Przeczytaj, zaim zacziesz rozwiązywać Maturzysto! Zaim rozpocziesz rozwiązywaie zadań z aszych arkuszy: Przygotuj: u Arkusz I 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; Arkusz II 5 kartek papieru podaiowego w kratkę a czystopis i a brudopis; u kalkulator; u długopis z czarym wkładem; u liijkę i cyrkiel; u zestaw wzorów; u zegar. Sprawdź czas a zegarze, zaotuj godzię rozpoczęcia pracy. Rozwiązuj zadaia z Arkusza I, każde a oddzielej stroie. Gdy miie 0 miut, zakończ pracę bez względu a to, ile zadań masz rozwiązaych. Jeżeli zamierzasz zdawać maturę a poziomie rozszerzoym, przerwij pracę a pół godziy. Odotuj godzię a zegarze i rozwiązuj zadaia z Arkusza II, każde a oddzielej kartce. BLANKA ŁĄTKA Gdy miie 50 miut, zakończ pracę bez względu a to, ile zadań masz rozwiązaych. Teraz a podstawie schematu oceiaia sprawdź swoją pracę. Jeżeli rozwiążesz zadaie iaczej, iż to przewiduje schemat oceiaia, możesz poprosić o oceę poprawości jego rozwiązaia swojego auczyciela. Jeżeli Twoje rozwiązaie jest bezbłęde, oceń je a maksymalą liczbę puktów przewidziaą w schemacie oceiaia. Pamiętaj! Na maturze rozwiązaia w brudopisie ie będą brae pod uwagę przez komisję egzamiacyją. Odotuj liczbę puktów z każdego arkusza oddzielie i oblicz, ile to procet liczby 50. Powodzeia! Z CZEGO KORZYSTAĆ NA PISEMNEJ MATURZE 006 Zdający mogą korzystać z materiałów pomociczych, które będą przygotowae w sali, oraz z własych przyborów i urządzeń, które są wymieioe a liście poiżej Przedmiot matematyka chemia fizyka i astroomia geografia iformatyka egzami maturaly dla osób iesłyszących egzami maturaly dla osób iewidomych i słabowidzących Materiały i przybory zestaw wybraych wzorów matematyczych dla każdego zdającego, każdy zdający powiie mieć cyrkiel, liijkę, kalkulator prosty* karta wybraych tablic chemiczych dla każdego zdającego, każdy zdający może mieć kalkulator prosty* karta wybraych wzorów i stałych fizyczych dla każdego zdającego, każdy zdający może mieć kalkulator prosty* każdy zdający powiie mieć ołówek, gumkę, liijkę, lupę, każdy zdający może mieć kalkulator prosty* każdy zdający może mieć kalkulator prosty* słowik języka polskiego, słowik wyrazów obcych, słowik wyrazów bliskozaczych ie miej iż a 5 osób przykładowe grupy sprzętu i oprogramowaia specjalistyczego do wykorzystywaia a egzamiie maturalym przez osoby iewidome lub słabowidzące: moitory/liijki brajlowskie, otatiki brajlowskie, drukarki brajlowskie, urządzeia lektorskie, powiększaliki. *Kalkulator prosty ie może to być kalkulator, który rysuje wykresy, rozwiązuje rówaia, oblicza parametry daych statystyczych (a podstawie stroy CKE www.cke.edu.pl)
Arkusz I Poziom podstawowy Zadaie. Na poiższej fakturze podatek VAT został aliczoy od wartości etto. Uzupełij tę fakturę. Lp. Nazwa artykułu J.m. Ilość Cea jedostkowa Wartość etto (zł) Podatek VAT Wartość bez podatku VAT (zł) % Kwota (zł) z podatkiem (zł) Szampo szt.,5,5 Odżywka do włosów szt.,0 Kofitura morelowa szt. 6,50 9,50 7 Czekolada deserowa szt. 5 7,05 Razem Zadaie. Wszyscy mieszkańcy Pompoladii jeżdżą samochodami osobowymi marki Pompo. Na diagramie przedstawioo utarg jedej ze stacji bezyowych w tej kraiie. a) Oblicz średi utarg dziey tej stacji. b) W poiedziałek litr bezyy kosztował, pomów. Ile litrów bezyy sprzedao w poiedziałek? c) Ile kilometrów łączie przejadą samochody, zużywając bezyę zakupioą a tej stacji w poiedziałek, jeśli samochód marki Pompo spala średio 7,5 litra bezyy a 00 km? Wyik zaokrąglij do km.
Zadaie. Zadaie. ( pkt) W kokursie plastyczym przyzao agrody a łączą kwotę 00 zł. Najwyższa agroda wyosiła 600 zł, a ajiższa 00 zł. Wiadomo poadto, że iloraz wartości dowolych dwóch kolejych agród był taki sam. Ile agród przyzao? Ala i Beata mieszkają przy tej samej ulicy w odległości 750 m od siebie. Ulica ta jest rówoległa do ulicy, przy której mieszkają Czarek i Darek. Domy chłopców zajdują się w odległości km od siebie. Czarek ma o,6 km dalej do sklepu iż Beata. Ile metrów do sklepu ma Beata? Zadaie 5. Zadaie 6. ì ü Wyzacz A ÇB, A \ B oraz B \ A, jeżeli A íxîr :x- ³ ý, B{ xîr : 6-x > x -. î þ Proste o rówaiach x+y+ 0, x-y- 0 oraz x+ y- 7 0 zawierają boki trójkąta. Oblicz obwód tego trójkąta. Uzasadij, że trójkąt te jest prostokąty i oblicz pole opisaego a im koła. xx} Zadaie 7. Wyzacz zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których wyrażeie x + x + + - x x+ ma ses liczbowy.
5 Zadaie. Zadaie 9. Zadaie 0. Zadaie. (5 pkt) Kod dostępu do komputera składa się z trzech spośród 6 dużych liter alfabetu oraz pięciu cyfr. Na ile różych sposobów moża zakodować dostęp, jeżeli litery i cyfry mogą się powtarzać, a a ile, jeżeli ie mogą? Rozpatrz te dwa przypadki, gdy: a) wszystkie litery są a początku kodu, b) litery i cyfry mogą występować w dowolym miejscu kodu. Średica koła o promieiu r 6 jest podstawą trójkąta rówoboczego. Wykoaj odpowiedi rysuek. Oblicz stosuek pola części trójkąta leżącej wewątrz koła do pola części trójkąta leżącej a zewątrz koła. Oblicz, jaką kwotę wpłacoo przy zakładaiu lokaty oprocetowaej % w skali roku, wiedząc, że odsetki kapitalizowae są co miesiąc, a po czterech miesiącach sta kota był rówy,09 zł. Wyik zaokrąglij do zł. Na rysuku przedstawioo szkic kotła parowego z półkolistym dem. Kocioł te wraz z pokrywą ma być dwukrotie pokryty z zewątrz warstwą termoodporej farby atykorozyjej. a) Oblicz w litrach pojemość kotła. Do obliczeń przyjmij p,. b) Ile ależy kupić litrowych puszek farby, jeżeli jede litr farby wystarcza a pomalowaie m powierzchi?
6 Arkusz II Poziom rozszerzoy Zadaie. ( pkt) Zadaie. ( pkt) Zadaie. Zadaie 5. Zadaie 6. (9 pkt) Zadaie 7. Wektor b jest rówoległy do wektora a -,. Wiedząc, że b 0, wyzacz współrzęde wektora b. æp ö Wyzacz zbiór wartości fukcji f ( x) cos x- siç + x. è 6 ø Dae są zdarzeia Zbadaj, czy zdarzeia A i B są iezależe. Dla jakich wartości parametru p wielomia W ( x) x - x+ P (-, ) Przez pukt prowadzimy proste przeciające osie układu współrzędych w puktach i B ( 0, y), przy czym x < 0 i y > 0. Wyzacz rówaie tej z ich, dla której suma odległości puktów A i B od początku układu współrzędych jest ajmiejsza. ma trzy róże pierwiastki? W zbiorze zdarzeń elemetarych W są spełioe założeia twierdzeia o prawdopodobieństwie całkowitym, czyli B, B,..., B są zdarzeiami parami wykluczającymi się, których suma jest rówa W oraz P ( B i ) > 0 dla i Î {,,,..., }. Jeżeli poadto prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia AÌW jest dodatie, to prawdziwy jest wzór P ( ) ( ABi) P( Bi) PBiA, P AB PB +... + P AB PB i Î{,,,..., } ( ) ( ) ( ) ( ) A ÌW, B ÌW takie, e ( ) [ ] W ( x) ( x x ( )[ x + ( p-) x+ p] [ ( ) ] A' P, P ( B), ( AÈB) A(x, 0) dzięki któremu zostaie obliczoe prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia B i, pod warukiem że zaszło zdarzeie A. Stosując powyższy wzór, rozwiąż zadaie: W pewej populacji a 000 mężczyz 5, a a 000 kobiet ma wadę wymowy. Z próby liczącej jedakową liczbę kobiet i mężczyz wylosowao osobę mającą wadę wymowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to mężczyza. 7 P.
7 Zadaie. (5 pkt) Rozwiąż rówaie: æ6ö æ ç ç è ø è - ö x æ ö ç ç ø -x è ø 0. Zadaie 9. (5 pkt) Bok trójkąta rówoboczego ABC ma długość a. Na bokach AB, BC, CA tego trójkąta obrao odpowiedio takie pukty D, E, F, że AD a, BE a, CF a. Oblicz długości boków trójkąta DEF. 5 5 Zadaie 0. Ciąg ( ) a określoy jest rekurecyjie w astępujący sposób: a) Wyzacz wzór ogóly tego ciągu. b) Oblicz graicę lim - [ a ( - 7- + 5+ ) ] ìa ï í a ï a+ dla ³ î a + Zadaie. (7 pkt) Pukt S jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątego ABCDS. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość, a krawędź bocza tworzy z płaszczyzą podstawy kąt 60. Przez wierzchołek A podstawy, rówolegle do przekątej BD, poprowadzoo płaszczyzę sieczą tworzącą z płaszczyzą podstawy ostrosłupa kąt 5. Sporządź rysuek ostrosłupa, zazacz otrzymay przekrój i oblicz pole tego przekroju.
Zadaie. Zadaie. Model odpowiedzi i schemat oceiaia do arkusza I Za każdą czyość ozaczoą l uczeń otrzymuje pukt. l Obliczeie cey jedostkowej i wartości etto odżywki do włosów: 9,96 zł, 9,9 zł l Obliczeie podatku VAT: szampou -,95 zł, odżywki do włosów -, zł, kofitury -,7 zł l Obliczeie cey jedostkowej i wartości etto czekolady: zł, 5 zł l Obliczeie łączej wartości brutto: 7,0 zł,9+,+ 5,7+ 0,+ 6,5+,+, l Obliczeie średiego utargu:, (tys. pomów) 7 900 l Obliczeie, ile litrów bezyy sprzedao w poiedziałek: 500, l Wskazaie metody obliczeia liczby x przejechaych kilometrów, p. 7,5 00 l Obliczeie liczby przejechaych kilometrów: x» 6667 km 500 x Zadaie. Zadaie. ( pkt) Zadaie 5. l Zauważeie, że kwoty kolejych agród tworzą ciąg geometryczy, w którym a 600, a 00, S 00 (lub a 00, a 600, S 00 ) 600-00q 00-600q l Zapisaie rówaia: 00 (lub 00 ) -q -q l Obliczeie ilorazu: l Obliczeie liczby agród: l Wprowadzeie ozaczeia i zamiaa jedostek, p.: x - odległość w m od sklepu do domu Beaty,,6 km 600 m x 750 l Wykorzystaie podobieństwa odpowiedich trójkątów i zapisaie proporcji: x+600 000 l Rozwiązaie rówaia: x 960 l Wyzaczeie zbioru A: l Zapisaie ierówości w postaci p. - x + x+ 6> 0 i wyzaczeie pierwiastków trójmiau kwadratowego: x -, x q (lub q ) 5 æ ö A ç- ;- È ; è ø l Wyzaczeie zbioru B: æ ö B ç - ; è ø
9 Zadaie 6. l Wyzaczeie zbioru l Wyzaczeie zbioru A \ B : l Wyzaczeie zbioru B \ A : l Aaliza zadaia, p. sporządzeie i ozaczeie rysuku l Wyzaczeie współrzędych wierchołków trójkąta z odpowiedich układów rówań: l Obliczeie obwodu trójkąta ABC: 9 + 0 l Wykazaie, że æ ö AÇ B : A ÇB ç- ;- È ; è ø AB + BP AC æ ö B \A ç - ; è ø æ A \ B ç- ;- È ; ) è i zastosowaie twierdzeia odwrotego do twierdzeia Pitagorasa l Zauważeie, że średicą koła opisaego a trójkącie ABC jest odciek AC A (-5,), B (,- ), C (,) Zadaie 7. l Obliczeie pola koła opisaego a trójkącie ABC: 5 p l Zapisaie waruków prowadzących do wyzaczeia szukaego zbioru: x+ -x- l Przekształceie ierówości - > 0 do postaci: > 0 x+ x+ l Rozwiązaie ierówości: l Wyzaczeie zbioru: xî( - ; -) (- ; - ) È( - ; -) x+ - > 0 i x + ¹ 0 i x + ¹ 0 x+ Zadaie. l Obliczeie liczby kodów, gdy wszystkie litery są a początku kodu oraz litery i cyfry mogą się powtarzać: 5 6 0 757 600 000 l Obliczeie liczby kodów, gdy wszystkie litery są a początku kodu oraz litery i cyfry ie mogą się powtarzać: 6 5 0 9 7 6 7 7 000 l Obliczeie liczby kodów, gdy litery mogą występować w dowolym miejscu kodu oraz litery i cyfry mogą się powtarzać: 5 æ ö ç 6 0 9 5 600 000 èø l Obliczeie liczby kodów, gdy litery mogą występować w dowolym miejscu kodu oraz litery i cyfry ie mogą się powtarzać: æö ç 6 5 0 9 7 6 6 7 66 000 èø Zadaie 9.
0 l Sporządzeie rysuku i wprowadzeie ozaczeń l Uzasadieie, że: DOEBºDODAºDODE º DDEC l Obliczeie pola wycika koła DOE: P DOE 6p l Obliczeie pola części trójkąta leżącej wewątrz koła: + 6p P w l Obliczeie pola części trójkąta leżącej a zewątrz koła: - 6p P z l Obliczeie stosuku pól: P P w z + p -p Zadaie 0. l Wskazaie metody rozwiązaia zadaia: zastosowaie wzoru a procet składay l Zapisaie rówaia: l Obliczeie wartości potęgi: æ ö,09 K o ç + è 00 ø æ ç + è 00 ö,000756 ø l Obliczeie kwoty K i zaokr¹gleie jej do z³: K 00 z³ o o Zadaie. (5 pkt) l Obliczeie promieia walca i półkuli: l Obliczeie objętości walca i półkuli: r 0,9 m V w pr H, 6p m, V p p r 0, 6p m, V,06p m l Zamiaa metrów sześcieych a litry: m 000 l, V 06p l» 66, l l Obliczeie powierzchi zewętrzej kotła: P prh + pr + pr prh + pr 6,0p m»,9 m l Obliczeie liczby puszek farby (dwukrote malowaie): 5 Uwaga! Za każde poprawe rozwiązaie zadaia ie od zapropoowaego w modelu odpowiedzi przyzaje się maksymalą liczbę puktów.
Model odpowiedzi i schemat oceiaia do arkusza II Za każdą czyość ozaczoą l uczeń otrzymuje pukt. Zadaie. ( pkt) l Obliczeie długości wektora a : a 5 l Wykorzystaie waruku rówoległości wektorów do zapisaia rówości: b a lub b -a l Obliczeie współrzędych wektora Uwaga: jeśli uczeń uwzględi tylko przypadek b : b [-,6] lub b [ -, 6] b a, to za rozwiązaie zadaia przyzaje się pkt. Zadaie. ( pkt) l Zastosowaie wzoru redukcyjego i zapisaie wzoru fukcji p. w postaci: æp p ö f ( x) cosx- cosç - - x, D R è 6 ø l Zastosowaie wzoru a różicę cosiusów i przekształceie wzoru fukcji do postaci: l Podaie zbioru wartości fukcji f (x) : - ; æ p ö f ( x) -siçx- è 6ø Zadaie. l Skorzystaie z prawdopodobieństwa zajścia zdarzeia przeciwego i obliczeie prawdopodobieństwa zajścia zdarzeia A: P( A) l Skorzystaie z własości prawdopodobieństwa sumy zdarzeń i obliczeie P( AÇ B) : P ( AÇB) l Obliczeie iloczyu prawdopodobieństw A i B: P ( A) P( B) l Ziterpretowaie wyiku i podaie odpowiedzi: zdarzeia są iezależe Zadaie 5. l Sprawdzeie, że rówaie - x+ 0 l Zapisaie waruku, przy którym rówaie rówy : D > 0 i + ( p -) + p¹ 0 x ma jede pierwiastek podwójy: ma dwa róże pierwiastki i żade z ich ie jest l Rozwiązaie ierówości p - 6p+ > 0 : pî (- ; - ) È( + ; ) æ ö æ ö l Uwzględieie waruku p¹- i podaie odpowiedzi: pî ç- ;- Èç- ; - È( + ; ) x ( p-) x+ 0 + p è ø è x ø
Zadaie 6. (9 pkt) l Zapisaie rówaia prostej przechodzącej przez pukt P: y mx+ + m l Wyzaczeie współrzędych puktów l Zauważeie, że m>0 l Wyzaczeie odległości puktów A i B od początku układu współrzędych O: m+ OA, OB m+ m l Przedstawieie sumy długości odcików OA i OB jako fukcji zmieej m: m + 5m+ f ( m) m Î 0; m l Wyzaczeie pochodej fukcji f: ' m - f ( m), m Î ( 0; ) m, ( ) l Obliczeie wartości m spełiającej waruki l Uzasadieie, że dla m fukcja f (m) osiąga wartość ajmiejszą l Zapisaie rówaia prostej: y x+ 6 A i B: æ m+ ö ç-, 0 è m ø A, B ( 0, m+ ) ' f ( m) 0 i Î ( 0; ) m : m Zadaie 7. l Aaliza zadaia, p. ozaczeie i opisaie zdarzeń: A wylosowao osobę z wadą wymowy, B wylosowao mężczyzę, B wylosowao kobietę l Wywioskowaie z treści zadaia, że l Obliczeie prawdopodobieństw warukowych: P ( B ), P ( ) B 5 P ( AB ), P ( AB ) 000 000 l Obliczeie prawdopodobieństwa warukowego: P 5 ( B A) 0, 65 Zadaie. (5 pkt) l Wyzaczeie dziedziy wyrażeia: æ l Przekształceie rówaia do postaci: ç è D R \{ 0, } - x - -x x- -x l Sprowadzeie rówaia do postaci: + x -x ö 6 ø
l Przekształceie rówaia do postaci: x - x+ 0 l Rozwiązaie rówaia z uwzględieiem dziedziy: x Zadaie 9. (5 pkt) l Sporządzeie rysuku i zauważeie, że AF a, CE a, BD a 5 5 l Uzasadieie, że trójkąt ADF jest trójkątem rówoboczym i stwierdzeie, że DF a 5 l Wykazaie, że trójkąty DBE i FCE są przystające i wywioskowaie, że odciki DE oraz FE są rówej długości l Zastosowaie wzoru cosiusów w trójkącie DBE do obliczeia długości boku DE: DE æ ö æ ö ç a + ç a - a a cos60 è 5 ø è ø 5 l Obliczeie długości boku DE: DE 0 7 a o Zadaie 0. l Wyzaczeie wzoru ogólego ciągu ( a ) : a - Zadaie. (7 pkt) l Sprawdzeie, że otrzymay wzór jest prawdziwy dla oraz zapisaie założeia i tezy idukcyjej l Wykazaie prawdziwości tezy idukcyjej oraz podsumowaie dowodu idukcyjego l Przekształceie wyrażeia w awiasie do postaci: l Przekształceie wyrażeia do postaci: l Obliczeie graicy: lim [ a ( - 7- + 5+ ) ] - lim - l Sporządzeie rysuku ostrosłupa i zazaczeie a im przekroju: æ ç è æ ö ç- - - è ø 7 - + - 7-5 + + ö ø + 5+ - - 7+ -- + 5+
l Uzasadieie, że otrzymay przekrój AKLM jest deltoidem Przykładowy zestaw zadań maturalych z matematyki przygotowały Jadwiga Brzezińska i Ewa Ludwikowska, egzamiatorki maturale, autorki Wymagań programowych z matematyki dla liceum ogólokształcącego, liceum profilowaego i techikum oraz Zestawów maturalych zakres podstawowy i rozszerzoy (wyd. Nowa Era) Kosultacja merytorycza dr Edward Stachowski, Istytut Matematyki Uiwersytetu Warszawskiego, rzeczozawca Miisterstwa Edukacji i Nauki CO USTNIE, CO PISEMNIE, CO OBOWIĄZKOWE, A CO DODATKOWE NA MATURZE 006 CZĘŚĆ USTNA CZĘŚĆ PISEMNA przedmioty obowiązkowe u język polski tu ie wybierasz poziomu podstawowego czy rozszerzoe- wybray jako obowiązkowy zdawa- u język obcy owożyty iy iż go egzami zdajesz według zasad y a poziomie rozszerzoym. Do wyboru masz: agielski, iemiecki, rosyj- opisaych w iformatorze maturalym z polskiego; ski, fracuski, włoski, hiszpański, portugalski, szwedzki, słowacki; u język obcy owożyty zdajesz a poziomie podstawowym lub rozszerzoym. Do wyboru masz: agielski, ie- zdaway a jedym poziomie, okre- u język grupy eticzej (kaszubski) miecki, rosyjski, fracuski, włoski, hiszpański, portugalski, szwedzki, słowacych w iformatorze maturalym. śloym w stadardach egzamiacyjki; u język miejszości arodowej (dla absolwetów szkół lub klas z auczaiem języka daej miejszości) podobie jak przy polskim, ie wybierasz między poziomem podstawowym i rozszerzoym, zdajesz według zasadl Obliczeie długości odcika opisaych w iformatorze maturalymos i wysokości ostrosłupa daego języka. Na maturze jako język miejszości moża zdawać: białoruski, l Obliczeie długości odcika MK: MK 6 ( -) przedmioty dodatkowe SS ' : OS ', SS ' 6 l Zastosowaie twierdzeia siusów w trójkącie ACL przedmioty obowiązkowe Zdajesz a poziomie podstawowym lub rozszerzoym ty wybierasz poziom u język polski; u język obcy owożyty (te sam, który zdawałeś jako obowiązkowy w części ustej). Do wyboru masz: agielski, iemiecki, rosyjski, fracuski, włoski, hiszpański, portugalski, szwedzki, słowacki; u jede przedmiot wybray spośród astępujących: biologia chemia fizyka z astroomią geografia historia historia muzyki historia sztuki matematyka wiedza o społeczeństwie wiedza o tańcu; u język miejszości arodowej dla absolwetów szkół lub klas, w których uczy się języka daej miejszości. Na maturze jako język miejszości moża zdawać: białoruski, litewski, ukraiński, iemiecki. przedmioty dodatkowe Zdajesz a poziomie rozszerzoym u jede, dwa lub trzy przedmioty wybrae spośród astępujących (oprócz tego, który wybrałeś jako obowiązkowy): biologia geografia chemia fizyka z astroomią historia historia muzyki historia sztuki iformatyka język grecki (klasyczy) i kultura atycza język łaciński i kultura atycza język obcy owożyty (iy iż te, który wybrałeś jako obowiązkowy). Do wyboru masz: agielski, iemiecki, rosyjski, fracuski, włoski, hiszpański, portugalski, szwedzki, słowacki język grupy eticzej (kaszubski może być zdaway ustie lub pisemie) matematyka wiedza o społeczeństwie wiedza o tańcu.