1 Ex-dividend prices Modelowanie ryzyka kredytowego Zadania 1. Mariusz Niewęgłowski 19 października 2014 Definicja 1. Dla każdego t [0, T ] cena ex-dividend wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) S t := B t E Q Bu 1 dd u F t. (t,t ] Zadanie 1. Pokazać że St = S t Bt 1 jest podmartyngałem (nadmartyngałem) przy mierzez Q wtedy gdy D jest malejący (rosnący). Definicja 2. Dla każdego t [0, T ] skumulowana cena S c wypłaty (X, A, X, Z, τ) ( ) St c = B t E Q Bu 1 dd u F t = S t + B t Bu 1 dd u. (0,T ] (0,t] Zadanie 2. Pokazać że S c t = S c t B 1 t 2 Model Mertona i uogólnienia jest Q-martyngałem. 2.1 Analiza ceny obligacji w modelu Mertona Przypomnijmy, że w modelu Mertona dla t [0, T ) cena D(t, T ) obligacji narażonej na ryzyko kredytowe jest dana wzorem D(t, T ) = e κ(t t) N( d 1 (, T t)) + Le r(t t) N(d 2 (, T t)), d 1,2 (, T t) = ln(/l) + (r κ ± 1 2 σ2 )(T t) σ T t Wyprowadzić powyższą formułę licząc odpowiednią warunkową wartość oczekiwaną. Wyprowadzić równanie różniczkowe cząstkowe które spełnia funkcja u : [0, T ] R R taką że D(t, T ) = u(t t, ). Określić warunek końcowy (brzegowy) dla u(t, v) dla t = T. Zbadać zachowanie procesu ceny D(t, T ) gdy t T, zakładając dodatkowo że = L. Załóżmy, że używamy aktywów firmy i obligacji zerokuponowej jako instrumentów zabezpieczających. Zbadać zachowanie się strategi zabezpieczającej dla tej obligacji kiedy T t zbiega do zera.
Rentownością obligacji bez ryzyka(z ryzykiem) nazywamy r(t, T ) (r d (t, T )) takie że r(t, T ) = 1 ln B(t, T ) T t rd ln D(t, T ) L (t, T ) = T t Credits spread jest natomiast definiowany dla t [0, T ) S(t, T ) = r d (t, T ) r(t, T ) = 1 LB(t, T ) ln T t D(t, T ) Pokazać, że w modelu Mertona mamy S(t, T ) > 0. Ponadto lim S(t, T ) = t T Dla uproszczenia można przyjąć κ = 0. { 0 gdy T > L + gdy T < L. Ustalmy t = 0, zbadać D(0, T ) jako funkcję L > 0. Czy jest to funkcją wypukła czy wklęsła? Jak jest dynamika procesu wartości D(t, T ) przy mierze martynga łowej spot? Znajdź proces zmienności ceny obligacji D(t, T ) Pokazać że D(t, T ) jest rosnącą funkcją od,l malejącą od r, σ, T t. r d (t, T ) jest rosnącą funkcją od r ale spread jest już malejacą funkcją od r 2.2 Obligacje z pierwszeństwem (Subordinated debt) Rozważmy teraz przypadek gdy firma ma dwa zobowiązania o wartościach nominalnych L S i L J. Załóżmy że L S opdowiada obligacji z pierwszeństwem spłaty długu (senior), L J odpowiada obligacji która jest spłacana w drugiej kolejności (junior). Wtedy mamy wypłaty w chwili T : T < L S L S T < L S + L J L S + L J T Obligacja Senior T L S L S Obligacja Junior 0 T L S L J Equity(udziay/akcje) 0 0 T (L S + L J ) Wyznaczyć reprezentacje opcyjną cen obligacji senior, junior oraz kapitału (udziałów). 2.3 Model strukturalny Załóżmy że stopa procentowa rachunku bankowego r jest stała, proces wartości aktywów firmy spełnia SDE przy mierze martyngałowej spot Q d = (rdt + σdw t ), 0 > 0. 0, σ są dodatnimi stałymi, W jest procesem Wienera przy Q.
Rozważmy obligację wystawioną przez firmę o terminie wygaśnięcia T > 0 i wartości nominalnej L > 0. Załóżmy, że default może nastąpić tylko w chwili T i tylko wtedy gdy T < L. Niech wypłata zastępcza wynosi L/2. a. Określić wypłatę w momencie wykupu obligacji T. Podać wzór na proces ceny ex-dividend obligacji D(t, T ). b. Wyprowadzić wzór explicite na D(t, T ). Znaleźć funkcję u : [0, T ] R R taką, że D(t, T ) = u(t t, ). c. Wyprowadzić równanie różniczkowe cząstkowe które spełnia funkcja u(t, v) oraz pokadać warunek końcowy. d. Zbadać wrażliwość seny obligacji względem paramterów r, σ oraz czasu do wygaśnięcia T t. 2.4 Model Poisson owski Niech P oznacza miarę martyngałową spot, oraz niech N będzie procesem Poissona z intensywnością λ > 0 przy mierzez P. Mamy więc P (N t N s = k) = λk (t s) k e λ(t s), k = 0, 1, 2,... k! Wiemy także że Mt a = exp(an t λt(e a 1)) jest P martyngałem (ćwiczenia z PAS a). Załóżmy, że proces wartości aktywów firmy spełnia przy mierze martyngałowej spot = 0 e Nt+ct, t [0, T ], c > 0 jest dodatnią stałą. Wartość nominalna długu wynosi L > 0. Rachunek bankowy jest dany B T = e rt dla pewnej stałej r > 0. a. Znaleźć wartość c dla której proces zdyskontowanej wartości firmy = /B jest P -martyngałem. b. Załóżmy, że w momencie wykupu T : gdy T L firma spłaca zobowiązania L lub jeżeli T < L posiadacze obligacji otrzymują w momencie T wartość T. Wyznaczyć wartość obligacji w chwili t = 0. Wskazówka: Do wyznaczenia E( T 1 {T <L}) wyznaczyć intensywność procesy Poissona N przy pomocniczej zamianie miary dp dp = T 0 2.5 Prosty model skokowej dyfuzji F N T Niech Q będzie miarą martyngałową spot i niech N będzie procesem Poissona przy mierze Q ze stałą intensywnością λ > 0. Ponadto załóżmy, że W jest procesem Wienera przy Q niezależnym od N. Niech proces wartości aktywów firmy spełnia przy mierze martyngałowej spot = 0 e σw t Nt+ct, t [0, T ],
σ > 0 i c R są stałymi. Wartość nominalna długu wynosi L > 0. Rachunek bankowy jest dany jako B T = e rt dla pewnej stałej r > 0. Załóżmy, że używamy (jak zazwyczaj) wzoru wycenu arbitrażowej do wyznaczania cen. Niech G = {G t } t R+ oznacza filtrację generowaną przez W oraz N. a. Znaleźć wartość c dla której proces zdyskontowanej wartości firmy = /B jest P -martyngałem. b. Załóżmy, że przy prawdopodobieństwie rzeczywistym P proces wartości aktywów firmy spełnia = 0 e σwt Nt, t [0, T ], W jest P procesem Wienera, N jest procesem Poissona. Znaleźć intensywność N przy P oraz wzory na pochodne Radona-Nikodyma dp dq dq, GT dp. GT c. Załóżmy, że w momencie wykupu T : gdy T L firma spłaca zobowiązania w całości tzn. wypłaca L. lub jeżeli T < L posiadacze obligacji otrzymują w momencie T wartość T. Wyznaczyć wartość obligacji w chwili t = 0. d. Załóżmy, że firma może zbankrutować w momencie pierwszego skoku procesu Poissona N lub w momencie wykupu T jeżeli T < L. Ponadto załóżmy, że jeżeli nie było bankructwa przed lub w momencie T to dług jest spłacany w całości. jeżeli bankructwo wystąpiło przed lub w momencie T to dług nie jest wogóle spłacany tzn. że nie ma wypłaty zastępczej (inaczej mówiąc mamy tzw. zerowy odzysk - zero recovery scheme) Wyznaczyć wzór na cenę obligacji w chwili t = 0. 3 Modelowanie z barierami 3.1 Wstępne zadanie Niech τ := inf {t > 0 : Y t 0}, Y t = y 0 + νt + σw t. Przypomnijmy, że pokazaliśmy dla każdego s > 0 mamy Q(τ s) = Q(τ < s) = N(h 1 (s)) + e 2νσ 2 y 0 N(h 2 (s)), h 1 (s) = y 0 νs σ s, h 2 (s) = y 0 + νs σ. s Korzystając z powyższych wzorów pokazać, że dla każdego t < s na zdarzeniu {t < τ}, mamy Yt ν() Q(τ s F t ) = N σ + e 2νσ 2 Y t Yt + ν() N σ.
W analogiczny sposób korzystając z y + y0 + νs Q(Y s y, τ s) = N σ e 2νσ 2 y 0 N s ( y y0 + νs σ s pokazać, że na zbiorze {t τ}, mamy y + Yt + ν() Q(Y s y, τ s F t ) =N σ e 2νσ 2 Y t y Yt + ν() N σ. 3.2 Model Leland-Toft Niech proces wartości firmy będzie zadany stochastycznym równaniem różniczkowym postaci d = ((r κ)dt + σ dw t ), 0 > 0. ), i niech v < 0. τ := inf {t > 0 : v} a. Rozważmy obligację emitowaną przez firmę o wartości nominalnej. Załóżmy że firma może zbankrutować w momencie τ, jeżeli τ < T lub w chwili T jeżeli T < L. jeżeli firma bankrutuje przed lub w chiwli T to posiadacze obligacji nic nie otrzymują. Wyznaczyć cenę obligacji w chwili t < T. b. Załóżmy, dla odmiany, że wypłata zastępcza w przypadku bankructwa w chwili τ = s przed chwilą T jest postaci α s. Wyznaczyć wartość wypłaty zastępczej na moment t = 0. c. Załóżmy, że wypłata zastępcza w przypadku bankructwa w chwili T jest postaci β T. Wyznaczyć wartość wypłaty zastępczej na moment t = 0. WSKAZÓWKA: Proces ln( / v) jest procesem Wienera z dryfem można więc wyprowadzić wzory na Q( s x, τ s F t ), Q(τ s F t ), korzystając z odpowiednich wyników dla procesu Wienera z dryfem starującego z pewnej ustalonej wartości. WZORY: Na zdarzeniu {t < τ} mamy Q(τ s F t ) = N ( ln v ν() σ ) ( v 2a ln v + N t + ν() ln(t /x) + ν() Q( s x, τ s F t ) =N σ v 2a ( ln v 2 ) ln(x ) + ν() N σ, ν = r κ 1 2 σ2 oraz a = νσ 2. ν = r κ 1 2 σ2, a = ν σ 2 = r κ 1 2 σ2 σ 2. ),
3.3 Model Black a Cox a Niech proces wartości firmy będzie zadany stochastycznym równaniem różniczkowym postaci i niech dla stałych K > 0 i γ R. Wyprowadzić wzory na d = ((r κ)dt + σ dw t ), 0 > 0. τ := inf {t > 0 : v(t)} v(t) = Ke γ(t t), Q( s x, τ s F t ), Q(τ s F t ), sprowadzając je do analogicznych wzorów dla procesu Wienera z dryfem startującego z pewnego ustalonego poziomu. ODPOWIEDZI: na zdarzeniu {t < τ} mamy ln v(t) Q(τ s F t ) = N t ν() v(t) 2ã ln v(t) + N t + ν(), ln(t /x) + ν() Q( s x, τ s F t ) =N v(t) 2ã ( ln v 2 ) (t) ln(x ) + ν() N, ν = r κ γ 1 2 σ2, ã = ν σ 2 = r κ γ 1 2 σ2 σ 2