2 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o długości l = 1,215 m i l = 0,5 cm. Nr pomiaru T[s] 1 2,21 2 2,23 3 2,19 4 2,22 5 2,25 6 2,19 7 2,23 8 2,24 9 2,18 10 2,16 Wyniki pomiarów okresu drgań dla wahadła o różnej długości. Nr pomiaru Długość wahadła [cm] Okres T[s] 1 50 1,38 2 70 1,68 3 90 1,91 4 110 2,11 5 130 2,26 6 150 2,46 7 170 2,61 8 190 2,76 9 210 2,88 10 230 2,98 Tutaj powinny znaleźć się wyniki pomiarów (tabelki) potwierdzone przez prowadzacego zajęcia laboratoryjne i podpis dyżurujacego pracownika obsługi technicznej.
3 1. Wstęp Celem ćwiczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego na podstawie pomiaru okresu drgań wahadła matematycznego oraz sprawdzenie zależności okresu drgań wahadła od jego długości. Wahadło matematyczne to ciało o niewielkich rozmiarach zawieszone na cienkiej i nieważkiej nici i umieszczone w polu sił ciężkości (przyspieszenie ziemskie g). Jeśli wahadło matematyczne o długości l zostanie odchylone od pionu o niewielki kat α i puszczone swobodnie, to zacznie wykonywać drgania harmoniczne. Okres T tych drgań określony jest zależnościa: l T = 2π g. (1.1) Podstawowy wzór potrzebny do dalszych obliczeń. Mierzac okres drgań oraz długość wahadła l można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego: g = 4π l T 2. (1.2) 2. Metoda pomiaru i układ pomiarowy Tutaj możesz umieścić schemat układu pomiarowego. Ćwiczenie składało się z dwóch części: I. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego: Wykonałem dziesięć pomiarów okresu (wyniki w tabeli 3.1). Następnie zmierzyłem długość linki wahadła uwzględniajac fakt, że powinienem określić długość do środka kulki (nie jest to możliwe, dlatego dokładność wyznaczenia długości jest zdecydowanie mniejsza niż dokładność miarki). II. Badanie zależności okresu drgań od długości wahadła: Pomiary wykonałem w podobny sposób jak w poprzedniej części. Dla każdej długości linki wahadła wykonałem jeden pomiar okresu. Długość linki zmieniałem od 0,5 do 2,1 m co 0,2 m. Wyniki pomiarów przedstawiłem w tabeli 3.2. 3. Opracowanie wyników pomiarów 3.1. Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego Podaj dokładność wyznaczania danej wielkości. Czas mierzyłem stoperem elektronicznym. Dokładność pomiaru czasu T = 0,01 s. Dokonałem pomiaru długości wahadła i jest ona równa l = 121,5 cm. Dokładność pomiaru długości l = 0,5 cm.
4 3.1.1. Obliczenia Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczałem korzystajac ze wzoru 1.2. Przykładowe obliczenie wartości przyspieszenia g = 4π l 1, 215m = 4π T 2 2, 21 2 s 2 = 9,820 904 m s 2, Zwróć uwagę na działania na jednostkach. lub g = 4π l 1, 215 m = 4π T 2 2, 21 2 s 2 = 9,820 904 m s 2. Pozostałe wartości obliczonych przyspieszeń przedstawiłem w tabeli poniżej. Tabela 3.1: Wyniki pomiarów okresu drgań i obliczenie wartości g. Nr pomiaru T[s] g[ m ] s 2 1 2,21 9,820904 2 2,23 9,645534 3 2,19 10,001100 4 2,22 9,732627 5 2,25 9,474820 6 2,19 10,001100 7 2,23 9,645534 8 2,24 9,559606 9 2,18 10,093064 10 2,16 10,280838 Wartościa najbardziej prawdopodobna jest wartość średnia przyspieszenia ziemskiego obliczona metoda Studenta-Fishera. Bład w tej metodzie można znaleźć zakładajac poziom istotności (ufności) α = 0, 95. Uzyskałem w ten sposób wartości: g = 9,825 513 m oraz g = 0,185 871 63 m. s 2 s 2 3.1.2. Wynik końcowy Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczona w części I ćwiczenia: g = (9, 82 ± 0, 19) m s 2. Jeżeli korzystasz z innych metod obliczeniowych, to musisz je dokładnie opisać! Podać wszystkie wzory i wyniki pośrednie.
5 Obliczenie wartość średniej przyspieszenia ziemskiego w metodzie Studenta-Fishera.
6 3.2. Badanie zależności okresu drgań od długości wahadła Jeśli wzór na okres drgań wahadła matematycznego (równanie 1.1) podniesie się obustronnie do kwadratu to otrzyma się następujac a zależność: T 2 = 4π 2 l g = 4π2 l. (3.1) g 3.2.1. Obliczenia Tabela 3.2: Wyniki pomiarów okresów drgań wahadła w zależności od długości wahadła. Nr pomiaru Długość wahadła [cm] Okres T[s] T 2 [s 2 ] 1 50 1,38 1,9044 2 70 1,68 2,8224 3 90 1,91 3,6481 4 110 2,11 4,4521 5 130 2,26 5,1076 6 150 2,46 6,0516 7 170 2,61 6,8121 8 190 2,76 7,6176 9 210 2,88 8,2944 10 230 2,98 8,8804 Jeśli narysuje się zależność kwadratu okresu od długości wahadła, to powinna to być zależność liniowa. Dodatkowo będzie można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego ze współczynnika kierunkowego prostej. Wykres wykonałem korzystajac z metody najmniejszych kwadratów w programie OPRA10. Wyniki obliczeń wskazuja, że zależność jest zależnościa liniowa, gdzie a = 3, 907864 10 2 s2 cm a = 0, 059941 10 2 s2 cm. Współczynnik korelacji (0, 99906) jest bliski wartości 1. Tak więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości badanej zależności. Ze współczynnika kierunkowego prostej a można wyznaczyć g i wynosi ono: g = 4π2 a = 4π 2 3, 907864 1 s 2 m = 10,092 060 5 m s 2.
7 Obliczenie przyspieszenia ziemskiego metoda najmniejszych kwadratów zależność T 2 (l).
8 Bład wyznaczania wartości przyspieszenia należy obliczyć ze wzoru: g = g a a = 10, 0920605 m 0, 059941 s 2 3, 907864 s 2 m m s 2 = 0,154 797 m s 2. 3.2.2. Wynik końcowy Wartość przyspieszenia ziemskiego obliczona w części II ćwiczenia: g = (10, 09 ± 0, 15) m s 2. 4. Wyniki końcowe Wyznaczyłem następujace wartości przyspieszenia ziemskiego dla wahadła matematycznego na podstawie: I. pomiaru okresu drgań g = (9, 82 ± 0, 19) m s 2, Pamiętaj wynik końcowy błędu to maksymalnie 2 cyfry znaczace! II. sprawdzenia zależności okresu drgań tego wahadła od jego długości g = (10, 09 ± 0, 15) m s 2. 5. Wnioski Wartość tablicowa przyspieszenia ziemskiego mieści się w wyznaczonym przedziale. Jak można zauważyć metoda pierwsza (wielokrotne pomiary okresu drgań wahadła matematycznego) daje wartość przyspieszenia zbliżona do wartości teoretycznej (dla Warszawy przyspieszenie ziemskie wynosi 9,8157 m ) i niepewność s 2 wyznaczenia tej wartości jest większa niż w drugiej metodzie. Obie metody sa dokładne, gdyż niepewność względna w obu przypadkach jest rzędu 1, 5 2%. Największy wpływ na dokładność wyników ma na pewno niedokładność wychylania kulki od pionu. Za każdym razem był to jednak inny kat, a zastosowany wzór stanowi tylko przybliżenie i jest słuszny dla małych katów. Przy większych katach należałoby uwzględnić poprawki zwiazane z tymi katami.