ANALIZA DRZEW DECYZYJNYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2017 Seria: ORGANIZACJA I ZARZĄDZANIE z. 113 Nr kol. 1992 Renata DUDZIŃSKA-BARYŁA Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Informatyki i Komunikacji renata.dudzinska@ue.katowice.pl ANALIZA DRZEW DECYZYJNYCH NA GRUNCIE TEORII PERSPEKTYWY Streszczenie. Powszechnie stosowaną graficzną metodą wspomagania procesu decyzyjnego w warunkach ryzyka są drzewa decyzyjne. Jako kryterium wyboru optymalnej decyzji zwykle stosuje się maksymalizację wartości oczekiwanej. W behawioralnym podejściu do analizy decyzyjnej uwzględnia się subiektywne czynniki, które często powodują, iż decyzje decydentów nie są zgodne z podejściem normatywnym. W pracy zostanie zaproponowana procedura oceny problemów decyzyjnych, które można przedstawić za pomocą drzew decyzyjnych zawierających dwa lub więcej etapów, wykorzystująca zasady kumulacyjnej teorii perspektywy. Słowa kluczowe: drzewa decyzyjne, kumulacyjna teoria perspektywy DECISION TREE ANALYSIS BASED ON PROSPECT THEORY Abstract. The decision trees are a commonly used graphical method for analysis of decisions under conditions of risk. As the criterion for choosing the optimal decision the expected value criterion is usually used. In the behavioral decision analysis, subjective factors are taken into account, which often causes that the preferred decision differs from optimal decision based on the normative approach. In this paper we propose procedures for the analysis of decision problems, which can be presented by decision trees with two or more stages. These procedures are based on cumulative prospect theory. Keywords: decision trees, cumulative prospect theory

68 R. Dudzińska-Baryła 1. Wprowadzenie Drzewa decyzyjne są graficzną formą prezentacji możliwych decyzji oraz ich konsekwencji. Umożliwiają także uwzględnianie wystąpienia zdarzeń losowych charakteryzowanych za pomocą rozkładów prawdopodobieństwa. Drzewa decyzyjne mogą przedstawiać zarówno proste sytuacje decyzyjne, jak i bardziej skomplikowane wieloetapowe procesy decyzyjne. Zgodnie z powszechnie przyjętą konwencją, drzewa decyzyjne rozpoczynają się korzeniem wierzchołkiem decyzyjnym (przedstawianym za pomocą kwadratu lub prostokąta) umieszczonym po lewej stronie. Z wierzchołka decyzyjnego wychodzą gałęzie (możliwe decyzje przedstawiane za pomocą strzałek) prowadzące do innych wierzchołków decyzyjnych lub gdy wynik decyzji jest niepewny, do wierzchołków reprezentujących zdarzenia losowe (przedstawiane za pomocą kół lub elips). Podobnie z wierzchołków losowych mogą prowadzić gałęzie (reprezentujące możliwe realizacje zdarzenia losowego) do wierzchołków decyzyjnych lub losowych. Gałęzie kończące drzewo mają po prawej stronie wierzchołki końcowe (liście) przedstawiane za pomocą trójkątów. Zakłada się, że zarówno warianty decyzyjne wychodzące z jednego wierzchołka decyzyjnego, jak również możliwe realizacje zdarzenia losowego, są rozłączne. Analizę drzewa decyzyjnego rozpoczyna się od wierzchołków końcowych, którym przypisuje się wyniki ciągu decyzji i/lub zdarzeń losowych prowadzących do nich. W klasycznej analizie drzewa decyzyjnego wykorzystuje się pojęcie pieniężnej wartości oczekiwanej (ang. exptected monetary value). Wierzchołkowi losowemu przypisuje się wartość oczekiwaną będącą średnią możliwych wyników ważonych prawdopodobieństwami ich wystąpienia, natomiast w wierzchołku decyzyjnym wybiera się decyzję przynoszącą najlepszy wynik. Postępowanie kontynuuje się przechodząc w lewą stronę, aż do korzenia. Drzewa decyzyjne wykorzystywane są również do klasyfikacji obiektów, jednak w tym przypadku są to drzewa nie zawierające wierzchołków losowych. 2. Teoria perspektywy Teoria perspektywy należy do deskryptywnego nurtu teorii decyzji. Głównym zadaniem podejścia deskryptywnego jest opisywanie decyzji podejmowanych przez decydentów w warunkach ryzyka. Model oceny decyzji zaproponowany przez Kahnemana i Tverksy ego [1979], uwzględnia pewne czynniki psychologiczne oparte na obserwacji rzeczywistego procesu decyzyjnego: subiektywną ocenę względnych wyników decyzji oraz subiektywną ocenę prawdopodobieństw wyników. Podejście zaproponowane w 1979 roku mogło być wykorzystywane jedynie dla losowych wariantów decyzyjnych o co najwyżej dwóch

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 69 wynikach niezerowych. Cecha ta uniemożliwiała stosowanie tego podejścia na większą skalę, gdyż w większości rzeczywistych wariantów decyzyjnych należy brać pod uwagę więcej możliwych wyników decyzji. Rozszerzenie teorii perspektywy na warianty decyzyjne o większej liczbie wyników zostało zaproponowane przez różnych badaczy, np. Karmarkara [1978], Fennemę i Wakkera [1997], Camerera i Ho [1994], Rieger i Wang [2008]. Również sami autorzy zaproponowali inne podejście kumulacyjną teorię perspektywy [Tversky, Kahneman, 1992], której przewagą jest m.in. to, że może służyć do oceny losowych wariantów o wielu wynikach, a wybory dokonywane na jej podstawie są zgodne z dominacjami stochastycznymi. W teorii perspektywy, jak również w kumulacyjnej teorii perspektywy, wyniki decyzji są rozpatrywane jako zyski i straty względem pewnego punktu odniesienia (punktu referencyjnego). Względne wyniki w dalszej części pracy będą oznaczane symbolami x oraz xi. Wyniki te są przewartościowywane za pomocą funkcji wartości v(x) złożonej z dwóch części: wklęsłej dla zysków i wypukłej dla strat. Tak skonstruowana funkcja pozwala odzwierciedlić awersję do ryzyka decydentów w obliczu zysków i jednocześnie skłonność do ryzyka w obliczu strat. Ponadto, dwuczłonowa postać funkcji wartości umożliwia formalne modelowanie awersji do strat. Drugim istotnym elementem teorii perspektywy jest przewartościowywanie prawdopodobieństw p za pomocą S-kształtnej funkcji w(p). Funkcja ta modeluje zachowania decydentów polegające na przeszacowywaniu małych prawdopodobieństw i niedoszacowywaniu dużych. Postaci analityczne funkcji v(x) i w(p) zostały zaproponowane dopiero w 1992 roku [Tversky, Kahneman, 1992]: x, x 0 v ( x) (1) ( x), x 0 p ( (2) w p) 1/ p (1 p) przy czym = = 0,88, = 2,25 oraz = 0,69, gdy prawdopodobieństwo dotyczy strat i = 0,61 w przypadku zysków. Wartości parametrów funkcji (1) i (2) zostały ustalone na podstawie badania wyborów dokonywanych przez decydentów. Parametr > 1 odzwierciedla awersję do strat. Losowy wariant decyzyjny A można przedstawić w następującej postaci A (( x, p ); ;( x 1 1 1 n, p x1 x p p n n n );( x n1 0 x p n1, p n1 n1 ); ;( x x p N N 1 N, p N )) (3)

70 R. Dudzińska-Baryła gdzie: xi i-ty możliwy wynik losowego wariantu decyzyjnego wyrażony w postaci liczby, pi prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego wyniku, N liczba wszystkich możliwych wyników. Wyniki losowego wariantu decyzyjnego (wyrażane przeważnie w jednostkach pieniężnych) są uszeregowane od najmniejszego do największego, przy czym n początkowych wyników jest ujemnych. Zapis (3) jest tożsamy z fragmentem drzewa decyzyjnego przedstawionego na rys. 1. p1 x1 pn xn pn xn Rys. 1. Losowy wariant decyzyjny w postaci fragmentu drzewa decyzyjnego Fig. 1. Random decision alternative as a part of decision tree Ocena losowego wariantu decyzyjnego (3) na gruncie kumulacyjnej teorii perspektywy jest sumą ocen względnych strat i ocen względnych zysków: CPT(A) CPT (A) CPT (A) (4) przy czym ocena względnych strat wyznaczana jest jako n i i1 CPT (A) v( x 1 ) w( p1) v( xi ) w p j w p j (5) i 2 j1 j1 a ocena względnych zysków jako CPT N 1 (A) v( xi ) w i n N w j 1 ji ji1 p N p j v( x N ) w( p Jeżeli w losowym wariancie decyzyjnym nie występują wyniki ujemne to pomijana jest ocena według wzoru (5), a jeżeli nie występują wyniki dodatnie to pomijana jest ocena według wzoru (6). N ) (6)

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 71 W kumulacyjnej teorii perspektywy argumentami funkcji ważenia prawdopodobieństw są więc odpowiednio kumulowane prawdopodobieństwa strat i odpowiednio dekumulowane prawdopodobieństwa zysków. Porównywanie ocen CPT losowych wariantów decyzyjnych oraz wyników decyzji pozbawionych ryzyka jest możliwe, gdy obie porównywane wielkości są wyrażone w tych samych jednostkach. W tym celu wyznaczany jest ekwiwalent pewności (ang. certainty equivalent) CE(CPT(A)) losowego wariantu decyzyjnego A. Jest on wartością nielosową, która jest tak samo oceniana jak losowy wariant decyzyjny, czyli v(ce(cpt(a)))=cpt(a). Wartość ekwiwalentu pewności jest wyznaczana według wzoru CE(CPT(A)) CPT(A), CPT(A) 0 1 v (CPT(A)) (7) CPT(A) /, CPT(A) 0 i wyrażana takimi samymi jednostkami jak możliwe wyniki xi losowego wariantu decyzyjnego A. 3. Analiza drzew dwuetapowych z wariantami ryzykownymi w oparciu kumulacyjną teorię perspektywy Drzewa dwuetapowe zawierające jeden wierzchołek decyzyjny i jeden lub więcej wierzchołków losowych służą do przedstawiania prostych sytuacji decyzyjnych w warunkach ryzyka. Przykład takiego drzewa pokazano na rys. 2. W przedstawionej sytuacji decyzyjnej uwzględniono zarówno losowe warianty decyzyjne, jak i wariant deterministyczny. W wierzchołku D wybierana jest jedna decyzja spośród D1, D2, D3. Wynik decyzji D1 zależy od wystąpienia jednej z realizacji zdarzenia losowego A1. Wynik x1 1 może wystąpić z prawdopodobieństwem p1 1, wynik x2 1 z prawdopodobieństwem p2 1, a wynik x3 1 z prawdopodobieństwem p3 1. Podobnie jest dla decyzji D2 związanej ze zdarzeniem losowym A2. Natomiast podjęcie decyzji D3 nie jest obarczone ryzykiem i przynosi pewny wynik x 3.

72 R. Dudzińska-Baryła p1 1 x1 1 D1 A1 p2 1 x2 1 p3 1 x3 1 D D2 A2 p1 2 p2 2 x1 2 x2 2 D3 x 3 Rys. 2. Przykład drzewa dwuetapowego z wariantami ryzykownymi xi k pi k x k Ak W pracy przyjęto następujące oznaczenia: względny wynik z podjęcia decyzji Dk pod warunkiem, że wystąpiła i-ta realizacja zdarzenia losowego Ak, prawdopodobieństwo wystąpienia i-tej realizacji zdarzenia losowego Ak, względny wyniki decyzji nie związanej ze zdarzeniem losowym, zdarzenie losowe związane z decyzją Dk, V(Ak) wynik losowego wariantu decyzyjnego k, Dk decyzja k, V(Dk) wynik decyzji k, przy czym dla losowych wariantów decyzyjnych V(Dk) = V(Ak) D wierzchołek decyzyjny, V(D) wynik najlepszej decyzji w wierzchołku D. Proponowana w pracy procedura oceny i wyboru decyzji na gruncie kumulacyjnej teorii perspektywy dla drzew dwuetapowych z wariantami ryzykownymi składa się z trzech kroków. Procedura analizy drzew dwuetapowych z wariantami ryzykownymi 1. Dla każdego wierzchołka losowego Ak obliczana jest ocena CPT(Ak) (wzory (4)-(6)). 2. Jeżeli decyzja Dk związana jest z realizacją zdarzenia losowego to jest do niej przypisywana wartość ekwiwalentu pewności oceny CPT(Ak), obliczana według wzoru (7). Natomiast, jeżeli decyzja Dk nie jest związana ze zdarzeniem losowym to jest do niej przypisywany wynik x k.

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 73 CE(CPT(A k )), gdy decyzja D k jest związana ze zdarzeniem losowym V(D k ) k (8) x, gdy decyzja D k nie jest związana ze zdarzeniem losowym 3. W korzeniu (wierzchołku decyzyjnym D) wybierana jest decyzja Dk przynosząca najlepszy wynik V(D) max{d k } (9) k Przykład 1 1 : Gdzie zorganizować imprezę charytatywną? Samorząd miasta chce zorganizować imprezę charytatywną, z której dochód będzie przeznaczony na budowę placu zabaw. Impreza może być zorganizowana na wolnym powietrzu lub na sali gimnastycznej. Impreza na wolnym powietrzu przy ładnej pogodzie zgromadzi większą liczę mieszkańców i umożliwi zebranie większej kwoty (5800 zł), a w przypadku pogody deszczowej umożliwi zebranie jedynie 2000 zł. Jeżeli impreza będzie zorganizowana w sali gimnastycznej to w przypadku ładnej pogody umożliwi zebranie 3300 zł, a w przypadku deszczowej pogody 4500 zł. Wydarzenie jest organizowane w czerwcu i prawdopodobieństwo pogody deszczowej jest oceniane na 40%. Problem wyboru miejsca organizacji imprezy można przedstawić za pomocą jednoetapowego drzewa decyzyjnego (rys. 3). D D1 na wolnym powietrzu A1 słońce 0,6 deszcz 0,4 5800 zł 2000 zł D2 na sali gimnastycznej A2 słońce 0,6 deszcz 0,4 3300 zł 4500 zł Rys. 3. Drzewo decyzyjne w przykładzie 1 Źródło: Opracowanie własne na podstawie https://github.com/silverdecisions/silverdecisions/ wiki/gallery. 1 Przykład opracowany na podstawie https://github.com/silverdecisions/silverdecisions/wiki/gallery. W odróżnieniu od procedury zaproponowanej w tej pracy (wykorzystującej zasady teorii perspektywy), w systemie SilverDecisions stosowane są kryteria oparte na maksymalizacji lub minimalizacji wartości oczekiwanej.

74 R. Dudzińska-Baryła W celu określenia najlepszej decyzji w oparciu o kumulacyjną teorię perspektywy wykonywane są obliczenia, zgodnie z przedstawioną procedurą. 1. Dla każdego z wierzchołków losowych A1, A2 obliczamy: w(1) w(0,6) v(5800) w(0,6) 1394, 222 w(1) w(0,4) v(4500) w(0,4) 1393, 166 CPT(A1) CPT (A1) v (2000) CPT(A2 ) CPT (A 2 ) v (3300) 2. Wyznaczamy wartości decyzji D1 i D2: 0, 88 V(D ) CE(CPT(A )) 1394,222 1 1 0, 88 V(D ) CE(CPT(A )) 1393,166 2 2 3742,00 zł 3738,79zł 3. Wyznaczamy wartość w wierzchołku D i wybieramy najlepszą decyzję V(D) max{d,d2} 1 3742,00 zł Decyzją optymalną jest więc organizacja imprezy na wolnym powietrzu. Uzyskane wartości CPT są subiektywnymi ocenami losowych wariantów decyzyjnych. W normatywnej teorii decyzji czynniki behawioralne nie są brane pod uwagę, a ocena i wybór wariantu decyzyjnego przeważnie odbywa się na podstawie wartości oczekiwanej EV (ang. expected value). W przykładzie 1 wartości oczekiwane losowych wariantów decyzyjnych wynoszą: ) EV(A 1 5800 0,6 2000 0,4 4280,00 zł EV(A 2 ) 3300 0,6 4500 0,4 3780,00 zł Ponieważ losowy wariant decyzyjny A1 przynosi większy dochód niż wariant A2 to decyzją optymalną jest organizacja imprezy na wolnym powietrzu. Decyzja optymalna dla kryterium wartości oczekiwanej jest taka sama jak dla kryterium uwzględniającego subiektywne przewartościowania wyników i ich prawdopodobieństw, jednakże nie zawsze ma miejsce taka sytuacja, co ilustruje przykład 2. Przykład 2: Uwzględnienie kosztów organizacji imprezy. W trakcie przygotowania do organizacji imprezy okazało się, że samorząd miasta musi ponieść koszty organizacyjne wynoszące 1000 zł. Koszty te są jednakowe zarówno dla imprezy organizowanej na wolnym powietrzu, jak i na sali gimnastycznej. Dodatkowe koszty można potraktować jako punkt referencyjny, który można zinterpretować w ten sposób, że samorząd miasta chce, aby dochód pokrył przynajmniej koszty organizacji imprezy. Jednakowy koszt dla obu wariantów decyzyjnych powoduje obniżenie każdego wyniku o 1000 zł. Dla zmodyfikowanych losowych wariantów decyzyjnych należy wskazać najlepszą decyzję w oparciu o kumulacyjną teorię perspektywy. 1. Dla każdego z wierzchołków losowych A1, A2 obliczamy: w(1) w(0,6) v(4800) w(0,6) 1052, 173 CPT(A1) CPT (A1) v (1000)

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 75 w(1) w(0,4) v(3500) w(0,4) 1058, 745 CPT(A 2 ) CPT (A 2 ) v (2300) 2. Wyznaczamy wartości decyzji D1 i D2: 0, 88 V(D ) CE(CPT(A )) 1052,173 1 1 0, 88 V(D ) CE(CPT(A )) 1058,745 2 2 2717,63zł 2736,93zł 3. Wyznaczamy wartość w wierzchołku D i wybieramy najlepszą decyzję V(D) max{d,d2} 1 2736,93zł Po uwzględnieniu kosztów organizacji decyzją optymalną jest organizacja imprezy w sali gimnastycznej. Dla kryterium wartości oczekiwanej obniżenie każdego wyniku o stałą wartość 1000 zł powoduje obniżenie wartości oczekiwanej każdego wariantu również o 1000 zł. Zatem nadal V(D1) > V(D2) i decyzją optymalną jest organizacja imprezy na wolnym powietrzu. Dla kryterium opartego na kumulacyjnej teorii perspektywy uwzględnienie dodatkowego kosztu wpłynęło na zmianę preferowanego wariantu decyzyjnego. W pracy [Dudzińska- Baryła, 2015] pokazano, że wzrost wartości punktu referencyjnego może powodować wielokrotne zmiany preferowanego wariantu decyzyjnego, a ponadto stwierdzono, że wraz ze wzrostem wartości punktu referencyjnego ocena losowego wariantu decyzyjnego jest coraz niższa. 4. Analiza drzew wieloetapowych z wariantami ryzykownymi w oparciu kumulacyjną teorię perspektywy W drzewach wieloetapowych występuje wiele wierzchołków decyzyjnych i wierzchołków losowych, przy czym po każdym wierzchołku decyzyjnym mogą wystąpić wierzchołki losowe, liście i inne wierzchołki decyzyjne. Podobnie po każdym wierzchołku losowym mogą wystąpić wierzchołki decyzyjne, liście lub inne wierzchołki losowe. Jedynie po wierzchołkach końcowych (liściach) nie mogą już wystąpić inne wierzchołki. Przykład drzewa wieloetapowego z wariantami ryzykownymi przedstawiono na rys. 4. W celu zachowania przejrzystości pominięte zostały oznaczenia wierzchołków, prawdopodobieństwa oraz wyniki przypisane do liści. Natomiast zaznaczone zostały te fragmenty drzewa, do których będą odnosić się opisy proponowanej procedury wyznaczania decyzji optymalnych z uwzględnieniem zasad kumulacyjnej teorii perspektywy.

76 R. Dudzińska-Baryła rys. 8 rys. 5 rys. 6 rys. 7 ETAP 1 ETAP 2 ETAP 3 ETAP 4 Rys. 4. Przykład drzewa wieloetapowego Analizę drzew wieloetapowych rozpoczyna się od prawej strony, czyli od wierzchołków losowych i decyzyjnych, z których gałęzie prowadzą jedynie do liści. Do wierzchołków tych przypisywane są wartości. Następnie analizowane są wierzchołki poprzedzające, aż do korzenia (wierzchołka początkowego).

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 77 W zaproponowanej procedurze w celu zachowania przejrzystości zapisu pominięto w oznaczeniach numery etapów i wierzchołków, a także nie zachowano ciągłej numeracji wierzchołków losowych, decyzyjnych i końcowych oraz wyników końcowych i prawdopodobieństw. W każdym kroku procedury użyte symbole i oznaczenia odnoszą się do elementów zaznaczonych na wskazanych rysunkach. Procedura dla drzew wieloetapowych z wariantami ryzykownymi 1. Rozpatrywane są wszystkie wierzchołki losowe ostatniego etapu, o postaci przedstawionej na rys. 5. Wszystkie gałęzie wychodzące z tych wierzchołków prowadzą jedynie do wierzchołków końcowych (liści). Dla każdego wierzchołka losowego A obliczana jest ocena CPT(A) zgodnie ze wzorami (4)-(6). A p 1 x 1 p N x N Rys. 5. Wierzchołek losowy ostatniego etapu Do wierzchołka A przypisywana jest wartość ekwiwalentu pewności oceny CPT(A), obliczana według wzoru (7), tzn. V(A) = CE(CPT(A)). 2. Rozpatrywane są wszystkie wierzchołki decyzyjne ostatniego etapu, których postać przedstawiono na rys. 6. D D1 x 1 DT x T Rys. 6. Wierzchołek decyzyjny ostatniego etapu Każdemu wierzchołkowi D przypisywana jest wartość będąca wynikiem najlepszej decyzji. V(D) max { x } (10) t{1,, T } t

78 R. Dudzińska-Baryła 3. We wszystkich etapach oprócz ostatniego, gałęzie wychodzące z wierzchołka decyzyjnego mogą prowadzić do innych wierzchołków decyzyjnych, losowych i liści. Zakłada się, że dla wierzchołków, do których prowadzą gałęzie, zostały już wyznaczone odpowiednie wartości V(D) i V(A). Sytuację taką przedstawiono na rys. 7. V(D1) D V(DS) V(A1) V(AK) x 1 x T Rys. 7. Wierzchołek decyzyjny etapu wcześniejszego niż ostatni Każdemu wierzchołkowi D przypisywana jest wartość będąca wynikiem najlepszej decyzji. V(D) max{ max {V(Ds )}, max {V(Ak )}, max { x }} (11) s{1,, S} k{1,, K } t{1,, T } t 4. We wszystkich etapach oprócz pierwszego i ostatniego, gałęzie wychodzące z wierzchołka losowego mogą prowadzić do innych wierzchołków losowych, decyzyjnych i liści. Zakłada się, że dla wierzchołków, do których prowadzą gałęzie, zostały już wyznaczone odpowiednie wartości V(D) i V(A). Rys. 8 przedstawia rozpatrywaną sytuację.

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 79 p 1 V(A1) p K V(AK) A p K+1 p K+T p K+T+1 x 1 x T V(D1) p K+T+S V(DS) Rys. 8. Wierzchołek losowy etapu późniejszego niż pierwszy i wcześniejszego niż ostatni Dla każdego wierzchołka A, wykorzystując wzory (4)-(7), obliczana jest wartość ekwiwalentu pewności losowego wariantu decyzyjnego A, przy czym wartości V(A1),, V(AK), x 1,, x T, V(D1),, V(DS) muszą być uporządkowane rosnąco. 5. W etapie 1 dla wierzchołka początkowego (korzenia) realizowany jest krok 3 procedury. 6. Rozwiązanie problemu decyzyjnego opisanego drzewem wieloetapowym odczytywane jest od korzenia. W wierzchołkach decyzyjnych odrzucane są decyzje nieoptymalne oraz wszystkie następujące po nich części drzewa. Decyzje nieodrzucone są decyzjami optymalnymi. Przykład 3 2 : Jak zwiększyć liczbę turystów odwiedzających miasto? Rozważane są dwa warianty decyzyjne. Pierwszy wariant jest tradycyjny tzn. reklama, ulotki itp. i kosztuje 100000 $. Wybór tego wariantu może spowodować wzrost liczby turystów o 5% (110000 $ dodatkowego dochodu) z prawdopodobieństwem 0,80 i o 25% (145000 $) z prawdopodobieństwem 0,20. Drugi wariant to ubieganie się miasta o tytuł Europejskiej Stolicy Kultury. Koszty inwestycji związane z tym przedsięwzięciem są szacowane na 250000 $. Szanse uzyskania tytułu są oceniane na 40%. Jeżeli tytuł nie zostanie przyznany liczba turystów wzrośnie jedynie o 2% (100000 $ dodatkowego dochodu). Jeżeli 2 Przykład opracowany na podstawie https://github.com/silverdecisions/silverdecisions/wiki/gallery

80 R. Dudzińska-Baryła tytuł zostanie przyznany to liczba turystów może wzrosnąć o 30% (300000 $ dodatkowego dochodu) z prawdopodobieństwem 0,25 lub o 60% (1000000 $) z prawdopodobieństwem 0,75. 0,80 10000 A1 0,20 45000 D 0,25 50000 A2 0,40 0,60 A3-150000 0,75 750000 Rys. 9. Drzewo decyzyjne w przykładzie 3 Źródło: Opracowanie własne na podstawie https://github.com/silverdecisions/silverdecisions/ wiki/gallery. Drzewo decyzyjne przedstawionego problemu decyzyjnego składa się z trzech etapów. 1. W ostatnim etapie dla wierzchołka losowego A3 obliczamy: CPT(A ) CPT 3 A v50000w1 w0,75 v750000w0,75 89956, 03 3 0, 88 V(A ) CE(CPT(A )) 89956,03 3 3 426167,10 $ 2. W tym problemie decyzyjnym w ostatnim etapie nie ma wierzchołków decyzyjnych. 3. Obliczenia w wierzchołku decyzyjnym w pierwszym etapie można wykonać dopiero, gdy znane będą wartości losowych wariantów decyzyjnych A1 i A2. 4. W drugim etapie występują dwa wierzchołki losowe A1 i A2, dla których obliczamy ocenę CPT i jej ekwiwalent pewności: CPT(A ) CPT 1 A v10000w1 w0,20 v45000w0,20 5691, 79 1 0, 88 V(A ) CE(CPT(A )) 5691,79 1 1 CPT(A 2 ) CPT 2 2 8549,98 18506,66 $ A CPT A v150000w0,60 v426167,10w0,40 0, 88 V(A2 ) CE(CPT(A2 )) ( 8549,98) / 2,25 11693,24 $ 5. W wierzchołku decyzyjnym pierwszego etapu D wybieramy decyzję przynoszącą największe korzyści (lub najmniejsze straty). Obliczamy: V(D) max{v(a ),V(A 2 )} 1 18506,66$

Analiza drzew decyzyjnych na gruncie teorii 81 6. Jedynym wierzchołkiem decyzyjnym jest korzeń. Decyzją, która przynosi największe korzyści jest wybór tradycyjnej akcji promocyjnej. Decyzja ta może przynieść wynik 10000 $ lub 45000 $. Decyzja obarczona ryzykiem została wyceniona na 18506,66 $. Jednocześnie alternatywna decyzja o ubieganiu się o tytuł Europejskiej Stolicy Kultury zostaje odrzucona, a przez to nie są rozpatrywane wartości uzyskane w tym fragmencie drzewa. 5. Podsumowanie Dokonywanie wyborów w warunkach ryzyka w oparciu o subiektywne oceny wyników i ich prawdopodobieństw jest obserwowane w praktyce decyzyjnej. Często wybory te nie są zgodne z powszechnie akceptowanymi zasadami normatywnymi takimi jak wartość oczekiwana czy dominacje stochastyczne. W eksperymentach badawczych często warianty decyzyjne są przedstawiane w postaci fragmentów drzew decyzyjnych obejmujących tylko jeden etap rozpoczynający się wierzchołkiem losowym, a kończący się dwoma wierzchołkami końcowymi (liśćmi). Według wiedzy autora w literaturze nie są analizowane wieloetapowe drzewa decyzyjne w kontekście zasad teorii perspektywy. W pracy zaproponowano procedury analizy dwu i więcej etapowych problemów decyzyjnych, uwzględniające czynniki subiektywne takie jak przewartościowywanie względnych wyników i ich prawdopodobieństw. Zastosowanie przedstawionych procedury pokazano na kilku przykładach problemów decyzyjnych. Bibliografia 1. Camerer C., Ho T.-H.: Violations of the betweenness axiom and nonlinearity in probability. Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 8, 1994, p. 167-196. 2. Dudzińska-Baryła R.: Wpływ zmiany wartości punktu referencyjnego na ocenę wariantu decyzyjnego na gruncie kumulacyjnej teorii perspektywy, [w:] Gajda J.B., Jadczak R. (red.): Badania operacyjne. Przykłady zastosowań. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2015, s. 43-56. 3. Fennema H., Wakker P.: Original and cumulative prospect theory: A discussion and empirical differences. Journal of Behavioral Decision Making, Vol. 10, 1997, p. 53-64. 4. Kahneman, D., Tversky, A.: Prospect theory: an analysis of decision under risk. Econometrica, Vol. 47, 1979, p. 263-291.

82 R. Dudzińska-Baryła 5. Karmarkar U.S.: Subjectively weighted utility: A descriptive extension of the expected utility model. Organizational Behavior and Human Performance, Vol. 21, 1978, p. 61-72. 6. Rieger M.O., Wang M.: Prospect theory for continuous distributions. Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 36, 2008, p. 83-102. 7. Tversky, A., Kahneman, D.: Advances in prospect theory: cumulative representation of uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty, Vol. 5, 1992, p. 297-323. 8. https://github.com/silverdecisions/silverdecisions/wiki/gallery