Informatyka kwantowa

Transkrypt

1 VI Festiwal Nauki i Sztuki na Wydziale Fizyki UAM Informatyka kwantowa Ryszard Tanaś 16 października 2003

2 Spis treści 1 Rozwój komputerów Początki Obwody scalone miniaturyzacja Prawo Moore a Zasada Landauera Bit Orzeł czy reszka? Definicja Entropia Shannona Zapisywanie (kodowanie) informacji Operacje na bitach bramki logiczne. 16

3 3 Kubit (qubit) Definicja Sfera Blocha Reguła Feynmana Kwantowe, czyli nielogiczne bramki logiczne Rejestry kwantowe Stany splątane Algorytmy kwantowe Kwantowa faktoryzacja Komputer kwantowy liczy już do 15! Kilka uwag na koniec 128

4 1 Rozwój komputerów 1.1 Początki ENIAC, luty 1946 (Electronic Numerical Integrator and Computer) lamp elektronowych 5000 dodawań/s 357 mnożeń/s 175 kw energii

5 1.2 Obwody scalone miniaturyzacja Komputery stają się coraz mniejsze szybsze tańsze

6 1.3 Prawo Moore a Tranzystorów/chip Itanium 2 Pentium 4 Pentium III Pentium II Pentium Lata Rozwój układów scalonych (Intel)

7 10 3 Rozmiary bramki [nm] Lata Rozmiary elementów obwodu scalonego (SIA Roadmap 2000/2001)

8 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać?

9 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 0.13 µm = 130 nm Przygotowana jest już technologia 90 nm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów.

10 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 0.13 µm = 130 nm Przygotowana jest już technologia 90 nm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów. Czy istnieją fizyczne granice miniaturyzacji?

11 Jak długo prawo Moore a będzie jeszcze obowiązywać? Obecna technologia to 0.13 µm = 130 nm Przygotowana jest już technologia 90 nm Już obecnie na jedną bramkę logiczną potrzeba mniej niż 1000 elektronów. Czy istnieją fizyczne granice miniaturyzacji? Przewiduje się, że około roku 2020 technologia zejdzie do rozmiarów, przy których niezbędne jest uwzględnienie praw fizyki obowiązujących w mikroświecie, czyli mechaniki kwantowej.

12 Earth Simulator marzec 2002, Yokohama 5120 procesorów, 0.15µm 500 MHz NEC 640 węzłów po 8 CPU 40 TFLOPS, tera = wysokość szafy 2m miniaturyzacja?

13 1.4 Zasada Landauera Rolf Landauer ( ) Wymazanie jednego bitu informacji wymaga straty energii (wydzielenia ciepła) o wartości co najmniej kt ln 2 Informacja jest wielkością fizyczną!

14 2 Bit 2.1 Orzeł czy reszka?

23 2 Bit 2.1 Orzeł czy reszka? Rzut monetą pozwala wybrać losowo jedną z dwóch wykluczających się możliwości:

24 2 Bit 2.1 Orzeł czy reszka? Rzut monetą pozwala wybrać losowo jedną z dwóch wykluczających się możliwości: orzeł

25 2 Bit 2.1 Orzeł czy reszka? Rzut monetą pozwala wybrać losowo jedną z dwóch wykluczających się możliwości: orzeł albo reszka.

26 2 Bit 2.1 Orzeł czy reszka? Rzut monetą pozwala wybrać losowo jedną z dwóch wykluczających się możliwości: orzeł albo reszka. Kiedy poznajemy wynik rzutu monetą uzyskujemy jeden bit informacji.

27 2.2 Definicja Niech A będzie zdarzeniem losowym, które występuje z prawdopodobieństwem P (A) (w przypadku rzutu monetą P (A) = 1/2). Jeśli dowiadujemy się, że takie zdarzenie nastąpiło, to uzyskujemy bitów informacji. I(A) = log 2 1 P (A) = log = log 2 2 = 1

28 2.2 Definicja Niech A będzie zdarzeniem losowym, które występuje z prawdopodobieństwem P (A) (w przypadku rzutu monetą P (A) = 1/2). Jeśli dowiadujemy się, że takie zdarzenie nastąpiło, to uzyskujemy bitów informacji. I(A) = log 2 1 P (A) = log = log 2 2 = 1 Jeden bit to ilość informacji jaką uzyskujemy kiedy zachodzi jedna z dwóch alternatywnych, jednakowo prawdopodobnych możliwości.

29 2.3 Entropia Shannona Claude E. Shannon ( ) Twórca matematycznych podstaw informatyki H = i P (A i ) log 2 1 P (A i ) = i P (A i ) log 2 P (A i ) określa średnią informację (entropię) źródła informacji

30 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji

47 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji 0

48 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji 0 1

49 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji 0 1 1

64 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji l

65 2.4 Zapisywanie (kodowanie) informacji l Układając monety możemy (teoretycznie) zapisać dowolną informację.

66 Słowo bit zapisane w ten sposób

69 Słowo bit zapisane w ten sposób Bardzo kosztowny i bardzo wolny zapis informacji! Jedna litera = 1 bajt = 8 bitów = 8 Pamięć mojego komputera: 256 MB = mld

70 2.5 Operacje na bitach bramki logiczne

71 2.5 Operacje na bitach bramki logiczne Bramki jednobitowe??? Bramki jednobitowe są odwracalne

72 0 NOT 1

73 1 NOT 0

74 2.5.2 Bramki dwubitowe???? Nieodwracalne

75 ????? Odwracalne

76 0 0 AND 0

77 0 1 AND 0

78 1 0 AND 0

79 1 1 AND 1

80 0 0 OR 0

81 0 1 OR 1

82 1 0 OR 1

83 1 1 OR 1

84 0 0 XOR 0

85 0 1 XOR 1

86 1 0 XOR 1

87 1 1 XOR 0

88 0 0 CNOT 0 0 Sterowane zaprzeczenie

89 0 1 CNOT 0 1

90 1 0 CNOT 1 1

91 1 1 CNOT 1 0

92 3 Kubit (qubit) 3.1 Definicja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}). Układ znajduje się albo w stanie 0 (orzeł,tak) albo w stanie 1 (reszka,nie).

93 3 Kubit (qubit) 3.1 Definicja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}). Układ znajduje się albo w stanie 0 (orzeł,tak) albo w stanie 1 (reszka,nie). Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu, spin połówkowy, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji, itp.

94 3 Kubit (qubit) 3.1 Definicja Klasyczny bit może przyjmować tylko dwie wartości {0, 1} ({orzeł,reszka}, {TAK,NIE}). Układ znajduje się albo w stanie 0 (orzeł,tak) albo w stanie 1 (reszka,nie). Kwantowym odpowiednikiem klasycznego bitu jest dowolny układ dwustanowy: dwa poziomy atomu, spin połówkowy, foton o dwóch wzajemnie ortogonalnych stanach polaryzacji, itp. Taki układ to qubit (quantum bit); po polsku kubit.

95 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów

96 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A 1 1

97 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A A A 1 = Ψ

98 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A A A 1 = Ψ Ψ Ψ = A A 1 2 = 1

99 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A A A 1 = Ψ Ψ Ψ = A A 1 2 = = 1 1 = = 1 0 = 0

100 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A A A 1 = Ψ Ψ Ψ = A A 1 2 = = 1 1 = = 1 0 = 0 Kubit reprezentuje obydwa stany: stan 0 z amplitudą A 0 stan 1 z amplitudą A 1

101 Weźmy układ kwantowy o stanach 0 i 1. Kubit (qubit) to dowolna superpozycja tychże stanów Ψ = A A A A 1 = Ψ Ψ Ψ = A A 1 2 = = 1 1 = = 1 0 = 0 Kubit reprezentuje obydwa stany: stan 0 z amplitudą A 0 stan 1 z amplitudą A 1 Pomiar w bazie { 0, 1 } daje: stan 0 z prawdopodobieństwem A 0 2 stan 1 z prawdopodobieństwem A 1 2

102 3.2 Sfera Blocha Kubitem jest np. spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha.

103 3.2 Sfera Blocha Kubitem jest np. spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha. Ale nie tylko spin połówkowy, ale dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha.

104 3.2 Sfera Blocha Kubitem jest np. spin połówkowy, który w stałym polu magnetycznym może ustawić się zgodnie z kierunkiem pola lub przeciwnie do tego kierunku. Mamy więc dwa stany i, które możemy też nazwać 0 i 1. Ewolucja takiego spinu to ruch jego końca po sferze o jednostkowym promieniu, zwanej sferą Blocha. Ale nie tylko spin połówkowy, ale dowolny kubit może graficznie być reprezentowany jako punkt na takiej sferze. Ewolucja kubitu to ruch punktu po sferze Blocha. A wygląda to tak...

105 0 z x y

106 z x y 1

107 z x y Ψ = 1 2 ( )

108 Ψ = 1 2 ( 0 1 ) z x y

109 z x y Ψ = 1 2 ( 0 + i 1 )

110 Ψ = 1 2 ( 0 i 1 ) z x y

111 Ψ = cos θ eiϕ sin θ 2 1 z x y

112 z x y Ψ = sin θ 2 0 eiϕ cos θ 2 1

113 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów:

114 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów: Każdy kubit (punkt na sferze) ma własny kolor

115 Przyjęliśmy tutaj następującą konwencję dotyczącą kolorowania kubitów: Każdy kubit (punkt na sferze) ma własny kolor Dwa ortogonalne kubity (punkty na antypodach) mają kolory dopełniające (ich zmieszanie daje kolor biały lub odcień szarości)

116 Kubit jest kwantową monetą, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1.

117 Kubit jest kwantową monetą, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1. Podobnie jak koziołkująca w powietrzu moneta, dopóki nie spadnie na ziemię, reprezentuje zarówno orła jak i reszkę.

118 Kubit jest kwantową monetą, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1. Podobnie jak koziołkująca w powietrzu moneta, dopóki nie spadnie na ziemię, reprezentuje zarówno orła jak i reszkę. Dopiero pomiar w określonej bazie zmusza ją do wyboru jednej z dwóch możliwości.

119 Kubit jest kwantową monetą, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1. Podobnie jak koziołkująca w powietrzu moneta, dopóki nie spadnie na ziemię, reprezentuje zarówno orła jak i reszkę. Dopiero pomiar w określonej bazie zmusza ją do wyboru jednej z dwóch możliwości. Wybór bazy określa jaki stan będziemy mierzyli, ale w każdej bazie mamy tylko dwie alternatywne możliwości.

120 Kubit jest kwantową monetą, której stan ewoluując w czasie reprezentuje jednocześnie orła i reszkę, 0 i 1. Podobnie jak koziołkująca w powietrzu moneta, dopóki nie spadnie na ziemię, reprezentuje zarówno orła jak i reszkę. Dopiero pomiar w określonej bazie zmusza ją do wyboru jednej z dwóch możliwości. Wybór bazy określa jaki stan będziemy mierzyli, ale w każdej bazie mamy tylko dwie alternatywne możliwości. Kwantowe monety różnią się jednak od monet klasycznych!

121 1 50 % % 1 Płytka światłodzieląca

122 1 50 % % 1 Foton padający drogą 0...

123 1 50 % % 1 z prawdopodobieństwem 50% zostanie zarejestrowany przez detektor 0...

124 1 50 % % 1 lub przez detektor 1

125 1 50 % % 1 Podobnie z fotonem padającym drogą 1

126 1 50 % % 1

127 1 50 % % 1 Wyniki są losowe, jak w przypadku rzutu monetą.

128 Interferometr Macha-Zehndera

129 Policzmy klasycznie prawdopodobieństwo zarejestrowania fotonu przez detektor 0 Foton padający drogą 0

130 przechodzi przez płytkę z prawdopodobieństwem 1 2

131 przechodzi przez drugą płytkę i dociera do detektora z prawdopodobieństwem

132 Ale jest też druga droga. Foton odbija się od pierwszej płytki

133 i od drugiej płytki. Całkowite prawdopodobieństwo wynosi więc: = 1 2

134 Podobnie dla detektora 1, mamy:

135

136

137

138 = 1 2 Wynik jest losowy, jak w przypadku rzutu monetą.

139 A w rzeczywistości, czyli kwantowo, może być tak:...

140 foton padający drogą 0 trafia z prawdopodobieństwem 100% do detektora 1...

141 a foton padający drogą 1...

142 trafia na pewno do detektora 0 Wynik jest drastycznie różny od klasycznego!

143 Co się dzieje? Złożenie dwóch płytek światłodzielących, z których każda daje wynik losowy (jak rzut monetą) dało w rezultacie wynik absolutnie pewny!

144 Co się dzieje? Złożenie dwóch płytek światłodzielących, z których każda daje wynik losowy (jak rzut monetą) dało w rezultacie wynik absolutnie pewny! Foton jest kubitem, a płytka światłodzieląca jest bramką kwantową!

145 Co się dzieje? Złożenie dwóch płytek światłodzielących, z których każda daje wynik losowy (jak rzut monetą) dało w rezultacie wynik absolutnie pewny! Foton jest kubitem, a płytka światłodzieląca jest bramką kwantową! Kwantowe monety różnią się od klasycznych!

146 Co się dzieje? Złożenie dwóch płytek światłodzielących, z których każda daje wynik losowy (jak rzut monetą) dało w rezultacie wynik absolutnie pewny! Foton jest kubitem, a płytka światłodzieląca jest bramką kwantową! Kwantowe monety różnią się od klasycznych! Jak więc działa płytka światłodzieląca?

147

148

149

150

151

152 0 1

153 i 2 ( 0 i 1 ) 0 1

154 i 2 ( 0 i 1 ) ( 0 + i 1 ) 1 Płytka tworzy superpozycje stanów!

155 3.3 Reguła Feynmana W mechanice kwantowej dodają się amplitudy a nie prawdopodobieństwa. Richard P. Feynman ( ) Tam na dole jest jeszcze dużo miejsca! W 1982 r. Feynman pokazał, że nie da się symulować efektywnie procesów kwantowych na komputerach klasycznych.

156 Foton padający drogą 0 jest kubitem w stanie 0 Dodajemy amplitudy!

157 Przejście przez pierwszą płytkę: 1 2

158 Zmiana fazy: e iθ 2

159 Przejście przez drugą płytkę: e iθ 2 1 2

160 Dodajemy druga drogę. Odbicie na pierwszej płytce: 1 2 eiθ 2 + i 2

161 I znowu odbicie: 1 2 eiθ 2 + i i 2 2 = 1 2 (eiθ 1)

162 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1)

163 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2

164 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero.

165 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero. Foton nigdy nie trafi do detektora 0!

166 Amplituda stanu 0 w detektorze 0 jest równa A 0 = 1 2 (eiθ 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 0 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 0 = (eiθ 1) = 1 (1 cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe zero. Foton nigdy nie trafi do detektora 0! Zmieniając fazę θ możemy dowolnie zmieniać prawdopodobieństwo.

167 Teraz detektor 1. Znowu, foton padający drogą 0

168 Przejście przez pierwszą płytkę: 1 2

169 Zmiana fazy: e iθ 2

170 Odbicie: e iθ 2 i 2

171 I druga droga. Odbicie: e iθ 2 i 2 + i 2

172 0 1 0 Przejście: e iθ 2 1 i 2 + i = i 2 (eiθ + 1)

173 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1)

174 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2

175 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden. Foton zawsze trafi do detektora 1!

176 Amplituda stanu 0 w detektorze 1 jest równa A 1 = i 2 (eiθ + 1) Prawdopodobieństwo zarejestrowania w detektorze 1 fotonu, który wpadł drogą 0 do interferometru wynosi więc: P 1 = i 2 2 (eiθ + 1) = 1 (1 + cos θ) 2 Dla θ = 0 prawdopodobieństwo to jest równe jeden. Foton zawsze trafi do detektora 1! Interferometr Macha-Zehndera dziala jak bramka logiczna NOT.

177 Skoro cały interferometr to bramka logiczna NOT, to jedna płytka światłodzieląca to NOT! NOT NOT = NOT NOT NOT

178 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej

179 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać?

180 Interferencja kwantowa pozwala uzyskać operacje logiczne niedostępne w informatyce klasycznej Czy takie nielogiczne bramki logiczne mogą się do czegoś przydać? Okazuje się, że tak!

181 3.4 Kwantowe, czyli nielogiczne bramki logiczne 0 NOT 1

182 1 NOT 0

183 a 0 + b 1 NOT a 1 + b 0

184 a 0 + b 1 θ a 0 + be iθ 1 Bramka fazowa

185 0 H 1 2 ( ) Bramka Hadamarda

186 1 H 1 2 ( 0 1 )

187 0 NOT 1+i i 2 1

188 1 NOT 1 i i 2 1

189 Ψ U Ψ Ogólnie

190 3.5 Rejestry kwantowe Rzucając dwie monety możemy uzyskać cztery różne rezultaty:

195 Co możemy zapisać: 00 = 0 01 = 1 10 = 2 11 = 3

196 Co możemy zapisać: 00 = 0 01 = 1 10 = 2 11 = 3 Dla kubitów wygląda to tak: 00 = 0 01 = 1 10 = 2 11 = 3

197 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak

198 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak albo tak

199 Ale kubity mogą być w stanie superpozycji, i nasz dwukubitowy rejestr może wyglądać tak albo tak albo tak

200 W pierwszym przypadku mamy stan kwantowy Ψ = 1 2 ( ) 1 2 ( )

201 W pierwszym przypadku mamy stan kwantowy Ψ = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 ( )

202 W pierwszym przypadku mamy stan kwantowy Ψ = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 ( ) = 1 ( ) 2

203 W pierwszym przypadku mamy stan kwantowy Ψ = 1 2 ( ) 1 2 ( ) = 1 2 ( ) = 1 ( ) 2 Mamy zatem dwukubitowy rejestr, który przechowuje z jednakowymi amplitudami jednocześnie cztery liczby, {0, 1, 2, 3}.

204 Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze.

205 Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb!

206 Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb! Przy N = 300 liczba ta przekraczałaby liczbę atomów we wszechświecie!

207 Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb! Przy N = 300 liczba ta przekraczałaby liczbę atomów we wszechświecie! Komputer kwantowy wykonuje operacje na całym rejestrze, czyli na wszyskich 2 N liczbach jednocześnie. Nazywa się to kwantowym parallelizmem.

208 Klasycznie na przechowanie czterech liczb potrzebujemy czterech rejestrów dwubitowych każda liczba w innym rejestrze. Gdybyśmy dysponowali rejestrem kwantowym złożonym z N kubitów, to moglibyśmy przechować w takim rejestrze 2 N liczb! Przy N = 300 liczba ta przekraczałaby liczbę atomów we wszechświecie! Komputer kwantowy wykonuje operacje na całym rejestrze, czyli na wszyskich 2 N liczbach jednocześnie. Nazywa się to kwantowym parallelizmem. Kwantowe monety różnią się od klasycznych!

209 3.6 Stany splątane Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( )

210 3.6 Stany splątane Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów!

211 3.6 Stany splątane Przypuśćmy, że udało nam się przygotować rejestr dwukubitowy w stanie Ψ = 1 2 ( ) Taki stan nie daje się zapisać w postaci iloczynu dwóch kubitów! Kubity tworzące taki rejestr nie mają indywidualnych kolorów są białe w naszej konwencji (kolor biały można otrzymać na wiele sposobów mieszając ze sobą kolory dopełniające).

212 Wyobraźmy sobie, że mamy dwie kwantowe monety w stanie splątanym.

213 Wyobraźmy sobie, że mamy dwie kwantowe monety w stanie splątanym. Jedną ma Ala a drugą Bolek.

214 Wyobraźmy sobie, że mamy dwie kwantowe monety w stanie splątanym. Jedną ma Ala a drugą Bolek. Ala rzuca monetę i wypadł jej orzeł.

215 Wyobraźmy sobie, że mamy dwie kwantowe monety w stanie splątanym. Jedną ma Ala a drugą Bolek. Ala rzuca monetę i wypadł jej orzeł.

216 Wyobraźmy sobie, że mamy dwie kwantowe monety w stanie splątanym. Jedną ma Ala a drugą Bolek. Ala rzuca monetę i wypadł jej orzeł. Wtedy Bolek rzucając swoją monetę musi uzyskać reszkę, jakkolwiek daleko nie byłby oddalony od Ali.

217 I na odwrót:

218 I na odwrót:

219 I na odwrót:

220 I na odwrót: Mechanika kwantowa jest nielokalna!

221 I na odwrót: Mechanika kwantowa jest nielokalna! Kwantowe monety naprawdę różnią się od klasycznych!

222 I na odwrót: Mechanika kwantowa jest nielokalna! Kwantowe monety naprawdę różnią się od klasycznych! Jak uzyskać stan splątany?

223 0 0 CNOT 0 0 Sterowane zaprzeczenie

224 0 1 CNOT 0 1

225 1 0 CNOT 1 1

226 1 1 CNOT 1 0

227 1 2 ( 0 1 ) 1 CNOT??

228 1 2 ( 0 1 ) 1 CNOT } Ψ

229 Otrzymujemy taki właśnie stan splątany Ψ = 1 2 ( )

230 Otrzymujemy taki właśnie stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Po co nam stany splątane?

231 Otrzymujemy taki właśnie stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Po co nam stany splątane? Stany splątane pozwalają np. na kwantową teleportację czy gęste kodowanie.

232 Otrzymujemy taki właśnie stan splątany Ψ = 1 2 ( ) Po co nam stany splątane? Stany splątane pozwalają np. na kwantową teleportację czy gęste kodowanie. Potrafimy już wytwarzać stany splątane!

233 4 Algorytmy kwantowe Co potrafi komputer kwantowy?

234 4 Algorytmy kwantowe Co potrafi komputer kwantowy? Komputer kwantowy potrafi np.

235 4 Algorytmy kwantowe Co potrafi komputer kwantowy? Komputer kwantowy potrafi np. szybko faktoryzować liczby algorytm Shora,

236 4 Algorytmy kwantowe Co potrafi komputer kwantowy? Komputer kwantowy potrafi np. szybko faktoryzować liczby algorytm Shora, czy też przeszukiwać bazę danych algorytm Grovera.

237 4.1 Kwantowa faktoryzacja Peter Shor Twórca kwantowego algorytmu faktoryzacji liczb.

238 Systemy kryptograficzne (RSA) z kluczem publicznym wykorzystują fakt, że rozkład dużej liczby na czynniki jest trudny (czasochłonny)

239 Systemy kryptograficzne (RSA) z kluczem publicznym wykorzystują fakt, że rozkład dużej liczby na czynniki jest trudny (czasochłonny) Najszybszy obecnie algorytm wymaga czasu exp[( 64 9 )1/3 (ln ln N) 2/3 ] faktoryzacja liczby 400 cyfrowej wymagałaby lat

240 Systemy kryptograficzne (RSA) z kluczem publicznym wykorzystują fakt, że rozkład dużej liczby na czynniki jest trudny (czasochłonny) Najszybszy obecnie algorytm wymaga czasu exp[( 64 9 )1/3 (ln ln N) 2/3 ] faktoryzacja liczby 400 cyfrowej wymagałaby lat W 1994 r. RSA 129 został złamany na 1600 stacjach roboczych w ciągu 8 miesięcy

241 Systemy kryptograficzne (RSA) z kluczem publicznym wykorzystują fakt, że rozkład dużej liczby na czynniki jest trudny (czasochłonny) Najszybszy obecnie algorytm wymaga czasu exp[( 64 9 )1/3 (ln ln N) 2/3 ] faktoryzacja liczby 400 cyfrowej wymagałaby lat W 1994 r. RSA 129 został złamany na 1600 stacjach roboczych w ciągu 8 miesięcy Algorytm kwantowy Petera Shora wymaga czasu (ln N) 2+ɛ komputer kwantowy, który faktoryzowałby liczbę 130 cyfrową w ciągu miesiąca, sfaktoryzowałby liczbę 400 cyfrową w czasie krótszym niż 3 lata

242 Chcemy sfaktoryzować liczbę N, N = 15. Wybieramy liczbę losową 1 < X < N 1 względnie pierwszą z N, tzn. taką, że NW D(N, X) = 1, powiedzmy X = 2.

243 Chcemy sfaktoryzować liczbę N, N = 15. Wybieramy liczbę losową 1 < X < N 1 względnie pierwszą z N, tzn. taką, że NW D(N, X) = 1, powiedzmy X = 2. Przygotowujemy rejestr kwantowy w stanie superpozycji wszystkich liczb od 0 do 15 A = 1 ( ) 4

244 Chcemy sfaktoryzować liczbę N, N = 15. Wybieramy liczbę losową 1 < X < N 1 względnie pierwszą z N, tzn. taką, że NW D(N, X) = 1, powiedzmy X = 2. Przygotowujemy rejestr kwantowy w stanie superpozycji wszystkich liczb od 0 do 15 A = 1 ( ) 4 Co zapisujemy dla skrótu tak: A

245 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B.

246 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku!

247 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku! A

248 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku! A B

249 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku! A B Zauważamy, że wyniki w rejestrze B są okresowe z okresem r = 4

250 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku! A B Zauważamy, że wyniki w rejestrze B są okresowe z okresem r = 4 B

254 Wykonujemy operację X A mod N, wykorzystując kwantowy parallelizm i wyniki umieszczamy w rejestrze B. Komputer kwantowy wykonuje taką operację w jednym kroku! A B Zauważamy, że wyniki w rejestrze B są okresowe z okresem r = 4 B Komputer kwantowy potrafi szybko znajdować okres funkcji!

255 Jeśli r jest nieparzyste, to wybieramy inne X i zaczynamy procedurę od nowa.

256 Jeśli r jest nieparzyste, to wybieramy inne X i zaczynamy procedurę od nowa. Jeśli r jest parzyste, obliczamy P = X r/2 1 lub P = X r/2 + 1 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N. W naszym przykładzie r = 4 i P = 2 4/2 1 = 3 lub P = 2 4/2 + 1 = 5.

257 Jeśli r jest nieparzyste, to wybieramy inne X i zaczynamy procedurę od nowa. Jeśli r jest parzyste, obliczamy P = X r/2 1 lub P = X r/2 + 1 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N. W naszym przykładzie r = 4 i P = 2 4/2 1 = 3 lub P = 2 4/2 + 1 = 5. Hurra!!! 15/3 = 5 15/5 = 3

258 Jeśli r jest nieparzyste, to wybieramy inne X i zaczynamy procedurę od nowa. Jeśli r jest parzyste, obliczamy P = X r/2 1 lub P = X r/2 + 1 i sprawdzamy czy P jest dzielnikiem N. W naszym przykładzie r = 4 i P = 2 4/2 1 = 3 lub P = 2 4/2 + 1 = 5. Hurra!!! 15/3 = 5 15/5 = 3 Ten wynik udało się już uzyskać eksperymentalnie!

259 4.2 Komputer kwantowy liczy już do 15! Wiedza i Życie, maj 2002

260 Isaac L. Chuang i jego procesor kwantowy

261 5 Kilka uwag na koniec Kubit to nowa jednostka informacji informacji kwantowej

262 5 Kilka uwag na koniec Kubit to nowa jednostka informacji informacji kwantowej Informatyka kwantowa zajmuje się metodami przetwarzania informacji kwantowej

263 5 Kilka uwag na koniec Kubit to nowa jednostka informacji informacji kwantowej Informatyka kwantowa zajmuje się metodami przetwarzania informacji kwantowej Superpozycja i splątanie kubitów to podwaliny informatyki kwantowej

264 5 Kilka uwag na koniec Kubit to nowa jednostka informacji informacji kwantowej Informatyka kwantowa zajmuje się metodami przetwarzania informacji kwantowej Superpozycja i splątanie kubitów to podwaliny informatyki kwantowej Kwantowe monety różnią się od klasycznych!

265 Za lat 20 wielu z Was z pewnością będzie specjalistami w dziedzinie informatyki kwantowej Powodzenia!