WERYFIKACJA WYBRANYCH ZA O EÑ MODELU BLACKA- SCHOLESA NA PRZYK ADZIE EUROPEJSKIEGO RYNKU ZBÓ *

Transkrypt

1 Weryfkacja wybraych za³o eñ modelu Blacka-Scholesa a przyk³adze europejskego ryku zbó STOWARZYSZENIE EKONOMISTÓW ROLNICTWA I AGROBIZNESU Roczk Naukowe tom X zeszyt Moka Krawec Szko³a G³ówa Gospodarstwa Wejskego w Warszawe WERYFIKACJA WYBRANYCH ZA O EÑ MODELU BLACKA- SCHOLESA NA PRZYK ADZIE EUROPEJSKIEGO RYNKU ZBÓ * VERIFICATION OF SOME ASSUMPTIONS IN THE BLACK-SCHOLES MODEL ON THE BASE OF EUROPEAN GRAIN MARKET S³owa kluczowe: model Blacka-Scholesa, rozk³ad logarytmczo-ormaly, ryek zbó Key words: Black-Scholes model, logormal dstrbuto, gra market Syopss. Zapropooway w 1973 roku model Blacka-Scholesa, to wc¹ ajpopularejsza metoda wycey kotraktów opcyjych. Zarówo w klasyczym modelu Blacka-Scholesa, jak w jego modyfkacjach, przyjmuje sê pewe za³o ea teoretycze. Jedo z ch mów o tym, e cey strumetu bazowego zachowuj¹ sê zgode z rozk³adem logarytmczo-ormalym. Weryfkacja ormaloœc rozk³adu w odeseu do strumetów fasowych w Polsce welokrote by³a przedmotem badañ. Natomast celem pracy by³a weryfkacja za³o ea o ormaloœc rozk³adu dla europejskego ryku zbó. Wstêp Kotrakty opcyje, to strumety fasowe ezwykle populare a rykach œwatowych. Opcja kupa (call opto daje posadaczow prawo, ale e obow¹zek, zakupu ego strumetu fasowego (p. akcj, deksu, waluty lub towaru w okreœloym terme w przysz³oœc po œcœle ustaloej cee. Z kole opcja sprzeda y (put opto daje posadaczow prawo sprzeda y strumetu bazowego w okreœloym czase po ustaloej cee. Cea opcj, azywaa prem¹ opcyj¹, zazwyczaj staow ewelk¹ czêœæ wartoœc strumetu bazowego. St¹d, opcje pozwalaj¹ zarz¹dzaæ ryzykem przy stosukowo ma³ych kosztach, geeruj¹c zacze zysk, jeœl oczekwaa odoœe ce strumetu bazowego sê potwerdz¹. Opcje towarowe, w tym tak e kotrakty wystawae a towary role, staow¹ stot¹ czêœæ œwatowego ryku strumetów pochodych. Newele wspó³czesych ge³d towarowych zachowa³o czysto towarowy charakter. Obece s¹ to raczej w wêkszoœc ge³dy towarowo-peê e, a których prowadz sê obrót e tylko towaram, ale rówe strumetam fasowym. Z podob¹ sytuacj¹ mamy do czyea w przypadku Warszawskej Ge³dy Towarowej (WGT. Jed¹ z fukcj wspó³czesej ge³dy towarowej jest stworzee mo lwoœc zabezpeczaa sê przed ryzykem zmay ce towarów. Nestety w chwl obecej WGT, w odró eu od ych ge³d europejskch, tej fukcj e realzuje e ma bowem w jej oferce strumetów pochodych opewaj¹cych a towary role. Chc¹c jedak byæ owoczes¹ kokurecyj¹ ge³d¹, ew¹tplwe mus wprowadzæ do obrotu towarowe kotrakty termowe opcje. Nezwykle stotym problemem, zw¹zaym z aalz¹ opcj, jest ch wycea (ustalee wartoœc prem. Zaprezetoway w 1973 roku, model Blacka-Scholesa, sta³ sê perwsz¹ powszeche akceptowa¹ metod¹ wycey tych strumetów. W póÿejszym okrese pojaw³y sê ró e jego modyfkacje, p. model Blacka do wycey opcj a kotrakty futures (1976, model Garmaa- Kohlhagea do wycey opcj walutowych (1983 czy modele wycey opcj egzotyczych, których obszery przegl¹d prezetuje Haug [007]. Zarówo w klasyczym modelu Blacka-Scholesa, jak w jego modyfkacjach, przyjmuje sê pewe za³o ea teoretycze. Jedym z ch jest za³o ee mów¹ce o tym, e cey akcj zachowuj¹ sê zgode z rozk³adem logarytmczo-ormalym, którego parametry s¹ sta³e. Weryfkacja or- * Praca przygotowaa w ramach gratu wewêtrzego SGGW r

2 198 Moka Krawec maloœc rozk³adu w odeseu do strumetów ryku kapta³owego w Polsce, w szczególoœc akcj deksów Ge³dy Paperów Wartoœcowych (GPW w Warszawe, ejedokrote by³a przedmotem aalz [Tarczyñsk 1997, Jajuga 000, Krawczak. 000, Osñska 006, Tarczyñsk, uewska 007, Wtkowska, Kompa 007]. Natomast celem pracy by³a weryfkacja za³o ea o ormaloœc rozk³adu w odeseu do ryku towarowego. Badaem objêto te kraje europejske, w przypadku których mamy do czyea z rozwêtym rykem strumetów pochodych a towary role oraz Polskê. W zw¹zku z tym, e wœród strumetów pochodych a produkty role, oferowaych w Europe, zacz¹c¹ rolê odgrywaj¹ kotrakty wystawae a zbo a, w pracy skocetrowao sê w³aœe a tym segmece ryku. Metoda aalzy matera³ empryczy Dwoma kluczowym parametram opsuj¹cym zachowae cey akcj przy za³o eu rozk³adu logarytmczo-ormalego s¹: oczekwaa stopa zwrotu z akcj (µ zmeoœæ cey akcj (σ. Oczekwaa stopa zwrotu jest wyra o¹ w stosuku roczym œred¹ stop¹ zwrotu os¹ga¹ przez westora w krótkch okresach. Natomast zmeoœæ jest mar¹ epewoœc co do przysz³ych ruchów cey akcj, a dok³adej jest to mara epewoœc co do proporcjoalych zma cey. Z za³o ea o logarytmczo-ormalym rozk³adze ce akcj wyka, e l(s T, gdze S T ozacza ceê akcj w chwl T w przysz³oœc, ma rozk³ad ormaly. Mo a wykazaæ, e œreda odchylee stadardowe dla l(s T przyjmuj¹ odpowedo postaæ: σ l S + µ T oraz σ T, (1 S aktuala cea akcj, µ oczekwaa stopa zwrotu z akcj podaa w skal roczej, σ zmeoœæ cey akcj tak e w skal roczej. Mo a to tak e zapsaæ jako: σ l S T ~ φ l S + µ T, σ T, ( φ (m,s rozk³ad ormaly o œredej m odchyleu stadardowym s. Wartoœæ oczekwaa lub œreda dla S T, czyl E(S T, jest wyra oa wzorem: E µ T ( S T = Se. (3 Jest to zgode z defcj¹ µ jako oczekwaej stopy zwrotu z akcj. Waracjê S T, var(s T mo a zapsaæ jako: ( ( µ T σ T var S. T = S e e 1. (4 Na podstawe wzoru ( mo a wykazaæ, e prawdzwa jest zale oœæ: S T σ l ~ (5 S φ µ T, σ T. Wyra ee l(s T /S okreœla kaptalzowa¹ w sposób c¹g³y stopê zwrotu z akcj w okrese T. Ze wzoru (5 wyka, e stopa ta ma rozk³ad ormaly. Jeœl za T podstawmy 1, to oka e sê, e dla okresu jedego roku œreda odchylee stadardowe stopy zwrotu kaptalzowaej w sposób c¹g³y wyosz¹ odpowedo: µ δ / oraz δ [Hull 1998]. Weryfkowae ormaloœc rozk³adu akcj stóp zwrotu mo a przeprowadzæ za pomoc¹ welu testów, p. ch-kwadrat, Shapro-Wlka, Lleforsa, Jarque a-bery czy Ko³mogorowa-Smrowa. W zw¹zku z tym, e opcje a towary role, abywae w celach westycyjych, wycea sê tak jak opcje a akcje spó³ek ewyp³acaj¹cych dywdedy, to cey towarów traktuje sê aalogcz-

3 Weryfkacja wybraych za³o eñ modelu Blacka-Scholesa a przyk³adze europejskego ryku zbó 199 e jak cey akcj. Wówczas badae ormaloœc rozk³adu mo a wykoaæ podobe jak w przypadku akcj. W pracy wykorzystao w tym celu test ch-kwadrat, Shapro-Wlka oraz dodatkowo test Ko³mogorowa-Smrowa. W teœce ch-kwadrat wykorzystuje sê do ocey zgodoœc rozk³adu empryczego z rozk³adem teoretyczym astêpuj¹c¹ statystykê [Luszewcz, S³aby 1996]: χ = k = 1 ( ˆ ˆ, (6 = 1,,, k 1, k jedakowa lczba przedza³ów klasowych rozk³adów empryczego teoretyczego obserwowaej zmeej losowej, lczeboœc jedostek w klasach rozk³adu empryczego, ˆ lczeboœc jedostek w klasach rozk³adu teoretyczego ( ˆ = p, gdze jest lczeboœc¹ próby, p prawdopodobeñstwem rozk³adu hpotetyczego dla -tej klasy wartoœc cechy. Jeœl sprawdzaa hpoteza jest prawdzwa, statystyka χ ma asymptotyczy rozk³ad ch-kwadrat z k m 1 stopam swobody, gdze k jest lczb¹ sk³adków w sume (6, zaœ m lczb¹ szacowaych a podstawe próby parametrów rozk³adu. Nezbêde jest tu spe³ee waruku aby lczeboœc teoretycze e by³y zbyt ske ( 5 aby lczba klas e by³a zbyt ma³a (k 4. Test Shapro-Wlka jest oparty a statystyce [Osñska 006]: [ / ] a ( ( x( + 1 x = 1, W = ( x j x j= 1 x j j-ta obserwacja zmeej X próbk uporz¹dkowaej, x œreda wartoœæ zmeej X, x ( +1 x tzw. quas-rozstêpy rzêdu, a ( sta³e zale e od lczoœc próbk wartoœc. = Wartoœc krytycze testu Shapro-Wlka zajduj¹ sê w odpowedch tablcach. Test zgodoœc Ko³mogorowa-Smrowa opera sê a porówau dystrybuaty empryczej z dystrybuat¹ hpotetycz¹ F 0 (x. Dystrybuata emprycza oblczaa jest wed³ug wzoru [Podgórsk 1995]: j F ( x = dla x j x < x j+ 1 (8 lub jeœl wartoœæ x j powtarza sê w razy, ze wzoru: j + w F ( x = dla x j x < x j+ w + 1. (9 Statystyka testuj¹ca + jest okreœloa jako: D = max {D, D }, (10 + j = j 1 D max F0 ( x j oraz D = max F0 ( x j. 1 j 1 j Badaem objêto kraje europejske tradycyje uzae za kraje o rozwêtym ryku strumetów pochodych a towary role, a wêc przede wszystkm, Fracjê, Holadê, Welk¹ Brytaê Portugalê, to jest kraje, których ge³dy dza³aj¹ w ramach paeuropejskego ryku Euroext.LIFFE, a tak e Polskê, Hszpaê kraj, do którego by³a ajczêœcej porówywaa w momece przyst¹pea do U Europejskej. Aalzowao cey czterech podstawowych zbó : pszecy kosumpcyjej paszowej, jêczmea paszowego kukurydzy paszowej. Dae pochodz¹ z okresu od stycza 005 do gruda (7

4 00 Moka Krawec 007 s¹ to œrede cey tygodowe wyra oe w euro za toê, a w przypadku Polsk dodatkowo w z³otych za toê. Jedye w odeseu do pszecy paszowej, dostêpe a stroe Msterstwa Rolctwa Rozwoju Ws [ dae obejmuj¹ krótszy okres: od maja 006 do gruda 007. Przedmotem badañ by³y rozk³ady stóp zwrotu ce. Wyk badañ empryczych W perwszym etape badaa zastosowao logarytmcz¹ stopê zwrotu wyzaczo¹ wed³ug wzoru u = l(s /S -1, gdze S ozacza ceê strumetu bazowego a koec -tego okresu. Do weryfkacj tezy mów¹cej, e rozk³ad stóp zwrotu jest zgody z rozk³adem ormalym wykorzystao test chkwadrat, Shapro-Wlka oraz dodatkowo test Ko³mogorowa-Smrowa. Wartoœc wyzaczoych statystyk, odpowedo: χ dla testu ch-kwadrat W dla testu Shapro-Wlka dla poszczególych krajów towarów zameszczoo w tabelach 1-4. Zameszczoo w ch tak e wartoœc prawdopodobeñstwa, okreœlaego jako krytyczy pozom stotoœc. Jeœl jest oo wêksze od ustaloego z góry pozomu stotoœc α, to hpotezy zerowej, dotycz¹cej postac rozk³adu cechy w populacj, e odrzucamy. Wyk badaa ormaloœc prawe w ogóle e potwerdzaj¹ tej w³asoœc empryczych stóp zwrotu. Przyjmuj¹c pozom stotoœc α=0,01, zauwa amy, e w wêkszoœc przypadków jest o wy- szy od wartoœc p, co upowa a do odrzucea hpotezy zerowej o ormaloœc rozk³adu stóp zwrotu. Jedye w odeseu do Wêger dla pszecy kosumpcyjej brak podstaw do odrzucea hpotezy zerowej o ormaloœc rozk³adu stóp zwrotu, co potwerdz³y wszystke 3 testy. Byæ mo e wp³yw a otrzymay wyk mo e meæ kurs wêgerskej waluty do euro, bowem podobe jak e ale ¹ jeszcze do strefy euro, a aalzowae cey zbó podao w euro za toê. W przypadku Polsk, jedye stopy zwrotu jêczmea paszowego wyzaczoe a podstawe ce wyra oych w z³otych mog¹ byæ opsae rozk³adem ormalym (wyk testu ch-kwadrat potwerdz³ przeprowadzoy dodatkowo test Ko³mogorowa-Smrowa. W przypadku pszecy paszowej hpotezy o ormaloœc rozk³adu stóp zwrotu e odrzucamy dla Nemec Portugal. Dla Nemec podoba sytuacja ma mejsce jeszcze w odeseu do kukurydzy paszowej. We wszystkch przypadkach wyk testu ch-kwadrat potwerdz³ test Ko³mogorowa-Smrowa. W drugm etape badaa weryfkowao hpotezê dotycz¹c¹ ormaloœc rozk³adu logarytmów ce poszczególych towarów w badaych krajach. Wyk oblczeñ dla testu ch-kwadrat Shapro-Wlka przedstawoo w tabelach 5-8. Aalza wyków, zameszczoych w tabelach 5-8, pozwala stwerdzæ, e rozk³ady logarytmów ce zbó dla wszystkch badaych pañstw e s¹ zgode z rozk³adem ormalym. Poowe przyj- Tabela 1. Wyk weryfkacj pszeca kosumpcyja ( u 69,68 90,55 66,8 49,3 (0,00 183,8 18,95 (0, ,64 18,49 0,7 0,91 0,7 0,98 (0, 0,64 0,74 Tabela. Wyk weryfkacj pszeca paszowa ( u 38,85 (0,003 63,56 7,1 (0,080 90,73 3,06 (0,00 50,59 0,83 0,80 (0,001 Tabela 3. Wyk weryfkacj jêczmeñ paszowy ( u 44,88 (0,006 37,40 (0,398 4,80 (0,010 9,64 387,96 9,3 19,34 117,57 0,77 0,7 0,69 0,74 0,80

5 Weryfkacja wybraych za³o eñ modelu Blacka-Scholesa a przyk³adze europejskego ryku zbó 01 Podsumowae Model Blacka-Scholesa oraz jego rozszerzea zak³adaj¹, e rozk³ad prawdopodobeñstwa cey akcj w dowolej chwl w przysz³oœc ma postaæ rozk³adu loga- Tabela 4. Wyk weryfkacj kukurydza paszowa ( u 44,88 (0,006 37,40 (0,398 40,69 (0,00 5,3 (0,001 96,75 6,1 145,39 0,96 (0,00 0,9 0,91 Tabela 5. Wyk weryfkacj za ³o ea o ormaloœc pszeca kosumpcyja l( S 186,33 160,35 69,56 65,10 69,97 148,98 83,80 00,18 0,86 0,8 0,81 0,8 0,86 0,8 Tabela 6. Wyk weryfkacj pszeca paszowa l( S 70,09 59,13 116,96 133,39 103,56 16,70 0,9 (0,001 0,88 muj¹c pozom stotoœc α = 0,01, zauwa amy, e we wszystkch przypadkach jest o wy szy od wartoœc p, co upowa a do odrzucea hpotezy zerowej o ormaloœc rozk³adu. Decyzja weryfkacyja wydaje sê jedozacza, albowem mo e byæ oa zmeoa a odwrot¹ (eodrzucee H 0 dopero a bardzo skm pozome stotoœc. Przeprowadzoy dodatkowo test Ko³mogorowa-Smrowa (szczegó³owych wyków dla tego testu e zameszczoo w pracy rówe potwerdz³ te wosk. Uzyskae dla europejskego ryku zbó wyk s¹ zbe e z wykam badañ, prowadzoych dla strumetów ryku fasowego w Polsce, które jedozacze wykazuj¹, e rozk³ady emprycze logarytmczych stóp zwrotu dla akcj deksów GPW w Warszawe e s¹ zgode z rozk³adem ormalym, podobe jak dla logarytmów ce [Tarczyñsk 1997, Jajuga 000, Krawczak Tabela 7. Wyk weryfkacj jêczmeñ paszowy l( S 171,77 165,18 36,90 446,30 316,05 16,43 198,56 85,13 ( - wartoœæ p. 0,78 0,77 0,77 0,86 0,83 0,81 Tabela 8. Wyk weryfkacj kukurydza paszowa l( S 189,96 01,00 154,77 147,41 164,59 144,55 106,09 0, , Osñska 006, Tarczyñsk, uewska 007, Wtkowska, Kompa 007]. Pommo tego model Blacka-Scholesa jest stosoway do wyzaczaa kursu odesea dla opcj otowaych a GPW w Warszawe. Wydaje sê zatem, e aalogcz¹ zasadê mo a by przeeœæ a WGT rówe stosowaæ model Blacka-Scholesa do wyzaczaa oretacyjej wartoœc prem dla opcj towarowych.

6 0 Moka Krawec rytmczo-ormalego. Za³o ee to jest rówozacze z za³o eem, e stopa zwrotu z strumetu bazowego kaptalzowaa w sposób c¹g³y, rozpatrywaa w dowolym przedzale czasu, ma rozk³ad ormaly. Jeœl za³o ee to e jest spe³oe, mog¹ wyst¹pæ ró ce mêdzy wykam uzyskwaym w tym modelu, a rzeczywstym ceam opcj. Model mo e meæ tedecje do zawy aa lub za aa prem. Obc¹ ea zw¹zae z ró ym rozk³adam prawdopodobeñstwa cey strumetu bazowego szczegó³owo omawa Hull [003]. Nemej uwa a sê, e model Blacka-Scholesa przetrwa³ próbê czasu. Wc¹ pozostaje o ajpopularejsz¹ metod¹ wycey opcj. Choæ mo a zaobserwowaæ ró ce pomêdzy ceam wykaj¹cym z tego modelu a ceam rykowym, to w wêkszoœc wypadków, jeœl wz¹æ pod uwagê koszty trasakcyje ró ce te s¹ stosukowo ma³e. Przedstawoe w pracy wyk badaa ormaloœc rozk³adu a podstawe europejskego ryku zbó prawe w ogóle e potwerdz³y tej w³asoœc empryczych stóp zwrotu. Rówe rozk³ady logarytmów ce e s¹ zgode z rozk³adem ormalym. Ozacza to, e jedo z za³o eñ teoretyczych modelu Blacka-Scholesa e jest spe³oe. W zw¹zku z tym kolejym etapem badañ mog³aby byæ aalza porówawcza wyce opcj towarowych, uzyskaych za pomoc¹ modelu Blacka-Scholesa, z ceam opcj otowaych a ge³dze Euroext.Lffe, a w przypadku uruchomea obrotu opcjam towarowym a WGT tak e z ceam tych opcj. Lteratura Black F., Scholes M. 1973: The prcg of optos ad corporate labltes. Joural of Poltcal Ecoomy 81, s Black F. 1976: The prcg of commodty cotracts. Joural of Facal Ecoomcs, 3, s Garma M., Kohlhage S. 1983: Foreg currecy opto values. Joural of Iteratoal Moey ad Face, s Haug E.G. 007: Opto prcg formulas. McGraw-Hll, New York. Hull J. 1998: Kotrakty termowe opcje. WIG-Press, Warszawa. Hull J. 003: Optos, futures ad other dervatves. Pretce Hall Ic., New Jersey. Jajuga K. (red. 000: Metody ekoometrycze statystycze w aalze ryku fasowego. Wyd. AE we Wroc³awu, Wroc³aw. Krawczak M., Mklewsk A., Jakubowsk A., Koeczy P. 000: Zarz¹dzae ryzykem westycyjym. IBS PAN, Warszawa. Luszewcz A., S³aby T. 1996: Statystyka stosowaa. PWE, Warszawa. Osñska M. 006: Ekoometra fasowa. PWE, Warszawa. Podgórsk J. 1995: Statystyka z komputerem. ZNI MIKOM, Warszawa. Tarczyñsk W. 1997: Ryk kapta³owe. Vol. II. Agecja Wydawcza Placet, Warszawa. Tarczyñsk W., uewska M. 007: Statystycza aalza deksów ge³dowych ch stóp zwrotu a GPW w Warszawe za okres styczeñ 003 wrzeseñ 003. Taksooma 14 Prace Naukowe AE we Wroc³awu, Wroc³aw, Wtkowska D., Kompa K. 007: Aalza w³asoœc stóp zwrotu akcj wybraych spó³ek. Zeszyty Naukowe US, r 46. Fase Ryk fasowe Ubezpeczea, r 6. czêœæ I, Szczec, [ Summary The Black-Scholes model proposed 1973 stll remas the most popular opto prcg method. I the model ad ts modfcatos there are udertake some assumptos. Oe of them s that uderlyg asset prces follow the logormal dstrbuto. There are umerous researches focusg o verfcato of the assumpto cocerg facal strumets Polad. However, the am o ths paper s to verfy ths assumpto for the Europea gra market. Adres do korespodecj: dr Moka Krawec Szko³a G³ówa Gospodarstwa Wejskego w Warszawe Katedra Ekoometr Statystyk ul. Nowoursyowska Warszawa tel. ( e-mal: krawec.moka@gmal.com