Algorytmy graficne Metody detekci krawędi w oraach
Zagadnienie detekci krawędi w oraie Detekca krawędi w oraie nacęście sprowada się do posukiwania w oraie lokalnych nieciągłości funkci asności lu koloru. Wystąpienie takich nieciągłości stanowi kryterium występowania krawędi ako granicy oraowanych oiektów. a c Rys. 1. Prycyny nieciągłości funkci asności orau. Krawędie w oraie repreentuą granice i kontury oiektów. Inne niepożądane awiska prowadące do nieciągłości funkci orau to: cień, refleksy świetlne, miany koloru (asności) w ramach ednego oiektu, tekstura Rys. 1. Niscący wpływ kwantyaci na proces detekci krawędi. Prykład pokaue, że skutkiem kwantyaci est wprowadenie dodatkowych nieciągłości funkci orau prowadących do powstania fałsywych krawędi. Wniosek: oray poddane kompresi (kwantyaci) prowadą do poważnych prekłamań krawędi. (a) ora oryginalny; () ora po kwantyaci do 4 poiomów; (c) mapa krawędi.
Dlacego detekca krawędi? Dla kogo/cego? Metody detekci krawędi do pewnego stopnia korystaą narędi nanych wyostrania orau. Cele tych dwóch procesów są ednak inne. Celem wyostrenia orau est poprawa akości wiualne: więksenie ostrości, wyraistości, kontrastu, a teoretycnego punktu widenia również więksenie entropii cyli ilości informaci prenosone pre ora. Odiorcą orau wyostronego est nacęście cłowiek. Celem detekci krawędi est natomiast ekstrakca krawędi ora usunięcie poostałych fragmentów orau. Ora po detekci est cęsto etapem procesu automatycne analiy orau.
Metody gradientowe Metody gradientowe stanowią grupę naprostsych metod wykrywania krawędi w oraie. Podstawą metod gradientowych est wynacanie pierwse pochodne w dwóch ortogonalnych kierunkach (niekoniecnie w pionie i poiomie). Gradient est wektorem, którego kierunek wskaue na kierunek nawięksego wrostu wartości funkci (orau) w punkcie (x,y). W prypadku orau kierunek gradientu est prostopadły do krawędi. Gradient ora ego kierunek α(x,y) w punkcie (x,y) dane są pre równania: 10 8 6 4 Wartość (moduł) gradientu est proporconalna do sykości wrostu funkci orau w danym punkcie i est równoważna wyraistości, mocy krawędi. Mała wartość gradientu odpowiada krawędiom słaym i mało wyraistym (powolna miana wartości asności). Duża wartość gradientu repreentue krawędie silne i wyraiste. Piksele dla których wartość modułu prekraca określoną wartość progową są interpretowane ako piksele krawędi. Moduł gradientu wynacany est nacęście na podstawie równania 2 0 0 2 4 6 8 10 Rys. 1. Prykładowy fragment orau awieraący krawędź. Krawędź tworą piksele leżące na odcinku anaconym kolorem cerwonym. Kierunek gradientu, równoważny kierunkowy nawiękse miany est do krawędi prostopadły. Moduł M ora kierunek gradientu α dla określonego orau są oraami o romiare odpowiadaącym romiarowi orau dla którego ostały wynacone. Pochodne orau realiowane są popre filtracę orau maskami określonego romiaru. Wynacenie gradientu wymaga nieależne filtraci w dwóch różnych kierunkach ( dwoma różnymi maskami). Rowiąanie takie est mnie efektywne od metod wykorystuących ekierunkowy laplasan (edna maska). ora operator gradientu moduł gradientu progowanie mapa krawędi Rys. 2. Schemat metod gradientowych detekci krawędi. W prostych metodach detekci krawędi informace o kierunku krawędi są pomiane, a uwględniana est edynie wartość gradientu. Na pierwsym anaconych etapów każdemu pikselowi orau pryporądkowany ostae wektor!
Operatory Roertsa Zaproponowana wiele pryliżonych metod wynacania gradientu dyskretne funkci dwuwymiarowe (orau). Więksość nich wykorystue uogólnienia pochodne ednowymiarowe: Naprostse ądra (maski) prekstałcenia odpowiadaącego wynaceniu gradientu w kierunkach poiomym i pionowym maą postać uogólnienia dwóch powyżsych równań i są postaci, odpowiednio: gdie elementy pogruione odpowiadaą centrum okna (maski. Prolem: preście pre ero pomiędy elementami -1 ora 1 masek x ora y wypada w innym punkcie. Może to powodować niedosacowanie pikseli w których nadue się krawędź poioma i pionowa. Powyżse wady poawione są operatory Roertsa (1965) postaci: Podstawową wadą gradientu wynacanego na podstawie powyżsych masek est ardo duża wrażliwość na akłócenia, co est spowodowane małą licą pikseli na podstawie których ustalana est wartość pochodnych. Do alet należy mała łożoność oliceniowa.
Operatory Roertsa - ilustraca ora weściowy pochodna w kierunku 1 i10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5y 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 5 10 10 7 10 10 10 10 2 5 5 5 10 10 8 10 10 10 10 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 7 5 5 5 5 5 5 10 10 10 5 5 5 8 5 5 5 5 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 2 2 5 5 k 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5{ pochodna w kierunku 2 i0 0 0 0 0 0 0 0 0 0y 0 0 3 0 0 0 0 8 0 0 0 3 2 0 0 0 8 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 k0 0 0 0 0 0 3 3 0 0{ i0 0 0 0 0 0 0 0 5 5y 0 3 0 0 0 0 8 5 5 0 0 2 3 0 0 0 5 3 0 0 0 0 2 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 2 3 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 0 3 3 0 0 k5 0 0 0 0 0 0 3 3 0{ wartość gradientu i 0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 y 0 3.0 3.0 0 0 0 8.0 9.4 5.0 0 0 3.6 3.6 0 0 0 9.4 3.0 0 0 0 2.0 2.0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 3.0 5.4 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.4 2.0 3.0 3.0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 3.0 3.0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 3.0 4.24 3.0 0 k5.0 0 0 0 0 0 3.0 4.2 3.0 0 { progowanie progiem T>=5 progowanie progiem T>=3 Rys. 1. Ilustraca filtraci orau a pomocą diagonalnych operatorów Roertsa. Wadą operatorów Roertsa est generowanie stosunkowo podonych odpowiedi dla krawędi ak i dla akłóceń. i0 0 0 0 0 0 0 0 1 1y 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 k1 0 0 0 0 0 0 0 0 0{ i0 0 0 0 0 0 0 0 1 1y 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 k1 0 0 0 0 0 1 1 1 0{
Operatory Roertsa - ilustraca a c d Rys. 1. Mapa krawędi orau oryginalnego (a) uyskana pry astosowaniu prekstałcenia maskami Roertsa. (), (c) i (d) ostały uyskane pry astosowaniu progów równych odpowiednio: T=10, T=20 ora T=30. Maksymalna wartość w oraie po filtraci (pred progowaniem) est równa 325. Widocnym efektem est mniesanie licy fałsywych krawędi wynikaących oecności sumu wra e więksaniem wartości progu. Niestety ednoceśnie usuwane są słase piksele prawdiwych krawędi (efekt niepożądany).
Operatory Prewitta (1) Prolemu operatorów 2x2 poawione są operatory realiuące operacę wynacania pochodnych wględem punktu centralnego. Namniese operatory tego typu maą są repreentowane maskami 3x3. Zmniesenie wrażliwości na sum można uyskać w drode uśredniania (wygładania) orau w kierunku ortogonalnym do kierunku w którym wynacana est pochodna. a i4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 y 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 2 4 4 9 9 2 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 k4 4 4 4 4 9 9 9 9 9 9 { i 0 0 0 5 5 0 0 0 0y 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 2 0 2 5 5 7 0 7 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 k 0 0 0 5 5 0 0 0 0{ c i12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 y 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 10 12 12 27 27 20 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 k12 12 12 12 12 27 27 27 27 27 27 { d i 0 0 0 15 15 0 0 0 0y 2 0 2 15 15 7 0 7 0 2 0 2 15 15 7 0 7 0 2 0 2 15 15 7 0 7 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 0 0 0 15 15 0 0 0 0 k 0 0 0 15 15 0 0 0 0{ Rys. 1. (a) ora oryginalny 11x11 pikseli. Zanacone są dwa piksele o akłóconych wartościach, Ora awiera pionową krawędź repreentowaną pre preście 4->9; () ora 11x9 po filtraci ądrem ednowymiarowym postaci [-1 0 1], co odpowiada wynaceniu pochodne wględem punktu centralnego w kierunku osi x. W tym prypadku wkład od akłócenia wynosi 2/5 ora 7/5 w stosunku do wyścia osaru krawędi. Na rysunku () wyście filtru w osare akłócenia (7) prekraca wartość odpowiedi w osare recywiste krawędi (5)!. Filtraca Roertsa dae wyniki ardo podone. (c) ora (a) po filtraci wygładaące w kierunku pionowym ądrem prekstałcenia [1 1 1] T. Efektem est ora 9x11 pikseli; (d) wynik filtraci orau (c) maską [-1 0 1] (identycną ak w prypadku ()). Odpowiedź filtru na akłócenia est wyraźnie mniesa niż w prypadku ().
Operatory Prewitta (2) Dwuetapowy proces filtraci predstawiony na poprednie stronie można realiować ako prekstałcenie poedyncym ądrem w postaci ilocynu tensorowego ąder dwóch astosowanych prekstałceń. W tym prypadku otrymuemy: Powyżse równanie stanowi postać operatora gradientu w kierunku osi x. Operator gradientu w kierunku osi y uyskue się pre orót o π/2: Powyżse operatory stanowią parę tw. operatorów Prewitta. Operatory te ednoceśnie realiuą proces różnickowania w określonym kierunku ora odsumiania w kierunku ortogonalnym popre lokalne uśrednianie. Suma wag operatora est równa 0 dięki cemu filtr w osarach o stałe wartości funkci orau generue wyście równe 0. Operatory Prewitta są prykładem operatorów separowalnych: można e predstawić ako ilocyn tensorowy dwóch wektorów. W ogólności, separowalne są filtry dla których rąd macier est równy 1 (rąd maciery est równy licie liniowo nieależnych wiersy lu kolumn). Ocywiście operatory Prewitta maą rąd równy 1. Cecha separowalności est istotna punktu widenia łożoności oliceniowe (i casowe). Dla prekstałcenia ądrem 2n+1 wymiarowym koniecnych est (2n+1) 2 mnożeń ora (2n+1) 2-1 dodawań dla każdego piksela orau. W prypadku, gdy filtr est separowalny łożoność można oniżyć do: 2(2n+1) mnożeń ora 2(2n+1)-2 dodawań prypadaących na eden piksel orau. Operatory Prewitta 3x3 są mnie wrażliwe na akłócenia niż operatory Roertsa 2x2. Operatory Prewitta wykorystuą ednowymiarowy prosty filtr uśredniaący o identycnych wagach równych 1. W ogólności wykorystać można filtr uśredniaący inne postaci. Wykorystanie filtru postaci [1 2 1] generue tw. operatory Soela.
Operatory Soela i Frei a-chen a Filtry Soela realiowane są ako prekstałcenia ądrem postaci: odpowiednio dla gradientu w kierunku osi x ora y. Współcynniki +-2 wmacniaą naliżse otocenie piksela centralnego. W ogólności filtry Soela posiadaą lepse własności odsumiania w stosunku do filtrów Prewitta (wygładanie więksą wagą dla elementu centralnego) ora operatorów Roertsa. Ze wględu na współcynniki +-2 operator Soela generue wykle więkse wartości na wyściu niż operatory Roertsa ora Prewitta. Operatory Roertsa, Prewitta ora Soela są operatorami kierunkowymi: sygnał generowany w odpowiedi na krawędie poiomie i pionowe est różny od sygnału generowanego dla krawędi diagonalnych. W prypadku filtrów Prewitta sygnał dla krawędi diagonalnych est mniesy od sygnału dla krawędi pionowych i poiomych. W prypadku filtrów Soela sytuaca est odwrotna. Sytuaca taka est niepożądana, ponieważ wkład sygnału od krawędi powinien yć nieależny od ich kierunku (prykładem est laplasan). Prolem kierunkowości operatorów gradientu próue niwelować podeście Freia ora Chena, który aproponowali maski 3x3 postaci:
Operatory Soela i Frei a-chen a a i 10 10 10 0 0 0 0y 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 k 10 10 10 0 0 0 0{ i 10 0 0 0 0 0 0 y 10 10 0 0 0 0 0 10 10 10 0 0 0 0 10 10 10 10 0 0 0 10 10 10 10 10 0 0 10 10 10 10 10 10 0 k 10 10 10 10 10 10 10 { i 0 40. 40. 0 0 y 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 0 40. 40. 0 0 k 0 40. 40. 0 0{ i 42.4 42. 14. 0 0 y 14. 42. 42. 14. 0 0 14. 42. 42. 14. 0 0 14. 42. 42. k 0 0 0 14. 42. { c i 0 34. 34. 0 0 y 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 0 34. 34. 0 0 k 0 34. 34. 0 0{ i 34.1 34. 14. 0 0 y 14. 34. 34. 14. 0 0 14. 34. 34. 14. 0 0 14. 34. 34. k 0 0 0 14. 34. { Rys. 1. (a) prykład krawędi pionowe ora diagonalne w oraie. Rysunki () i (c) predstawiaą wyniki filtraci pry użyciu masek odpowiednio Soela i Frei a-chen a dla odpowiednich oraów.
Operatory Soela - ilustraca a c d Rys. 1. Mapa krawędi orau oryginalnego (a) uyskana pry astosowaniu prekstałcenia maskami Soela. (), (c) i (d) ostały uyskane pry astosowaniu progów równych odpowiednio: T=60, T=100 ora T=140. Maksymalna wartość w oraie po filtraci (pred progowaniem) est równa 748. Prykład pokaue, że wyście filtru Soela est więkse niż filtru Roertsa lu Prewitta.
Operatory Soela - kierunkowość a c Rys. 1. Filtraca orau oryginalnego (a) a pomocą poiomego filtru Soela x () ora filtru pionowego y (). Filtr poiomy generue sygnał erowy dla krawędi poiome ora sygnał nieerowy w poostałych prypadkach (maksymalny dla krawędi pionowe). Filtr pionowy achowue się w sposó odwrotny.
Operatory gradientowe - porównanie a i10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5y 10 10 10 10 10 10 10 10 10 5 5 10 10 7 10 10 10 10 10 5 5 5 10 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 10 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 10 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 10 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 10 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 5 5 5 2 5 5 5 k 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5{ Rys. 1. Porównanie metod gradientowych detekci krawędi. (a) ora oryginalny poddawany detekci; (), (c) i (d) odpowiednio wyniki filtraci maskami Roertsa, Prewitta ora Soela. Widać, że stosunek sygnału do sumu poostae namniesy dla wyniku filtraci Roertsa, a nawięksy dla filtraci Soela. Ostatnim etapem detekci krawędi pry wykorystaniu metod gradientowych est progowanie tu ostało pominięte. c d i 0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 y 3.0 3.0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 3.0 3.0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 5.0 5.0 0 0 0 0 0 0 0 k5.0 0 0 0 0 3.0 3.0 0 0 { i4.2 3.0 4.2 0 0 0 7.1 14. 14. y 3.0 0 3.0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 4.2 3.0 4.2 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 7.1 14. 14. 7.1 0 0 0 0 0 14. 14. 7.1 0 0 4.2 3.0 4.2 0 k14. 7.1 0 0 0 3.0 0 3.0 0 { i4.2 6.0 4.2 0 0 0 7.1 21. 21. y 6.0 0 6.0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 4.2 6.0 4.2 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 7.1 21. 21. 7.1 0 0 0 0 0 21. 21. 7.1 0 0 4.2 6.0 4.2 0 k21. 7.1 0 0 0 6.0 0 6.0 0 {
Metody gradientowe - podsumowanie Metody gradientowe - wady Koniecność filtraci w dwóch ortogonalnych kierunkach Duża wrażliwość na akłócenia i sumy w oraie Generowanie gruych krawędi (w prypadku idealnym pierwsa pochodna prymue wartość nieerową w prawie całym osare krawędi) Rowiąania dotychcas predstawione nie wykorystuą informaci na temat kierunku krawędi Metody gradientowe - alety Koncepcyna prostota Łatwo aimplementować maski wykrywaące narożniki (lu inne struktury geometrycne) Małe maski prekstałcenia; w więksości filtry separowalne - ardo mała łożoność oliceniowa i casowa
Metody detekci wykorystuące laplasan Detektory krawędi wykorystuące drugą pochodną korystaą własności polegaące na mianie naku drugie pochodne dla punktu środkowego krawędi. Wystąpienie preścia pre ero (preścia pre ero, a nie pryęcia pre funkcę wartości erowe!) dae kryterium wystąpienia krawędi w oraie. ora laplasan preście pre ero progowanie (opconalnie) mapa krawędi Rys. 1. Schemat detektora krawędi wykorystuącego operator drugie pochodne orau (laplasan) Prolemem detekci krawędi w takim prypadku est ardo silna wrażliwość drugie pochodne na sum oecny w oraie: recywiste akłócenie lu fluktuace wartości funkci orau. W praktyce okaało się, że ardo efektywnym sposoem radenia soie tym prolemem est wceśniese wygładenie orau (filtraca dolnoprepustowa). David Marr ora Eleen Hildreth wykaali, że ardo dore reultaty osiąga się dla filtraci pry pomocy operatora Gaussa. W ogólności propoycę Marr a i Hildreth detekci krawędi można sformułować w następuący sposó: 1. wygładenie orau oryginalnego pry pomocy operatora Gaussa odpowiedniego romiaru (odchylenie standardowe) 2. wynacenie drugie pochodne dla orau wygładonego, np. pry użyciu laplasanu elementem centralnym -8 (korystna własność: ekierunkowość), 3. identyfikaca preść pre ero w oraie uyskanym w punkcie (2) Powyżse try etapy można redukować do dwóch korystaąc pewnych własności gaussianu ora laplasanu (patr następna strona).
Operator LoG a Procedurę wygładania orau filtrem gaussowskim ora następnie wynacania drugie pochodne można formalnie apisać w postaci równania: 0.05 0-0.05-0.1-10 -5 0 5 10-10 0.1 0.05 10 0 5-0.05-10 0-5 0-5 5 c 10-10 i 0 1 2 4 4 4 2 1 0 y 1 4 1 8 2 8 1 4 1 2 1 9 2 2 2 9 1 2 4 8 2 18 28 18 2 8 4 4 2 2 28 44 28 2 2 4 4 8 2 18 28 18 2 8 4 2 1 9 2 2 2 9 1 2 1 4 1 8 2 8 1 4 1 k 0 1 2 4 4 4 2 1 0{ -5 Rys. 1. (a) wykres funkci LoG; () wykres funkci LoG; (c) maska 2D stanowiąca dyskretną aproksymacę funkci +LoG (minimum w elemencie centralnym). 0 5 10 gdie symol onaca dyskretny splot orau ora funkci Gaussa. Korystaąc własności liniowości splotu ora laplasanu równanie to można prepisać w nowe postaci: Powyżsa równość wskaue, że wstępne wygładenie gaussowskie orau weściowego, a następnie wynacenie dla tak powstałego orau drugie pochodne (są to etapy 1 ora 2 wymienione na poprednie stronie) można astąpić poedyncym etapem filtraci orau weściowego a pomocą operatora 2 G(x,y,σ) naywanego operatorem LoG laplasanem funkci gaussowskie (laplacian of gaussian). Jest to ardo istotna cecha redukuącą łożoność oliceniową algorytmu: pochodna funkci Gaussa G(x,y,σ) est nieależna od orau, a atem może yć wynacona nieależnie w faie pretwarania wstępnego (stalicowana). Dla celów pretwarania oraów koniecne est dysponowanie dyskretną wersą funkci LoG (równanie powyże). Maski aproksymuące tę funkcę można otrymać pre epośrednie prókowanie lu popre prókowanie funkci Gaussa G(x,y), a następnie filtracę laplasanem. Drugie rowiąanie est korystniese e wględu na to, że gwarantue sumowanie współcynników tak uyskanego filtru do era (dlacego est to istotne?). Filtraca operatorem LoG realiue ednoceśnie dwa adania: 1. lokalne wygładanie w dużym otoceniu piksela centralnego (prewaga na metodami gradientowymi) ora 2. wynacanie drugie pochodne.
Algorytm Marr a-hildreth Wykorystuąc własności wygładania gaussowskiego ora filtraci laplasanem algorytm Marr a i Hildreth można realiować w dwóch etapach: 1. Filtraca orau a pomocą operatora LoG, 2. Identyfikaca preść pre ero w oraie uyskanym w punkcie (1) (oraie LoG) Istniee wiele podeść realiaci drugiego etapy powyżsego algorytmu. Dla prykładu: 1. Preglądanie orau LoG oknem 2x2. W takim prypadku wyrany punkt centralny oęty oknem (w tym prypadku nie est to ednonacne może to yć dowolny 4 punktów) est klasyfikowany ako punkt krawędi eśli w otoceniu wynaconym pre okno wykryte ostaną wartości arówno dodatnie ak i uemne. 2. Inne podeść rosera proces identyfikaci preścia pre ero o analię wartości pierwse pochodne w analiowanym punkcie. Piksel est klasyfikowany ako repreentuący krawędź, gdy odpowiada preściu pre ero drugie pochodne ora ednoceśnie pierwsa pochodna wynacona w tym punkcie prymue wartość prekracaącą ustalony próg. Zadaniem progowania est mniesenie licy fałsywych krawędi identyfikowanych w oraie. 3. Identyfikaca preść pre ero est łatwe do realiaci w prypadku preglądania orau LoG oknem 3x3. Analiowany piksel pokrywaący się centrum okna klasyfikue się ako piksel krawędi eśli w dowolnym ośmiu kierunków prechodących pre ten piksel wykryta ostanie miana naku funkci orau LoG. Proces ten można dodatkowo roseryć o etap progowania.
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 17x17 a Rys. 1. Ilustraca algorytmu Marr a-hildreth. (a) ora oryginalny; () ora uyskany po filtraci pry użyciu operatora LoG romiaru 17x17 ora po preskalowaniu do akresu [0,255]. Osary ciemne odpowiadaą wartościom uemnym w oraie LoG, osary asne wartościom dodatnim. Widocny est efekt halo łożony osarów asny/ciemny wdłuż recywistych krawędi orau. Ciąg dalsy na następne stronie
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 17x17 c e d f c.d. Rys.1. Wynik identyfikaci preść pre ero orau LoG ora progowania. Próg astosowany do uyskania oraów (c), (d), (e) i (f) wyniósł odpowiednio: T=0 (e progowania), T=5% wartości maksymalne, T=10% wartości maksymalne ora T=20% wartości maksymalne w oraie LoG. Na rysunku (c) wyraźnie widocny est charakterystycny efekt tw. talera spaghetti: punkty preścia pre ero tworą amknięte pętle. Jakie est źródło tego efektu?
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 29x29 a Rys. 2. (a) ora oryginalny; () preskalowany ora LoG uyskany po filtraci orau (a) pry użyciu operatora LoG o romiare 29x29. Ciąg dalsy na następne stronie
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 29x29 c d c.d. Rys.2. Wynik identyfikaci preść pre ero orau LoG ora progowania. Próg astosowany do uyskania oraów (c), (d), (e) i (f) wyniósł odpowiednio: T=0 (e progowania), T=5% wartości maksymalne, T=10% wartości maksymalne ora T=20% wartości maksymalne w oraie LoG. e f
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 35x35 a Rys. 3. (a) ora oryginalny; () preskalowany ora LoG uyskany po filtraci orau (a) pry użyciu operatora LoG o romiare 35x35. Ciąg dalsy na następne stronie
Algorytm Marr a-hildreth filtraca LoG maską 35x35 c d c.d. Rys.3. Wynik identyfikaci preść pre ero orau LoG ora progowania. Próg astosowany do uyskania oraów (c), (d) wyniósł odpowiednio: T=0 (e progowania), T=5% wartości maksymalne. Zastosowanie więkse wartości progi prowadi w tym prypadku do nadmiernego usunięcia istotnych krawędi w oraie.
Algorytm Marr a-hildreth - podsumowanie Zalety: Algorytm dae dore reultaty w postaci ciągłych, amkniętych i cienkich krawędi (do pewnego stopnia) Możliwość analiy orau dla na różnych skalach parametryowanych pre wartość odchylenia standardowego σ. Wartość σ dla prykładów predstawionych na poprednich rysunkach wynosi odpowiednio: 2.2, 4.3 ora 5.2. Zwięksenie wartości odchylenia standardowego prowadi do silniesego wygładenia orau, a tym samym eliminowania cora to silniesych krawędi w oraie. Algorytm może yć roserony do postaci w które detekca prowadona est dla różnych wartości parametru σ, a akceptowane są edynie te krawędie występuące w oraach dla każde wartości parametru. Proces filtraci LoG est do pewnego stopnia podony do awisk neurofiologicnych achodących w ludkim oku (aleta?) Wady Zmiękcenie (aokrąglenie) krawędi. Efekt ten est scególnie widocny na krawędi narożnych. a c Rys. 1. (a), (), (c) mapy krawędi dla filtraci odpowiednio: Roertsa, Soela, Marr a-hildreth.
Algorytm Canny ego (1986) Metoda detekci krawędi aproponowana pre Johna Canny ego w 1986 powstała ako metoda maąca spełniać try podstawowe cele: 1. minimaliować licę łędnych detekci, pry cym łędem detekci est arówno detekca krawędi fałsywych (łędna odpowiedź poytywna, false-positive detection), ak i pomianie recywistych krawędi w oraie (łędna odpowiedź negatywna, false-negative detection), 2. apewniać dokładną lokaliacę krawędi punkt sklasyfikowany ako punkt krawędi powinien yć ak naliżsy środkowemu punktowi recywiste krawędi, 3. generować poedyncą odpowiedź dla każde recywiste krawędi w oraie est to równoważne generowaniu krawędi o gruości ednego piksela. Algorytm realiuący powyżse cele (nie est to algorytm optymalny) składa się kilku etapów: 1. Filtraca orau oryginalnego a pomocą separowalnego filtru Gaussa G(x,y,σ) parametryowanego pre odchylenie standardowe σ. Odchylenie standardowe odpowiada a romiar maski użyte do filtraci i sterue stopniem eliminaci sumów (ale i krawędi) w oraie. Istotne est doranie odpowiedniego romiaru filtru. 2. Wynacenie gradientu dla każdego piksela orau wygładonego w poprednim etapie. Olicenie gradientu można realiować popre filtracę dowolnym filtrów gradientowych: Soela, Roertsa, Prewitta, etc. Na tym etapie każdemu pikselowi orau pryporądkowany ostae wektor: 3. Wynacenie w każdym punkcie orau wartości ora kierunku gradientu (kąta nachylenia) 4. Tłumienie niemaksymalne (non-maximal suppression) proces wyaśniony na następne stronie 5. Progowanie orau histereą. Zadaniem tego etapu est usunięcie orau słaych krawędi (o wartościach pikseli poniże dolnego progu), ale ednoceśnie generowanie krawędi poawionych luk i prerw.
Tłumienie niemaksymalne a c Rys. 1. Ilustraca procesu tłumienia niemaksymalnego. (a) ora oryginalny awieraący poiomą krawędź serokości kilku pikseli; () gradient orau (a), osary asne repreentuą osary o nieerowe wartości gradientu; (c) wynik progowania gloalnego orau (); (d) ora () po wykonaniu procesu tłumienia niemaksymalnego. Cechą krawędi wykryte pre progowanie gloalne est e duża gruość. Krawędź wykryta po wykonaniu tłumienia ma gruość ednego piksela. d Zadaniem etapu tłumienia niemaksymalnego est realiaca treciego celów stawianych pred algorytmem detekci generowaniu pre detektor poedynce odpowiedi dla każde recywiste krawędi w oraie. Tłumienie niemaksymalne apewnia, że pikselem krawędi est piksel którego wartość (gradientu) est maksymalna w danym kierunku gradientu. Zachowanie pikseli o niemaksymalne wartości gradientu powodue pogruianie krawędi. Piksele takie mogą yć stopniowo eliminowane pre progowanie więksaącą się wartością progu. Algorytm tłumienia niemaksymalnego est następuący: 1. Pregląda ora gradientu M(x,y) piksel po pikselu. Dla każdego piksela o nieerowe wartości wynac kierunek gradientu, 2. Dla piksela aktualnie preglądanego sprawdź dwóch naliżsych sąsiadów leżących w kierunku godnym kierunkiem gradientu, 3. W prypadku, gdy wartość piksela aktualnego est więksa od ou sąsiadów achowa ą, w preciwnym prypadku prypis pikselowi wartość erową i predź do następnego piksela. W oknie 3x3 repreentować można edynie 4 różne kierunki krawędi: poiomy, pionowy ora dwa kierunki diagonalne. Ponieważ olicony kierunek gradientu w poscególnych pikselach orau repreentowany pre kąt nachylenia wektora do osi układu może prymować dowolną wartość prediału [-π/2, π/2] to koniecna est kwantyaca takiego kierunku do ednego możliwych kierunkó w loku.
Kierunek gradientu (1) a i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 1 3 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 k 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9{ c Rys. 1. (a), () fragment orau, (c) ora predstawiony ako pole wektorowe. Rysunek (c) wskaue ak w osare krawędi mienia się kierunek ora długość gradientu.
Kierunek gradientu (2) a 250 250 200 200 150 150 100 100 50 50 50 100 150 200 250 0 0 50 100 150 200 250 c d Rys. 1. (a) ora oryginalny, () ora którego wartościami est kąt nachylenia wektora gradientu do osi x. Osary ednorodne tego orau odpowiadaą osarom orau oryginalnego w którym kierunek gradientu mienia się w sposó nienacny (fluktuace). (c) i (d) predstawiaą osar anacony na rysunku () odpowiednio górnym i dolnym prostokątem.
Algorytm Canny ego ilustraca 1 a c d Rys. 1. Detekca krawędi wykonana algorytmem Canny ego. (a) ora oryginalny, () gradient orau (a); (c) wynik tłumienia niemaksymalnego wykonanego na oraie (); (d) końcowy efekt diałania algorytmu. W tym prypadku ora wynikowy awiera dużą licę fałsywych krawędi na ścianie udynku. Efekt ten est spowodowany użyciem yt małego filtru gaussowskiego (3x3) na etapie wygładania orau.
Algorytm Canny ego ilustraca 2 c a d Rys. 1. Detekca krawędi godnie algorytmem Canny ego dla różnych wartości odchylenia standardowego σ filtru gaussowskiego wykorystanego do wstępnego odsumienia orau. Wartość σ dla oraów (a), (), (c) i (d) wynosi odpowiednio: 0.5, 1.0, 1.5 ora 2.0 co odpowiada maskom romiaru 3x3, 5x5, 9x9 ora 11x11. We wsystkich prypadkach wartości progu górnego i dolnego dla progowania histereą wynosą odpowiednio 10% i 5% wartości maksymalne orau gradientu M.
Algorytm Canny ego ilustraca 3 c a d Rys. 1. Etap progowania histereą algorytmu Canny ego. (a) wynik progowania progiem górnym równym 20% wartości maksymalne w oraie pred progowaniem; () wynik progowania progiem równym 5% wspomniane wartości maksymalne. Progi te stanowią odpowiednio próg górny i dolny progowania histereą. Na rysunku (c) predstawiona est różnica oraów (a) i (); (d) ostatecny wynik progowania histereą.