WPPT; kier. Inż. Biom.; lista zad. nr 5 pt.: Rozwiązywanie zadań z zakresu dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu; listę kończą zadania do samodzielnego rozwiązania; lista ma na celu zdobycie przez studentów wiedzy mat-fiz, nabycie umiejętności rozwiązywania prostych zadań dotyczących dynamiki bryły sztywnej z wykorzystaniem zasady zachowania momentu pędu i utrwalanie dotychczas zdobytej wiedzy fizycznej. Materiał do przestudiowania: rozdziały 10. i 11. podręcznika Fizyka dla szkół wyższych, https://openstax.org/details/books/fizyka-dla-szkół-wyższych-tom-1; rozdziały 10. i 11. tomu 1. podręcznika D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2003. 23. Z jednorodnego krążka o promieniu r wycięto koło o promieniu r/2, jak pokazuje rysunek obok. Wyznacz położenie środka x masy krążka z wycięciem. Ws-ka. Spróbuj najpierw odpowiedzieć na pytanie: Gdzie znajduje się środek masy układu złożonego z krążka z wyciętym kołem oraz jednorodnego koła o promieniu r/2 umieszczonego w miejsce wyciętego? 24. Dany jest układ 3 mas: m 1 = 5 kg, m 2 = 10 kg, m 3 = 15 kg, które początkowo znajdują się w pkt. odpowiednio, r 1 = (3, 4, 5)m, r 2 = ( 2, 4, 6)m, r 3 = (0, 0, 0)m. Na układ pkt. rozpoczęła działanie wypadkowa siła zewnętrzna F =(0,05, 0, 0)N. Wyznacz położenie środka masy tego układu po czasie 2 s. 25. Dwa ciała o masach 400 g i 600 g połączone linką o znikomo małej masie i przewieszona na jednorodnym krążku o masie 500 g i promieniu 12 cm. Krążek może obracać się bez tarcia wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek, a linka po nim się nie ślizga. Obliczyć: a) przyspieszenia klocków; b) naciągi linki. Ws-ka: Proszę przestudiować materiał z wykładu. 26. Na poziomym stole leży szpulka nici. Z jakim przyspieszeniem a będzie się poruszać oś szpulki, jeśli ciągnąć ją siłą F? Pod jakim kątem należy ciągnąć nić, by szpulka poruszała się w prawo? Szpulka toczy się bez poślizgu. Moment bezwładności szpulki o masie m względem jej środka wynosi I. Ws-ka: Należy rozważyć ruch postępowy środka masy oraz obrotowy szpulki; odp. a = F (cos r/r)/(m + I/R 2 ); patrz https://www.matematyka.pl/266284.htm. 27. Jednorodny cienki cylinder o promieniu r i masie m stacza się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia i współczynniku tarcia. Oblicz przyspieszenie a środka masy walca oraz jego prędkość V po przebyciu drogi s wzdłuż równi. Czy i kiedy jest możliwy poślizg w takim ruchu? Ws-ka: Proszę przestudiować materiał z wykładu lub rozdział 12.3 podręcznika D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2003 lub rozdział 11.1 podręcznika Fizyka dla szkół wyższych. 28. Dziecko o masie 25 kg stojące obok tarczy o masie 80kg i promieniu 2m obracającej się z prędkością kątową 2 rad/s wchodzi na nią. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa? (b) Jeśli dziecko zacznie wędrówkę do środka tarczy, to ile wyniesie prędkość kątowa i energia kinetyczna tarczy w chwili, gdy znajdzie się ono na środku? 29. Student siedzi (rys. a) na osi nieruchomego obrotowego stolika trzymając obracające się wokół pionowej osi (za którą trzyma oburącz) z prędkością kątową ω 1 koło rowerowe o momencie bezwładności I 0. Moment bezwładności studenta i stolika wynosi I. Wyznaczyć prędkość kątową ω 2 ruchu obrotowego układu po: a) obróceniu przez studenta koła o kąt 180 o (rys. b) wokół poziomej osi, b) zahamowaniu koła przez studenta. Ws-ka: Proszę przestudiować materiał z wykładu; przykład 12.7 w I tomie podręcznika D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Podstawy fizyki, PWN, Warszawa 2003; patrz Siłownia umysłowa. 30. Cienki drewniany pręt o długości 1,5 m i masie 10 kg podwieszono pionowo za jego górny koniec. W środek pręta uderza kulka o masie 0,01 kg lecąca poziomo z prędkością 500 m/s i grzęźnie w pręcie. Obliczyć wysokość, na jaką podniesie się koniec pręta po uderzeniu kuli. Dane jest przyspieszenie ziemskie 10 m/s 2. Ws-ka: Proszę zastosować zasadę zachowania momentu pędu (ale nie pędu) do zderzenia kulki z prętem. 31. Zadanie do portfolio. A) Jeśli moment pędu ciała jest stały w czasie, to co ogólnego można powiedzieć o torze ruchu tego ciała? B) Jedziesz (patrz https://www.youtube.com/watch?v=6xkyi1igu6m) rowerem bez trzymanki. Aby skręcić w prawo/lewo nieco przechylasz rower w prawo/lewo. Wyjaśnij dlaczego tak postępujesz? Wrocław, 15 X 2018 W. Salejda 1
Siłownia umysłowa. Zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania W obliczeniach przyjąć g = 10 m/s 2. Materiał wskazówka do zad. 25. Materiał wskazówka do zad. 29. 2
1. Układ mechaniczny tworzą trzy jednakowe, cienkie pręty, każdy o długości L połączone w kształt litery H (patrz rysunek obok). Wyznaczyć moment bezwładności tej bryły względem wskazanej na rysunku osi obrotu. 2. W chwili t = 0 wektor położenia cząstki o masie 0,01 kg wynosi r = 4i 2j, względem początku układu współrzędnych, a jej prędkość zależna od czasu t wynosi 6t 2 i. Wyznaczyć, względem początku układu współrzędnych, dla t>0: a) moment pędu cząstki w funkcji czasu; b) działający na nią moment siły. 3. Wyznaczyć wartość wypadkowego momentu sił działającego na podwójną szpulkę względem jej osi (rys. po lewej stronie), jeśli r = 10 cm, R = 25 cm, nitki są ciągnięte z siłami F 1 = 12N, F 2 = 9N, F 3 = 10N, a kąt = 45 o. 4. Słońce porusza się z prędkością liniową 250 km/s wokół środka Drogi Mlecznej (DM), od którego dzieli je odległość 2,2 10 20 m. Jaka jest prędkość kątowa Słońca? Ile lat trwa obrót Słońca wokół środka DM? Ile takich obrotów wykonało Słońce, które istnieje około 4,5 mld lat? 5. W spoczywający na stole klocek o masie M uderzył poruszający się poziomo z prędkością V pocisk o masie m i utkwił w nim. Jaką drogę s przebył klocek po stole, jeżeli współczynnik tarcia wynosi f? 6. Pod sufitem wiszą podczepione na poziomych osiach przechodzących przez punkty zetknięcia się z sufitem: kula, sfera, walec, cienka obręcz, tarcza oraz pręt. Masa każdej bryły wynosi M. Promienie: kuli, sfery, walca, cienkiej obręczy i tarczy są równe R, a pręt ma długość R. Które z tych ciał ma względem osi obrotu największy/najmniejszy moment bezwładności? 7. Do końców stalowego pręta o długości 1,2m i masie 6,4 kg przymocowano małe kulki o masach 1,06 kg. Pręt obraca się z prędkością kątową! = 39 obrotów/s w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek. Pod wpływem tarcia zwalnia, aż do zatrzymania w czasie 32 s. Zakładając, że moment siły hamującej był stały wyznaczyć: a) opóźnienie kątowe pręta; b) moment siły tarcia; c) energię mechaniczną straconą na tarcie; d) liczbę obrotów pręta do zatrzymania się. Gdybyśmy nie przyjęli założenia o stałości momentu siły hamującej, to którą z poprzednich wielkości można byłoby policzyć? 8. Jednorodny walec o masie 20 kg i promieniu 20 cm owinięto żyłką, do końca której przyłożono siłę F = 20N. Walec toczy się (rys. obok po lewej stronie) po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu. Ile wynosi: a) przyspieszenie liniowe i kątowe walca względem jego środka masy; b) kierunek i wartość siły tarcia działającej na walec; c) energia kinetyczna ruchu obrotowego walca oraz jego całkowita energia kinetyczna po czasie 5 s (założyć, że początkowo walec spoczywał). 9. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu obrotowego walca. 10. Do końców stalowego pręta o długości 1,2 m i masie 6,4 kg przymocowano małe kulki o masach 1,06 kg. Pręt obraca się z prędkością 39 obrotów/s w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jego środek. Pod wpływem tarcia zwalnia i zatrzymuje po 32 s. Zakładając, że moment siły hamującej był stały wyznaczyć: a) opóźnienie kątowe pręta; b) moment siły tarcia; c) energię mechaniczną straconą na tarcie; d) liczbę obrotów pręta do zatrzymania się. Gdybyśmy nie przyjęli założenia o stałości momentu siły hamującej, to którą z poprzednich wielkości można byłoby policzyć? 11. Krążek o promieniu 20 cm może się obracać się bez tarcia wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek. Moment bezwładności krążka wg. tej osi wynosi 0,4 kg m2. Na obwodzie krążka jest nawinięta nitka o znikomo małej masie, na końcu której podwieszono ciało o masie 6 kg. Początkowo układ utrzymywano w spoczynku, a potem pozwolono mu na ruch. W pewnej chwili energia kinetyczna ciała wyniosła 6 J. Ile wynosi w tej chwili energia kinetyczna ruchu obrotowego krążka? Jaką drogę przebyło ciało? 12. Cztery masy są połączone ze sobą sztywnymi prętami o pomijalnej masie (patrz rys. obok). Obliczyć moment bezwładności układu względem osi z (prostopadłej do płaszczyzny xy i przechodzącej przez punkt O). Wyznaczyć energię kinetyczną ruchu obrotowego, jeśli układ obraca się wokół osi z ze stałą prędkością kątową 6 rad/s. 3
13. Dwie masy: M i m są połączone prętem o długości l i znikomo małej masie. Pokazać, że moment bezwładności względem osi prostopadłej do pręta jest najmniejszy dla osi przechodzącej przez środek masy układu. 14. W układzie z rys. po lewej stronie m 1 = 2 kg, m 2 = 6 kg, promień krążka R = 0,25m, jego masa m k=10kg, kąt =30 o, współczynnik tarcia kinetycznego dla masy m 2 na równi μ =0,30. Zaniedbując masę sznurka, wyznaczyć przyspieszenie mas m 1 i m 2 oraz naciągi nici. Czy naciągi są takie same? 15. W układzie przedstawionym na rys. po prawej stronie m 1 = 15kg, m 2 = 19kg, promień krążka R = 0,1m, jego masa m k = 3 kg, a h = 3m. Zaniedbując masę sznurka i tarcie, wyznaczyć przyspieszenie i prędkość mas m 1 i m 2 oraz naciągi nici (czy są takie same?) w momencie, gdy obie masy mijają się. Ws-ka: Skorzystać z zasad zachowania energii. 16. Jednorodna tarcza o promieniu R i masie M może się obracać wokół punktu P (patrz rysunek po lewej stronie). Obliczyć prędkość środka masy tarczy w najniższym punkcie toru. Wyznaczyć prędkość punktu A w najniższym punkcie toru ruchu. Ws-ka: Wykorzystać zasadę zachowania energii. Powtórzyć obliczenia dla obręczy. 17. Jak pokazano na rys. po lewej stronie, do koła o masie 10 kg i promieniu 0,3m przyłożono poziomo stałą siłę o wartości 10N. Pod jej wpływem koło toczy się bez poślizgu po poziomym podłożu, przy czym przyspieszenie jego środka masy wynosi 0,6m/s 2. Jaka jest wartość, kierunek i zwrot działającej na koło siły tarcia? 18. Wyobraźmy sobie, że po wyczerpaniu paliwa jądrowego Słońce zacznie kurczyć się stając się kulistym białym karłem o średnicy kuli Ziemi. Przyjmując niezmienność masy Słońca obliczyć jego okres obrotu wokół własnej osi. Obecnie okres obrotu Słońca to 25 dób. 19. Osoba o masie 94 kg znajduje się na równiku. Ile wynosi jej moment pędu wg. środka Ziemi. 20. Biała myszka o masie m siedzi na skraju jednorodnego krążka o masie 10m, który może obracać się swobodnie wokół swojej osi, jak karuzela. Początkowo mysz i krążek obracają się łącznie z prędkością kątową. W pewnej chwili mysz zaczyna iść ku środkowi krążka i zatrzymuje się w połowie drogi. (a) Ile wynosi przy tym zmiana prędkości kątowej układu mysz krążek? (b) Ile wynosi stosunek energii kinetycznej układu po przemieszczeniu się myszy do początkowej energii kinetycznej tego układu? (c) Dzięki czemu zmieniła się energia kinetyczna układu? 21. Dziewczynka o masie m 1 stoi na brzegu karuzeli o promieniu R i momencie bezwładności I, która może obracać się bez tarcia. Karuzela się nie obraca. W pewnej chwili dziewczynka rzuca poziomo z prędkością v kamień o masie m 2 pod kątem względem promienia karuzeli. Ile wynosi po rzuceniu kamienia prędkość kątowa karuzeli z dziewczynką? 22. Dziecko o masie m = 40 kg stoi na zewnątrz kołowej karuzeli o masie M = 80 kg i promieniu R = 2m obracającej się z prędkością kątową 2 rad/s. Dziecko wchodzi na karuzelę. (a) Jak zmieni się jej prędkość kątowa? (b) Dziecko rozpoczyna wędrówkę do środka karuzeli. Ile wynosi jej prędkość kątowa w chwili, gdy dziecko znajduje się na środku? (c) Jak zmieni się energia kinetyczna układu, gdy dziecko przejdzie od brzegu do środka karuzeli? 23. Na cząstkę o masie 2 kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektor momentu tej siły względem początku układu współrzędnych. 24. Gdyby lody pokrywające bieguny Ziemi stopiły się całkowicie, a powstała z nich woda zasiliła oceany, to ich głębokość zwiększyłaby się o 30m. Jaki miałoby to wpływ na ruch obrotowy Ziemi? Oszacuj związaną z tym zmianę długości doby. 25. Cząstka o masie 2 kg znajdująca się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j ma prędkość v 6i 7 j. Wyznacz wektor momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych 26. Pionowo ustawiony jednorodny pręt o długości l i masie M może się obracać wokół osi P. Oblicz: (a) jego prędkość kątową i przyspieszenie kątowe; (b) składowe: poziomą i pionową przyspieszenia całkowitego środka masy pręta; (c) składowe siły, z jaką pręt działa na punkt P w chwili, gdy znajdzie się w położeniu poziomym. Ws-ka: Wykorzystać zasadę zachowania energii mechanicznej. Rozwiązanie poniżej: 4
27. Walec obraca się ze stałą prędkością kątową wokół stałej osi będącej jego osią symetrii. Moment bezwładności bryły tego walca względem osi obrotu wynosi I, a jego energia kinetyczna E k. Wyznacz jego moment pędu. 28. Jaką pracę należy wykonać aby zatrzymać koło zamachowe o momencie bezwładności I wirujące z prędkością kątową a jaką gdy koło to toczy się bez poślizgu po płaskiej powierzchni? Pionowy słup o wysokości h = 10 m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Wiedząc, że moment bezwładności słupa o masie m i długości l względem osi przechodzącej przez jego koniec jest równy ml 2 /3, wyznacz liniową prędkość górnego końca słupa w chwili uderzenia o ziemię. 29. Koło napędowe (rys. po prawej stronie) o momencie bezwładności I i promieniu R wiruje z prędkością I, 0 kątową 0. Współczynnik tarcia między klockiem i kołem wynosi f. Z jaką siłą należy przycisnąć klocek F R hamulcowy do powierzchni koła, aby zatrzymać je po upływie czasu t? 30. Dwa odważniki o masach m 1 = 2kg, m 2 = 1kg są połączone nicią przerzuconą przez krążek. Promień T krążka R = 0,1m, a jego masa m = 1kg. Obliczyć: a) przyspieszenie a z jakim poruszają się odważniki, b) naciągi F 1 i F 2 nici, na których są zawieszone odważniki. Krążek uważać za jednorodny, a tarcie należy pominąć. 31. Na jednorodnym krążku o masie M i promieniu R nawinięta jest nierozciągliwa linka, której jeden z końców umocowany jest u sufitu. Oblicz przyspieszenie kątowe i liniowe środka ciężkości krążka oraz naciąg linki, jeżeli w pewnej chwili krążek zaczął spadać swobodnie. 32. Płyta CD o masie m i promieniu r wiruje z prędkością kątową ω w płaszczyźnie poziomej wokół pionowej osi przechodzącej przez jej środek. W pewnej chwili spada na płytę z góry kawałek gumy do żucia o masie M i przykleja się do płyty w odległości r/3 od jej brzegu. Ile wynosi prędkość CD bezpośrednio po przyklejeniu się gumy? 33. Stolik poziomy obraca się z prędkością kątową ω. Na środku stolika stoi człowiek i trzyma w wyciągniętych rękach w odległości l od osi obrotu dwa ciężarki o masie m każdy. Jak zmieni się prędkość obrotów stolika, gdy człowiek opuści ręce? Ile razy wzrośnie energia kinetyczna układu? Moment bezwładności stolika wraz z człowiekiem (bez ciężarków) wynosi I. 34. Szpulkę w kształcie walca o promieniu R puszczono, trzymając nieruchomo za koniec odwijającej się nici. Z jakim przyspieszeniem a opada szpulka? Ws-ka: Należy napisać równania ruchu postępowego środka masy walca oraz ruchu obrotowego walca. 5
Wrocław, 15 X 2018 W. Salejda 6