INTERPRETACJA DANYCH STATYSTYCZNYCH LITERATURA. Statystyka. Elemety teor zadaa.. S. Ostasewcz, Z. Rusak, U. Sedlecka, Wydawctwo UE we Wrocławu, Wrocław 006.. Statystyka w zarządzau 4. A. Aczel, PWN, Warszawa 0. 5. Statystyka 6. M. Sobczyk,, PWN, Warszawa 04 7. Statystyka opsowa dla studetów admstracj prawa 8. A. Malowsk,, LIBER Warszawa 006. POJĘCIA WSTĘPNE Statystyka jako dzedza wedzy to auka o metodach zberaa, opracowywaa aalzy daych dotyczących zjawsk procesów masowych. Przedmotem statystyk są loścowe metody badaa prawdłowośc w zjawskach masowych, jest to auka podejmowaa decyzj w warukach epewośc, stąd podzał a: statystykę opsową, statystykę matematyczą. Statystyka opsowa to dzał zajmujący sę metodam opsu daych statystyczych uzyskaych podczas badaa statystyczego. Celem stosowaa metod statystyk opsowej jest podsumowae zboru daych wycągęce pewych podstawowych wosków uogóleń a temat zboru. Staow wstępe opracowae wyków pomarów z próby bez posługwaa sę rachukem prawdopodobeństwa mającym a celu wykrywae zachodzących prawdłowośc. Natomast statystyka matematycza zajmuje sę podejmowae poprawych decyzj dotyczących populacj geeralej z wykorzystaem rachuku prawdopodobeństwa. Statystycze metody wykrywaa prawdłowośc podejmowaa decyzj w warukach epewośc zakładają, że podjęce decyzj dotyczącej badaego zjawska jest poprzedzoe badaem statystyczym czyl wykoaem dostateczej lczby obserwacj w podobych warukach określoym czase. Rozróża sę: Badae pełe (całkowte), które obejmuje wszystke jedostk zborowośc statystyczej; Badae epełe (częścowe), które obejmuje ektóre jedostk zborowośc statystyczej, które są elemetam próby wyodręboej w określoy sposób. Jedak e zawsze badae pełe oparte a całej zborowośc jest przeprowadzae. Decyzja o przeprowadzeu badaa częścowego może być podjęta poeważ: Zborowość statystycza jest zbyt lcza (koszty czas); Badae ma charakter szczący; Chodz jedye o wyk oretacyje. Losowae (pomar) Populacja geerala (rezultaty potecjalych pomarów) Próba (rezultaty pomarów)
Zborowoścą statystyczą lub populacją geeralą azywa sę zbór wszystkch jedostek statystyczych mających przyajmej jedą cechę stałą oraz pewą lczbę cech zmeych. Cechy stałe decydują o zalczeu jedostek do określoej zborowośc statystyczej, atomast cechy zmee powodują zróżcowae poszczególych jedostek zborowośc. Warto podkreślć, że cel badaa statystyczego determuje zborowość statystyczą p.: (tz. jeżel chcemy zbadać wartość produkcj przedsęborstw przemysłu chemczego w kraju to zborowoścą są wszystke zakłady chemcze w Polsce atomast jeśl badae dotyczy wysokośc zarobków pracowków przemysłu chemczego, to zborowość staową wszystke osoby zatrudae w tej braży). Zborowośc statystycze moża scharakteryzować bardzej szczegółowo wyróżając populacje: skończoe eskończoe, jedorode ejedorode, symetrycze esymetrycze. Próbą lub populacją próbą azywamy wyodręboą przy pomocy odpowedej metody statystyczej część zborowośc statystyczej. Podzbór te podlega badau, a uzyskae wyk są uogólae a populację geeralą. Lczbę elemetów próby azywaą lczeboścą próby ozacza sę, przy czym < N. Ogół metod doboru próby do badaa dzelmy a: metody statystycze (metody doboru losowego), metody e statystycze (metody doboru elosowego) Metody statystycze zwązae są z losowym doborem próby charakteryzującym sę tym, że dokoując losowaa poszczególych jedostek, każda jedostka zborowośc mus meć take same szase wejśca do próby. Próba spełająca postulat losowego wyboru azywaa jest próbą prostą jej struktura jest podoba do struktury całej zborowośc. Metody e statystycze to metody w których wybór opera sę a osądze statystyka, wykającym z jego dośwadczea oraz wedzy. Polegają a wyborze kokretych jedostek o ustaloych z góry charakterystykach stąd często wymagaa jest zajomość parametrów charakteryzujących populację. W metodach tych występuje duża doza subektywzmu zwązaego z samym doberaem jedostek do próby, przy jedoczesym zachowau obektywzmu wyboru kryterów doboru. Ne rządz tu zatem przypadek, poeważ dobór elosowy jest zwązay z takm sposobem postępowaa, w którym ostateczy wybór jedostek powerza sę subektywym decyzjom osób przeprowadzających badaa. Zastosowae tego typu metod e pozwala a uogólee a całą zborowość. Podstawowym oczywstym postulatem współczesej metodolog badaa op publczej jest gwaracja reprezetatywośc próby (wyboru grupy osób dla przeprowadzea sodażu). Próbą reprezetacyją jest próbą losową dobrze odzwercedlającą strukturę relacje zachodzące w daej zborowośc, wówczas wyk badaa dostarczą jak ajwęcej formacj o prawdłowoścach w badaej populacj. Aby meć próbę reprezetacyją muszą być spełoe dwa waruk: próba powa być dostatecze lcza, każda jedostka daej zborowośc statystyczej powa meć jedakową szasę trafea do próby. W celu przeprowadzea badań statystyczych wyodrębae są obekty (p.: osoby, rzeczy, zjawska) azywae jedostkam statystyczym. Warto jedocześe podkreślć, że cel badaa determuje sposób wyodrębaa jedostek (tz. jeżel chcemy zbadać wartość produkcj przedsęborstw przemysłu chemczego w kraju to jedostkam statystyczym są poszczególe zakłady chemcze w Polsce atomast jeśl badae dotyczy wysokośc zarobków pracowków przemysłu chemczego, to jedostkam statystyczym będą osoby zatrudae w tej braży). Nedokłade określee jedostek statystyczych może spowodować eporówywalość otrzymaych wyków. Właścwość jedostek statystyczych, która podlega badau statystyczemu azywaa jest cechą statystyczą. W zależośc od celu badaa w aalzach uwzględa sę tylko te cechy, które są stote dla zjawsk będących przedmotem aalz. Cechy statystycze dzelą sę a: loścowe (merzale), jakoścowe (emerzale). Cechą loścową azywa sę taką cechę, która może być wyrażoa za pomocą lczby pochodzącej z pomaru lub oblczea. Wśród cech loścowych wyróża sę cechy skokowe (dyskrete) oraz cągłe. Cecha skokowa
może przyjmować wartośc z pewego skończoego lub przelczalego zboru lczb. Cecha cągła jest cechą przyjmującą dowole wartośc lczbowe z pewego eprzelczalego zboru (waga cała, temperatura). Cechą jakoścową azywa sę taką cechę, która może być wyrażoa jedye za pomocą wyrażea słowego. Wśród cech emerzalych (jakoścowych) wyróża sę tzw. cechy quas-merzale tz. są to take cechy, które w sposób prosty moża przekodować a cechy merzale jak p. płeć jest cechą 0-. Daa cecha loścowa przyjmuje a ogół róże wartośc dla różych jedostek statystyczych, podobe cecha jakoścowa u różych jedostek występuje w różych kategorach. Jeśl w określoym zborze jedostek statystyczych cecha przyjmuje róże wartośc lczbowe lub róże kategore jakoścowe to jest to cecha zmea. Jeśl cecha przyjmuje tę samą wartość lczbową lub występuje w tej samej kategor jakoścowej to jest to cecha stała. Wyróża sę róweż cechy tzw. quas-stałe charakteryzujące sę zbyt małym zróżcowaem. Zborowość statystycza Jedostka statystycza Cecha statystycza Charakter cechy statystyczej Pracowcy frmy X w Polsce w 0 roku pracowk staż pracy, Wek (w latach), wydajość pracy, płaca, Wykształcee merzala - cągła merzala -skokowa merzala - cągła merzala - cągła emerzala Studec studów żyerskch Studet studów żyerskch Wzrost (cm), Waga (kg), płeć, średa oce merzala -skokowa merzala -skokowa quas-merzala merzala - cągła Gospodarstwa domowe w Polsce w 0 roku gospodarstwo domowe dochód, wydatk, lczba dzec merzala - cągła merzala - cągła merzala -skokowa ORGANIZACJA BADAŃ STATYSTYCZNYCH. Badaa statystycze (zarówo całkowte jak częścowe) są ejedokrote złożoym przedsęwzęcem orgazacyjym, składającym sę z odrębych etapów: Przygotowae badaa (określee celu, zborowośc/próby, jedostk statystyczej objętej badaem oraz źródła daych metody badaa) Pomar zebrae materału statystyczego. Ops statystyczy. Aalza materału statystyczego woskowae statystycze. Materał statystyczy to zbór obserwacj, który ze względu a źródła formacj dzel sę a materał perwoty wtóry. Perwote źródła gromadzea formacj obejmują te wszystke źródła, które zostały przygotowae specjale dla badaa wybraego problemu. Podstawowym perwotym źródłam formacj są przede wszystkm studa emprycze, take jak obserwacja badaa wykorzystujące kwestoarusze (akety). W przypadku źródeł perwotych ależy dokoać pomaru wartośc cechy z wykorzystaem różych skal pomarowych: omala; porządkowa (ragowa); przedzałowa; lorazowa. Skala omala daje ajmej precyzyjy sposób pomaru, poeważ lczby (symbole) w tej skal pełą rolę umową służą do detyfkacj klasyfkacj jedostek statystyczych. Podstawą zalczea jedostk do daej kategor jest fakt posadaa określoego waratu cech (moża tu tylko powedzeć, że waraty te są lub e są jedakowe): płeć, trasy autobusów, umer sal wykładowej.
Skala porządkowa posada wszystke cechy skal omalej, a dodatkowo pozwala a porządkowae jedostek w ramach poszczególych kategor pod względem atężea cechy p.: 0-stopowa skala Mohsa merząca twardość merałów, 9-stopowa skala Rchtera merząca słę trzęsea zem, Stope wojskowe. Skala przedzałowa ma wszystke cechy skal porządkowej, ale pozwala a merzee dystasu mędzy jedostkam. Jedakowym różcom mędzy stopam własośc badaych jedostek odpowadają jedakowe różce w lczbach opsujących to atężee p.: lata kaledarzowe; Skale temperatur (Celsjusz, Fahrehet); Ideks ce. Skala lorazowa (stosukowa) ma własośc pozaych trzech skal. Dodatkowo charakteryzuje sę posadaem aturalego puktu zero, który ozacza brak daej cechy p.: wek; cey towarów; długość; cężar Wtóre źródła gromadzea formacj obejmują te wszystke źródła, które e zostały opracowae z myślą o badaym probleme. Główym wtórym źródłam formacj są przede wszystkm: publkacje orgaów państwowych, publkacje placówek aukowo-badawczych, materały wewętrze przedsęborstw, buletyy agecj badań op publczej lub badań rykowych. Korzystając ze sprawozdawczośc statystyczej (źródła wtóre) e dokoujemy pomarów tylko gromadzmy dae. AGREGACJA DANYCH W wyku obserwacj statystyczej otrzymujemy zbór daych, zwaych daym statystyczym. Należy przy tym podkreślć że w przypadku cech loścowych wartość cechy ozacza wartość lczbową (lczbę), atomast w przypadku cech jakoścowych term te ozacza dowolą z możlwych kategor opsu słowego. Wartośc cechy statystyczej X ozacza sę małym lteram: x, =,,. Natomast jeśl jedostk statystycze zbadao pod względem klku cech wówczas obserwacją statystyczą azywa sę odpowed wektor wartośc [x, y,, z ] gdze =,,. Aalzę materału statystyczego mus poprzedzć jego ops statystyczy, którego elemetam są: systematyzacja - porządkowae grupowae, polega a (mej lub bardzej zróżcowaym) podzale ejedorodej zborowośc a możlwe jedorode grupy według obraych kryterów, charakteryzujących poszczególe grupy, odpowedm zestaweu daych statystyczych. klasyfkacja - przeprowadza sę zazwyczaj według wybraych cech, których prawdłowa aalza jest możlwa dopero w ramach otrzymaych jedorodych grup. streszczee materału statystyczego za pomocą klku mar (wskaźków), prezetacja grafcza. Zbór wyków obserwacj uporządkowaych według określoych cech (kryterów) azywamy szeregem statystyczym. Najczęścej wyróża sę dwa krytera podzału szeregów: kryterum formale, zwązae z budową szeregu, a podstawe którego możemy wyodrębć: szereg szczegółowe, szereg rozdzelcze szereg kumulacyje, kryterum merytorycze, wykające z typu badaej cechy zborowośc, wg którego wyróża sę szereg czasowe szereg przestrzee. Podzały te jedak e wykluczają sę wzajeme, gdyż p.: szereg rozdzelczy może być jedocześe szeregem czasowym lub przestrzeym.
Szeregem szczegółowym azywamy uporządkoway, wyłącze według wartośc badaej cechy, zbór daych. Porządkowae polega a ustaweu wartośc określoej cechy daej zborowośc lub próby według kolejośc rosącej lub malejącej. Szereg szczegółowy obejmuje wartośc zmeych występujących u wszystkch jedostek badaej zborowośc Np. 800,900, 900,900, 000, 00, 00, 00, 500, 500, 500, 500, 500, 500, 000, 500. Szereg rozdzelczy to zbór wartośc lczbowych uporządkowaych wg waratów pewej badaej cechy, przy czym poszczególym waratom zmeej przyporządkowae są odpowadające m lczebośc. Szereg rozdzelcze mogą dotyczyć zarówo cechy jakoścowej, jak loścowej. Charakteryzują oe strukturę daej zborowośc stąd azywae są czasem szeregam strukturalym. Otrzymuje sę go dzeląc zborowość statystyczą a klasy zborcze według pewej cechy podając lczebośc każdej z tych klas, zwae lczeboścam klasowym ozaczoym, =,, k gdze k ozacza lczbę klas. Szereg rozdzelcze puktowe budowae są dla cechy skokowej: atomast szereg rozdzelcze przedzałowe przede wszystkm dla cechy cągłej: Budując szereg rozdzelcze ależy zdecydować o: lczbe klas, ch rozpętośc sposobe określaa grac przedzałów. Należy pamętać, że dobra klasyfkacja powa spełać dwa podstawowe waruk: mus być przeprowadzoa w sposób rozłączy, co ozacza, że poszczególe jedostk o określoych cechach powy być w sposób jedozaczy przydzeloe do poszczególych klas (grup), mus być przeprowadzoa w sposób zupeły, co ozacza, że klasy powy objąć wszystke cechy występujące w daej zborowośc. Do ustalea oretacyjej lczby klas (k) w zależośc od lczebośc próby () wykorzystuje sę astępujące reguły: k 5 log k k = +, log
Rozpętość (h) przedzału oblcza sę wówczas według: Przykład h = x max x m k PRZYKŁAD : Day jest szereg szczegółowy o mesęczych zyskach 60 zakładów pracy (w tys.zł): 7 8 6 6 0 7 9 4 5 9 6 9 8 5 5 40 7 5 7 9 9 0 0 9 0 50 5 45 5 5 4 4 6 44 4 8 9 8 4 7 7 9 4 9 7 46 4 W celu dokoaa agregacj daych ależy wyzaczyć: Lczbę klas (w trzech waratach w zależośc od sposobu) otrzymao rówą odpowedo: k 5 log = 5log 60 = 8, 89 9 k = = 60 = 7, 74 8 k = +, log = +, log60 = 6, 9 7 Rozpętość: h = 50 9 Otrzymae szereg rozdzelcze: k=9, h=5 = 5, 5 h = 50 8 h = x max x m k = 6 h = 50 7 k=8, h=6 = 6, 85 7 k=7, h=7-7 4 7-8 -7 7-8 -7 7-7 -7 7 7-4 5 4-50 7-8 6 8-4 0 4-0 4 0-6 4 6-7 -8 8 8-44 7 44-50 4-9 7 9-6 4 6-0 -0 8 0-7 9 7-44 8 44-5 4 Dodatkowo do prezetacj daych mogą służyć wykresy statystycze. Do ajbardzej popularych ależą: hstogram, czyl zbór prostokątów, których podstawy wyzaczoe są a os OX przez rozpętość poszczególych przedzałów, a wysokośc określoe są a os OY przez lczebośc odpowadające poszczególym przedzałom; dagram, który otrzymuje sę w wyku połączea puktów będących środkam przedzałów odpowadających m lczebośc; Hstogram to sposób przedstawaa rozkładu empryczego cechy statystyczej. Składa sę z szeregu prostokątów umeszczoych a os współrzędych. Prostokąty te są z jedej stroy wyzaczoe przez przedzały klasowe wartośc cechy, atomast ch wysokość jest określoa przez: lczebośc częstośc, gęstość prawdopodobeństwa elemetów ależących do określoego przedzału klasowego.
CD. PRZYKŁAD : Dla otrzymaych szeregów rozdzelczych otrzymao astępujące hstogramy: Lczebośc: Częstośc k=8, h=6-8 0,0 8-4 0,7 4-0 0, 0-6 0,07 6-0, -8 0, 8-44 0, 44-50 0,07 0,5 0,0 0,5 0,0 0,05 0,00-8 8-4 4-0 0-6 6- -8 8-44 44-50 Wysokość słupków to częstość, którą wyzaczamy wg wzoru: ω = Prawdopodobeństwa - ch suma =. k=8, h=6 6 4-8 0,0 8-4 0,0 4-0 0,04 0-6 0,0 6-0,0-8 0,0 8-44 0,0 44-50 0,0 0 8 6 4 0 W hstograme tym pole powerzch poszczególych słupków =. A prawdopodobeństwo wyzacza sę ze wzoru: p = ω h -8 8-4 4-0 0-6 6- -8 8-44 44-50
ANALIZA STRUKTURY SYNTETYCZNY OPIS ZBIOROWOŚCI STATYSTYCZNEJ Celem aalzy rozkładu jest sytetycza charakteryzacja zboru daych ezależe od tego czy zbór daych dotyczy wszystkch jedostek badaej populacj, czy też jej częśc. Obece chcemy jedye ukazać, jak sytetycze czytele zaprezetować to co ajstotejsze w aalzowaym zborze daych. Najczęścej wykorzystywae charakterystyk opsowe to:. Mary położea służące do opsywaa takej wartośc zmeej wokół której skupają sę pozostałe wartośc;. Mary rozproszea - służące do badaa stopa zróżcowaa wartośc zmeej;. Mary asymetr służące do badaa keruku zróżcowaa; 4. Mary kocetracj - służące do badaa stopa skupea poszczególych jedostek wokół średej MIARY POŁOŻENNIA Podstawowym parametram opsującym w sposób sytetyczy zasadcze właścwośc pewych zborowośc są mary położea, zwae też maram tedecj cetralej. Przedstawają oe cetrum, środek lub ajbardzej typową wartość w zborze daych lczbowych. Najprostszym, choć edoskoałym, opsem badaej zborowośc może być określee średego stau wartośc badaych cech za pomocą jedej sytetyczej mary. Mary położea moża oblczać dla wszystkch elemetów badaej zborowośc (populacj) lub dla jej częśc. Od celu założeń określoego badaa zależy czy day zbór jest traktoway jako populacja, czy też jako próba. MIARY POŁOŻENIA KLASYCZNE średa arytmetycza średa harmocza średa geometrycza POZYCYJNE domata kwatyle (medaa, kwartyle, decyle, percetyle) ŚREDNIA ARYTMETYCZNA Najprostszą marą położea jest średa arytmetycza, którą otrzymuje sę przez podzelee sumy wartośc odpowadających wszystkm elemetom zboru (wszystkch obserwacj) przez lczbę elemetów, które występują w tym zborze. Jeżel średą z wartośc x,..., ją według jedego ze wzorów w zależośc od sposobu agregacj daych:, x, x x ozaczymy symbolem X to oblczamy Szereg szczegółowy: Szereg rozdzelczy Szereg rozdzelczy puktowy (k klas): przedzałowy: gdze: N k x x x x x x x koleje wartośc badaego zboru, lczebość zboru daych. Średą wykorzystujemy, gdy chcemy scharakteryzować zbór wyków obserwacj (zborowość) jako całość za pomocą jedej wartośc. Jej oblczae jest przydate tylko wtedy, gdy zbór wyków obserwacj jest jedorody tz. gdy wchodzące do ego obserwacje (jedostk) są tego samego rodzaju. Jedorodym zborem wyków są p. dae dotyczące kotrol jakośc jedego typu wędl we wszystkch k
sklepach męsych we Wrocławu. Natomast zbór ejedorody tworzą wyk kotrol jakośc wszystkch rodzajów wędl. PRZYKŁAD a: Mając formacje o weku osób pracujących w sekcj płac pewej frmy w postac zboru lczb: 7,, 8, 8, 8, 4, 47 49 lat, średą weku oblczamy według podaego wzoru sumując: 7++8+8+8+4+47+49 =, a astępe dzeląc sumę przez 8 gdyż tyle osób jest zatrudoych w tej sekcj, co daje : 8= 9. Zatem śred wek osoby pracującej w sekcj płac w badaej frme wyos 9 lat. PRZYKŁAD b: Odotowao astępujące kursy sprzedaży USD w dzesęcu katorach w Legcy (powedzmy 0 serpa 004 r.):,6;,6;,6;,6; ;66;,65;,65;,65; ;66;,67. Śred kurs USD w tym du w 0 katorach Legcy kształtował sę a pozome,64 zł. Zauważmy, że otrzymay wyk,64 jest wększy od zaotowaego ajższego kursu USD oraz mejszy od zaotowaego ajwyższego kursu USD dla wybraych katorów Legcy. Możemy to zapsać:,6=x m < X,64 < X max =,67 Taka erówość jest zawsze spełoa, gdyż aalzoway zbór daych zawera przyajmej dwe róże lczby. Średe są wartoścam umowym, które faktycze mogą wcale e występować w badaym zborze. W żadym z dzesęcu katorów kurs USD e pokrywał sę ze średm kursem. Aalogcza sytuacja wystąpła w przykładze dotyczącym przecętego weku pracowków sekcj płac. Wyzaczoy przecęty wek 9 lat e odpowada żadej kokretej osobe w zborze pracowków. PRZYKŁAD c: Po przeprowadzoym Narodowym Spse Powszechym Ludośc Meszkań w 00 roku postaowoo oblczyć przecętą lczbę osób meszkających w gospodarstwach domowych w Polsce. Dae zaczerpęte z ostatego Spsu Powszechego przedstawoo w tabel. Gospodarstwa domowe w Polsce w 00 r. według lczby osób Lczba osób w gospodarstwe domowym Lczba gospodarstw domowych (w tys.) Oblczea pomoccze x * x 4 5 6 7 * 07 097 654 405 086 46 6 07 694 796 960 540 77 8 sumy 7 7567 Źródło: Roczk Statystyczy 00, GUS Warszawa, s.. * ostat warat został domkęty, gdyż jego lczebość staowła ewele poad procet ogólej lczebośc Koluma perwsza podaje lczbę osób w gospodarstwe domowym (od jedej do sedmu). Natomast w kolume drugej zameszczoo lczbę gospodarstw domowych, które zawerały kolejo jedą, dwe, trzy, cztery, pęć, sześć sedem osób. Przecętą lczbę osób w gospodarstwach domowych oblczamy dzeląc ogólą sumę lczby osób we wszystkch gospodarstwach domowych przez sumę gospodarstw domowych: 7567 X =,8. 7 A węc przecęta welkość gospodarstwa domowego merzoa lczbą osób wyosła w Polsce w 00 roku,8 osoby. Otrzymay wyk może budzć zastrzeżea, gdyż faktycza lczba meszkańców gospodarstwa domowego wyrażoa jest lczbam aturalym,,.t.d. Welkość średa, którą otrzymalśmy umożlwa am aalzę porówawczą welkośc gospodarstw domowych w krajach U Europejskej, lub w jedym kraju w różych latach p. 970, 980, 990 000. Wartość ta sama w sobe bez zamysłu porówawczego e przedstawa wartośc formacyjej.
PRZYKŁAD : Postaowoo określć przecęty wek kobety rodzącej dzecko w 00 roku w Polsce. W tym celu skorzystao z daych statystyczych zawartych w Roczku Demografczym GUS, które zameszczoo w tabel. Iformacje o lczbe urodzeń żywych według weku matk są publkowae przez GUS w tabelach, gdze wek jest pogrupoway w przedzały klasowe (koluma ). W drugej kolume tabel podao lczbę urodzeń w Polsce odpowadającą daej grupe wekowej. Urodzea żywe w Polsce w 00 r. według weku matk Wek matk (w latach) Lczba urodzeń (w tys.) 9 lat mej 4, 0-5 06,4 5-0 7, 0-5 6,0 5-40 5,8 40-45 6,7 45 węcej lat 0, Źródło: Roczk demografczy 00, GUS Warszawa,s.50 Mając w te sposób pogrupowae dae statystycze średej arytmetyczej e możemy oblczyć. Możemy atomast wyzaczyć jej przyblżoą wartość przyjmując środk przedzałów jako możlwe wartośc weku astępe dla ch oblczyć średą ważoą. Sposób te prowadzłby do dokładego wyzaczea średej gdyby stote wszystke dae zalczoe do podaych grup zajdowały sę w środku odpowedego przedzału. Jeżel środek -tego przedzału ozaczymy jako x, to teraz asz wzór a średą arytmetyczą ważoą przyberze postać: X k k x Oblczmy teraz przyblżoą wartość średego weku kobet rodzących w Polsce w 00 roku a podstawe pogrupowaych daych przedstawoych w kolume tabel 4 (do przykładu 4). W tabel tej w pozostałych kolumach ujęto oblczea pomoccze. Tabela 4 Urodzea żywe w Polsce w 00 r. według weku matk- oblczae średego weku Nr przedzału Wek matk (w latach) Lczba urodzeń środk przedzałów klasowego <x ; xj) (w tys.) () x x 4 5 6 7 5-0 0-5 5-0 0-5 5-40 40-45 45-50 4, 06,4 7, 6,0 5,8 6,7 0, 7,5,5 7,5,5 7,5 4,5 47,5 45,5 94,00 495,5 047,50 967,50 84,75 4,5 x suma 5,6 x 968,5 Źródło: oblczea włase a podstawe Roczka demografczego 00 Przyblżoą wartość średej arytmetyczej weku rodzących kobet wyzaczamy w astępujący sposób: X 7 7 x 968,5 = 7, 5,6 Przecęty wek kobety rodzącej dzecko w 00 roku w Polsce wyosł 7, roku. Stosując metodę bazującą a średej arytmetyczej ważoej, gdy wartośc cechy zostały pogrupowae w przedzały klasowe, przyblżee jest tym dokładejsze, m mejsza jest rozpętość przedzałów klasowych. Iteresującym może być to, że śred wek kobet rodzących wzrósł zacze od roku 950 co jest skutkem daleko dących zma społeczych kulturowych. Własość : Na wartość średą mogą meć duży wpływ wartośc skraje.
Własość : Jeżel każdą wartość w zborze daych zwększymy (lub zmejszymy) o pewą stałą k, to wartość średej arytmetyczej zwększy sę (lub zmejszy) o tę stałą. Własość : Jeżel każdą wartość zboru daych pomożymy (podzelmy) przez stałą lczbę k, to wartość średej arytmetyczej zwększy sę (zmejszy) k razy. Własość 4: Suma odchyleń poszczególych wartośc w zborze od ch średej arytmetyczej jest rówa N zeru tz. X X 0. UWAGA: Im mejsze występują różce mędzy wartoścam w badaym zborze, tym średa arytmetycza lepej charakteryzuje śred pozom teresującego as zjawska. Wartość średa może ulec stotej zmae przy zmaach wartośc ekstremalych. Uważa sę to za egatywą cechę średej arytmetyczej. Maram położea, które e posadają tej wady są tzw. statystyk pozycyje. ŚREDNIA HARMONICZNA I GEOMETRYCZNA Średa harmocza jest marą rzadko wykorzystywaą. Stosujemy ją wówczas, gdy wyk obserwacj są podae w jedostkach względych (w przelczeu a stałą jedostkę), p. w kg/osobę, km/godz., osoby/km, lub gdy staramy sę uchwycć przecętą tesywość zma. Jest oa używaa do oblczaa średej szybkośc pojazdów, średego czasu potrzebego do wykoaa jedostk wyrobu, średej gęstośc zaludea, średej szybkośc obrotów peężych. W treśc pozawczej jest detycza ze średą arytmetyczą, róż sę atomast sposobem oblczea z uwag a odmeość daych dotyczących badaego zjawska. Średą harmoczą oblczamy według wzoru: H,... x x x x gdze: x, x, x N, - wyk obserwacj w postac lczb stosukowych atężea (w jedostkach względych) Średa harmocza jest rówa odwrotośc średej arytmetyczej oblczoej dla odwrotośc poszczególych wyków obserwacj badaego zjawska. Średa geometrycza podobe jak średa harmocza jest zacze rzadzej stosowaa ż średa arytmetycza do oblczaa przecętego pozomu wartośc badaego zjawska. Stosujemy ją szczególe w zborach daych, w których wartośc obserwacj są przedstawoe w lczbach względych oraz gdy występują zacze różce mędzy wartoścam (jest oa mej wrażlwa a wartośc ekstremale ż średa arytmetycza). Zajduje zastosowae przy oblczau przecętego tempa badaego zjawska (przy badau kształtowaa sę zjawska w czase t.j. przy szeregach czasowych). Średą geometryczą oblczmy według astępującego wzoru: N gdze: x koleje wartośc badaego zboru, lczebość zboru daych. G = x x... x = x
PRZYKŁAD 7A: Stwerdzoo, że aby podłączyć do sec telefoczej każdy owo wybudoway dom jedorodzy przy pewej ulcy we Wrocławu do sec telefoczej pracowków telekomukacj wykouje tę samą czyość w różym czase: Kowalsk w cągu godz, Walewsk w cągu 4 godz., Kotyrba w cągu 8 godz. Wszystke domy są usytuowae w jedakowej odległośc od jezd. Zastaówmy sę, jak oblczyć, le czasu zużywają średo pracowcy telekomukacj a podłączee domu do sec telefoczej. Pracując rówocześe w jedym du przez 8 godz podłączą: Kotyrba jede dom, Wawelsk dwa domy (4+4), a Kowalsk podłączy ajwęcej bo cztery domy (++=). A węc razem potrzebowal *8 godz. = 4 godzy a podłączee sedmu domów. Czyl średo pracowcy a podłączee jedego domu 4 do sec zużywają: = godzy. 7 7 Korzystając ze wzoru a średą harmoczą otrzymujemy aalogczy wyk : H = = 4 = godzy. 4 7 7 4 8 8 8 8 4 Natomast stosując zwykłą średą arytmetyczą otrzymalbyśmy : (+4+8)/ = =4 godzy. Podając w te sposób oblczoy śred czas moża echcący (lub celowo) zekształcć formację, która może staowć podstawę w alczau płac z wykoaa zleceń. PRZYKŁAD 7B: Zając gęstość zaludea w trzech mastach 00 tysęczych : 00 osób/km, 400 osób/km 600 osób/km oblczmy jaka byłaby średa gęstość zaludea dla trzech aglomeracj mejskch połączoych razem. Podstawając do wzoru a średą harmoczą otrzymujemy: H = 400 osób/km. 00 400 600 Błędem byłoby dodae tych trzech wartośc podzelee przez : [( 00+400+600)/]= 4, osoby/km. Zając lczbę meszkańców tych trzech mast (00 tys. * = 00 tys.) dzeląc ją przez powerzchę jaką zajmują wszystke masta razem, możemy sprawdzć, która z otrzymaych średch gęstośc zaludea jest prawdłowa. Wylczmy węc powerzchę dla każdego z tych mast: I masto: 00 000 osób : 00 osób/km =, km II masto: 00 000 osób : 400 osób/km = 50 km II masto: 00 000 osób : 600 osób/km = 66,67 km Razem masta zajmują powerzchę 750 km, a węc prawdłowa średa gęstość zaludea w tych trzech mastach wyos: 00 000 osób : 750 km = 400 osób/km. Jak wcześej wspomao średa harmocza jest parametrem, którym dość rzadko sę posługujemy. Wystarczy bowem posadać węcej formacj a temat badaego zjawska, aby odtworzyć welkośc bezwzględe opsujące jego rozmary, a zatem wykorzystać dla ocey sytuacj przecętej średą arytmetyczą. KWANTYLE Kwatyle - defuje sę jako wartośc cechy badaej zborowośc, które dzelą zborowość a określoe częśc pod względem lczby jedostek, częśc te pozostają do sebe w określoych proporcjach Kwartyl perwszy Q Kwartyl drug (medaa Me) dzel zborowość a dwe częśc w te sposób, że 5% jedostek zborowośc ma wartośc cechy ższe bądź rówe kwartylow perwszemu Q, a 75% rówe bądź wyższe od tego kwartyla dzel zborowość a dwe rówe częśc; połowa jedostek ma wartośc cechy mejsze lub rówe medae, a połowa wartośc cechy rówe lub wększe od Me; stąd azwa wartość środkowa
Kwartyl trzec Q dzel zborowość a dwe częśc w te sposób, że 75% jedostek zborowośc ma wartośc cechy ższe bądź rówe kwartylow perwszemu Q, a 5% rówe bądź wyższe od tego kwartyla MEDIANA Drugm, po średej arytmetyczej, ajczęścej używaym parametrem jest medaa (Me), w lteraturze azywaa także wartoścą środkową. Jeżel X, X, X,..., X ozaczymy wyk obserwacj, to medaa ozacza, mówąc eformale, wartość ajbardzej cetralą w uporządkowaym zborze tych samych obserwacj: X ( ), X (),..., X ( ). Symbol X () ozacza ajmejszą co do welkośc wartość w zborze, z kole X () drugą co do welkośc td. Sposób wyzaczaa lub oblczaa meday zależy od tego, w jak sposób ujęty został materał statystyczy, którym dyspoujemy. Dla szeregu szczegółowego pozycją meday to według wzoru: N Me jej podstawe wyzacza sę wartość środkową Szereg powe być ajperw uporządkoway (w kolejośc rosącej) astępe odczytujemy wartość wyrazu środkowego dla parzystej lczby obserwacj, albo lczymy średą arytmetyczą wyrazów sąsadujących. PRZYKŁAD 8A: W pętastoosobowym zespole pracowków frmy DINFO zajmującej sę doradztwem fasowym dla sektora małych średch przedsęborstw wpłaty do urzędów skarbowych z tytułu podatku dochodowego od osób fzyczych za rok 00 były astępujące (w zł): 80, 698, 505, 584, 98, 4580, 00, 78, 5, 50, 860, 044, 056, 668, 856. Chcąc zaleźć medaę, ależy w perwszej kolejośc uporządkować posaday zbór wyków, a astępe odszukać wartość obserwacj środkowej: 698, 856, 98, 00, 044, 78, 50, 505, 860, 056, 584, 80, 668, 4580,5 W aszym przykładze X X 505zł. M e 5 8 Ozacza to, że połowa pracowków tej frmy dokoała za 00 rok wpłaty do urzędów skarbowych z tytułu podatku dochodowego od osób fzyczych w wysokośc co ajmej 505 zł lub aczej, połowa spośród aalzowaych osób zapłacła podatek w wysokośc e wększej ż 505 zł. PRZYKŁAD 8B: Wróćmy do uporządkowaego zboru wyków mesęczych wyagrodzeń brutto ośmu pracowków z przykładu 7: 750, 850, 880, 900, 90, 990, 000, 500. Medaa mesęczego wyagrodzea w tej grupe osób zgode z wzorem wyos: M e ( X X ) = ( X 6 X 7 ) (900 90) 95 zł. Ozacza to, że połowa pracowków dzału Iwetaryzacj zaraba mesęcze e węcej ż 95 zł., a druga połowa e mej ż 95 zł. Medaa okazała sę tutaj lepszą marą położea charakteryzującą średą płacę pracowków ż średa arytmetycza (00 zł) jaką polczoo w przykładze 7. Na podstawe przedstawoych tu przykładów wyraźe wdać, że w przecweństwe do średej arytmetyczej, a wartość meday e mają wpływu wyk obserwacj skrajych (krańcowych).
Jeżel wyk obserwacj zostały pogrupowae w klasy bez przedzałów to wyzaczee meday sprowadza sę do wskazaa jedostk środkowej odczytaa wartośc jaka jej odpowadaw tym celu wyzacza sę pozycję meday: N Me. Przy daych pogrupowaych odalezee środkowej jedostk ułatwa skumulowae lczebośc. PRZYKŁAD 9: Pewe wykładowca matematyk skrzęte otował eobecośc swoch studetów a jego wykładze w I semestrze. Otrzymae wyk przedstawł (ujął) w forme tabelaryczej. Neobecośc studetów a wykładze z matematyk r lczba eobecośc lczba studetów skumulowaa lczba klasy 4 5 6 7 x 0 4 5 6 5 9 studetów ( sk ) 5 74 przedzał M e 96 07 0 x x x Aby zaleźć medaę lczby eobecośc studetów a wykładze z matematyk ależy wskazać pozycję meday w uporządkowaym zborze, czyl jedostkę środkową. Spośród studetów (=) uczęszczających a wykład, jedostkę środkową zajdujemy : = = 57 (pozycja meday). A węc 57 studet w aszym uporządkowaym zborze zajduje sę (patrząc a lczebośc skumulowae koluma ) w drugej klase jego lczba opuszczoych wykładów wyos. Czyl medaa = eobecość. Ozacza to, że połowa studetów w czase I semestru co ajwyżej opuścła wykład raz, lub połowa studetów e uczestczyła w wykładze co ajmej raz. Natomast, gdy wyk obserwacj są pogrupowae w klasy z przedzałam, wówczas medaę wyzaczamy metodą aaltyczą, opartą a terpolacj, wykorzystując wzór: N Me S Me xme h gdze: x Me - dola graca przedzału, w którym jest medaa, h - rozpętość przedzału, w którym jest medaa, N Me - pozycja meday lczoa jako połowa zboru, S - skumulowae (zsumowae) lczebośc przedzałów poprzedzających przedzał meday, (suma lczebośc przedzałów poprzedzających przedzał meday) Me - lczebość rzeczywsta przedzału, w którym jest medaa. Me
PRZYKŁAD 0: W tabel przedstawoo lczbę kobet zawerających zwązek małżeńsk w Polsce w 00 roku według weku kobety. Z tak przedstawoych daych statystyczych e możemy wyzaczyć średego weku kobety zawerającej zwązek małżeńsk używając średej arytmetyczej. Możemy atomast posłużyć sę medaą. Kobety zawerające zwązek małżeńsk w Polsce w 00 r. wek kobety lczba kobet skumulowaa lczba kobet ( sk ) X 9 mej 0-9 0-9 40-49 50-59 poad 60 9499 4445 468 5754 80 9 9499 694 7855 8406 8809 9050 suma 9050 x Oblczając (szacując) medaę w perwszej kolejośc musmy ustalć jej pozycję (umer) tz. połowa lczebośc wszystkch kobet: 955. Podstawając dae możemy ustalć medaę weku kobety zgode z podaym wcześej wzorem: 955 9499 Me 0 0= 0 + 5,4 = 5,4 4445 Otrzymay wyk ozacza, że przecęty wek kobety zawerającej zwązek małżeńsk w Polsce w 00 roku to wek 5,4 lat, a dokładej, połowa kobet zawerających zwązek małżeńsk w Polsce w 00 roku e przekroczyła weku 5,4 lat. Medaa jest mej wrażlwa a zmay wartośc skrajych obserwacj, ż średa arytmetycza. Jest oblczaa wszędze tam, gdze e ma możlwośc oblczea średej arytmetyczej, p. gdy dae są przedstawoe w postac szeregu rozdzelczego z edomkętym perwszym ostatm przedzałem klasowym. Lepej charakteryzuje badaą populację, gdy średa arytmetycza e plasuje sę a pozycj cetralej w posadaych wykach (tz. kedy asze wyk wykazują wyraźą asymetrę). Trzeba pamętać, że m bardzej średa arytmetycza róż sę od meday, tym lepej medaa wyraża tedecję cetralą. KWARTYL PIERWSZY Q KWARTYL TRZECI Q Oprócz meday w statystyce opsowej stosowae są też e mary pozycyje o podobym zaczeu. Dzelą oe uporządkoway zbór wyków obserwacj a węcej ż dwe jedakowo lcze częśc. Kedy dzelmy tak uporządkoway zbór wyków a 0 częśc mamy do czyea z decylam, a kedy dzelmy a 00 częśc z percetylam. Ogóle mary pozycyje tego typu azywamy kwatylam. Jedak ajczęścej w statystyce opsowej stosowae są kwartyle (zwae wartoścam ćwartkowym). Dla szeregu szczegółowego kwartyl perwszy trzec wyzacza sę w te sposób, że w dwóch częścach zborowośc, które powstały po wyzaczeu meday, poowe wyzacza sę medaę; medaa w perwszej częśc odpowada kwartylow perwszemu, a w drugej kwartylow trzecemu. Pozycja kwartyla perwszego trzecego ( ) N Q, N Q 4 4
PRZYKŁAD 0: W zborze uporządkowaych daych dotyczących wpłat do urzędów skarbowych z tytułu podatku dochodowego pracowków frmy DINFO już wcześej zaleźlśmy 50-ty percetyl (czyl medaę). Zajdźmy teraz w aszym szeregu kwartyl perwszy Q, zway też kwartylem dolym: 698, 856, 98, 00, 044, 78, 50, 505, 860, 056, 584, 80, 668, 4580, 5 Me= Q Kwartyl perwszy Q jest wartoścą tego elemetu w zborze uporządkowaym, który jest medaą z połowy obserwacj położoych pożej kwartyla drugego Q. A węc szukamy meday z wartośc w zborze pożej 505 zł: 698, 856, 98, 00, 044, 78, 50 Q Poeważ Q to też 5-ty percetyl, węc jego pozycję możemy też zaleźć wykorzystując wzór: ( ) 5 = ( 5) 5 = 4, 00 00 czyl a czwartej pozycj (X 4 ) w aszym zborze zajduje sę wartość kwartyla perwszego Q = 00 zł. Ozacza to, że 5% (/4) osób w frme DINFO zapłacła za 00 rok podatek dochodowy w wysokośc e wększej ż 00 złotych, a 75% (/4) osób w wysokośc e mejszej ż 00 złotych. Pozostał am jeszcze do odszukaa kwartyl trzec Q, zway kwartylem górym. Jest o wartoścą tego elemetu w uporządkowaym zborze, który jest medaą z połowy obserwacj położoych powyżej kwartyla drugego Q. W aszym przykładze ależy węc szukać kwartyla Q z wartośc elemetów: 860, 056, 584, 80, 668, 4580, 5 Q Poeważ kwartyl trzec jest rówocześe 75-tym percetylem węc jego pozycję zajdujemy zgode ze wzorem: ( ) 75 = ( 5 ) 75 =, 00 00 czyl a dwuastej pozycj (X ) w aszym całym uporządkowaym zborze wpłat z tytułu podatku dochodowego zajduje sę wartość Q = 80. Ozacza to, że 75% (/4) osób w frme DINFO dokoało wpłat z tytułu podatku dochodowego w wysokośc e wększej od 80 zł., a 5% (/4) osób w wysokośc e mejszej ż 80 zł. Jeśl materał statystyczy został pogrupoway w klasy bez przedzałów (przykład, 0 ) wówczas pozycję kwartyla perwszego wyzaczamy : N Q, N Q 4 4 Dla szeregu rozdzelczego wyzaczee kwartyl poprzedza sę ustaleem ch pozycj: Kwartyl perwszy Q Kwartyl trzec Q gdze: NQ S N Q S Q xq h Q xq h Q x Q - dola graca przedzału, w którym jest kwartyl, h - rozpętość przedzału, w którym jest medaa, S - skumulowae (zsumowae) lczebośc przedzałów poprzedzających przedzał kwartyla, Q Q - lczebość rzeczywsta przedzału, w którym jest kwartyl.
PRZYKŁAD : W tabel 0 podao odsetek kobet pełozatrudoych z wyższym wykształceem według przedzałów wyagrodzeń w pewym województwe w paźdzerku 00 roku, atomast w tabel odsetek mężczyz. Poeważ przedstawoe dae statystycze są pogrupowae w przedzały, poadto dwa z ch (perwszy ostat) są otwarte, dlatego przy opse tej zborowośc ależałoby wykorzystać parametry pozycyje. Kobety z wyższym wykształceem, pełozatrudoe według wysokośc wyagrodzea w paźdzerku 00 roku w jedym z województw wyagrodzee (w zł) X odsetek kobet w skumuloway odsetek kobet do 800 zł 800 000 000 500 500 000 przedzał Q 000 500 przedzał Q 500 000 000 500 przedzał Q 500 4000 4000 4500 4500 5000 5000 5500 5500 6000 powyżej 6000, 4, 6,6 5,5 8, 7,4 7,0,8,5, 0,9 0,4 0, ' w ' sk, 6,4,0 8,5 56,6 74,0 9,0 94,8 97, 98,5 99,4 99,8 00 Źródło: szacuek własy a podstawe daych US we Wrocławu Mężczyź z wyższym wykształceem, pełozatrude według wysokośc wyagrodzea w paźdzerku 00 roku w jedym z województw wyagrodzee (w zł) X odsetek mężczyz w skumuloway odsetek mężczyz do 800 zł 800 000 000 500 500 000 przedzał Q 000 500 500 000 przedzał Q 000 500 500 4000 4000 4500 przedzał Q 4500 5000 5000 5500 5500 6000 powyżej 6000 ' 0,, 4, 0, 5,7,0 8,7 8, 8,5 7,7 5,5 5,,6 w ' sk 0,,5 5,8 5,9 4,6 5,6 6, 69,6 78, 85,8 9, 96,4 00
PRZYKŁAD cd : Przecęte wyagrodzee kobet jak mężczyz z wyższym wykształceem w rozpatrywaym województwe w paźdzerku 00 r. określ medaa, czyl kwartyl drug: 50 8,5 - dla kobet: Me 000 500= 000 + 8,6 = 8,6 zł. 8, 50 4,6 - dla mężczyz: Me 500 500= 500 + 8,8 = 88,8 zł.,0 Jak wdzmy przecęty pozom wyagrodzeń mężczyz z wyższym wykształceem w paźdzerku 00 roku w rozpatrywaym województwe był wyższy od przecętego pozomu dla kobet o prawe 500 złotych. Połowa pełozatrudoych kobet z wyższym wykształceem e przekroczyła wyagrodzea 8,6 zł, atomast połowa mężczyz e przekroczyła wyagrodzea 88,8 zł., pozostała połowa kobet mężczyz otrzymywała wyagrodzee powyżej meday. Z kole a podstawe oblczoego kwartyla perwszego: 5 - dla kobet: Q 500 500= 500 + 87, = 887, złotych oraz 5,5 55,8 - dla mężczyz: Q 500 500= 500 + 477,6 = 977,6 złotych, 0, stwerdzamy, że 5% kobet badaej populacj otrzymywała wyagrodzee pożej 887 złotych a 75% tych kobet przekroczyła te pozom płac. Wyższy pozom kwartyla perwszego wyagrodzeń dla mężczyz śwadczy o tym, że wększość mężczyz (75%) zaraba węcej ż kobety t.j. powyżej 977,6 zł. Jeżel polczymy jeszcze kwartyl trzec: 75 74 - dla kobet: Q 000 500= 000 + 9,4 = 09,4 zł oraz 7 - dla mężczyz: Q 75 69,6 4000 500= 4000 + 7,6 = 47,6 zł 8,5 to wdzmy, że wartość trzecego kwartyla wyagrodzeń dla mężczyz przewyższa o 88 złotych pozom odpowedego kwartyla wyagrodzeń dla kobet. 75% pełozatrudoych mężczyz z wyższym wykształceem w paźdzerku 00 roku otrzymywało wyagrodzee pożej 47,6 zł., atomast te sam odsetek kobet e poberał wększego wyagrodzea ż 09,4 złotych. DOMINANTA /MODALNA Często wykorzystywaym przecętym parametrem pozycyjym jest domata, czyl wartość ajczęstsza (zwaa też w lteraturze modalą). Jest to ta wartość, która w zborze daych statystyczych ( X, X, X,..., X N ) występuje ajczęścej (ajlczej) możemy wówczas powedzeć, że oa domuje ad ym wartoścam. PRZYKŁAD : Akcje Spółk Akcyjej FEMAG w czase kolejych otowań gełdowych w ostatm kwartale 00 roku osągęły astępujące wartośc (w zł): 6, 4, 9, 9, 40, 6, 6,, 0, 0,, 6,, 8,,,, 8, 5, 5, 8, 4, 6, 6,, 0, 0,,, 5, 8, 9, 6, 9, 4, 40, 9, 8, 9,,,, 6, 4, 8,, 7, 5, 0, 7, 8, 9, 4, 9, 6, 4, 8, 40,, 0, 0, 8,, 5, 6,,,. Jeżel zbór daych statystyczych jest lczy, wówczas aby zaleźć wartość domującą, w aszym przykładze ceę akcj o ajwększej lczbe powtórzeń) moża wartośc zboru uporządkować: 8,8,8,8, 9,9,9,9,9, 0,0,0,0,0,0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4,4, 5,5,5,5,5, 6,6,6,6,6,6,6,6,6,6, 7,7, 8,8,8,8,8, 9,9,9, 40,40,40, 4,4,4,4. Jak wyka z wylczeń w ostatm kwartale roku 00 otowaa Spółk FEMAG ajczęścej osągały (bo aż 0 razy) ceę zł ceę 6 zł. Obe te wartośc uzajemy jako domaty: D = zł D =6 zł. W przypadku daych pogrupowaych w przedzały klasowe wyzaczee domaty sprowadza sę do wskazaa przedzału, w którym zajduje sę domata, a astępe oblczea jej wartośc w oparcu o terpolację. Chcąc ją oszacować rozpętośc przedzałów klasowych muszą być rówe. Przedzałem domaty jest przedzał o ajwększej lczebośc. Z kole wartość domaty wyzaczamy w sposób przyblżoy, wewątrz przedzału domaty wykorzystując wzór:
gdze: D - wartość domaty, D x D D D h D D D D, xd - dola graca przedzału domaty, D - lczebość przedzału domaty, D - lczebość przedzału poprzedzającego przedzał domaty, D - lczebość przedzału astępującego po przedzale domaty, PRZYKŁAD 4: Jeżel przypatrzymy sę zborow daych (z przykładu ), to stwerdzamy, że przedzał 5-0 lat odzacza sę ajwększą lczeboścą (w przykładze lczbą urodzeń żywych), a wec w tym przedzale meśc sę wartość domaty (co zazaczoo pożej). Wek matk (w latach) <X ; Xj) Lczba urodzeń (w tys.) odsetek urodzeń w 5-0 0-5 5-0 przedzał domaty 0-5 5-40 40-45 45-50 4, 06,4 7, max = D 6,0 5,8 6,7 0, I właścwe możemy poprzestać a wskazau tego przedzału. Jedak, jeżel chcemy dokładej oszacować wartość domaty, posługujemy sę podaym wcześej wzorem ( ). Wartość domaty będze wększa od gracy dolej a mejsza od gracy górej przedzału, w którym sę zajduje. Podstawając do wzoru otrzymujemy: 7, 06,4 D 5 7, 06,4 7, 6 5 = 5+, = 6, Otrzymay wyk ozacza, że ajwększa lczba kobet rodzących w Polsce w 00 roku charakteryzowała sę wekem 6, roku. A zatem wyzaczoa wartość domaty meśc sę w wyzaczoym przedzale. Na uwagę zasługuje też fakt, że wartość domaty e zme sę, jeżel w pogrupowaym zborze daych wystąpą odsetk zamast lczebośc absolutych. Podstawając w mejsce lczebośc odsetk zameszczoe w kolume tabel. otrzymujemy: 5,9 0, D 5 = 5+, = 6, 5,9 0, 5,9 7,8 5 Poeważ wzór, którym posłużylśmy sę do oszacowaa wartośc domaty, zbudoway jest a podstawe założea, ż w obrębe klasy ajlczejszej dwóch sąsedch rozkład cechy jest opsay fukcją kwadratową, węc lczebość przedzałów zajdujących sę bezpośredo przed przedzałem domaty po m e może wyosć zero. A węc e jest wskazae oblczae domaty z daych pogrupowaych w przedzały klasowe, jeżel ajwększa lczebość zajduje sę w przedzale skrajym. 6,9 0, 5,9 7,8 7,,9 0, WYKRES PUDEŁKOWY Najwęcej formacj przydatych do aaltyczego badaa zborów daych dostarcza am wykres pudełkowy (box plot), zway też pudełkem z wąsam (box-ad-whsker plot). Wprowadzł go stosukowo edawo (w 977 r.) J.Tukey. Wykres pudełkowy, bardzo przydaty w opse statystyczym, upowszechł sę wraz z paketam statystyczym. Są a m przedstawoe podstawowe statystyk opsowe, take jak: medaa, kwartyl perwszy trzec, wartośc podejrzae o etypowe oraz tzw. wartośc odstające (ekstremale) czyl take, które wyraźe odbegają od pozostałych wartośc zboru daych. Poadto a podstawe wykresu pudełkowego możemy określć rozproszee wartośc asymetrę rozkładu.
MIARY ROZPROSZENIA Przy opse statystyczym różych zborów daych (zborowośc) e wystarczy poprzestać a zastosowau mar położea, lecz ależy też określć stopeń zróżcowaa tych daych (jedostek). Parametry opsowe, które tutaj wykorzystamy określamy maem mar rozproszea lub zmeośc. Mary zmeośc określają lczbowo stopeń zróżcowaa obserwacj /elemetów/ w badaym zborze daych (t.j. stopeń w jakm poszczególe wartośc zboru odbegają od wartośc średej). Bywa tak, że średe wyków obserwacj dwóch zborów są jedakowe, a mmo to zbory te różą sę mędzy sobą stopem zmeośc skupeem poszczególych wartośc wokół średej. W takm przypadku woskowae a podstawe tylko średch arytmetyczych tych zborów jest ewystarczające.
PRZYKŁAD 5: W zwązku z apływem do Wrocława kaptału japońskego, jeda z wrocławskch szkół języków obcych, uruchomła kurs auk języka japońskego. Utworzoo dwe grupy 7 osobowe. Perwszą staowły osoby w weku 0-5 lat, drugą osoby powyżej 5 roku życa. Na zakończea I semestru auk kursac otrzymal astępujące wyk z testu : I grupa: 00, 5, 0, 40, 50, 65, 80; II grupa: 5, 0, 5, 40, 45, 50, 55. Jak sę okazało średa oraz medaa lczby uzyskaych puktów z testu w obu grupach była jedakowa, rówa 40 puktów, a jedak wyk poszczególych osób w tych grupach zacze sę różą (rys.). Porówae wartośc testu w I II grupe 00 05 0 5 0 5 0 5 40 45 50 55 60 65 70 75 80 5 0 5 40 45 50 55 Zauważmy, że wyk testu osągęte przez osoby młodsze są bardzej rozproszoe ż wyk osób starszych. Wyk tej grupy leżą dalej od średej lczby puktów (rówej 40) ż wyk grupy drugej. Wyk testu grupy drugej są skupoe blsko sebe, a węc mało zróżcowae. Z przedstawoego przykładu wyka, że aby grutowej opsać zbory aalzowaych daych, ależy oprócz oblczea średej arytmetyczej czy meday, róweż ustalć w jakm stopu wyk poszczególych obserwacj różą sę od sebe, a węc ależy dokoać pomaru ch rozproszea. Przy opse statystyczym średa jest parametrem prawdłowym w odeseu do zboru o ewelkm zróżcowau wyków obserwacj. Gdy występuje wzrost zróżcowaa badaej cechy, to średa trac swoją wartość pozawczą wówczas ops powe być uzupełoy o parametry rozproszea. Do pomaru rozproszea /zmeośc/ wartośc w badaym zborze daych służą parametry rozproszea, zwae też parametram zmeośc. Zalczamy do ch m..: rozstęp, odstęp mędzykwartylowy, warację, odchylee stadardowe ćwartkowe, współczyk zmeośc. ROZSTĘP I ODSTĘP MIĘDZYKWARTYLOWY Rozstęp jest różcą mędzy wartoścą ajwększą ajmejszą w aalzowaym zborze daych: R= X max - X m Podobym parametrem rozproszea, aczkolwek częścej używaym jest odstęp mędzykwartylowy różca mędzy kwartylem trzecm Q perwszym Q : IQR= Q Q. PRZYKŁAD 5B: W przykładze w zborach wyków testu językowego rozstępy wyoszą odpowedo: 00 05 0 5 0 5 0 5 40 45 50 55 60 65 70 75 80 5 0 5 40 45 50 55 dla grupy I: R I = 80-00=80, dla grupy II: R II = 55-5 = 0. Wdać węc, że rozstęp wartośc puktów w grupe osób młodszych był wększy ż wśród osób starszych wekem (grupa II). Grupa I wykazuje wększą zmeość wartośc wyków testu wększe rozproszee. Rozstęp jest parametrem rozproszea zależym tylko od dwóch skrajych wartośc zboru daych, które często różą sę stote od pozostałych wartośc. Dlatego jest to mara o małej wartośc pozawczej. Odstep mędzykwartylowy w przytoczoym przykładze 6 dla perwszej grupy wyos IQR=65-5 = 50, atomast dla drugej grupy: IQR=50-0 =0.
Jak wdać, z podaych dwóch parametrów rozproszea badaego zboru daych odstęp mędzykwartylowy jest mej wrażlwy a wyk skraje. WARIANCJA I ODCHYLENIE STANDARDOWE Waracja jest parametrem rozproszea, który merzy przecęty kwadrat odchylea poszczególych obserwacj badaej cechy od średej arytmetyczej w zborze daych statystyczych. Jeżel wyk obserwacj z populacj skończoej ozaczymy jako X, X, X,..., X, to warację oblczymy ze wzoru: S = N ( X Natomast, gdy wyk obserwacj dotyczące populacj zostały uporządkowae pogrupowae w k- klas wówczas warację oblczamy według wzoru: S = k ( X X ) Jeżel wyk obserwacj zostały pogrupowae w przedzały klasowe, wówczas aalogcze jak przy oblczau średej arytmetyczej wykorzystujemy środk przedzałów klasowych ( x ). X ), Kedy asze wyk obserwacj pochodzą z małej próby, to oblczając warację w maowku we wzorze zamast umeszcza sę - jako lczebość tej próby. Jak wyka ze wzoru, waracja jest zawsze welkoścą eujemą maowaą. Jej maem jest kwadrat jedostk w jakej dokoao pomaru wyków obserwacj. Im wększa jest jej wartość, tym slejsze jest zróżcowae wartośc badaej cechy. Przy ocee rozproszea wykorzystujemy w stoce perwastek kwadratowy z waracj zway odchyleem stadardowym. Jest to ajczęścej używay ajbardzej precyzyjy parametr rozproszea, ozaczay jako: S = S. W typowym zborze daych 95% obserwacj leży w przedzale dwóch odchyleń stadardowych wokół średej: ( X -S, X +S). PRZYKŁAD 5B: Zwróćmy uwagę a wyk testów średa oraz medaa lczby uzyskaych puktów z testu w obu grupach była jedakowa, rówa 40 puktów. Wyzaczmy rozproszee otrzymywaych wyków. 00 05 0 5 0 5 0 5 40 45 50 55 60 65 70 75 80 5 0 5 40 45 50 55 Podstawając do wzoru a warację otrzymujemy: S = [(-40) + (-5) + (-0) + (-5) + (-0) + + 0 +5 + 40 ] =600pkt. 7 Natomast odchylee stadardowe płac pracowków tego dzału wyos: S = S = 600 =4,5pkt. Ozacza oo, że wyk z testu różą średo od przecętego wyku o 4,5pkt. W grupe drugej: S = [(-5) + (-0) + (-5) + (0) + (5) +0 +5 + 5 ] =00pkt. 7 Natomast odchylee stadardowe płac pracowków tego dzału wyos: S = S = 00 =0pkt. Ozacza oo, że wyk z testu w II grupe różą średo od przecętego wyku o 0pkt.
WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI Poeważ średe płace w tych grupach e różą sę węc porówując welkość odchylea stadardowego moża oceć welkość zróżcowaa. Jedak gdy średe zacze sę różą, węc dla porówaa stopa zróżcowaa ależy skorzystać ze stosukowego /względego/ parametru rozproszea jakm jest współczyk zmeośc, lczoy według wzoru: S V = 00. X Współczyk zmeośc merzy welkość zróżcowaa obserwacj w zborze daych w postac lczby emaowaej, która jest odsetkem wartośc odchylea stadardowego w stosuku do średej arytmetyczej. Jego wartość blska zeru śwadczy, że obserwacje w badaym materale statystyczym są jedorode. Natomast m bardzej wartośc są zróżcowae, tym wększy jest współczyk zmeośc. Poadto współczyk zmeośc może być przydaty przy porówywau zróżcowaa takch welkośc jak wydajość pracy, czas pracy, absecja w pracy, w różych przedsęborstwach stytucjach czy dzałach jedego przedsęborstwa. Wyka to z faktu, że odchylee stadardowe jest marą bezwzględą, węc e pozwala a porówae zmeośc cech o różych maach. Podstawowe własośc odchylea stadardowego: Własość : Jego wartość e ulega zmae gdy: a) lczebośc w zborze zawerającym dae pogrupowae zostaą wyrażoe w lczbach względych (częstośc, procety), b) dodamy lub odejmemy od wszystkch wartośc w zborze jakakolwek (tę samą) lczbę. Własość : Jeżel wszystke wartośc w materale statystyczym pomożymy lub podzelmy przez jakąkolwek (tę samą) lczbę różą od zera, to odchylee stadardowe będze tylokrote mejsze lub wększe. Własość : Jest parametrem ajbardzej precyzyjym spośród parametrów rozproszea. ODCHYLENIE ĆWIARTKOWE I POZYCYJNY WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI Jeżel e możemy lub e chcemy posłużyć sę średą arytmetyczą, bo.p. w badaym zborze daych występują duże odchylea wartośc ekstremalych czy też przedzały w daych pogrupowaych są otwarte, wówczas możemy posłużyć sę odpowedo pozycyjym maram zróżcowaa: odchyleem ćwartkowym kwartylowym współczykem zmeośc opartym a parametrach pozycyjych: Q M e M e Q IQR Q Q V Q 00 M e
PRZYKŁAD 6: Wróćmy do przykładu o mesęczych wyagrodzeach pracowków dzału Iwetaryzacj. Przecęta płaca wyosła 00 zł. Wyzaczmy rozproszee otrzymywaych wyagrodzeń. Podstawając do wzoru a warację otrzymujemy: S = [(-50) + (-0) + (-50) + (-00) + (-70) + (-0) + (-00) + 400 ] = 85550zł. 8 Natomast odchylee stadardowe płac pracowków tego dzału wyos: S = S = 85550= 54,7 zł. Ozacza oo, że płace tychże pracowków różą średo od przecętej płacy o 54,7 zł. Nasuwa sę pytae czy płace pracowków ych dzałów w tym urzędze są tak samo zróżcowae? Na podstawe lsty płac oblczoo średą płacę odchylee stadardowe pracowków w dwóch kolejych dzałach, tj. w dzale Ksęgowośc dzale Promocj Masta. Otrzymao astępujące wyk: dla dzału Ksęgowośc - dla dzału Promocj Masta - X K = 800 zł, S K = 55 zł, X P = 650 zł, S P = 5 zł. PRZYKŁAD c.d 6: Węc w celu porówaa rozproszea płac w trzech dzałach oblczoo współczyk zmeośc: 54,7 Dla dzału Iwetaryzacj: : V I = 00 = 48,6%, 00 55 Dla dzału Ksęgowośc: V K = 00 = 9,7%, 800 5 Dla dzału Promocj Masta: V P = 00 = 7,6%, 650 Najmej zróżcowaa wysokość wyagrodzeń wystąpła wśród pracowków dzału Promocj Masta. Zatem zróżcowae płac pracowków dzału Iwetaryzacj jest poad sześć razy wększe od zmeośc płac pracowków dzału Promocj Masta. MIARY ASYMETRII Mary rozproszea poszerzają aszą wedzę o strukturze zborowośc poprzez wskazae, w jakm stopu wartośc poszczególych elemetów w zborze daych kocetrują sę wokół welkośc cetralej tego zboru. Natomast e opsują erówomerośc rozłożea obserwacj badaego zboru wokół wartośc średej arytmetyczej. Problem te rozwązują mary asymetr. Mara asymetr oblczaa z wartośc wszystkch obserwacj zboru, to tzw. klasyczy współczyk asymetr oblczay według wzoru: ( x X ) K s =, S Jeżel atomast wartośc obserwacj zostały pogrupowae w szereg rozdzelczy, wówczas wzór a współczyk asymetr przedstawa sę astępująco: ( x X ) K s =, S W przypadku grupowaa wartośc zboru daych w przedzały klasowe, wówczas aalogcze jak przy x oblczau średej arytmetyczej wykorzystujemy środk przedzałów klasowych ( ). Współczyk te określa keruek atężee (słę) asymetr. Może być wykorzystay do porówywaa asymetr zborów daych wyrażoych w różych jedostkach mary. Jedak wadą tej mary jest brak określoych grac jej zmeośc. Jeżel K s >0 wówczas występuje asymetra prawostroa, w badaym zborze przeważają obserwacje, których wartośc są mejsze od średej. Z kole, gdy K s <0 to mamy asymetrę lewostroą, w badaym zborze przeważają obserwacje, których wartośc są wększe od średej arytmetyczej.