości można otrzymać, że w dowolnej bazie N = Tr(PS) (4) Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Mullikena Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Zapisujemy (4) w bazie AO (S 1): N = A q M a [ { }}{ P ab S ba ] a A b }{{} qa M (5) q M a q M A populacja elektronowa orbitalu atomowego a populacja elektronowa atomu A Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Cechy analizy Mullikena Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne ukryta definicja atomu w czasteczce określonego przez wycentrowane na nim funkcji bazy równy podzia l populacji nak ladania (konsekwencja powyższych) problemy z funkcjami dyfuzyjnymi i polaryzacyjnymi + prostota + dotyczy dowolnego typu funkcji falowej w przybliżeniu LCAO (także wielowyznacznikowej) 1. 1 jedyna różnica to inna postać macierzy g estości Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Löwdina Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Zapisujemy (4) w bazie symetrycznie ortogonalizowanych orbitali atomowych (OAO). N = Tr( P) = A [ P aa ] a A }{{} qa L (6) Można też zdefiniować populacje w poszczególnych AO. Uzasadnienie: OAO najbardziej przypominaja AO spośród orbitali ortogonalnych. Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Cechy analizy Löwdina Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne + Dzi eki zastosowaniu bazy ortogonalizowanej jest stabilniejsza od analizy Mullikena przy zwi ekszaniu bazy + Prostota i popularność Definicja atomu w czasteczce jest nadal niejawna i podejrzana Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Cummulative Atomic Multipole Moments Przypisujemy atomom nie tylko ladunki, ale i wyższe momenty multipolowe. Dowolny moment molekularny można roz lożyć na przyczynki w duchu analizy Mullikena: 2 : x k y l z m = ( Z A xay k Az l A m ) P ab χ a x k y l z m χ b A a A b }{{} x k y l z m A Transformacja x k y l z m A do po lożeń jader atomowych CAMM 2 (Sokalski and Poirier, 1983) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Cummulative Atomic Multipole Moments + Sa w stanie opisać anizotropie atomów w czasteczkach + Lepiej przybliżaja rozk lad ladunku w czasteczce na chemicznych odleg lościach niż molekularne momenty multipolowe + Daja rozsadnie uproszczone wyrażenia na energie miedzymolekularnego oddzia lywania elektrostatycznego, potencja l elektrostatyczny - Bardziej skomplikowane w interpretacji niż ladunki Mullikena, raczej do celów ilościowych niż jakościowych - Zależne od przyj etej bazy 3 3 choć uwzglednienie wyższych momentów powoduje silna kompensacje tych różnic w momentach molekularnych Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Hirshfelda Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Wprowadzamy g estości elektronowe... ρ( x)... dla moleku ly ρ 0 A ( x)... dla izolowanego atomu ρ 0 A ρ0 A ( x)... dla promoleku ly ρ A ( x) =?... dla atomu w czasteczce (AIM) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Analiza Hirshfelda c.d. Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne (analiza oparta na teorii informacji, uj ecie ahistoryczne) Cel: Zdefiniować ρ A ( x) w ten sposób, by możliwie dobrze przypomina ly ρ 0 A ( x), a równocześnie dok ladnie odtwarza ly ρ( x) w każdym punkcie. Kryterium: minimalizacja sumy entropii wzglednych Kullbacka-Lieblera S[ρ A ρ 0 A ] dla wszystkich atomów Wiez (lokalny): x : A ρ A( x) = ρ( x) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Analiza Hirshfelda c.d. Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Uzyskujemy rezultat: ρ A ( x) = ρ( x) ρ0 A ( x) ρ 0 ( x) (7) Interpretacja gie ldowa... Ca lkowanie g estości AIM populacje elektronowe atomów. Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Cechy analizy Hirshfelda Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne + Precyzyjna i rozsadna fizycznie definicja AIM + Wyniki mniej zależne od bazy + Dodatkowe informacja (poza ca lkowitym ladunkiem AIM) rozk lad g estości w AIM + Gestości AIM sa v-reprezentowalne Wymaga ca lkowania numerycznego Uwaga: Atomy Hirshfelda sa nieskończone i przenikaja sie. Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Voronoi Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Danemu atomowi przypisany jest ten obszar przestrzeni, który jest bliższy jemu niż jakimkolwiek innym atomom (coś à la komórka Wignera-Seitza). Poważna wada: różne pierwiastki maja różne promienie atomowe, co zupe lnie nie przek lada sie na rozmiary komórek Voronoi. Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Badera Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Bardziej realny wybór basenów atomowych w oparciu o topologiczne cechy pola g estości elektronowej ρ ρ( x) Każde jadro to atraktor pola ρ AIM wg Badera to basen atrakcji każdego jadra AIM sa zatem na ogó l nieskończone, każde 2 atomy sa oddzielone powierzchnia spe lniaj ac a warunek ρ( x) n( x) Linia pola ρ l acz aca 2 jadra, nie przechodzaca przez nieskończoność wyznacza wiazanie chemiczne 4. 4 W analizie Badera możliwa jest też ilościowa dyskusja rzedów Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Przyk lad analizy Badera etylen Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne (Bader, ) Analizy populacyjne i rzedy

Analiza Badera c.d. Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Dodatkowe informacje 2 ρ. Wykazuje duże wartości tam, gdzie wystepuje koncentracja chmury elektronowej (wiazania chem., pary niewiaż ace, pow loki wewnetrzne atomów) Bardzo czu ly na zmiany przebiegu funkcji ρ Nawiazanie do pojeć z metody VSEPR Analizy populacyjne i rzedy

Szkic algorytmu Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne Cel: wyznaczyć baseny atrakcji oraz zidentyfikować atraktory (Henkelman et al., 2005) 1 Pokrywamy przestrzeń jednorodna siatka, w każdym punkcie obliczamy gestość 2 Startujemy z losowo wybranego punktu P jeśli jest w najbliższym otoczeniu punkt P majacy wieksz a gestość idziemy do tego punktu jeśli nowy punkt ma już przypisany basen atrakcji dodajemy wszystkie punkty z bieżacej ścieżki do tego basenu wpp kontynuujemy bieżac a ścieżke. jeśli takiego nie ma znaleźliśmy atraktor kończymy scieżke wszystkie punkty z obecnej ścieżki należa do jego basenu atrakcji Analizy populacyjne i rzedy

Przyk lad Analizy populacyjne Rzedy Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne (Henkelman et al., 2005) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida a analizy populacyjne Informacje wst epne Podzia l populacji mi edzy orbitale atomowe Rozk lad g estości na przyczynki atomowe Podzia l przestrzeni na baseny atomowe niedoida a analizy populacyjne stan obecny Analiza Mullikena Analiza Löwdina Analiza Hirshfelda Analiza Badera najbliższe plany Analiza multipolowa Analizy populacyjne i rzedy

O czym mówimy? Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy Niestety, rzedy (indeksy wartościowości) jeszcze trudniej zdefiniować niż ladunki. Powód: brak klasycznego odpowiednika. Pewniki: Rzad wiazania kowalencyjnego wynosi tyle... ile mamy par wiaż acych (Lewis and Kossel) Dla czasteczek 2 at.: rzad = (N b N a )/2 gdzie N b liczba elektr. na orbitalach wiażacych, N a na antywiaż acych Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Do czego sie przydaja? niedoida a rzedy Nawiazanie do tradycyjnych pojeć używanych w chemii Ocena efektów wiaż acych miedzy parami atomów (np. w stanach przejściowych) Przewidywanie reaktywności atomu w czasteczce na podstawie jego wartościowości Lepsze zrozumienie sensu fizycznego zawartego w intuicyjnym pojeciu wiazania chemicznego Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Na czym oprzeć definicj e? niedoida a rzedy Sugestie: lokalizacja orbitali molekularnych wykorzystanie sensu zawartego w 2-elektronowej macierzy g estości (ew. macierzach wyższych rz edów) podejście Badera (patrz wyżej) Analizy populacyjne i rzedy

Dwa podejścia Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy bezwzgl edne struktura elektronowa samej tylko moleku ly różnicowe zmiany w strukturze elektronowej zwiazane z tworzeniem moleku ly Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Populacja nak ladania Mullikena niedoida a rzedy q AB = a A P ab S ba b B + Niezmiennik wzgledem rotacji czasteczki i hybrydyzacji AO + Oddaje koncentracje chmury elektronowej w obszarze miedzy atomami A i B Pewien miernik si ly wiazania ale nie jego krotności w rozumieniu chemicznym. W szczególności nie przyjmuje wartości oko lo 1, 2, 3 dla pojedynczych, podwójnych, potrójnych. Pierwsza próba określenia rzedu wiazania w metodach pó lempirycznych. Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Dwuelektronowa macierz g estości niedoida a rzedy Definicja: ρ 2 (q 1, q 2 ; q 1, q 2) N(N 1) 2 dq 3... dq N Ψ(q 1, q 2, q 3..., q N )Ψ (q 1, q 2, q 3,..., q N ) W przybliżeniu jednowyznacznikowym mamy faktoryzacje: ρ 2 (q 1, q 2 ; q 1, q 2) = 1 [ ] ρ(q 1, q 2 1)ρ(q 2, q 2) ρ(q }{{} 1, q 2)ρ(q 2, q 1) }{{} I II (8) I Iloczyn niezależnych rozk ladów II Cz eść wymienna Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Mayera Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy BAB M = 2 [(P S) ab (P S) ba + (P S) ab (P S) ba ] (9) a A b B Przes lanki: dwuatomowy przyczynek do normalizacji cześci wymiennej 2-el. macierzy gestości niezmiennik wzgledem hybrydyzacji atomów wiodacy sk ladnik dwuatomowego przyczynku do energii wymiennej w HF E HF AB,x 2R 1 AB B AB (10) funkcja korelacji mi edzy fluktuacjami populacji atomowych (ˆq A ˆq A )(ˆq B ˆq B ) = B AB (11) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Wartościowości wg Mayera niedoida a rzedy B M AB = 2 a A Wolna wartościowość: F M A [(P S) ab (P S) ba + (P S) ab (P S) ba ] b B = [(P P )S] ab [(P P )S] ba (12) a,b A Ca lkowita wartościowość: VA M = B AB + F A (13) B A Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Rzedy Gopinathana-Juga niedoida a rzedy B M AB = 2 a A [(P S) ab (P S) ba + (P S) ab (P S) ba ] b B Rzedy G-J maja sie do rzedów Mayera, jak analiza Löwdina do analizy Mullikena: BAB GJ = 2 [( P ab )2 + ( P ab )2 ] (14) a A b B Analizy populacyjne i rzedy

Wartościowość wg G-J Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy G-J definiuja wartościowość (V A ) i wolna wartościowość (F A ) w sposób istotnie różny od Mayera: V GJ A = B A B GJ AB (15) F GJ A = V r A V A (16) gdzie VA r wartościowośc odniesienia (liczba ca lkowita, zgodna z intuicja chemiczna) 5. 5 Niestety: w przypadku baz poszerzonych to podejście zawodzi. Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Wartościowość wg G-J c.d. niedoida a rzedy Wolna wartościowość G-J wyraża pozosta l a w atomie A zdolność do tworzenia kowalencyjnych. gdy F A > 0 subvalent gdy F A < 0 hipervalent Hiperkoordynacja hiperwalencyjności (np. CLi 6 ). Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Cechy rz edów Mayera i G-J niedoida a rzedy + Prostota i popularność + Można uogólnić na przypadek funkcji wielowyznacznikowej Tylko kowalencyjna sk ladowa wiazania Analizy populacyjne i rzedy

Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy Opiera si e na poj eciu promoleku ly Wyraża rzad wiazania przez zmiany w macierzy gestości zwiazane z tworzeniem moleku ly z promoleku ly Oznaczenia: P σ macierze gestości dla czasteczki P 0σ macierze gestości dla promoleku ly odniesienia Analizy populacyjne i rzedy

Definicja promoleku ly Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy Promoleku la uk lad z lożony z izolowanych fragmentów przesunietych w miejsca ich po lożeń w czasteczce 6 Można rozważać fragmenty zarówno jedno- jak i kilkuatomowe W promolekule z definicji nie ma nak ladania mi edzy orbitalami różnych fragmentów Baza, w której wyrażamy macierze P σ i P 0σ dla moleku ly: OAO dla ca lej moleku ly dla promoleku ly: OAO ortogonalizowane tylko na pojedynczych fragmentach! (SAL) 6 Inne określenia: Separated Fragments Limit (SFL), Separated Atoms Limit Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Indeksy Nalewajskiego-Mrozka (1) niedoida a rzedy Normalizacja diagonalnych elementów dwuelektronowej macierzy gestości Γ µ;ν Γ µν;µν (z pozostawieniem wy l acznie cz lonów kwadratowych w P i n A a A P aa) 7 VA ion = 1 [ ( na ) 2 + ( ( P 2 aa) 2 + ( Paa) 2)] (17) V cov A = a A V ion a <a a A a A ( ( P aa ) 2 + ( P aa ) 2) (18) AB = n A n B (19) AB = ( ( P ab )2 + ( P ab )2) (20) a A b B V cov 7 (Nalewajski and Mrozek, 1994) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida a rzedy Indeksy Nalewajskiego-Mrozka (1) c.d. indeksy jonowe wywodza sie cześci kulombowskiej, kowalencyjne z cześci wymiennej Pokazano, że wk lad od VAB ion kasuje sie w ca lkowitej wartościowości z cześci a wk ladu VA ion. 8 Poza tym VAB ion może przyjmować znaczne wartości dla par fragmentów dalekich od siebie Modyfikacja indeksów jonowych zmodyfikowane indeksy N-M, które okazuja sie sumować do V Tr( P 2 + P 2 ). 8 (Nalewajski et al., 1996) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Indeksy Nalewajskiego-Mrozka (2) niedoida a rzedy Podzia l sumy rzedów V Tr( P 2 + P 2 ) 9 V ion A = 1 2 V cov A V cov AB a A = a A = a A b B ( ( P aa) 2 + ( P aa) 2) (21) (a <a) a A ( ( P aa ) 2 + ( P aa ) 2) (22) ( ( P ab )2 + ( P ab )2) (23) 9 (Mrozek et al., 1998) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Indeksy Nalewajskiego-Mrozka (3) niedoida a rzedy Podzia l sumy rzedów określonej jako V Tr(P P + P P ) V ion A V cov A V cov AB = a A = 2 a A = 2 a A b B ( ) Paa P aa + Paa P aa (a <a) a A (P aa P aa + P aa P aa ) ( P ab P ba + P ab P ba ) (24) (25) (26) Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida a rzedy Jak stad otrzymać sumaryczne rzedy? B NM AB = V AB + w A ABV A + w B ABV B (27) gdzie V X to sumaryczne indeksy jednocentrowe, a V XY dwucentrowe, natomiast wk lady indeksów jednocentrowych najrozsadniej jest przyjać jako: w A AB = V AB C A V AC (28) (jako proporcjonalne do wk ladów dwucentrowych). Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida a rzedy Zależność od promoleku ly odniesienia Rzedy N-M zależa silnie od wybranej definicji promoleku ly odniesienia Wybór promoleku ly arbitralne rozmieszczenie elektronów kryterium minimalnej reorganizacji P średniowanie po różnych stanach otwartych pow lok Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida a rzedy Troch e szczegó lów średniowanie... Promoleku la otwartopow lokowa (typowy przypadek) konieczne uśrednianie indeksów po ekwienergetycznych konfiguracjach otwartopow lokowych atomów. Obliczenia dla otwartopow lokowych atomów: ROHF Średniowanie dotyczy tylko indeksów jednocentrowych Liczba elektronów w zdegenerowanej pow loce obecnie: wg zasady Aufbau potencjalne problemy z pierwiastkami bloku d może być konieczne podawanie obsadzeń explicite Analizy populacyjne i rzedy

Średniowanie c.d. Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy Dla każdego atomu: generuj równoważne (ekwienergetyczne sensu HF) konfiguracje elektronowe dla zdegenerowanej pow loki dla każdej konfiguracji oblicz indeksy jednocentrowe uśrednij otrzymane indeksy jednocentrowe Przyk lad: 8 O (2p 4 ) Analizy populacyjne i rzedy

Cechy rz edów N-M Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy + dostarczaja nie tylko sumarycznego rzedu, ale i poszczególnych wk ladów (jonowy kowalencyjny, jednoatomowy dwuatomowy) + poprawne rzedy także dla o znacznym stopniu jonowości + pokazano, że metody bezwzgledne i tak korzystaja implicite z pewnego stanu odniesienia podejście różnicowe jest jedynym rozsadnym fizycznie 10 podawane wzory dot. tylko przybliżenia 1-wyznacznikowego koncepcja średniowania nie jest do końca jasna... arbitralność doboru promoleku ly 10 Żeby mówić o wiazaniu trzeba określić co ma być powiazane Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy niedoida stan obecny niedoida a rzedy Analiza Mayera rzedy, ca lkowite i wolne wartościowości Analiza Gopinatana-Juga Analiza Nalewajskiego indeksy wg def P 2. Analizy populacyjne i rzedy

To be continued Analizy populacyjne Rzedy niedoida a rzedy Dzi ekuj e za uwag e i zapraszam do dyskusji Analizy populacyjne i rzedy

Rzedy Bibliografia Bader, R. F., Atoms and Molecules, http://www.chemistry.mcmaster.ca/aim/ Henkelman, G., Arnaldsson, A., and Jónsson, H.: 2005, Computational Material Science Mrozek, J., Nalewajski, R. F., and Michalak, A.: 1998, Polish Journal of Chemistry 72, 1779 Nalewajski, R. F. and Mrozek, J.: 1994, International Journal of Quantum Chemistry 51, 187 Nalewajski, R. F., Mrozek, J., and Mazur, G.: 1996, Canadian Journal of Chemistry 74(6), 1121 Sokalski, W. A. and Poirier, R.: 1983, Chemical Physics Letters 98(1), 96 Analizy populacyjne i rzedy