TESTOWANIE DZIAŠANIA PRZESTRZENNEGO MODULATORA FAZY WIATŠA

TESTOWANIE DZIAŠANIA PRZESTRZENNEGO MODULATORA FAZY WIATŠA Indywidualna Praca w Laboratorium Badawczym Michaª D browski Streszczenie Zbudowano i przetestowano ukªad umo»liwiaj cy przestrzenne ksztaªtowanie amplitudy i fazy wi zki ±wiatªa. Omówiono zasad dziaªania gªównego elementu ukªadu przestrzennego modulatora fazy (SLM). Przy u»yciu transformaty Fouriera wyja±niono mo»liwo± ksztaªtowania fazy wi zki ±wiatªa. Omówiono zasad dziaªania i przykªady samodzielnie wytworzonych fazowych siatek dyfrakcyjnych. Napisano programy komputerowe umo»liwiaj ce sterowanie prac modulatora i kamer CCD. Zademonstrowano mo»liwo± interferencji dwóch wi zek wytworzonych na modulatorze i przykªad precyzyjnej kontroli interferencji. Pokazano przykªad hologramu wytworzonego przez modulator, zarrejstrowanego przy pomocy kamery. 1 Przestrzenny modulator fazowy (SLM) Przestrzenny modulator fazy (SLM) to urz dzenie umo»liwiaj ce w arbitralny sposób kontrolowanie fazy wi zki ±wiatªa. U»ywany w do±wiadczeniu SLM Pluto (Holoeye) skªada si z macierzy komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem (w tym wypadku: nematykiem), umieszczonych na pªaszczy¹nie o wysokim wspóªczynniku odbicia. Modulator skªada si z matrycy o wymiarach 15,36mm x 8,64mm, zawieraj cej 1920 x 1080 pikseli pokrywaj cych okoªo 87% powierzchni modulatora [5]. Jest to modulator odbiciowy, zatem wi zka ±wiatªa przechodzi przez niego dwukrotnie. Zdj cie modulatora przedstawia rysunek 2. Zasada dziaªania urz dzenia jest nast puj ca. W nieobecno±ci pola elektrycznego cz steczki nematyka (o silnie wydªu»onym ksztaªcie) tworz struktur helisy (o± helisy jest jednocze±nie osi optyczn krysztaªu) powoduj c,»e o±rodek wykazuje dwójªomno± po przej±ciu przez komórk z ciekªym krysztaªem nast puje wzgl dna zmiana fazy pomi dzy promieniami zwyczajnym i nadzwyczajnym. W obecno±ci bardzo silnego pola elektrycznego cz steczki nematyka ustawiaj si równolegle, wzdªu» przyªo»onego pola, przez co ukªad nie rozró»nia obu polaryzacji ±wiatªa (zwyczajnej i nadzwyczajnej) i nie zostaje wprawadzone dodatkowe opó¹nienie fazowe jednej z polaryzacji. Zatem, reguluj c odpowiednio przykªadanym napi ciem (proporcjonalnym do przyªo»onego pola) mo»na uzyska dowolne opó¹nienie fazowe na ka»dym z pikseli matrycy modulatora. Rysunek 1: Zmiana orientacji cz steczek ciekªego krysztaªu pod wpªywem przyªo»onego pola elektrycznego E. Na komórk z ciekªym krysztaªem poda wi zka ±wiatªa oznaczona strzaªk. Przyªo»enie pola elektrycznego powoduje zmian wspóªczynnika zaªamania substancji o n = n 2 n 1, co pozwala regulowa zmian fazy ±wiatªa po przej±ciu przez komórk za pomoc przykªadanego napi cia. 1

Rysunek 2: PLUTO: High-Resolution LCOS Phase Only Spatial Light Modulator. Po lewej stronie wygl d zewn trzny modulatora fazy, po prawej stronie rysunku zdj cie przedstawiaj ce fragment modulatora matryc z macierz komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem. Dla pokazania wielko±ci urz dzenia, na fotograi znajduje si tak»e standardowa soczewka, u»ywana w eksperymentach. 2 Dziaªanie soczewki w j zyku transformaty Fouriera Niech na soczewk pada pªaska fala monochromatyczna opisana polem elektrycznym E(x, y), przedstawiona na rysunku 3. Soczewka wprowadza pewne opó¹nienie fazowe fali padaj cej tak,»e w przybli»eniu przyosiowym pole elektryczne za soczewk wynosi [1]: E (x, y) = E(x, y)e i k 2f (x2 +y 2 ) (1) gdzie: k liczba falowa fali padaj cej, f ogniskowa soczewki. Stosuj c przybli»enie Fresnela (dalekiego pola) mo»na pokaza,»e pole elektryczne fali w pªaszczy¹nie ogniskowej wyra»a si wzorem [2]: E(u, v) = k 2πif eikf e i k 2f (u2 +v 2) F{E(x, y)}( k f u, k v) (2) f Poniewa» mierzymy jedynie nat»enie wi zki ±wiatªa, mo»emy pomin nieistotne czynniki fazowe, otrzymuj c nat»enie w pªaszczy¹nie ogniskowej (b d ce kwadratem moduªu nat»enia pola elektrycznego): E(u, v) 2 F{E(x, y)}( k f u, k f v) 2 (3) Zatem, je»li na soczewk pada monochromatyczna fala pªaska, to obraz powstaj cy w ognisku jest w przybli»eniu Fresnela transformat Fouriera fali padaj cej. Mo»na pokaza,»e zachodz nast puj ce relacje [2]: dodanie fazy liniowej powoduje przesuni cie obrazu w pªaszczy¹nie ogniskowej (The Shift Theorem [1]) rysunek 3, dodanie fazy kwadratowej powoduje przesuni cie ogniska (przew»enia) wi zki w kierunku propagacji, transformat Fouriera funkcji gaussowskiej jest funkcja gaussowska przydatne do testowania dziaªania ukªadu pomiarowego. 2

Rysunek 3: Monochromatyczna fala pªaska padaj ca na soczewk skupiaj c doznaje zmiany ksztaªtu frontów falowych, co skutkuje skupieniem si wi zki w ognisku soczewki. Pole elektryczne wi zki w ognisku jest z dokªadno±ci do czynnika fazowego, transformat Fouriera pola przed soczewk. Poniewa» mierzymy nat»enie ±wiatªa, nieistotny czynnik fazowy mo»emy pomin. Zmieniaj c k t pod jakim fala pªaska pada na soczewk, mo»emy regulowa punkt skupienia si wi zki w pªaszczy¹nie ogniskowej. 3 Budowa ukªadu pomiarowego W ramach wiczenia zbudowano ukªad eksperymentalny, pozwalaj cy na wytworzenie zadanego rozkªadu amplitudy i fazy fali ±wietlnej. Gªównym elementem ukªadu jest przestrzenny modulator fazy, którego dziaªanie zostaªo opisane w rozdziale 1. Schemat ukªadu do±wiadczalnego przedstawia rysunek 4. Laser pracuj cy w podczerwieni wysyªa wi zk ±wiatªa, która po uformowaniu przy pomocy przesªony oraz powi kszeniu przy pomocy teleskopu soczewkowego (nie uwzgl dniono tych elementów na schemacie) pada na powierzchni modulatora. Za pomoc programu komputerowego, omówionego dokªadnie w rozdziale 5, mo»na zadawa na modulatorze okre±lony rozkªad fazy, zmieniaj c tym samym ksztaªt frontu falowego za modulatorem. Tak przetworzona wi zka pada na soczewk skupiaj c, która wprowadza dodatkowe przesuni cie fazowe (patrz rozdziaª 2), za któr znajduje si kamera CCD, mog ca przesuwa si wzdªu» kierunku propagacji wi zki ±wiatªa. Jak zostaªo to pokazane w poprzednim rozdziale, wi zki ±wiatªa posiadaj ce przed soczewk ró»n faz ogniskuj si w pªaszczy¹nie ogniskowej soczewki w ró»nych punktach. W szczególno±ci, mo»emy dzi ki temu podzieli nat»enie padaj cego ±wiatªa mi dzu ró»ne punkty w pªaszczy¹nie kamery. Przykªad takiej sytuacji przedstawia rysunek 5. Szczegóªowe informacje dotycz ce otrzymywania takich wi zek znajduj si w rozdziale 4 oraz w pracach [3] i [4]. Rysunek 4: Schemat budowy ukªadu do±wiadczalnego (dla uproszczenia pomini to nieistotne elementy): diodowy laser póªprzewodnikowy o dªugo±ci fali λ = 780nm, SLM - modulator fazy, f soczewka o ogniskowej 40cm, CCD - kamera z matryc CCD. Modulator wprowadza zale»n od poªo»enia faz φ(x, y), w zwi zku z czym pªaski front falowy E(x, y) padaj cy na modulator doznaje zmiany fazy, i za modulatorem jest opisywany zale»no±ci E(x, y)e iφ(x,y). Za soczewk front falowy przestaje by pªaski. 3

Rysunek 5: Obraz modulatora widziany przez kamer, znajduj c si w odlegªo±ci d = 8cm od ogniska soczewki (patrz rysunek 4). Na modulatorze wy±wietlono wi zk gaussowsk traaj c po pierwszego rz du ugi cia, powierzchnia modulatora jest obrazowana w zerowym rz dzie. Nat»enie ±wiatªa nie jest tracone dzielimy je pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia. Widoczny na rysunku artefakt jest spowodowany odbiciem ±wiatªa od elementów ukªadu. Szczegóªowe informacje przedstawia rozdziaª 4. 4 Wytwarzanie dyfrakcyjnych siatek fazowych Przy pomocy przestrzennego modulatora fazy mo»na wytworzy tzw. fazowe siatki dyfrakcyjne. Zamiast modulatora odbiciowego rozwa»my modulator transmisyjny, co nie zmienia istoty zagadnienia, a znacznie mniej komplikuje wygl d rysunków. Niech na powierzchni modulatora, skªadaj c si z rz du komórek wypeªnionych ciekªym krysztaªem (sytuacja jednowymiarowa, któr ªatwo uogólni na dwa wymiary), pada pªaska monochromatyczna fala ±wietlna rysunek 6. Rysunek 6: Dziaªanie transmisyjnej fazowej siatki dyfrakcyjnej model jednowymiarowy. Wi zka padaj ca traa na rz d pikseli modulatora, do których przyªo»ono odpowiednie napi cie, co skutkuje rozdzieleniem nat»enia padaj cej wi zki pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia siatki dyfrakcyjnej. Reguluj c wysoko±ci pr»ków (napi ciem) mo»emy zmienia ilo± ±wiatªa traaj c do pierwszego rz du ugi cia. 4

Jak pokazano w rozdziale 1, przykªadaj c do ka»dej w komórek odpowiednie napi cie, mo»na regulowa opó¹nieniem fazowym fali ±wietlnej przechodz cej przez dan komórk. W rozdziale 2 pokazano,»e fale maj ce ró»n faz zale»n od poªo»enia w pªaszczy¹nie prostopadªej do kierunku propagacji wi zki, ogniskuj si w pªaszczynie ogniskowej w ró»nych punktach. Dzi ki temu, zmieniaj c przykªadane do poszczególnych komórek z ciekªym krysztaªem napi cie, mo»emy wysyªa wi zk ±wiatªa w wybranym przez nas kierunku. Dziaªanie takie odpowiada zwykªej amplitudowej siatce dyfrakcyjnej w tym jednak przypadku nie tracimy nat»enia ±wiatªa, a jedynie rozdzielamy je pomi dzy poszczególne rz dy ugi cia siatki dyfrakcyjnej. Szczegóªy dotycz ce dziaªania dyfrakcyjnych siatek fazowych znajduj si w pracach [3] i [4] oraz na rysunku 6. Rysunek 7: Fazowa siatka dyfrakcyjna wytworzona na powierzchni modulatora. Kolor czarny oznacza brak przykªadanego napi cia, kolor biaªy maksymalne napi cie. W teorii do s siednich pikseli mo»emy przykªada rosn ce liniowo napi cie, otrzymuj c siatk dyfrakcyjn o okresie pr»ków równym d. W praktyce ograniczeniem jest rozmiar pikseli modulatora, przez co spada rozdzielczo± modulacji fazy. W teorii mo»na zadawa opó¹nienie fazowe, przykªadaj c odpowiednie napi cie, z nieograniczon dokªadno±ci. W eksperymencie ogranicza nas rozmiar pikseli modulatora, których szeroko± wynosi 8µm. W obr bie jednego piksela faza musi pozosta staªa, gdy» przykªadamy to samo napi cie do caªej powierzchni pojedynczej komórki z ciekªym krysztaªem. W zwi zku z tym nie jest mo»liwe zadanie liniowo narastaj cej fazy, co pokazano na rysunku 7 obrazy otrzymywane na kamerze nie odpowiadaj tranfsormacie Fouriera wi zki wytworzonej przez modulator, na którym zadano liniow siatk dyfrakcyjn. Skutkiem niezerowych rozmiarów pojedynczych pikseli jest powielenie obrazu na kamerze. Na jako± obrazowania ma równie» wpªyw wielko± pikseli matrycy kamery, których rozmiary wynosz 6,5 µm. Rysunek 8: Dyfrakcyjna siatka fazowa wytworzona na modulatorze oraz odpowiadaj cy jej obraz na kamerze CCD, znajduj cej si w ognisku soczewki. Zaznaczono kierunek modulacji fazy oraz numery poszczególnych rz dów ugi cia ±wiatªa, widziane na kamerze. Powy»sza sytuacja odpowiada dziaªaniu amplitudowej siatki dyfrakcyjnej. 5

Przykªad wytworzonej siatki i obrazu z kamery przedstawia rysunek 8. Wida,»e obraz wi zki na kamerze jest z dobrym przybli»eniem transformat Fouriera wi zki wytworzonej przez modulator [1]. Na rysunku zaznaczono kierunek modulacji fazy, który dobrze pokrywa si z kierunkiem powstawania kolejnych rz dów ugi cia siatki dyfrakcyjnej na kamerze. Inne przykªady siatek, które zostaªy wytworzone na modulatorze celem sprawdzenia poprawno±ci dziaªania ukªadu, przedstawia rysunek 9. Sposoby wytwarzania dyfrakcyjnych siatek fazowych zostan omówione w rozdziale 5. Rysunek 9: Przykªady fazowych siatek dyfrakcyjnych wytworzonych na modulatorze. Od lewego górnego rogu: siatka liniowa (20 pikseli na pr»ek), siatka liniowa modulowana gaussem (przew»enie o szeroko±ci w 0 = 50µm za soczewk ), siatka liniowa z dodan faz kwadratow (przesuni cie podªu»ne ogniska o d = 2cm), siatka liniowa modulowana w dwóch miejscach krzywymi Gaussa (odlegªymi o d = 4mm). 5 Sterowanie ukªadem pomiarowym Oprogramowanie dostarczone przez producenta wraz z modulatorem [5] umo»liwia wytwarzanie fazowych siatek dyfrakcyjnych o kilku prostych ksztaªtach, lecz nie pozwala na precyzyjn kontrol nad parametrami tworzonych siatek. W tym celu stworzono w ±rodowisku programistycznym LabView progamy sªu» ce do kontrolowania pracy modulatora oraz do analizowania danych pochodz cych z kamery CCD znajduj cej si w ukªadzie. Schemat ideowy programu sªu» cego do deniowania proli tworzonych siatek dyfrakcyjnych przedstawia rysunek 10. Dane z programu steruj cego s wysyªane do modulatora, który jest podª czony do komputera jako drugi monitor. Na rysunkach 11 oraz 12 znajduj si stworzone z LabView interfejsy graczne do sterowania odpowiednio modulatorem i kamer. U»ytkownik ma kontrol nad prolem wytworzonej siatki oraz mo»e nia bie» co analizowa obraz z kamery CCD. Parametry, którymi mo»na manipulowa, s szczegóªowo opisane w podpisach pod odpowiednimi rysunkami. Rysunek 10: Schemat programu w ±rodowisku LabView sªu»acego do generowania fazowych siatek dyfrakcyjnych. Program pobiera od u»ytkownika parametry siatki, nast pnie w p tli wyznacza dla ka»dego piksela modulatora odpowiedni faz i przelicza j na napi cie. Obliczone dane s wy±wietlane na ekranie celem werykacji, jak równie» na powierzchni modulatora, podª czonego jako drugi monitor. 6

Rysunek 11: Interfejs graczny do sterowania modulatorem. Zaznaczone ramkami kontrolki umo»liwiaj dodanie fazy liniowej, kwadratowej, modulacji wi zk gaussowsk oraz okre±lenie poªo»enia wi zki na modulatorze. Program umo»liwia tworzenie dwóch niezale»nych siatek dyfrakcyjnych. W oknie programu mamy podgl d na powierzchni modulatora, jak równie» przekroje w dwóch pªaszczyznach. Rysunek 12: Interfejs graczny do sterowania kamer. Zaznaczone ramkami kontrolki umozliwiaj regulacj czasu na±wietlania matrycy CCD, jak równie» dopasowanie parametrów krzywej Gaussa do przekrojów wi zki gaussowskiej widzianej na kamerze, które mo»emy zmienia, reguluj c poªo»eniem suwaków w oknie podgl du kamery. Widoczne wi zki wytworzono za pomoc modulatora. 7

6 Precyzyjna kontrola interferencji Przy pomocy opisanych powy»ej programów mo»na sprawdzi, na ile dokªadnie jeste±my w stanie kontrolowa parametry wytwarzanych fazowych siatek dyfrakcyjnych. Wytwarzaj c na powierzchni modulatora dwie liniowe siatki dyfrakcyjne o ró»nej szeroko±ci pr»ków (odpowiednia 22 i 20 pikseli na pr»ek), modulowane krzywymi gaussowskimi, mo»emy obserwowa na kamerze powstaj cy obraz interferencyjny. Wi zki takie padaj na soczewk pod ró»nymi k tami, tym samym ogniskuj c si w ró»nych punktach. Sytuacj dla ró»nych poªo»e«kamery wzgl dem ogniska soczewki przedstawia rysunek 13. Obserwowana interferencja jest efektem zastosowania siatki dyfrakcyjnej przedstawionej w lewym górnym rogu rysunku 14. Obok widoczny jest przekrój obrazu widzianego przez kamer. Wida,»e dla piksela kamery o numerze 300 (zaznaczony strzaªk ) wyst puje konstruktywna interferencja. Zmieniaj c nieznacznie odlegªo± pomi dzy krzywymi Gaussa na modulatorze (lewy dolny róg na rysunku 14), w tym samym miejscu kamery obserwujemu interferencj destruktywn. Pokazuje to,»e mo»emy kontrolowa miejsce ugi cia wi zki ±wiatªa z modulatora z dokªadno±ci do pojedynczych pikseli kamery. Rysunek 13: Interferencja dwóch wi zek gaussowskich wytworzonych na modulatorze. Zaznaczono pªaszczyzny wraz z odlegªo±ci od ogniska, w których znajdowaªa si kamera. Od prawej: pocz tkowo widzimy oddzielne wi zki; w miar przesuwania kamery w lewo obserwujemy ich interferencj. Dalsze przesuwanie kamery w lewo powoduje osªabienie interferencji, gdy» zmniejsza si obszar przykrywania si obu wi zek. Rysunek 14: Obraz interferencji wi zek na kamerze. Lewa strona rysunku przedstawia dwie ró»ne fazowe siatki dyfrakcyjne inna jest odlegªo± pomi dzy dwiema wi zkami gaussowskimi, pozostaªe parametry identyczne. Po prawej stronie widzimy przekroje obrazu (w jednej pªaszczy¹nie) widzianego przez kamer CCD. Warto zwróci uwag na piksel oznaczony strzaªk w pierwszym przypadku zachodzi interferencja konstruktywna, w drugim destruktywna. 8

7 Wytwarzanie hologramów optycznych Przestrzenny modulator fazy mo»e sªu»y do wytwarzania hologramów optycznych, które nast pnie mo»na rejestrowa przy pomocy kamery CCD znajduj cej si w ukªadzie. Za pomoc dowolnego programu gracznego nale»y przygotowa informacj, któr ma znajdowa si na hologramie. Nast pnie przy pomocy oprogramowania dostarczonego wraz z modulatorem [5] przeksztaªcamy wczytany obraz na dyfrakcyjn siatk fazow o odpowiednim rozkªadzie fazy w pªaszczy¹nie modulatora. Program wykonuje po prostu odwrotn transformat Fouriera obrazka, z którego chcemy skonstruowa hologram. Zatem ustawiaj c kamer w ognisku soczewki (patrz rysunek 4), zgodnie z rozwa»aniami z rozdziaªu 2, w pªaszczy¹nie ogiskowej spodziewamy si otrzyma odkodowan informacj, któr wczytalimy przy pomocy przygotowanego obrazka. Efekt opisanej procedury przedstawia rysunek 15 w obrazie z kamery widoczny jest tak»e zerowy rz d ugi cia, w którym uzyskujemy obraz powierzchni modulatora. Rysunek 15: Hologram wygenerowany przy u»yciu modulatora. Kolejno: napis stworzony w dowolnym programie gracznym; powi kszony fragment fazowej siatki dyfrakcyjnej wytworzonej na powierzchni modulatora oraz obraz widziany przez kamer umieszczon w ognisku soczewki widoczny równie» obraz modulatora (zerowy rz d ugi cia). 8 Podsumowanie i wnioski W ramach wiczenia oprogramowano w ±rodowisku LabView przestrzenny modulator fazy ±wiatªa. Napisano progam umo»liwiaj cy wytworzenie na powierzchni modulatora precyzyjnych fazowych siatek dyfrakcyjnych, z mo»liwo±ci ªatwej manipulacji parametrami tworzonych siatek. Napisano równie» program do obsªugi kamery CCD, umo»liwiaj cy ogl danie hologramów wytwarzanych przez modulator SLM. Sprawdzono dziaªanie modulatora i stwierdzono,»e dziaªa on zgodnie z oczekiwaniami. Jednak»e modulator (na skutek zªego monta»u mechanicznego) wprowadza dodatkow faz, której nie jestemy w stanie kontrolowa. Kolejnym etapem pracy b dzie odzyskanie fazy wprowadzanej przez modulator SLM i wykalibrowanie modulatora, aby za pomoc napisanych programów komputerowych móc w sposób intuicyjny kontrolowa amplitud i faz wi zki ±wiatªa w przestrzeni. W przyszªo±ci zbudowany ukªad (po rozbudowie) posªu»y do generowania hologramów w parach atomów rubidu, wykorzystywanych do budowy pami ci kwantowej w Laboratorium Pami ci Kwantowych. Literatura [1] E. Hecht, Optics, 4th Edition, Addison Wesley (2002), Chapter 11. [2] B.E.A. Saleh, M.C.Teich, Fundamentals of Photonics, J.Wiley&Sons, Inc. (1991), Chapter 4. [3] J.A.Davis, D.M.Cottrell, J.Campos, M.J.Yzuel, I.Moreno, Appl. Opt. 23, 5004-5013 (1999) [4] J.A.Davis, K.O.Valadez, D.M.Cottrell, Appl. Opt. 11, 2003-2008 (2003) [5] Holoeye, Pluto SLM manual instrukcja obsªugi ciekªokrystalicznego SLM 9