Ćwiczenia nr 3. Ilorazy różnicowe Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Definiujemy rekurencyjnie ilorazy różnicowe: f (x i, x i+1 ) = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i, i = 0,..., n 1; Uwaga. k = 2,..., n, i = 0,..., n k, f (x i,..., x i+k ) = f (x i+1,..., x i+k ) f (x i,..., x i+k 1 ) x i+k x i. Wartości f (x i ) są nazywane ilorazami różnicowymi rzędu 0.
Przykładowa tablica ilorazów różnicowych (n = 3) i x i f (x i ) f (x i, x i+1 ) f (x i,..., x i+2 ) f (x i,..., x i+3 ) 0 x 0 f (x 0 ) f (x 0, x 1 ) f (x 0, x 1, x 2 ) f (x 0, x 1, x 2, x 3 ) 1 x 1 f (x 1 ) f (x 1, x 2 ) f (x 1, x 2, x 3 ) 2 x 2 f (x 2 ) f (x 2, x 3 ) 3 x 3 f (x 3 ) Wzór interpolacyjny Newtona Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Mamy następujący wzór interpolacyjny: W n (x) = f (x 0 ) + f (x 0, x 1 ) ω 0 (x) + lub w postaci skróconej: W n (x) = f (x 0 ) + +f (x 0, x 1, x 2 ) ω 1 (x) +... + +f (x 0,..., x n ) ω n 1 (x), n 1 i=0 f (x 0,..., x i+1 ) ω i (x), gdzie: ω k = (x x 0 )... (x x k ), k = 0,..., n.
Stosowanie wzorów interpolacyjnych Newtona. Zadanie 1. Niech będą dane węzły interpolacji x i = 4 + 2i 2 (i = 0,..., 4). Wyznaczyć za pomocą wzoru interpolacyjnego Newtona dla dowolnych węzłów wielomiany interpolacyjne W 1, W 2, W 3 i W 4. Przyjąć następujące wartości w węzłach: 1 f (x 0 ) = 57, f (x 1 ) = 19, f (x 2 ) = 49, f (x 3 ) = 579, f (x 4 ) = 2329; 2 f (x 0 ) = 140, f (x 1 ) = 16, f (x 2 ) = 116, f (x 3 ) = 5296, f (x 4 ) = 43124; 3 f (x 0 ) = 443, f (x 1 ) = 37, f (x 2 ) = 67, f (x 3 ) = 30197, f (x 4 ) = 548827. Różnice progresywne Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n. Definiujemy rekurencyjnie różnice progresywne: 0 y i = y i, i = 0,..., n; 1 y i = 0 y i+1 0 y i, i = 0,..., n 1; k = 2,..., n, i = 0,..., n k, k y i = k 1 y i+1 k 1 y i.
Przykładowa tablica różnic progresywnych (n = 3) i x i y i 1 y i 2 y i 3 y i 0 x 0 y 0 1 y 0 2 y 0 3 y 0 1 x 1 y 1 1 y 1 2 y 1 2 x 2 y 2 1 y 2 3 x 3 y 3 Wzór interpolacyjny Newtona Niech będą dane punkty x 0,..., x n (takie że dla pewnego h > 0 mamy i=0,...,n x i = x 0 + ih) oraz wartości y 0,..., y n. Mamy następujący wzór interpolacyjny: W n (x) = 0 y 0 + 1 y 0 1! h 1 ω 0 (x) + 2 y 0 2! h 2 ω 1 (x) + lub w postaci skróconej: +... + n y 0 n! h n ω n 1 (x), W n (x) = 0 y 0 + n 1 i=0 i+1 y 0 (i + 1)! h i+1 ω i (x), gdzie: ω i = (x x 0 )... (x x i ), i = 0,..., n.
Stosowanie wzorów interpolacyjnych Newtona. Zadanie 2. Wyznaczyć za pomocą wzoru interpolacyjnego Newtona dla równoodległych węzłów wielomiany interpolacyjne W 1, W 2, W 3 i W 4. Przyjąć następujące dane: 1 x 0 = 6, x 1 = 3, x 2 = 0, x 3 = 3, x 4 = 6, y 0 = 94, y 1 = 31, y 2 = 4, y 3 = 13, y 4 = 58; 2 x 0 = 4, x 1 = 2, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 4, y 0 = 170, y 1 = 12, y 2 = 2, y 3 = 16, y 4 = 174; 3 x 0 = 2, x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1, x 4 = 2, y 0 = 61, y 1 = 5, y 2 = 1, y 3 = 5, y 4 = 19. Schemat Aitkena Niech będą dane węzły x i (i = 0,..., n, x i x j dla i j) oraz odpowiadające im wartości y i (i = 0,..., n). Definiujemy rekurencyjnie nastepujące wielomiany: w 0,j (x) = 1 x j x 0 y 0 y j x 0 x x j x, j = 1,..., n (0 < j); w 0,1,...,k,j = 1 x j x k k = 1,..., n 1 j = k + 1,..., n w 0,1,...,k 1,k w 0,1,...,k 1,j x k x, x j x (0 < 1 <... < k < j).
Schemat Aitkena Niech będą dane węzły x 0,..., x n (x i x j dla i j) oraz odpowiadające im wartości y 0,..., y n. Wtedy wielomian interpolacyjny W n jest określony następującym wzorem: W n (x) = w 0,1,...,n (x). Uwaga. (nazywana również schematem interpolacyjnym Aitkena) jest innym sposobem obliczania wartości wzoru interpolacyjnego Lagrange a. Stosowanie metody Aitkena Zadanie 3. Niech będą dane następujące węzły oraz wartości w węzłach: x 0 = 3, x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 5, y 0 = 48, y 1 = 6, y 2 = 3, y 3 = 3, y 4 = 72. Wyznaczyć za pomocą metody Aitkena nastepujące wielomiany interpolacyjne: W 1, W 2, W 3 i W 4.
Ilorazy różnicowe i różnice progresywne Niech będą dane punkty x 0,..., x n (takie że dla pewnego h > 0 mamy i=0,...,n x i = x 0 + ih) oraz odpowiadające im wartości y i = f (x i ) (i = 0,..., n). Mamy następujące związki pomiędzy ilorazami różnicowymi i różnicami progresywnymi: f (x i ) = 0 y i, i = 0,..., n; f (x i, x i+1 ) = 1 y i h k = 2,..., n,, i = 0,..., n 1; i = 0,..., n k, f (x i,..., x i+k ) = k y i k! h k. Przybliżanie pochodnej Niech będą dane punkty x 0,..., x n i funkcja f. Wtedy możemy przyjąć następujące przybliżenie dla wartości pochodnej funkcji f : f (k) (x i ) f (x i,..., x i+k ) dla k = 0,..., n oraz i = 0,..., n k. Jeśli punkty x 0,..., x n są takie, że dla pewnego h > 0 mamy i=0,...,n x i = x 0 + ih oraz y 0 = f (x 0 ),..., y n = f (x n ), to wtedy również: f (k) (x i ) k y i dla k = 0,..., n oraz i = 0,..., n k. k! hk
Stosowanie przybliżania pochodnej Zadanie 4. Niech będą dane węzły x i = i 10 (i = 0,..., 13) oraz funkcja f zadana wzorem f (x) = x 3 x 2 + x 1. Obliczyć dokładne i przybliżone wartości pierwszej, drugiej i trzeciej pochodnej funkcji f w punktach x 0,..., x 10.