Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19

Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć funkcję u = u(x, y) spełniającą podane równanie różniczkowe cząstkowe i warunki dodatkowe: a) u xx = 6x; u(0, y) = y, u(1, y) = y 2 + 1 b) yu yy + u y = 0; u(x, 1) = x 2, u(x, e) = 1 Zad 3. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania 3u y + u xy = 0. Czy istnieje jedyne rozwiązanie przy warunkach dodatkowych: u(x, 0) = e 3x, u y (x, 0) = 0? Zad 4. Rozwiązać równanie = y stosując podstawienie ξ = x + y, η = x y. Zad 5. Rozwiązać równanie stosując podstawienie ξ = x, η = y x. Zad 6. Rozwiązać równanie stosując podstawienie ξ = x, η = x 2 + y 2. Zad 7. Rozwiązać równanie x + y y = u y x y = 0 2 u 2 t = a2 2 u 2 x stosując podstawienie ξ = x at, η = x + at. gdzie a > 0. Zad 8. Rozpatrzmy równanie z warunkiem początkowym 2 u t 2 = 2 u 2 + t, u(x, 0) = 1 1 + x 2, u t(x, 0) = 0. Proszę policzyć pochodne do rzędu 4 (względem czasu i zmiennej przestrzennej) rozwiązania w dowolnym punkcie (x, 0) R 2. Zad 9. Znaleźć rozwiązanie u tt + 2u xx = 5 u(0, x) = x 2 u t (0, x) = 4x Wskazówka: można rozwiązać przez rozwinięcie w szereg. 1

Zad 10. Rozwiązać problem gdzie u = u(x, y) u = 4, u(x, x) = 2x 2, u x (x, x) = 2x, przy pomocy wyliczenia pochodnych cząstkowych na prostej zawierającej warunek początkowy i przedstawienia rozwiązania w postaci szeregu Taylora. Wsk.: wygodnie jest dokonać najpierw zmiany zmiennych s = x, t = y x. Zad 11. Niech f = f(x, y, z) będzie klasy C 1 i spełnia równanie x f + y f y + z f z = nf. Pokazać, że wtedy f jest jednorodna stopnia n (tzn. f(tx, ty, tz) = t n f(x, y, z)) Zad 12. Niech f = f(x, y, z) będzie klasy C 1 i jednorodna stopnia n. Pokazać, że f, f y, f z są jednorodne stopnia n 1. Zad 13. Niech f = f(x, y, z) będzie klasy C 2 i jednorodna stopnia n. Pokazać, że f spełnia równania x f + y f y + z f z = nf i (x + y y + z z )2 f = n(n 1)f Zad 14. Niech b R N, c R. Rozwiązać zagadnienie t (t, x) + b xu(t, x) + cu(t, x) = 0 u(0, x) = g(x) dla t > 0, x R N dla x R N Wskazówka: Założyć, że rozwiązanie istnieje i nazywa się u. Dla ustalonego (t, x) określić funkcję κ(s) = u(t + s, x + sb) i znaleźć równanie różniczkowe zwyczajne jakie ta funkcja spełnia. Zad 15. Proszę pokazać, że laplasjan jest niezmienniczy na obroty, tzn dla v(x) = u(ox) v = u, dla macierzy O R n n - ortogonalnej (tzn O 1 = O T ) Zad 16. Udowodnić wzory Greena: Niech będzie ograniczonym i otwartym w R n obszarem z brzegiem klasy C 1. Niech n : R n będzie normalną zewnętrzną, a u, v C 2 (). Wtedy 2) 3) 1) u(x)dx = u(x) v(x)dx = u(x) v(x) v(x) u(x)dx = n (x)dσ(x) u(x) v(x)dx + u(x) v n (x)dσ(x) u(x) v (x) v(x) n n (x)dσ(x) Zad 17. Znaleźć rozwiązanie równania Laplace a u = 0, dla u(x) = h( x ), tzn u zależy tylko od odległości od zera( - norma euklidesowa). Zad 18. Rozwiązać równanie u tt = u xx. 2

Wsk.: Zapisać powyższe równanie jako ( t )( t + )u(t, x) = 0 a następnie powyższe równanie stopnia 2 zamienić na układ I stopnia ( t + )u = v, ( t )v = 0 i skorzystać z metody rozwiązywania równania transportu. Zad 19. Wyprowadź wzór d Alamberta, to znaczy znajdź rozwiązanie problemu początkowego: u tt = u xx u(0, x) = g(x) u t (0, x) = h(x) dla x R, przy odpowiednio regualrnych funkcjach g i h. Zad 20. Wykazać że jeżeli równanie jest quasiliniowe, to równania charakterystyczne na q nie są potrzebne. Uwaga - zadania 21-26 są na równania charaktyrystyk. Zad 21. Niech = (x 1, x 2 ) R 2 : x 2 > 0}, a Γ = (x 1, x 2 ) R 2 : x 2 = 0}. Rozwiązać zagadnienie początkowe 1 + 2 = u 2, w u(x 1, 0) = g(x 1 ) Zad 22. Rozwiązać zagadnienie początkowe x1 u x1 + x 2 u x2 = 0 u(1, x 2 ) = x 2 Zad 23. Rozwiązać zagadnienie początkowe uux1 + u x2 = 1 u(x 1, x 1 ) = 1 2 x 1 Zad 24. Rozwiązać zagadnienie początkowe x1 u x1 + 2x 2 u x2 + u x3 = 3u u(x 1, x 2, 0) = g(x 1, x 2 ) Zad 25. Rozwiązać zagadnienie początkowe x1 u x1 + x 2 u x2 = 2u u(x 1, 1) = g(x 1 ) Zad 26. Rozwiązać zagadnienie początkowe ux1 + u x2 2x 1 u = 0 u(x 1, x 1 ) = g(x 1 ), 3

Zad 27. Rozwiązać zagadnienie początkowe ( 1 ) 2 + 2 = x 2 u(x 1, 0) = 4x 1 Zad 28. Rozwiązać zagadnienie początkowe ( 1 ) 2 + 2 = 0 u(x 1, x 1 ) = 6x 1 Zad 29. Rozwiązać zagadnienie początkowe ux1 u x2 = u u(0, x 2 ) = x 2 2 Zad 30. Rozwiązać równania: a) 2y 4 z z xy y = x z 2 + 1; b) sin 2 (x) z Zad 31. Rozwiązać równanie stosując podane podstawienie + tg(z) z y = cos2 z. 2u xx + u xy u yy + u x + u y = 0 ξ = x + 2y + 2, η = x y 1 Zad 32. Rozpatrzmy rówananie u xx 4u xy + 2u yy = 0 Proszę wymyślić, a następnie sprawdzić, jaka powinna być liniowa zamiana zmiennych aby sprowadzić to równanie do postaci kanonicznej tzn. v ξξ = v ηη. Korzystając z tego proszę rozwiązać równanie. Zad 33. Niech zbiorem ograniczonym o brzegu klasy C 2, niech u, v : R będą funkcjami klasy C 2 znikającymi na brzegu i spełniającymi warunki: u = λu, v = βv, gdzie λ β. Czy uv = 0? Zad 34. Niech będzie otwartym ograniczonym podzbiorem R n o brzegu klasy C 1. Niech n oznacza normalną zewnętrzną do brzegu. Niech u = u(t, x) będzie klasycznym rozwiązaniem zagadnienia początkowo-brzegowego równania dyfuzji t (t, x) = xu(t, x) dla (t, x) (0, ) n (t, x) = 0 dla (t, x) (0, ) u(0, x) = g(x) dla x Pokazać, że wtedy dla dowolnego t > 0 u(t, x)dx = g(x)dx. Zad 35. Sprawdzić jakiego typu jest dane równanie, a następnie sprowadzić do postaci kanonicznej: a) u xx + 2u xy + 5u yy 32u = 0, b) 2u xx + 3u xy + u yy + 7u x + 4u y 2u = 0. Zad 36. Zrobić klasyfikację równania mieszanego u xx + yu yy = 0 4

Zad 37. Rozpatrzmy równanie u xx 4u xy + 2u yy = 0. Znaleźć zamianę zmiennych, która doprowadzi do równania v ξξ = v ηη. Korzystając z tego rozwiązać równanie. Zad 38. Niech R d ograniczony, w sensie m() < oraz 1 p q. Pokazać, że L q () L p (). Zad 39.[Nierówność Younga] Jeżeli a f, g : R n [0, ] są borelowskie, to p, q, r [1, ], 1 p + 1 q = 1 + 1 r, f g L r f L p g L q. Przeprowadzić dowód nierówności Younga dla przypadków: a) p = q = 1, (r = 1) (najważniejsze), b) p = 1, q =, (r = ), c) p = 1, q = 2, (r = 2). d) preferowalnie dla dowolnych Zad najważniejsze Ćwiczenia do wykładu! Zad 40. Wykazać metodami energetycznymi, że (zakładmy istnienie) jedynym rowiązaniem równania ciepła z zerowymi warunkami początkowymi i brzegowymi, jest rozwiązanie zerowe. Zad 41.Pokazać, że L p () L 1 loc (). Zad 42.Przeliczyć, że wzór d Alemberta, rzeczywiście daje rozwiązanie (zakładamy dowolnie dobrą regularność g i h) Zad 43. Pokazać, że jeżeli dla f C(R) zachodzi R fϕ dx = 0, ϕ C 0 (R) to f jest stale równa zeru, gdzie C0 (X) = f : X R f C, oraz suppf = cl(x f(x) 0)} jest zwarty } Zad 43** Treść jak wyżej ale f L 1 loc i wtedy f 0 prawie wszędzie. Polecam poszukać w literaturze, dowody są albo długie, albo trudne. Zad 44. Znaleść wzór na laplasjan we współrzędnych biegunowych. Zad 45. Pokazać, że L 1 (R n ) L 2 (R n ) jest gęsta w L 2 (R n ). Wskazówka - zdefiniować dla R > 0 g R (x) = χ B(0,R) g(x) i pokazać, ze dla g L 2, mamy g R g w normie L 2 i g R L 1 L 2. Zad 46. Udowodnić: niech H bedzie przestrzenia Hilberta (lub ogólniej Banacha), niech D H bedzie gesta podprzestrzenia H i niech A: D H bedzie operatorem liniowym i ciagłym. Wtedy istnieje dokładnie jeden operator liniowy i ciagły Ā: H H taki, że Āu = Au dla wszystkich u D oraz Ā = A. Zad 47. Cwiczenia 12-15 z wykładu na rozdzielanie zmiennych. Zad 48. Obliczyć transformatę Fouriera funkcji h(x) = e ax2, x R, Wskazówka: mpżna obliczyć co najmniej dwoma sposobami: (1) wprost z definicji, przy u»yciu funkcji analitycznych;sprawdzaj c jakie zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego spełnia transformata Fouriera h. Zad 49. Niech a, b R. Niech F będzie transformatą Fouriera funkcji f. Wyrazić transformatę Fouriera funkcji x f(ax + b) za pomocą F. 5

Zad 50. Posługując się transformatą Fouriera rozwiązać: ut (t, x) = a 2 u xx (t, x), dla t > 0, x R u(0, x) = ϕ(x), dla x R Zad 51. Udowodnić lemat Riemanna-Lebesgue a: Jeżeli f L 1 (R n ), to lim ˆf(ξ) = 0. ξ Zad 52. Rozwiązać problem u t = u xx, dla t 0, x (0, π) u(0, x) = sin 3x, dla x [0, π], u(t, 0) = u(t, π) = 0 dla t 0. Zad 53. Rozwiązać problemy u tt = u xx u(0, x) = 0 u t (0, x) = sin 2x u(t, 0) = u(t, π) = 0 u tt = u xx u(0, x) = sin 5 2 x u t (0, x) = cos 1 2 x u(t, 0) = u(t, π) = 0 Zad 54. Rozwiązać równanie u xx + u yy = 0 w kwadracie x [0, π], y [0, π] przy warunkach brzegowych u(x, 0) = u(0, y) = u(π, y) = 0 i u(x, π) = sin(mx). Zad 55. Uzasadnić, że pochodna dystrybucji jest dystrybucj. Zad 56. Pokazać, że jeżeli ϕ C k (R n, R), supp ϕ R n jest zwarty, a u L 1 loc (Rn, R), to ϕ u C k (R n ). Zad 57. Określamy odwzorowanie liniowe [P.V. 1 x ] na D(R) wzorem [P.V. 1 x ](ϕ) := P.V. R ϕ(x) x Wykazać, że [P.V. 1 x ] jest dystrybucją na R. Zad 58. Określmy funkcję Heaviside a wzorem dx := lim ( ε ε 0 + + + ε ) ϕ(x) x dx H(x) := 1, x > 0 0, x 0 Obliczyć Λ H. Zad 59. Niech Λ f, Λ g dystrybucje regularne, takie, że Λ f = Λ g. Udowodnij, że wtedy f(x) = g(x) dla prawie wszystkich x. Zad 60. Niech a k R dowolne. Udowodnij, że szereg k=0 a k δ k jest zbieżny w przestrzeni D. Zad 61. Dla jakich funkcji f C () jest prawdą, że f δ 0 = 0? Zad 62. Obliczyć d [ln ] dx Zad 63. Niech n N. Wykazać, że dla dowolnej funkcji f C (R) oraz dowolnej dystrybucji T D (R) prawdziwy jest wzór Leibniza ( ) n n (f T ) (n) = f (k) T (n k). k k=0 6

Zad 64. Udowodnij, że delta Diraca δ a w punkcie a nie jest dystrybucją regularną. Zad 65. Czy jeśli T D () i Φ D(), to czy którakolwiek z równości pociaga za sobą drugą z nich? Zad 66. Udowodnić, że Φ T = 0, T Φ = 0 (H ϕ)(x) = x dla dowolnej ϕ D(R), gdzie H jest funkcją Heaviside a: H(x) := Zad 67. Policz splot L φ, gdzie L = n=0 (δ n ) (n). Zad 68. Niech Φ D(R N ). Niech ϕ(s)ds 1, x > 0 0, x 0 ϕ n (x) := Φ(x) n, ψ n(x) := Φ(nx) n, ξ n(x) := Φ( x n ) n. Sprawdzić, czy ciągi te są zbieżne w D(R N ). Zad 69. Znaleźć rozwiązania ogólne w D (R) następujących równań: id T = 0, α T = 0, gdzie α(x) = x(x 1) id T = 1. Zad 70. Obliczyć granice w D (R N ) : f n (x) = n 2, x 1 n 0, x > 1 n (N = 1), g n (x) = sin nx πx (N = 1), Zad 71. Określić czy równania są liniowe, semiliniowe, quasiliniowe czy całkowicie nieliniowe: u = 1, div( u p 2 u) = 0, u tt u = f(u), u t + uu x + u xxx = 0, u tt + du t u xx = 0. 2 (u(x, y) (x, y)) = (u(x, y))2 2 y u u t = u x u(t, x) x u(t, x) + f(t, x) = 0 u(t, x)u tt (t, x) = u xx (t, x) 2 2 u (x, y) + u(x, y)(x, y) = 0 2 y Zad 72. Niech a, b > 0, c, d R, α, β > 0. Obliczyć splot f g jeżeli (i) f(x) = χ [ a,a], g(x) = χ [ b,b] ; (ii) f(x) = e (x c)2 2α. g(x) = e (x d)2 2β. 7