Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki. Graniczne własności łańcuchów Markowa
|
|
|
- Aniela Owczarek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zbigniew S. Szewczak Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Graniczne własności łańcuchów Markowa Toruń, 2003
2 Co to jest łańcuch Markowa? Każdy skończony, jednorodny łańcuch Markowa jest równoważny modelowi urnowemu
3 Model urnowy Urna czarna, czerwona, niebieska 1 2 0
4 Model urnowy - zasada 1 Kolor urny, z której losujemy, jest taki sam jak ostatnio wylosowana kula 1 2 0
5 Model urnowy - zasada 2 Zawsze zwracamy wylosowaną kulę do urny i mieszamy kule 1 2 0
6 Model urnowy - losowanie 0 Najpierw losujemy jedną kulę z urny czarnej 1 2 0
7 Model urnowy - losowanie 0 Chowamy urnę czarną do szafy 1 2 0
8 Model urnowy - losowanie 0 Ponieważ wylosowaliśmy kulę niebieską to pierwsze losowanie będzie z urny niebieskiej 1 2
9 0 Model urnowy - losowanie 1 W pierwszym losowaniu uzyskujemy kulę czerwoną 1 2
10 Model urnowy - losowanie 1 Ponieważ wylosowaliśmy kulę czerwoną to następne losowanie będzie z urny czerwonej 1 2
11 Model urnowy - losowanie 2 Zwracamy kulę czerwoną do urny niebieskiej Losujemy z urny czerwonej kulę czerwoną 1 2
12 Model urnowy - losowanie 3 Zwracamy kulę czerwoną do urny czerwonej Losujemy z urny czerwonej kulę niebieską 1 2
13 Model urnowy - losowanie 4 Zwracamy kulę niebieską do urny czerwonej Losujemy z urny niebieskiej kulę niebieską 1 2
14 Model urnowy - losowanie 5 Zwracamy kulę niebieską do urny niebieskiej Losujemy z urny niebieskiej kulę czerwoną itd
15 Model ze zwracaniem i wymianą Jeśli wylosowana kula jest tego samego koloru co poprzednio wylosowana kula to: losujemy dalej Jeśli nie to: ujmujemy cztery kule wylosowanego koloru i dodajemy cztery koloru przeciwnego 1 2
16 Drzewo losowań n O c n 1 c n c n 2 c n c n c n c n 3 n 4
17 Model urnowy - kolor (1 Pierwszy przypadek nieciekawy 1 2 0
18 Model urnowy - kolor (2 Drugi przypadek nieciekawy 1 2 0
19 Model urnowy - niezależny (1 Składy urn są jednakowe = schemat Bernoulliego 1 2 0
20 Model urnowy - niezależny (2 Równie dobrze moglibyśmy losować jedynie z urny czerwonej 1 2 0
21 Jaka jest częstość względna? Częstość względna występowania kul niebieskich =(liczba wylosowanych kul niebieskich/(liczba losowań Jak zmienia się częstość względna występowania kul niebieskich w przypadku, gdy składy urn są jednakowe a liczba losowań się zwiększa?
22 Schemat Bernoulliego Jakub Bernoulli I ur , Bazylea zm , Bazylea Prawo wielkich liczb dla schematu Bernoulliego Szansa na to, że częstość względna pojawienia się kul 5 niebieskich odchyli się od 12 o dowolnie małą liczbę dodatnią zmierza do zera wraz ze wzrostem liczby losowań. (1713
23 Model urnowy Składy urn są różne 1 2 0
24 Jaka jest częstość względna? Jaka jest częstość względna pojawienia się kuli niebieskiej w przypadku, gdy składy urn nie są jednakowe? Na to pytanie prawo wielkich liczb Bernoulliego nie daje odpowiedzi bowiem jest to binarny łańcuch Markowa
25 Łańcuch Markowa Andriej A. Markow I ur , Riazań zm , Petersburg Prawo wielkich liczb dla łańcuchów Markowa Szansa na to, że częstość względna pojawienia się kul 4 niebieskich odchyli się od 11 o dowolnie małą liczbę dodatnią zmierza do zera wraz ze wzrostem liczby losowań. (1906
26 Model urnowy Cztery urny : ciekawe czy nieciekawe czy ciekawe?
27 Model urnowy Pięć urn: ciekawe czy nieciekawe czy ciekawe? ? 3 5 0
28 Twierdzenie Wielandta Jeśli losowując kulę dowolnego koloru z 2 dowolnej z N urn po N - 2. N + 2 krokach możemy wylosować kulę dowolnego koloru to taki łańcuch Markowa jest ciekawy. Ciekawy bowiem zachodzi dla niego wiele praw rachunku prawdopodobieństwa
29 Model urnowy Trzy urny dlatego, że trzy jest drugą liczbą pierwszą
30 Model urnowy (c.d. Z urny niebieskiej nie ma bezpośredniego przejścia do urny zielonej 1 2 3
31 Tablica 3x3 u k
32 Macierz u->i k->j i j
33 Macierz stochastyczna i j suma liczb w każdym wierszu wynosi 1
34 suma strzałek wychodzących wynosi 1 Graf stochastyczny
35 Macierz przejścia i j p p p p p p p 31 liczby nieujemne suma liczb w każdym wierszu wynosi 1 p p 32 33
36 Nieciekawy 1 i j macierz jednostkowa
37 Nieciekawy 2 i j transponowana macierz jednostkowa
38 Schemat Bernoulliego i j niezależny: takie same wiersze
39 Macierz przejścia - zadanie i j 1 1? 2? 2?? urna czerwona: 4 x i 8 x urna niebieska: 5 x i 7 x
40 Co dalej? 4 11 Skąd te w prawie wielkich liczb Markowa? Jak szybko szansa na to, że częstość względna występowania kul niebieskich odchyli się od 4 o 11 więcej niż zmierza do zera? Czy jest na to jakieś oszacowanie?
41 Rozkład stacjonarny Skład urn : 4 kule niebieskie, 7 kul czerwonych 1 2 0
42 Własności graniczne Twierdzenia graniczne dla łańcuchów Markowa twierdzenie spektralne dla macierzy przejścia twierdzenie ergodyczne dla macierzy przejścia prawo wielkich liczb teoria wielkich odchyleń Twierdzenia graniczne można symulować komputerowo symulacja prawa wielkich liczb Markowa - Maple
43 Macierz stochastyczna Definicja. Tablicȩ liczb postaci żetak a, oraz nazywamy macierz a stochastyczn a Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 2/2
44 Macierz stochastyczna gdzie postaci Definicja. Tablicȩ liczb oraz że tak a, nazywamy macierz a stochastyczn a Przykład. Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 2/2
45 Prawdopodobieństwa przejścia Definicja. Liczby nazywamy prawdopodobieństwami przejścia za jeden krok i oznaczamy. Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 3/2
46 Prawdopodobieństwa przejścia nazywamy prawdopodobieństwami przejścia za jeden krok i oznaczamy. Definicja. Liczby to liczby Definicja. Jeśli kroków nazywamy prawdopodobieństwami przejścia za Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 3/2
47 Przykład dla Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 4/2
48 Przykład dla Prawdopodobieństwa przejścia za 2 kroki Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 4/2
49 Przykład dla i Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 5/2
50 i Przykład dla! "! "! " "! Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 5/2
51 Przykład dla Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 6/2
52 Przykład dla Prawdopodobieństwa przejścia za 3 kroki % $ % $ # % $ % $ # % $ % $ # % $ % $ # Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 6/2
53 Przykład dla i Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 7/2
54 i Przykład dla! "!! # " " "! #! " "!!! "! # " " " "!! "! # Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 7/2
55 Oznaczmy ' & Załóżmy, że ( Zadanie + Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 8/2
56 Oznaczmy ' & Załóżmy, że ( + ( ( ( Zadanie ( ' Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 8/2 Wykazać, że
57 Wskazówka Mamy Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 9/2
58 Wskazówka Mamy to Ponieważ % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 9/2
59 Wskazówka Mamy to Ponieważ % $ do obu stron Dodajemy % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 9/2
60 Wskazówka Mamy to Ponieważ % $ do obu stron Dodajemy % $ Mnożymy wyrażenie w nawiasie Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 9/2
61 Wynosimy Wskazówka (c.d. poza nawias % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 10/2
62 Wskazówka (c.d. poza nawias Wynosimy % $ to Ponieważ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 10/2
63 Wskazówka (c.d. poza nawias Wynosimy % $ to Ponieważ na praw a stronȩ Przenosimy Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 10/2
64 Wskazówka (c.d. poza nawias Wynosimy % $ to Ponieważ na praw a stronȩ Przenosimy na Zamieniamy Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 10/2
65 Wynosimy Wskazówka (c.d. poza nawias % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 11/2
66 Wskazówka (c.d. poza nawias Wynosimy % $ poza nawias Wynosimy % $ % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 11/2
67 Wskazówka (c.d. Ponieważ poza nawias dzielimy obie strony przez Wynosimy % $ poza nawias Wynosimy % $ % $ & % $ Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 11/2
68 Wskazówka (c.d. Ponieważ poza nawias dzielimy obie strony przez Wynosimy % $ poza nawias Wynosimy % $ % $ & % $,.-,.-/,-. (, -.,.-/,-. Podstawiamy ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 11/2
69 Przykład dla Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 12/2
70 Przykład dla! (! Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 12/2
71 Przykład dla (c.d. Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 13/2
72 Przykład dla (c.d. wiȩc ( Mamy! ( (!!! ( " '! ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 13/2
73 Przykład dla (c.d. Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 14/2
74 Przykład dla (c.d. Rozkład stacjonarny!!! "! Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 14/2
75 Przykład dla (c.d. Rozkład stacjonarny!!! "! Zadanie Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 14/2
76 Prawdopodobieństwa za 2 kroki Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 15/2
77 Prawdopodobieństwa za 2 kroki Jaki wzór? % ( $ % ( $ % ( $ % ( $ ( ( ( ( ( ( ( ( % ( $ ( % $ ( ' % $ $ ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 15/2
78 ( ( ' Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 16/2 Zadanie (c.d Dla & to Jeśli ( + ( +
79 ( ( ' # (# # (# ' Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 16/2 Zadanie (c.d Dla & to Jeśli ( + ( Dla & to Jeśli # (# + # (# +
80 ( ' ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 17/2 Twierdzenie spektralne Twierdzenie & to Jeśli + ( + (
81 Twierdzenie spektralne Twierdzenie & to Jeśli ( + ( ' ( + ( Zadanie. Udowodnić twierdzenie spektralne. Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 17/2
82 Przykład dla Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 18/2
83 Przykład dla! ( (!! (! ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 18/2
84 Twierdzenie ergodyczne Twierdzenie Jeśli & % % $ $ 5 4 i ( to ' Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 19/2
85 Twierdzenie ergodyczne Twierdzenie Jeśli & % % $ $ 5 4 i ( to ' Zadanie. Udowodnić twierdzenie ergodyczne Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 19/2
86 Przykład dla Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 20/2
87 Przykład dla! 6! ( 6 (! 6!! ( 6! ( Graniczne własności binarnych łańcuchów Markowa p. 20/2
88 Kto po Markowie? S. N. Bernstein G. D. Birkhoff A. J. Chinczyn J. Hadamard A. N. Kołmogorow W. I. Romanowski B. W. Gniedenko W. Doeblin W. Feller S. V. Nagaev
89 Gdzie można o tym poczytać? William Feller wstęp do rachunku prawdopodobieństwa tom pierwszy
90 Gdzie można o tym poczytać? Biblioteka Matematyczna TOM 18 Marek Fisz RACHUNEK PRAWDOPODO- BIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYDANIE CZWARTE Państwowe Wydawnictwo Naukowe Warszawa 1969
91 A gdzie jest o tym więcej? William Feller wstęp do rachunku prawdopodobieństwa tom drugi
92 Gdzie się można tego nauczyć?
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.
Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Statystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Wersja testu A 18 czerwca 2012 r. x 2 +x dx
1. Funkcja f : R R jest różniczkowalna na całej prostej, a ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność f x
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.
W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 1 / William Feller. wyd. 6, dodr. 4. Warszawa, Spis treści
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 1 / William Feller. wyd. 6, dodr. 4. Warszawa, 2012 Spis treści Od Wydawnictwa 5 Z przedmowy autora do wydania pierwszego 7 Z przedmowy autora do wydania drugiego
Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii
Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii 6 października 2015 Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Nieco historii Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE
. 4. DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOWE Drzewem stochastycznym nazywamy graf ilustrujący przebieg wieloetapowego doświadczenia losowego. Wierzchołkom drzewa stochastycznego przyporządkowane są wyniki poszczególnych
STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Wersja testu A 18 czerwca 2009 r.
Wersja testu A 18 czerwca 2009 r. 1. a. T b. N c. T d. N 2. a. T b. N c. N d. T 3. a. N b. T c. N d. T 4. a. T b. T c. N d. T 5. a. T b. T c. N d. N 6. a. T b. T c. T d. N 7. a. N b. T c. N d. T 8. a.
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.
Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane
Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Co ma piekarz do matematyki?
Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
KARTA PRZEDMIOTU. 12. Przynależność do grupy przedmiotów: Prawdopodobieństwo i statystyka
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20152016 4. Forma
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2019 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj
Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Układy stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
KARTA PRZEDMIOTU. Forma prowadzenia zajęć. Odniesienie do efektów dla kierunku studiów K1A_W02
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 2. Kod przedmiotu: RPr 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego: 20182019 4. Forma
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
19 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem dyskretnym. Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 6, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 19 marzec, 2012 Przykłady procesów Markowa (i). P = (p ij ) - macierz stochastyczna, tzn. p ij 0, j p ij =
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Procesy stochastyczne
Wykład IV: dla łańcuchów Markowa 14 marca 2017 Wykład IV: Klasyfikacja stanów Kiedy rozkład stacjonarny jest jedyny? Przykład Macierz jednostkowa I wymiaru #E jest macierzą stochastyczną. Dla tej macierzy
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
MODELE STOCHASTYCZNE Plan wykładu
UNIWERSYTET WROCŁAWSKI Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny M.Majsnerowska rok akademicki 2018/2019 MODELE STOCHASTYCZNE Plan wykładu 1. Łańcuchy Markowa 1.1. Podstawowe pojęcia i przykłady
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
KARTA KURSU. Probability theory
KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Rachunek prawdopodobieństwa Probability theory Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Ireneusz Krech Zespół dydaktyczny Dr Ireneusz Krech Dr Robert Pluta Opis kursu (cele
ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 2017 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 180 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, Spis treści
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 5 Oznaczenia i konwencje 7 Rozdział I Rozkład wykładniczy i rozkład jednostajny 1. Wprowadzenie
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Zdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne
Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne Wojciech Niemiro Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń i Uniwersytet Warszawski Statystyka Matematyczna Wisła, grudzień 2010 Wykład 3 1 Łańcuchy Markowa Oznaczenia
Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 13 stron (zadania 1 11).
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8
reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za pomocą drzewa reguła dodawania definicja n! liczba permutacji zbioru n-elementowego
FUNKCJE LOGARYTMICZNE powtórzenie 4 godziny RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 28 godz. Moduł - dział -temat Reguła mnożenia. Reguła dodawania Lp 1 2 reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8
RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Jerzy Ombach RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA WSPOMAGANY KOMPUTEROWO DLA STUDENTÓW MATEMATYKI STOSOWANEJ Wydawnictwo Uniwersytetu Jagielloƒskiego Seria Matematyka Książka finansowana przez Wydział Matematyki
Wykład Centralne twierdzenie graniczne. Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu
Wykład 11-12 Centralne twierdzenie graniczne Statystyka matematyczna: Estymacja parametrów rozkładu Centralne twierdzenie graniczne (CTG) (Central Limit Theorem - CLT) Centralne twierdzenie graniczne (Lindenberga-Levy'ego)
Prawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
P (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Skrypt 30. Prawdopodobieństwo
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Treść i forma szkolnych zadań z rachunku prawdopodobieństwa
Treść i forma szkolnych zadań z rachunku prawdopodobieństwa Maciej Major ABSTRACT: This article discusses the content and format of problems currently used in Polish high school math textbooks to assess
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Teoria ergodyczna. seminarium monograficzne dla studentów matematyki. dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik. rok akad.
Teoria ergodyczna seminarium monograficzne dla studentów matematyki dr hab. Krzysztof Barański i prof. dr hab. Anna Zdunik rok akad. 2013/14 Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna Teoria ergodyczna zajmuje
Doświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Lista 0. Kamil Matuszewski 1 marca 2016
Lista 0 Kamil Matuszewski marca 206 2 3 4 5 6 7 8 0 0 Zadanie 4 Udowodnić poprawność mnożenia po rosyjsku Zastanówmy się co robi nasz algorytm Mamy podane liczby n i m W każdym kroku liczbę n dzielimy
Algebra Boole a i jej zastosowania
lgebra oole a i jej zastosowania Wprowadzenie Niech dany będzie zbiór dwuelementowy, którego elementy oznaczymy symbolami 0 oraz 1, tj. {0, 1}. W zbiorze tym określamy działania sumy :, iloczynu : _ oraz
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI
Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski
Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling. Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Modelowanie stochastyczne Stochastic Modeling Poziom przedmiotu:
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;
1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 80...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji kojarzącej się w sposób losowy, w loci o dwóch allelach A i a 36% osobników tej populacji ma genotyp aa. (a) Jaka cześć