Quantum Computer I (QC) Zapis skrócony. Zapis skrócony

Transkrypt

1 Quantum Computer I (QC) Jacek Szczytko, Wydział Fizyki UW. Komputery kwantowe a. Logika bramek b. Kwantowe algorytmy c. Jak zbudować taki komputer? "Where a calculator on the Eniac is equipped with vacuum tubes and weighs 3 tons, computers in the future may have only tubes and weigh only / tons" Popular Mechanics, March 99 Zapis skrócony D Y G R E S J Stan pojedynczej cząstki: Stan s Np.: funkcja falowa atomu wodoru Liczby kwantowe! D Y G R E S J (czyli tak naprawdę) Zapis skrócony Ψn, l, m( r, t) = r n, l, m = n, l, m Reprezentacja połoŝeniowa Zapis skrócony

2 ity, P-bity, Q-bity ity, P-bity, Q-bity > Introduction to Quantum Information Processing > E. Knill, R. Laflamme,. arnum, D. Dalvit, J. Dziarmaga, > J. Gubernatis, L. Gurvits, G. Ortiz, L. Viola and W.. Zurek > > komputery (maszyny Turinga) > standardowe programy > ity, P-bity, Q-bity ity, P-bity, Q-bity > logika rozmyta > metody obliczeniowe typu Monte Carlo > algorytmy genetyczne > metody optymalizacji > komputery kwantowe > algorytmy kwantowe >

3 ity, P-bity, Q-bity Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu spin elektronu foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji itp. { g, e } {, } {, Taki układ to qubit (quantum bit); po polsku kubit. } np. g = s, e = s Dwa stany układu, które mozemy nazwac i przez analogie do klasycznego bitu, {, }, tworza baze standardowa albo obliczeniowa {, } ity, P-bity, Q-bity Obliczenia kwantowe bazują na dwóch własnościach świata kwantowego:. splątaniu kwantowym (kodowanie). interferencji stanów (obliczenia) ity, P-bity, Q-bity ity, P-bity, Q-bity poniewaŝ α i β zespolone równanie sfery iα θ iϕ θ Ψ = e cos + e sin (ax,ay,az ) = ( sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cosθ) a x + ay + az = poniewaŝ α i β zespolone równanie sfery iα θ iϕ θ Ψ = e cos + e sin (ax,ay,az ) = ( sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cosθ) a x + ay + az = 3

4 Łatwo powiedzieć. le jak zrobić? ramki kubitowe ramki kubitowe W rolach głównych: foton i foton W pozostałych rolach: = = Pryzmat z całkowitym Wewnętrznym odbiciem Płytka szklana o grubości d iθ e Płytka szklana na drodze optycznej zmienia fazę fotonu W PORÓWNNIU do fazy fotonu bez płytki. Detektor

5 ramki kubitowe ramki kubitowe? i i Prawdopodobieństwo / i = = ramki kubitowe i + i + Umiemy zmieszać stany! ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? 5

6 ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? i θ e ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? i θ e e iθ Mniam... 6

7 ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? e iθ druga droga i e i θ + ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? i e i θ + i i e i θ + Mniam...

8 ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? e + i i = iθ iθ ( e ) e + i i = iθ iθ ( e ) iθ Prawdopodobieństwo: P = ( e ) = ( cosθ ) e ramki kubitowe Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe foton znajdzie się w detektorze? + i i = iθ iθ ( e ) iθ Prawdopodobieństwo: P = ( e ) = ( cosθ ) iθ nalogiczne: P = ( e + ) = ( cosθ ) i Dla θ = mamy P = i P =, a więc foton NIGDY nie trafi do detektora, tylko na pewno trafi do! Oczywiście dla θ = o jest odwrotnie! + Dygresja: pomiar EZ oddziaływania Dla θ = mamy P = i P =, a więc foton NIGDY nie trafi do detektora, tylko na pewno trafi do! Foton interferuje SM ZE SOĄ! θ = P = P =

9 Dygresja: pomiar EZ oddziaływania le co się stanie gdy na jednej z dróg interferometru stanie przeszkoda? ramki kubitowe W zaleŝności od fazy θ moŝemy otrzymać wynik: P STOP = / STOP θ = P = /! P = / bramka NOT θ = NOT θ = ο Ogólnie ramki kubitowe Ψ = α + β ramki kubitowe Matematycznie: Ψ α = Ψ' α' β β ' = θ U przekształcenie unitarne Ψ' = α ' + β ' ZaleŜą od θ NOT NOT + i i = i + i = CNOT =,, bit kontrolny ramki kwantowe muszą być odwracalne!,, CNOT bit kontrolny ramki CNOT są bramkami uniwersalnymi moŝna za ich pomocą zbudować dowolny obwód logiczny. 9

10 ramki kubitowe ramki kubitowe ψ > ψ > ψ > ψ N > U =U D Program: U =U CNOT * U CNOTN U 3 = U CNOT U =U - U 5 =U - =U D Measurement Quantum computing: The qubit duet Gianni latter Nature, 96-9 ( February 3) RóŜne pomysły Kwantowe procedury:. Kubity ze spinów. Kubity z atomów 3. Kubity jądrowe Za tydzień!. Kubity krzemowe 5. Kubity z kropek 6. Kubity z ekscytonów. Kubity nadprzewodzące. Kubity świetlne Komputer klasyczny: n = numer programu ( kod ) T n (m)=p m = dane wejściowe p = wynik n =... m =... p =...

11 Kwantowe procedury: Kwantowe procedury: Komputer klasyczny: n = numer programu ( kod ) T n (m)=p m = dane wejściowe p = wynik n =... m = tak samo, ale zamiast bitów mamy kubity Ψ p =... Komputer klasyczny: n = numer programu ( kod ) T n (m)=p m = dane wejściowe p = wynik n =... m = tak samo, ale zamiast bitów mamy kubity Ψ p =... Kwantowe procedury: Jeden kubit: baza: Dla dwóch kubitów:, Jak zbudować rejestr z kubitów? rejestr: Ψ = α + α baza: rejestr: Dla trzech kubitów: itd.. baza:, Ψ = α α + α =,,,, + α + α + α α + α + α + α =,,,, rejestr: Ψ = α + α α + α,, + α + α α α = Kwantowe procedury: Jak zbudować rejestr z kubitów? Ogólnie jeden rejestr N-kubitowy moŝe przechować N klasycznych liczb! Dla dwóch kubitów baza obliczeń: Na przykład: Ψ = Ψ = ( i 3 ) Ψ = Ψ = Ψ = i ( ) ( + i 3 ) ,,, 3 Wszystkie stany jednakowo prawdopodobne (maksymalne splątanie kwantowe) i tu teŝ wszystkie stany jednakowo prawdopodobne

12 Kwantowe procedury: Ogólnie jeden rejestr N-kubitowy moŝe przechować N klasycznych liczb! Przy N=3 liczba 3 przekracza ilość protonów we Wszechświecie (widzialnym)! Komputer kwantowy wykonuje operacje na całym rejestrze, czyli na wszystkich N liczbach jednocześnie.nazywa się to kwantowym paralelizmem. Pewne algorytmy będą działały szybciej na komputerze kwantowym. by móc odczytać wynik końcowy trzeba go jeszcze odseparować od wszystkich moŝliwych wyników. Wykorzystuje się kwantową interferencję stanów. Kwantowe procedury: Program zaczyna się od przygotowania superpozycji wszystkich moŝliwych danych wejściowych Wykonanie programu daje superpozycje wszystkich moŝliwych wyników (kaŝdy ze składników superpozycji kwantowej działa niezaleŝnie od innych) Oddzielenie wyników następuje na skutek kwantowej intereferencji. Faza składników superpozycji kwantowej jest przygotowywana w ten sposób, aby najbardziej prawdopodobny wynik pomiaru odpowiadał interesującemu nas wynikowi. Error avoiding quantum codes and dynamical stabilization of Grover's algorithm Kwantowe procedury: lgorytm Shora Przykład: Systemy kryptograficzne z kluczem publicznym wykorzystują fakt, Ŝe rozkład duŝej liczby na czynniki jest trudny (czasochłonny) Najszybszy obecnie algorytm (GNFS General Number Field Sieve ) wymaga czasu /3 6 / 3 ~ exp N ( ln N ) 9 faktoryzacja liczby cyfrowej wymagałaby lat! W 99 r. RS 9 został złamany na 6 stacjach roboczych w ciagu miesiecy lgorytm kwantowy Petera Shora wymaga czasu ~ ( ln N ) + ε Komputer kwantowy, który faktoryzowałby liczbe 3 cyfrowa w ciagu miesiaca, sfaktoryzowałby liczbe cyfrowa w czasie krótszym niz 3 lata

13 Peter Shor lgorytm Shora lgorytm Shora Prof.. Ryszard Tanas Kwantowa faktoryzacja Chcemy sfaktoryzowac liczbe N, N = 5. Wybieramy liczbe losowa < X < N wzglednie pierwsza z N, tzn. taka, ze NWD(N,X) =, powiedzmy X =. Przygotowujemy rejestr kwantowy w stanie superpozycji wszystkich liczb od do 5 Wykonujemy operacje = X mod N, wykorzystujac kwantowy paralelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze. Komputer kwantowy wykonuje taka operacje w jednym kroku! Zauwazamy, ze wyniki w rejestrze sa okresowe z okresem r = Komputer kwantowy potrafi szybko znajdowac okres funkcji! lgorytm Shora 5 6 Jesli r jest nieparzyste, to wybieramy inne X i zaczynamy procedurę od nowa. Jesli r jest parzyste, obliczamy P = X r/ lub P = X r/ + i sprawdzamy NWD P i N. W naszym przykładzie r = i P = / = 3 lub P = / + = 5. 5/3 = 5 5/5 = lgorytm Shora Prof.. Ryszard Tanas Kwantowa faktoryzacja Chcemy sfaktoryzowac liczbe N, N = 5. Wybieramy liczbe losowa < X < N wzglednie pierwsza z N, tzn. taka, ze NWD(N,X) =, powiedzmy X =. Przygotowujemy rejestr kwantowy w stanie superpozycji wszystkich liczb od do 5 Wykonujemy operacje = X mod N, wykorzystujac kwantowy paralelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze. Komputer kwantowy wykonuje taka operacje w jednym kroku! Zauwazamy, ze wyniki w rejestrze sa okresowe z okresem r = Komputer kwantowy potrafi szybko znajdowac okres funkcji!

14 lgorytm Shora lgorytmy kwantowe pentafluorobutadienyl cyclopentadienyldicarbonyliron complex W tej chwili znanych jest mniej więcej 6 znaczących algorytmów kwantowych Deutsch-Josza (99) funkcja stała lub zrównowaŝona Shor (99) - Faktoryzacja Kitaev (995) - Faktoryzacja Grover (99) - Przeszukiwanie bazy danych Grover (99) - Szacowanie mediany Durr-oyer (996) - Szacowanie minimum Skoro to takie proste, to dlaczego to jeszcze nie działa? KOERENCJ*! Słownik Kopalińskiego: * koherencja spoistość, spójność; zgodność (myśli, sądów; częstotliwości i długości fal). Koherencję moŝna opisać jako stopień korelacji czasowej i przestrzennej między wartościami amplitud. W czasie trwania procedury kwantowej wszystkie procesy MUSZĄ być odwracalne w czasie. W mechanice kwantowej POMIR jest najczęściej nieodwracalny - w momencie pomiaru dowiadujemy się w jakim stanie jest funkcja (tzw. redukcja f. falowej) Ψ = Ψ + Ψ pomiar lub P = P = Ψ = Ψ Ψ = Ψ P = P = P = P = Ψ = Ψ Ψ = Ψ Zakaz klonowania sprawia, Ŝe nie moŝna się dowiedzieć wartości kaŝdej ze składowych lub z osobna. Pomiarem moŝe być przypadkowe oddziaływanie z sąsiednim układem, szum (przypadkowa zmiana fazy funkcji falowej), oddziaływanie z aparaturą pomiarową, absorpcja fotonu termicznego itd.

15 input Ψ input Ψ Pewna procedura kwantowa f U Ψ = α + α + α + α inna procedura kwantowa ψ f wynik pośredni output KONIEC! Tym razem z dekoherencją input Ψ input Ψ Pewna procedura kwantowa f U Ψ = α + α + α + α wynik pośredni Pewna procedura kwantowa f U Ψ = α + α + α + α wynik pośredni złośliwy foton 5

16 input Ψ input Ψ Pewna procedura kwantowa f U Ψ = β + γ fałszywy wynik pośredni Pewna procedura kwantowa f U Ψ inna procedura kwantowa = β + γ f ψ fałszywy wynik pośredni WYNIK FŁSZYWY! output Rozwiązania:. Procedury kwantowej korekcji błędów Rozwiązania:. Procedury kwantowej korekcji błędów Encode Decode α β Engineered α β Noise łędy kumulują się w zbędnych kubitach. Na czas działania procedur kwantowych układ naleŝy odizolować od wpływu otoczenia (liczy się tzw. czas koherencji, w którym układ pozostaje spójny). Dekoherencja ogranicza rozmiary rejestru kwantowego J. Preskill quant-ph/953 6

17 Nowe podejścia ψ > ψ > ψ > ψ N > W przyszłym tygodniu Komputery kwantowe RDWRE Świat Nauki.99 U U U 5 =U - =U - =U D U =U CNOT * U CNOTN U 3 = U CNOT =UD Measurement