Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10
Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji zbioru n-elementowego złożonych z dokładnie k cykli, czyli takich permutacji, że. Przyjmujemy, że, a więc że jest jedna permutacja zbioru pustego bez cykli (funkcja pusta). Z powodów technicznych, w przekształceniach rachunkowych wygodnie jest mieć zdefiniowaną wartość dla wszystkich, więc przyjmujemy, że dla.
Przykład Lista permutacji złożonych z 2 cykli: Mamy 11 permutacji złożonych z dwóch cykli, zatem.
Obserwacje ( ), dla,,,, dla
Dowody Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że nie można podzielić niepustego zbioru na 0 części (cykli). Liczba opisuje permutacje o jednym cyklu. Każda taka permutacja jest zadana wzorcem. Wzorzec taki może być wypełniony n-elementami na n! sposobów. Ale ten sam cykl ma wiele opisów różniących się jedynie przesunięciem. Zatem każdy n-elementowy cykl może być zapisany według takiego wzorca na n sposobów, czyli liczba cykli na zbiorze n-elementowym to drugiego., co dowodzi punktu Liczba więc być typu opisuje permutacje o n-1 cyklach. Permutacja taka musi, czyli jest transpozycją.
Każda transpozycja jest jednoznacznie wyznaczona przez dwuelementowy zbiór elementów, które ze sobą zamienia. Zatem transpozycji jest dokładnie tyle co podzbiorów 2-elementowych, czyli, co dowodzi punktu trzeciego. Dla dowodu punktu czwartego zauważmy, że jedyną permutacją o n cyklach na zbiorze n-elementowym jest identyczność. Równie łatwo jest stwierdzić, że zbiór n-elementowy nie może być podzielony na więcej niż n niepustych części (mających stanowić cykle).
Liczby Stirlinga dla cykli, podobnie jak współczynniki dwumianowe, można generować używając zależności rekurencyjnej. Na jej podstawie można zbudować trójkąt Stirlinga dla cykli. Obserwacja (wzór trójkąta) Dla mamy Dowód Niech x będzie wyróżnionym i ustalonym elementem n-elementowego zbioru X. Permutacje zbioru X o k cyklach można podzielić na dwa typy, w których: x stanowi jednoelementowy cykl, x jest w cyklu co najmniej 2-elementowym.
W pierwszym przypadku pozostałe n 1 elementów zbioru X muszą uformować k 1 cykli, co jest możliwe na sposobów. W drugim przypadku, po usunięciu elementu x permutacje badanego typu wciąż będą mieć k cykli. Jest ich zatem tyle, co permutacji n-1-elementowego zbioru o k cyklach, czyli. Element x może rozbudować każdą permutację zbioru X {x} na n 1 sposobów (wchodząc do cyklu jako następnik jednego z n 1 elementów). Zatem permutacji drugiego typu jest dokładnie.
W trójkącie Stirlinga dla cykli, n-ty wiersz zawiera liczby permutacji zbioru n-elementowego o kolejno cyklach. Zatem suma wszystkich tych wartości to liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego, czyli n!. Dostajemy stąd natychmiast: Obserwacja Dla mamy
Trójkąt Stirlinga dla cykli 1 1 2 6 24 120 720 5040
Ciekawy jest następujący związek liczb Stirlinga dla cykli z liczbami harmonicznymi. Obserwacja Dla mamy Dowód Dla n=0 tożsamość jest oczywista, a dla n>0 przybiera postać Pokażemy że obydwie liczby z naszej obserwacji to sumaryczna liczba cykli we wszystkich permutacjach zbioru n-elementowego, tzn..
1) Permutacji o i cyklach jest dokładnie. W sumie permutacje o i cyklach mają więc cykli, czyli. 2) Zliczymy najpierw -elementowe cykle zbudowane z elementów zbioru n- elementowego. Każdy taki cykl jest wyznaczony przez wypełnienie wzorca, ale z dokładnością do przesunięcia. Wypełnień jest oczywiście tyle, ile injekcji postaci, czyli. Zatem zliczanych cykli -elementowych jest dokładnie.
Każdy cykl i-elementowy występuje w dokładnie n i permutacjach zbioru n-elementowego, gdyż tyle jest permutacji pozostałych n i elementów. Zatem sumaryczna liczba cykli we wszystkich permutacjach zbioru n-elementowego wynosi:
Tw. Wzór na obliczanie liczb Stirlinga Dla n>0 liczba [ n k] = i 1 i 2...i n k 0<i 1 <i 2 <...<i n k <n dla wszystkich k<n. Dowód indukcyjny 1') dla n=1 i k=0 pod sigmą nie będzie żadnego iloczynu, bo nie może być 0<i 1 <1, więc suma 0 1 ) dla n=2 i k=0 pod sigmą nie będzie żadnego iloczynu, bo nie może być 0<i 1 <i 2 <2, więc suma 0 dla dla n=2 i k=1 suma skończona składa się z jednego składnika i wynosi i 1 =1 2) Zakładam, że wzór prawdziwy dla dowolnie ustalonego n.
Sumę i 1 i 2...i n k i n+1 k 0<i 1 <i 2 <...<i n k <i n+1 k <n+1 pierwszą w której i n+1-k =n i drugą, gdzie i n+1-k <n. można rozłożyć na dwie sumy: W pierwszej można n wyciągnąć przed sigmę, więc na podstawie założenia mamy n i 1 i 2...i n k 0<i 1 <i 2 <...<i n k = n <n [ n k]. W drugiej i n+1-k <n więc można ją zapisać jako 0<i 1 <i 2 <...<i n k <i n+1 k <n założenia jest to [ n i 1 i 2...i n k i n+1 k = i 1 i 2...i n k i n (k 1) 0<i 1 <i 2 <...<i n k <i n (k 1) <n k 1]. Otrzymany wynik, na podstawie wzoru trójkąta, to [ n+1 k ]. i na podstawie 3) Zgodnie z ZIM nasz wzór jest prawdziwy dla wszystkich n>0.
Liczby Stirlinga dla podziałów Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji zbioru n-elementowego złożonych z dokładnie k cykli, czyli takich permutacji, że.
W liczbach Stirlinga dla cykli wypełnialiśmy wzorce postaci: w sposób injektywny i z dokładnością do: o o kolejności cykli, przesunięć cyklicznych w każdym z k cykli.
Jeśli zupełnie zaniedbamy kolejność elementów w cyklach, dostaniemy wzorzec: czyli podział zbioru n-elementowego na k parami rozłącznych podzbiorów. W podziale, podzbiory takie nazywamy blokami. Przypomnijmy, że podział zbioru X na k bloków wyznacza relację równoważności na zbiorze X o k klasach równoważności. Liczba Stirlinga dla podziałów (często nazywana liczbą Stirlinga drugiego rodzaju) to liczba podziałów zbioru n-elementowego na dokładnie k bloki. Znów przyjmujemy, że oraz dla.
Przykład Lista podziałów na dwa bloki: Mamy 7 podziałów zbioru na dwa bloki, zatem. Podział na jeden blok jest oczywiście 1. Podział na cztery bloki też jest tylko 1. 4 2 Jak się za chwilę okaże podziałów na trzy bloki jest 6.
Obserwacje ( ),, dla,, dla,, dla,,,, dla.
Dowody Pierwszy punkt jest oczywisty po zauważeniu, że w liczbach Stirlinga dla podziałów zliczamy te same obiekty co w liczbach Stirlinga dla cykli, ale po zaniedbaniu kolejności elementów. Drugi punkt to stwierdzenie, że niepusty zbiór nie może zostać podzielony na zero bloków. Trzeci punkt orzeka, że jest tylko jeden podział niepustego zbioru na jeden blok - blok ten musi być całym dzielonym zbiorem. Dla dowodu czwartego załóżmy, że i niech. Zauważmy, że podział na dwa bloki jest zdeterminowany jednym z tych bloków - drugi to po prostu dopełnienie pierwszego. Niech więc blokiem determinującym podział, będzie blok zawierający x. Element x może stanowić blok z dowolnym podzbiorem pozostałego -elementowego zbioru
poza podzbiorem pełnym, gdyż wtedy drugi blok byłby pusty. Zatem jest dokładnie możliwości wyboru bloku dla x, i tym samym tyleż jest podziałów. Piąty punkt mówi o podziale zbioru n-elementowego na n-1 bloków. Zatem jeden z tych bloków musi być 2-elementowy. Po wybraniu takiego bloku pozostałe bloki będą jednoelementowe. Podziałów jest zatem tyle na ile sposobów można wybrać 2-elementowy podzbiór zbioru n- elementowego. Dowody pozostałych dwóch własności są oczywiste.
Liczby Stirlinga dla podziałów, podobnie jak współczynniki dwumianowe, czy liczby Stirlinga dla cykli można generować używając zależności rekurencyjnej. Na jej podstawie można zbudować trójkąt Stirlinga dla podziałów. Obserwacja (wzór trójkątny) dla wszystkich k: 0<k n. Obserwacja ta pozwala na szybką konstrukcję trójkąta Stirlinga dla podziałów.
Trójkąt Stirlinga dla podziałów
Kilka wykładów wcześniej wskazaliśmy liczbę funkcji, liczbę injekcji i liczbę bijekcji między zbiorami skończonymi. Przemilczeliśmy liczbę surjekcji, nie mając jeszcze wtedy wystarczających narzędzi do ich zliczenia. Zauważmy jednak, że każda surjekcja wyznacza podział zbioru X na Y bloków. Nie dziwi więc następujący związek z liczbami Stirlinga dla podziałów. Obserwacja Dla skończonych zbiorów X, Y liczba surjekcji wynosi.
Dowód Niech. Jak już zauważyliśmy, surjekcja postaci wyznacza pewien podział zbioru dodatkowo poetykietowany elementami zbioru na bloków. Nieetykietowanych podziałów jest oczywiście. Ponieważ każdy podział może być poetykietowany na sposobów, możemy zakończyć dowód.
Obserwacja ( ) Dowód Niech. Pojedynczy składnik rozważanej sumy to liczba wyborów ciągu zbiorów, odpowiednio elementowych. Rzeczywiście możemy wybrać na sposobów, na sposobów itd. Każdy taki ciąg zbiorów odpowiada jednoznacznie ciągowi bloków, gdzie.
W podziale nie jest jednak istotne uporządkowanie bloków, co oznacza, że powinniśmy przejść od ciągu do rodziny bloków, wydzielając tym samym każdy składnik sumy przez. Tak wydzielona suma to nic innego jak liczba podziałów zbioru n-elementowego na bloków, czyli. Przykład
Tw. Wzór na obliczanie liczb Stirlinga dla podziałów Dla n>0 liczba { n k} = i 1 i 2...i n k 1 i 1 i 2... i n k k dla wszystkich k<n. Dowód analogiczny, jak dla liczb Stirlinga dla cykli. Przykład { 5 3} = i 1 i 2 1 i 1 i 2 3 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 3 + 3 3 = 25.
Liczby Bella W trójkącie Pascala n-ty wiersz sumuje się do liczby podzbiorów zbioru n-elementowego, czyli do. W trójkącie Stirlinga dla cykli n-ty wiersz sumuje się do liczby permutacji zbioru n-elementowego, czyli do n!. Zajmiemy się teraz sumą n-tego wiersza trójkąta Stirlinga dla podziałów. Oczywiście suma taka to liczba wszystkich podziałów zbioru n-elementowego, lub inaczej liczby wszystkich relacji równoważności na zbiorze n-elementowym. Liczba Bella to liczba podziałów zbioru n-elementowego, czyli
Lista kilku pierwszych liczb Bella: Obserwacja Liczby Bella spełniają następującą zależność rekurencyjną:
Dowód Wybierzmy i ustalmy w -elementowym zbiorze pewien element. Policzmy teraz ile jest podziałów zbioru takich, że blok zawierający x ma dokładnie i+1 elementów. Oczywiście pozostałe i elementów tego bloku może zostać wybranych ze zbioru na sposobów. Każdy taki blok możemy rozbudować do podziału zbioru poprzez podzielenie pozostałych na bloki. Podział taki jest oczywiście możliwy na sposobów, skąd sumując po wszystkich możliwych wartościach otrzymujemy
Przykład Podzielmy zbiór 5-elementowy {a,b,c,d,e} na dokładnie 2 bloki, np. {a,c,d,e} i {b}. Podziałów takich jest 15. Podziałów na dokładnie 3 bloki jest 25. Należy do nich np. podział {a,b}, {c,d}, {e}. Podziałów na dokładnie 4 bloki jest 10. Np. {a}, {b}, {c,d}, {e}. W sumie, dodając jeszcze jeden podział na 1 blok i 1 podział na 5 bloków, mamy liczbę wszystkich możliwych podziałów, czyli liczbę Bella B 5 =52.
Bazy przestrzeni wielomianów Przestrzeń wektorowa wszystkich wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej ma naturalną bazę złożoną z jednomianów W różnicowym odpowiedniku twierdzenia Taylora zobaczyliśmy, że każdy wielomian można przedstawić jako kombinację liniową dolnych potęg. Interesujące jest, że bazami dla przestrzeni wielomianów mogą być także górne potęgi, natomiast współczynniki przejścia między tymi trzema bazami są ściśle powiązane z liczbami Stirlinga.
W poniższych twierdzeniach rezygnujemy z ograniczeń na indeksy sumowania. Zakładamy jedynie, że przebiegają one liczby całkowite pamiętając, że i zerują się dla oraz. Twierdzenie 1 Dla oraz zachodzi Twierdzenie 2 Dla oraz zachodzi