Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości. dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Projektowanie układów regulacji w dziedzinie częstotliwości dr hab. inż. Krzysztof Patan, prof. PWSZ

Wprowadzenie Metody projektowania w dziedzinie częstotliwości mają wiele zalet: stabilność i wymagania jakościowe są prezentowane na tym samym wykresie można używać rzeczywistych pomiarów zamiast modelu w formie transmitancji projektowanie jest niezależne od rzędu układu regulatory dla układów z opóźnieniami mozna projektować bez większych trudności metody graficzne (analiza i synteza z użyciem odpowiednich diagramów) jest relatywnie łatwa

Układ pierwszego rzędu Rozważmy system opisany transmitancją Własności: Jeden biegun (s = a) G(s) = Pasmo przenoszenia ω BW = a Odpowiedź skokowa Y (s) = 1 s a s + a a s + a = 1 s 1 s + a y(t) = (1 e at )1(t)

Przykładowa transmitancja G(s) = 2 s + 2 Bode Diagram Step Response 2.9 Magnitude (db) 4 6 8 1 ω BW =2[rad/sec] Amplitude.8.7.6.5.4 T R =.5 sec Phase (deg) 45.3.2.1 9 1 1 1 Frequency (rad/sec).2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time (sec) częstotliwość graniczna: przegięcie charakterystyk amplitudowej i fazowej stała czasowa: punkt przecięcia stycznej do odpowiedzi w punkcie zero z linią maksymalnego wzmocnienia

Układ drugiego rzędu Rozważmy system opisany transmitancją G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n gdzie ζ - współ. tłumienia względnego ω n - pulsacja drgań własnych (nietłumionych) lokalizacja biegunów s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 dla ζ > 1 oba bieguny są rzeczywiste dla ζ = 1 oba bieguny są identyczne i rzeczywiste dla < ζ < 1 bieguny są zespolone i sprzężone.

Charakterystyki częstotliwościowe dla przykładowego systemu G(s) = 1 s 2 +.6s + 1 Bode Diagram 1 Magnitude (db) 1 2 ω BW M R 3 45 Phase (deg) 9 135 18 1 1 1 Frequency (rad/sec)

Własności układu pulsacja rezonansowa (dla ζ 1 2 ) ω R = ω n 1 2ζ 2 Moduł rezonansowy (dla ζ 1 2 ) M R = 1 2ζ 1 ζ 2 pasmo przenoszenia ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4ζ 2 + 2 Dla < ζ < 1 to.64ω n < ω BW < 1.55ω n. Dla ζ = 1 2 to ω BW = ω n.

Odpowiedź skokowa dla systemu G(s) = 1 s 2 +.6s + 1 M P - wartość (moduł) przeregulowania P OS = 1[(M P y( ))/y( )] T P - czas max. przeregulowania T S - czas regulacji T R - czas narastania

Odpowiedź skokowa (dziedzina częstotliwości) Y (s) = 1 s G(s) = 1 s Odpowiedź skokowa (dziedzina czasu) y(t) = 1 s + 2ζω n (s + ζω n ) 2 + ω 2 n(1 ζ 2 ) e t/τ 1 ζ 2 cos(ω dt ϕ d ), t > gdzie σ = ζω n - tłumienie względne τ = 1/ σ - stała czasowa ω d = ω n 1 ζ 2 - pulsacja tłumiona ϕ = sin 1 ζ

Pasmo przenoszenia Zakres częstotliwości, dla których wzmocnienie układu zamkniętego nie spada poniżej = 3dB. Częstotliwość, dla której wzmocnienie spada o 3 db nazywamy częstotliwością graniczną Korzystając z metod odpowiedzi częstotliwościowej oczekujemy określenia odpowiedzi układu zamkniętego na podstawie odpowiedzi układu otwartego. Na podstawie odpowiedzi układu 2-go rzędu, możemy przyjąć, iż częstotliwość graniczna odpowiada częstotliwości, dla której wzmocnienie układu otwartego jest pomiędzy 6 i 7.5dB (przyjmując, że przesuniecie fazowe dla tego wzmocnienia jest pomiędzy 135 o i 225 o )

Przykład Transmitancja układu zamkniętego G cl = 1 s 2 +.5s + 1 2 Bode Diagram Magnitude (db) 2 4 6 8 Phase (deg) 45 9 135 ω BW =1.4[rad/sec] 18 1 2 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)

Pasmo przenoszenia Przykład cd dla ω < ω BW dla ω > ω BW 1.5 Wyjscie 1.5 Wyjscie Wymuszenie Wymuszenie 1 1.5.5.5.5 1 1 1.5 1.5 5 6 7 8 9 1 9 92 94 96 98 1

Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem ustalania(t S ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 ω n = 4 T s ζ 14 12 1 ω BW *T S 8 6 4 2.2.4.6.8 1 ζ

Relacje ze współczynikiem tłumienia (ζ) i czasem max. przeregulowania (T P ) ω BW = ω n (1 2ζ 2 ) + 4ζ 4 4 ζ 2 + 2 ω n = π T p 1 ζ 2 7 6.5 6 ω BW *T P 5.5 5 4.5 4.2.4.6.8 1 ζ

Wpływ zmian położenia biegunów Dla danej transmitancji G(s) = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n = ω 2 d + σ2 s 2 + 2σs + ω 2 d + σ2 X +j d s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 X n -j d θ = cos 1 ζ ζ = cos θ

Wpływ zmian σ ω d = 1, σ = {.5, 1, 1.5} Step Response Singular Values 1.4 σ=.5 2 1.2 σ=1. σ=1.5 1.5 σ=.5 σ=1. 1 σ=1.5 Amplitude 1.8.6 Singular Values (db).5.5 1.4 1.5 2.2 2.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 1 1 1 Frequency (rad/sec)

Wpływ zmian ω d σ = 1, ω d = {.5, 2.5, 4.5} Step Response Singular Values 1.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =.5 ω d =2.5 ω d =4.5 5 ω d =4.5 Amplitude 1 Singular Values (db) 5.5 1 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec)

Wpływ zmian ζ ω n = 2, θ = {3, 45, 6} Step Response 1 Singular Values θ=3 Amplitude.8.6.4 θ=3 θ=45 θ=6 Singular Values (db) 2 2 4 6 θ=45 θ=6 8.2 1 12 1 2 3 4 5 6 7 8 Time (sec) 14 Frequency (rad/sec) 1

Wpływ zmian ω n ζ = 1 2, ω n = { 2 2, 2, 5 2} Step Response Singular Values 1.4 1.2 1 5 1 ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Amplitude.8.6 ω n =.77 ω n =1.41 ω n =7 Singular Values (db) 15 2 25.4 3.2 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (sec) 4 1 1 1 1 1 Frequency (rad/sec)

Stabilność w dziedzinie częstotliwości Problem Czy badając transmitancję w otwartej pętli L(s) = K(s)G(s) możemy ustalić stabilność układu zamkniętego? Uwagi: G cl = K(s)G(s) 1 + K(s)G(s) Łatwo rozwiązać powyższy problem korzystając z linii pierwiastkowych Jak znaleźć warunek w dziedzinie częstotliwości odpowiadający ulokowaniu wszystkich biegunów w lewej półpłaszczyźnie zespolonej?

Zapas wzmocnienia i fazy Zapas wzmocnienia Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodująca niestabilność układu zamkniętego. Układy z większym zapasem wzmocnienia są bardziej odporne na zmiany parametrów układu mogące spowodować niestabilność układu zamkniętego. Zapas fazy Zmiana fazy w układzie otwartym (K(s)G(s)) powodująca niestabilność układu zamkniętego. Zapas fazy określa tolerancję układu na opóźnienia. Opóźnienia większe niż 18/ω pc (ω pc - częstotliwość przy którym przesunięcie fazowe = 18 o ) powodują niestabilność układu zamkniętego.

Przykład K(s) = 5, G(s) = 1 s 3 + 9s 2 + 3s + 4 2 Bode Diagram Gm = 13.3 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 11 deg (at 1.85 rad/sec) Magnitude (db) 2 4 6 8 1 Phase (deg) 9 18 27 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)

Zmieniając wzmocnienie układu (K(s) = 5(1 )) nie musimy kreślić nowego wykresu Bodego, aby odczytać zapas fazy. Wystarczy na utworzonym już wykresie sprawdzić zapas fazy dla 4dB (4dB odpowiada wzmocnieniu 1 razy). 5 Bode Diagram Gm = 26.7 db (at 5.48 rad/sec), Pm = 59.6 deg (at 16.9 rad/sec) Magnitude (db) 5 Phase (deg) 9 18 27 1 1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/sec)

Wskaźniki jakościowe Określanie wskaźników jakościowych układu zamkniętego: musimy zapewnić stabilność układu otwartego jeśli będziemy używać diagramów Bode go. sprawdzamy czy ω gc < ω pc ) aby stwierdzić czy układ zamknięty będzie stabilny. dla układu 2-ego rzędu, współczynnik tłumienia (układu zamkniętego) jest w przybliżeniu równa PM/1 (jeśli PM= 6 o. dla układu 2-ego rzędu, istnieją zależności pomiędzy współczynikiem tłumienia, pasmem przenoszenia i czasem ustalania. w przybliżeniu możemy przyjąć że pasmo przenoszenia będzie równe częstotliwości drgań własnych.

Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym Definicje sygnałów r - sygnał referencyjny d - zakłócenia n - szum czujników z - regulowane wyjście y - mierzone wyjście Problem: Uzyskanie najmniejszego błędu regulacji (r z)

Wyjście układu Z(s) = K(s)G(s) 1+K(s)G(s) R(s)+ 1 1+K(s)G(s) D(s) K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) Definiując bład regulacji e = r z otrzymujemy E(s) = oraz 1 1+K(s)G(s) R(s) 1 1+K(s)G(s) D(s) + K(s)G(s) 1+K(s)G(s) N(s) U(s) = K(s) (R(s) D(s) N(s)) 1+K(s)G(s)

Ograniczenia sterowania Można pokazać, że gdzie e = r z = S(r d) + T n S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 ; T (s) = 1 S(s) = (1+G(s)K(s)) 1 G(s)K(s) Głowne cele sterowania Dobre śledzenie sygnału referencyjnego (dla niskich częstotliwości < ω BW ) G(jω)K(jω) 1 S(jω) 1 or T (jw) 1 Dobre tłumienie zakłóceń (dla wysokich częstotliwości) G(jω)K(jω) 1 T (jω) 1

Cele i ograniczenia regulacji (sterowania) Cel regulacji Zaprojektować regulator K tak aby błąd regulacji pozostawał mały. Oznacza to, że będziemy dążyć aby S i T były małe w tych zakresach częstotliwości gdzie spektrum sygnałów r i n są małe. Ograniczenia S + T = 1 (błąd e nie może być mały dla wszystkich czestotliwości) log S(jω) dω = - jakość sterowania (ang. performance) vs. odporność (ang. robustness)

I Sygnał z musi śledzić r (ang. tracking). II Odporność na zmiany parametrów układu. III Tłumić wpływ zakłóceń (oraz niemodelowanej dynamiki) IV Tłumić wpływ szumu pomiarowego n

M s = S(jω) d =1 1 M s ( ) 1 P M ζ =2 sin 1 M s M s GM 1 d = M s 1 Czyli M s < 2 GM > 2 i P M > 3 o