DIGRAFY. Szkielet digrafu D - graf otrzymany z D po usunięciu strzałek Digraf prosty - gdy wszystkie łuki są parami różne i nie ma pętli

Transkrypt

1 DIGRAFY Digraf ( V(D), A(D) ) V(D) - biór ierchołkó A(D) - skońcona rodina porądkoanych par elementó bior V(D) łki P T Q S R Skielet digraf D - graf otrymany D po snięci strałek Digraf prosty - gdy systkie łki są parami różne i nie ma pętli Da ierchołki i digraf D są sąsiednie, gdy rodinie A(D) istnieje łk postaci lb. Wierchołki i są incydentne takim łkiem. Da digrafy są iomorficne, jeżeli istnieje iomorfim ich skieletó achojący kolejność ierchołkó każdym łk. Nie są iomorficne. Barbara Głt

2 Trasa digrafie D skońcony ciąg łkó... n Podobnie definicja ścieżka, droga, cykl Ścieżka trasa, której systkie łki są różne. Droga ścieżka, której systkie ierchołki są różne. Ścieżka lb droga są amknięte, gdy = m. Cykl droga amknięta aierającą prynajmniej jeden łk. Ale: chociaż ścieżka nie może aierać danego łk ięcej niż jeden ra, to może aierać oba łki i. Ścieżka: Barbara Głt

3 Stopnie ierchołkó Stopień yjścioy ierchołka d r () otdeg() - licba łkó postaci. Stopień ejścioy ierchołka d s () indeg() - licba łkó postaci. Sma stopni yjścioych systkich ierchołkó D jest róna smie ich stopni ejścioych. Źródło digraf D - ierchołek o stopni ejścioym rónym. Ujście digraf D- ierchołek o stopni yjścioym rónym. Digraf jest spójny (słabo spójny): jeżeli nie może być predstaiony postaci smy dóch rołącnych digrafó skielet digraf jest spójny Digraf jest silnie spójny: dla dóch doolnych ierchołkó i digraf D istnieje droga do. spójny silnie spójny Barbara Głt 3

4 Macier incydencji Digraf D ma n ierchołkó i m łkó Macier M ymiar n x m m ij = gdy j-ta kraędź jest incydentna i-tego ierchołka gdy j-ta kraędź jest incydentna i-ty ierchołek gdy j-ta kraędź nie jest incydentna i-tym ierchołkiem e e e 3 5 e 5 e 3 e 6 Macier pryległości (Macier sąsiedta, prejść, relacji, poprednikó) D -digrafo n ierchołkach X =[x ij ] nxn x ij = licba łkó od i-tego ierchołka do j-tego ierchołka e e e 3 5 e 5 e 3 e 6 Barbara Głt

5 Nieeroy element na prekątnej repreentje pętlę Da digrafy są iomorficne tedy i tylko tedy, gdy ich maciere pryległości różnią się jedynie prestaionymi iersami połąconymi prestaieniem odpoiadających kolmn. Jeśli X jest macierą pryległości digraf D, to macier transponoana X T jest macierą pryległości digraf otrymanego pre mianę kiernk każdego łk D. Graf G jest orientoalny, jeśli każdą jego kraędź można skieroać tak, by otrymany digraf był silnie spójny. Doolny graf eleroski jest orientoalny (idąc dłż cykl Elera możemy orientoać kraędie godnie kiernkiem, jaki je prechodimy). Tierdenie: Niech G graf spójny. Graf G jest orientoalny tedy i tylko tedy, gdy każda kraędź graf G jest aarta co najmniej jednym cykl. Barbara Głt 5

6 Digrafy eleroskie Digraf spójny D jest eleroski, jeżeli istnieje ścieżka amknięta aierająca każdy łk digraf D. digraf eleroski Skielet jest grafem eleroskim. Digraf nie jest eleroski. Digrafy eleroskie Warnkiem koniecnym jest, aby digraf był silnie spójny. W digrafie eleroskim nie ma źródeł ani jść. Tierdenie: Digraf spójny jest digrafem eleroskim tedy i tylko tedy, gdy dla każdego ierchołka digraf D achodi: r s d ( ) = d ( ) Definicja: Digraf nayamy półeleroskim, gdy nie jest digrafem eleroskim ora jeżeli istnieje ścieżka aierająca każdy łk digraf. Barbara Głt 6

7 Digrafy hamiltonoskie Digraf D nayamy hamiltonoskim, jeżeli istnieje cykl aierający każdy ierchołek D. Digraf D nayamy półhamiltonoskim, gdy istnieje droga prechodąca pre każdy ierchołek D. Trnieje Trniej - digraf, którym każde da ierchołki są połącone dokładnie jednym łkiem. Trnieje mogą mieć źródła i jścia na ogół nie są digrafami hamiltonoskimi. Tierdenie: (a) Każdy trniej nie będący digrafem hamiltonoskim jest półhamiltonoski. (b) Każdy trniej silnie spójny jest hamiltonoski. W doolnym trniej diałem n gracy można pryporądkoać gracom etykiety p, p,..., p n tak, że p pokonał p, p pokonał p 3,..., p n- pokonał p n. Barbara Głt 7

8 Porónania parami Wymaga się seregoania penej licby obiektó pre porónanie dokonyane a każdym raem na tylko dóch obiektach. Po n ykonani porónań staia się n obiektó porądk ich preferencji. Np. seregoać seść różnych potra dla psó. Każdego dnia podaano ps da prysmakó, a pies stalał yżsość jednego nad drgim (godnie tym, który taler opróżnił najpier). (, 3 ) (, 5, 6 ) ( ) 6 3 Ustaienie drogę Hamiltona tak, że każdy posiłek (grac) pokonał następnego: np lb W trniej diałem n gracy,,..., n niech b i onaca licbę gracy pokonanych pre graca i. Wócas b, b,..., b n są ynikami trniej. Tierdenie: Niech b, b,..., b n będą licbami całkoitymi. Licby te są ynikami trniej diałem n gracy tedy i tylko tedy, gdy: n (i) b + b + L+ bn = ora r (ii) dla r n każde r spośród licb smje się do co najmniej Barbara Głt 8

9 Prykład: Który następjących ciągó może być ektorem ynikó trniej seści gracy? A),,,,, B) 5, 3, 3,,, C) 5,,,,, A) nie, bo = 6 (5) (3) B) () (3) C) = 5 Ale: roażmy prebieg gier dla trech gracy, dla których yniki,,. Zagrają międy sobą 3 gry, cyli try ycięsta msą być rodielone międy nich, a + + < 3 () () digraf agami Prepłyy sieciach x 3 y Każdem łkoi a prypisjemy niejemną licbę ψ(a) - prepstoość otdeg() - sma prepstoości łkó postaci. indeg() - sma prepstoości łkó postaci. Zakładamy, że digraf ma dokładnie jedno źródło i jedno jście. Barbara Głt 9

10 Prepły sieci - fnkcja ϕ, która prypisje każdem łkoi a niejemną licbę ϕ(a), nayaną prepłyem dłż łk a tak, by: () dla każdego łk achodiła nieróność ϕ( a) ψ( a) () stopień ejścioy i yjścioy prepły dla każdego ierchołka różnego od źródła i jścia były róne. Łk a, dla którego achodi ϕ ( a) = ψ( a) nayamy nasyconym. Wartość prepły - sma prepłyó dłż łkó chodących do ierchołka jścia = sma prepłyó dłż łkó ychodących ierchołka źródła Prekrój - biór łkó A taki, że każda droga do msi prechodić pre peien łk należący do A. Prepstoość prekroj - sma prepstoości łkó należących do tego prekroj Prekrój minimalny - prekrój o najmniejsej prepstoości 3 y x Prekrój minimalny - łki:, x, y, x Prepstoość: = 6 Barbara Głt

11 Prepły maksymalny? Wartość doolnego prepły nie może prekrocyć prepstoości żadnego prekroj. Tierdenie (Forda, Flkersona, 955): W każdej sieci artość doolnego prepły maksymalnego jest róna prepstoości doolnego prekroj minimalnego. Algorytmy poskiania prepłyó maksymalnych polegają głónie na toreni dróg poięksających prepły. Drogi składają się łkó nienasyconych x i łkó x mających nieeroy prepły. s 5 t Na pocątk bieremy prepły eroy. Następnie konstrjemy drogi 3 x poięksające prepły: s t, dłż której możemy ięksyć prepły o. y Potem x, dłż której możemy ięksyć prepły o. Wrescie, dłż której s t możemy ięksyć prepły o. Otrymany prepły o artości 5. x 3 y Barbara Głt

12 Problem dróg krytycnych Dotycy seregoania adań. Sieć dareń, którym każdy łk ma prypisaną agę - np. cas ykonania adania. (Digraf acyklicny) W casie, gdy presamy się digrafie lea na prao, iążemy ierchołkiem licbę l() skającą dłgość najdłżsej drogi A do. A B l(a) + 3 = 3 C l(a) + = D l(b) + = 5 E max{l(a) + 9, l(b) +, l(c) + 6} = 9 F l(c) + 9 = G max{l(d) + 3, l(e) + } = H max{l(e) +, l(f) + } = I l(f) + = 3 J max{l(d) + 3, l(e) + } = K max{l(h) + 6, l(i) + } = 8 L max{l(h) + 9, l(j) + 5, l(k) + 3} = droga krytycna A B C D E F G I H J K L Barbara Głt