Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
|
|
|
- Ludwik Piątkowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW Analiza linków (2): Algorytm PageRank Marcin Sydow PJWSTK Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 1 / 34
2 Plan tego wykªadu Idea PageRank 3 perspektywy: przepªywy, losowy internauta i macierze Uproszczony i realny PageRank Matematyczne podstawy Obliczanie - metoda Pot gowa Rozszerzenia PageRank Porównanie HITS z PageRank Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 2 / 34
3 Idea PageRank Linki a wa»no± dokumentu: zliczanie linków wchodz cych Skoro ka»dy link z dokumentu p do dokumentu q mo»e by traktowany jako informacja,»e dokument q jest warto±ciowy (w oczach autora dokumentu p) najpro±ciej byªoby ocenia wa»no± lub jako± dokumentu docelowego q poprzez zliczanie linków wchodz cych do q (ang. backlink count). Im wy»szy stopie«wchodz cy dokumentu q (backlink count) tym dokument mo»e by wa»niejszy (skoro wielu autorów wskazuje ten dokument) Jest to analogiczne do gªosowania dokumentów na inne dokumenty (ka»dy link to jeden gªos) To rozwi zanie ma powa»n wad : Jest bardzo podatne na celowe manipulacje (ang. Search Engine Spam) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 3 / 34
4 Idea PageRank Ulepszony pomysª Przy traktowaniu ka»dego linku jako równowa»nego gªosu i jednocze±nie braku naturalnego mechanizmu w WWW pozwalaj cego identykowa nepotyzm ka»dy podmiot mo»e stworzy dowoln ilo± dokumentów zawieraj cych linki do wybranego dokumentu b d cego pod kontrol tego samego podmiotu. Ulepszenie: nie wa»na jest ilo± linków tylko ich jako± Analogia z gªosowaniem: przy zliczaniu gªosów uwzgl dnia si reputacj gªosuj cych. Jeden link z bardzo wa»nej strony mo»e znaczy du»o wi cej ni» 1000 linków z maªo wa»nych stron. Za t ide (wzi t z m.in. analizy cytowa«bibliogracznych) poszli twórcy algorytmu PageRank (wprowadzonego w Google ok 1998 roku) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 4 / 34
5 Idea Idea w uproszczeniu - przepªyw warto±ci stron ka»da strona ma pewn warto± ka»da strona gªosuje (poprzez linki) na inne strony o warto±ci strony decyduje warto± stron na ni gªosuj cych Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 5 / 34
6 Uproszczony PageRank PageRank - uproszczone sformuªowanie (perspektywa 1) Interesuje nas przepªyw przez graf WWW taki,»e: Warto± przepªywu sumuje si do 1 to co wpªywa = temu co wypªywa (a'la prawo Kirchoa 1) przepªyw rozdziela si po równo Daje to nast puj ce równania: p IN(d) R(q) = d V R(p, d) = p IN(q) R(d) = 1, (1) q OUT (d) R(d, q), (2) R(p)/outDeg(p), (3) PageRank to warto± tego przepªywu R(d) dla ka»dego dokumentu d Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 6 / 34
7 Uproszczony PageRank Przykªad dla bardzo prostego grafu Rysunek: (Jedyny) speªniaj cy warunki przepªyw przez przykªadowy graf Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 7 / 34
8 Uproszczony PageRank Perspektywa 2: metafora losowego internauty (ang.random Surfer) Równowa»ne zdeniowanie uproszczonego PageRanku: Wyobra¹my sobie nie±miertelnego internaut, który w ka»dej jednostce czasu przebywa na jakiej± stronie WWW i powtarza nast puj c akcj : wybiera (jednorodnie) losowo wychodz cy link i pod»a nim na nast pn stron Denition Uproszczony PageRank dla strony d to graniczna ±rednia cz ± jednostek czasu sp dzonych na stronie d, dla wy»ej opisanego procesu, przy czasie d» cym do niesko«czono±ci. Matematyk powie: o ile granica istnieje... I sªusznie. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 8 / 34
9 Uproszczony PageRank Perspektywa 3 - w j zyku macierzy G(V,E) - rozwa»any graf P - macierz s siedztwa G(V, E) zmodykowana w ten sposób,»e ka»dy wiersz i jest podzielony przez outdeg(d i ). Oba poprzednie sformuªowania PageRanku mo»na wyrazi nast puj co: Denition PageRank to wektor R b d cy punktem staªym przeksztaªcenia liniowego P T : R = P T R (4) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 9 / 34
10 Uproszczony PageRank Przykªad grafu i (jedyne) rozwi zanie R = P T R (5) = (6) 0.4 T Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 10 / 34
11 Uproszczony PageRank Problemy z uproszczonym PageRankiem Rysunek: czarne dziury (ang. rank sinks) Problemy: Ka»dy maksymalny podgraf wªa±ciwy nie posiadaj cy linków wychodz cych pochªania caªy PageRank w grae. dokumenty nielinkowane otrzymaj zerow warto±. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 11 / 34
12 PageRank realny Jak poprawi uproszczony PageRank? ª czymy ka»dy dokument bez wychodz cych linków z ka»dym dokumentem dodajemy sztuczne linki pomi dzy wszystkimi pozostaªymi parami dokumentów. S one wa»one uªamkowym wspóªczynnikiem 0 < d < 1 zwanym decay factor prawdziwe linki wa»ymy warto±ci (1 - d) Powy»sze sprawi,»e w macierzy przej± P ka»dy wiersz b dzie si sumowaª do 1. (przedtem niektóre wiersze byªy zerowe) Macierz taka nazywa si stochastyczna i istnieje dla niej jednoznaczne rozwi zanie równania R = P T R (7) Rozwi zanie to jest gªównym wektorem wªasnym tej macierzy. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 12 / 34
13 PageRank realny Przykªad na macierzach: (decay factor: 0.1) P 0 = P 1 = P 2 = 0 1/2 1/ /3 1/ / /2 1/ /2 0 1/ /2 1/ /6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/3 1/ / /2 1/ /2 0 1/ /60 28/60 28/60 1/60 1/60 1/60 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 19/60 19/60 1/60 1/60 19/60 1/60 1/60 1/60 1/60 1/60 28/60 28/60 1/60 1/60 1/60 28/60 1/60 28/60 1/60 1/60 1/60 1/60 55/60 1/60 Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 13 / 34
14 PageRank realny Poprawiony PageRank w j zyku losowego internauty... W ka»dej jednostce czasu losowy internauta przebywaj cy na stronie s dokonuje nast puj cej akcji: je±li s zawiera linki wyj±ciowe: z prawdopodobie«stwem (1 - d) wybiera (jednorodnie) losowo link wychodz cy z danej strony i nim pod»a. z prawdopodobie«stwem d skacze do dowolnej losowo wybranej strony je±li strona s nie ma linków wychodz cych - z prawdopodobie«stwem 1 skacze do losowo wybranej strony. Denition PageRank jest to rozkªad stacjonarny zdeniowanego powy»ej nieredukowalnego i acyklicznego ªa«cucha Markowa (rozkªad ten okre±la graniczne prawdopodobie«stwo bycia internauty na poszczególnych stronach) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 14 / 34
15 PageRank realny...i w j zyku przepªywów Uproszczony PageRank: R(p) = R(i)/outDeg(i), (8) i IN(p) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 15 / 34
16 PageRank realny...i w j zyku przepªywów Uproszczony PageRank: R(p) = i IN(p) Dodanie sztucznych linków (uspójnienie): R(p) = (1 d) i IN(p) R(i)/outDeg(i), (8) R(i) + d v(p) (9) outdeg(i) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 15 / 34
17 PageRank realny...i w j zyku przepªywów Uproszczony PageRank: R(p) = i IN(p) Dodanie sztucznych linków (uspójnienie): R(p) = (1 d) i IN(p) R(i)/outDeg(i), (8) R(i) + d v(p) (9) outdeg(i) Uwzgl dnienie przymusowego skoku z dokumentów bez linków wychodz cych: R(p) = (1 d) i IN(p) R(i) outdeg(i) + d v(p)+(1 d)v(p) i ZEROS R(i), (10) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 15 / 34
18 Obliczanie PageRank Obliczanie PageRank z matematycznego punktu widzenia R = P T R (11) Z punktu widzenia matematyki, znalezienie wektora R jest ªatwe. Znajdowanie gªównego wektora wªasnego jest równowa»ne rozwi zaniu ukªadu równa«liniowych. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 16 / 34
19 Obliczanie PageRank Obliczanie PageRank w praktyce... Czy mo»na obliczy PageRank rozwi zuj c ukªad równa«? Problemem jest rozmiar zadania. Dla przykªadu: zaªó»my,»e ilo± dokumentów w grae to 85M. Czas oblicze«: rozwi zywanie ukªadu n równa«ma zªo»ono± Ω(n 2 ) Rozmiar macierzy: 7, 2P 4B = 28PB (!) Co najmniej z tych powodów nale»y szuka specjalnych metod. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 17 / 34
20 Obliczanie PageRank Obej±cie problemu czasu oblicze«metoda Pot gowa: Pozwala szybko obliczy gªówny wektor wªasny macierzy w iteracjach, z teoretycznie dowoln precyzj : 1 R 0 = v(p) 2 i = 0 3 R i+1 = P T R i 4 i++ 5 if (( R i+1 R i < threshold) OR (i > max)): stop 6 else: goto 3 Stawiamy pytanie: dla jakich macierzy P metoda pot gowa zbiega i daje jednoznaczny wektor R? Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 18 / 34
21 Obliczanie PageRank Warunki stosowalno±ci metody pot gowej Theorem Metoda pot gowa zbiega do jednoznacznego rozwi zania R równania: R = P T R (12) je±li stochastyczna macierz P jest nieredukowalna (odpowiada grafowi silnie spójnemu) i acykliczna. Wtedy, R to gªówny wektor wªasny tej macierzy. Graf silnie spójny: istnieje ±cie»ka mi dzy ka»dymi dwoma wierzchoªkami Macierz acykliczna - odpowiada grafowi, w którym najwi kszy wspólny dzielnik dªugo±ci wszystkich nietrywialnych cykli wynosi 1 Zauwa»my,»e dodanie sztucznych linków uczyniªo graf silnie spójnym i acyklicznym. Metoda pot gowa jest wi c matematycznie poprawna. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 19 / 34
22 Obliczanie PageRank Obej±cie problemu rozmiaru macierzy Macierz P jest bardzo du»a. Oryginalna macierz P 0 (odpowiadaj ca uproszczonemu PageRankowi) jest jednak rzadka - zawiera prawie same zera. Zmodykowane macierze P 1 i P 2 wprawdzie nie s ju» rzadkie, ale zmiany w stosunku do P 0 dadz si wyrazi poprzez pojedyncze wektory W praktyce oznacza to,»e informacje o strukturze grafu przechowuje si w postaci list s siedztwa. Rozmiar list s siedztwa dla grafu G(V,E) to O( E + V ). (albo O( E ) par (¹ródªo,cel)) Pojedyncza iteracja metody pot gowej jest zdominowana przez jednokrotny przegl d list s siedztwa Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 20 / 34
23 Obliczanie PageRank Szybko± metody pot gowej W praktyce wi c, pojedyncza iteracja dla grafu G(V,E) ma zªo»ono± liniow (O( E + V )) Co ciekawe, ilo± iteracji nie zale»y silnie od V. Ilo± iteracji zale»y od: wspóªczynnika decay factor progu bª du t Przy ustalonym progu bª du ilo± iteracji metody pot gowej zale»y od drugiej gªównej warto±ci wªasnej macierzy P. Mo»na pokaza,»e druga gªówna warto± wªasna P to wla±nie (1 - d). Warto± residuum zbiega do zera tak jak (1 d) n W praktyce ilo± iteracji nie przekracza 100 dla zupeªnie zadowalaj cej precyzji. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 21 / 34
24 Usprawnienia Obliczeniowe Usprawnienia obliczeniowe PageRank Ze wzgl du na rol algorytmu PageRank i pokrewnych algorytmów w wyszukiwarkach oraz wielko± danych na których one pracuj intensywnie badano usprawnienia zwi zane z praktycznym ich obliczaniem: efektywne obliczanie w ograniczonej pami ci (podziaª grafu) adaptacyjne obliczanie (wykorzystanie niejednorodnej zbie»no±ci na poszczególnych wierzchoªkach grafu) wykorzystanie matematycznych wªasno±ci równania PageRank (druga warto± wªasna) wykorzystanie blokowej struktury grafu WWW do równolegªego obliczania PageRank przyspieszone obliczanie po niewielkich modykacjach grafu WWW Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 22 / 34
25 Usprawnienia Obliczeniowe Problem zwisaj cych linków Nie jest mo»liwe posiadanie grafu caªego WWW - ma si jedynie dost p do jego cz ±ci uzyskanej w procesie crawlowania. W zwi zku z tym, problem stanowi brzeg crawla - ta cz ± dokumentów, do których odkryto linki, ale których nie zd»ono ±ci gn. Linki takie nazywa si zwisaj cymi (ang. dangling). Niestety, brzeg crawla ro±nie w czasie i jego rozmiar zwykle przekracza rozmiar ±ci gni tego grafu, dla du»ych crawli. Aby to obej± przed liczeniem PageRank mo»na usun w i iteracjach (ok. 5) zwisaj ce linki aby doda je z powrotem do grafu w ostatnich i iteracjach metody pot gowej. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 23 / 34
26 Status prawny Status algorytmu PageRank PageRank jest opatentowany w USA: Method for node ranking in a linked database Inventor: Lawrence Page Assignee: The Board of Trustees of the Leland Stanford Junior University US Patent 7,058,628 Granted June 6, 2006 Filed July 2, 2001 Filed January 9, 1998 and granted September 4, 2001: Method for node ranking in a linked database Filed July 6, 2001, and granted September 28, 2004: Method for scoring documents in a linked database Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 24 / 34
27 Status prawny Znaczenie PageRank Nowatorski w 1998 roku algorytm PageRank zrewolucjonizowaª rynek wyszukiwarek. Niewielka, dysponuj ca niewielkim bud»etem wyszukiwarka zacz ªa skutecznie rywalizowa z ówczesnymi gigantami dzi ki pomysªowemu algorytmowi, który potraª efektywnie i trafnie automatycznie porz dkowa wyniki wyszukiwania. Obecnie, znaczenie klasycznego algorytmu PageRank w porz dkowaniu wyników zmniejszyªo si, gdy» wynaleziono techniki oszukiwania i jego (mimo,»e z zaªo»enia nale»y do bardziej odpornych na manipulacje). Aktualna wersja u»ywana przez wyszukiwark, w której powstaª nie jest oczywi±cie publicznie znana i jest zaledwie jednym z wielu czynników uwzgl dnianych przy obliczaniu rankingu. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 25 / 34
28 Rozszerzenia Rozszerzenia PageRank Ze wzgl du na swoje znaczenie historyczne, praktyczne zastosowania i ciekawe wªasno±ci matematyczne algorytm PageRank doczekaª si ogromnej ilo±ci wariantów i rozszerze«. Do wa»nych rozszerze«nale» m.in.: wersje personalizowane Topic-sensitive PageRank (czyli zale»ny od kontekstu zapytania) Trust-Rank, i Anti-TrustRank, (zastosowania w zwalczaniu spamu) rozmaite wersje rozszerzaj ce model losowego internauty Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 26 / 34
29 Rozszerzenia Personalizacja Klasyczna wersja PageRank pozwala na prost i efektywn obliczeniowo personalizacj za pomoc odpowiedniej modykacji wektora ucieczki. W klasycznej wersji jest on jednorodny, ale ju» w pierwszej, oryginalnej publikacji na temat PageRank rozwa»ano t mo»liwo±. Personalizacja w tym wypadku polega na odpowiednim zwi kszeniu prawdopodobie«stw przej±cia do dokumentów bardziej interesuj cych kosztem zmniejszenia pozostaªych prawdopodobie«stw. Pomysª rozwi zania problemu skalowalno±ci masowej personalizacji wektorów ucieczki jest zaprezentowany w: G.Jeh et al. Scaling Personalized Web Search, WWW Conference 2003 (best paper award) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 27 / 34
30 Rozszerzenia Topic-Sensitive PageRank Klasyczny PageRank jest statyczny tzn. niewra»liwy na kontekst zapytania przychodz cego do wyszukiwarki. Zaproponowano wersj kontekstow - wra»liw na temat zapytania. Ranking dokumentu zale»y wtedy nie tylko od struktury linków ale i od tematu zapytania. T.Haveliwala Topic-Sensitive PageRank: A Context-Sensitive Ranking Algorithm for Web Search, WWW Conference 2002 Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 28 / 34
31 Rozszerzenia TSPR - Idea W klasycznym PageRanku liczy si (przed przetwarzaniem zapytania) 1 wektor rankingu dla wszystkich dokumentów w kolekcji WWW. W wersji Topic-Sensitive zaproponowano policzenie wielu wektorów (oryginalnie 16) - ka»dy z innym wektorem ucieczki - specjalnie dobranym do wybranej, reprezentacyjnej grupy tematycznej. Oryginalnie zaproponowano wykorzystanie 16 gªównych kategorii ODP (Open Directory Project). Przy obliczaniu rankingu dokumentu w kontek±cie zapytania q, bierze si kombinacj liniow 16 rankingów, gdzie wspóªczynniki wyra»aj blisko± zapytania q do ka»dego z 16 skªadników tematycznych. W pracy wykazano eksperymentalnie efektywno± tego podej±cia i jego przewag jako±ciow nad klasycznym algorytmem PageRank. Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 29 / 34
32 Rozszerzenia Rozszerzanie modelu losowego internauty Innym kierunkiem rozszerzania klasycznego algorytmu PageRank jest rozszerzanie bazowego modelu losowego inernauty poprzez dozwalanie na wi cej akcji (ni» wybór linku i skok do losowej strony) Na przykªad, oprócz 2 w/w akcji bardzo cz sto wykonywan akcj w przegl darkach jest u»ycie klawisza wstecz (ang. back-button). Okazuje si,»e da si tak zmodykowa klasyczny model,»eby rozwi zanie byªo matematycznie zbie»ne i zarazem efektywnie obliczalne na du»ych grafach (mimo,»e wynikowy proces nie jest ju» ªa«cuchem Markowa). Algorytm (RBS) pracuje na rzeczywistych grafach WWW. (Random Surfer with back-step, M.Sydow, WWW Conference 2004, (oraz Fundamenta Informaticae, 2005)) Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 30 / 34
33 Porównanie HITS i PageRank Porównanie HITS z PageRank Algorytm rankingowy HITS ma wiele podobie«stw do PageRank. Podobie«stwa: Ró»nice: U»ywa struktury linków (pierwszego rz du) do automatycznego obliczenia warto±ci strony w grae WWW. matematycznie sprowadza si do obliczenia gªównych wektorów wªasnych pewnych macierzy powstaªych z macierzy s siedztwa grafu HITS oblicza ranking dynamiczny dziaªa w kontek±cie konkretnego zapytania, a PageRank dziaªa niezale»nie od zapyta«(ranking statyczny) HITS (oprócz autorytetu) modeluje poj cie koncentratora. PageRank daje dobre rezultaty bez tego (by mo»e dobre koncentratory w praktyce szybko staj si dobrymi autorytetami [Chakrabarti, Mining the Web]). Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 31 / 34
34 Porównanie HITS i PageRank Stabilno± i odporno± na manipulacje W HITS tempo zbie»no±ci (podobnie jak w PageRank) zale»y od tego jak daleko druga warto± wªasna le»y od gªównej. PageRank jest znacznie stabilniejszy od HITS. Matematyczna analiza stabilno±ci HITS w porównaniu z PageRank: Ng, A. and A.Zheng and M.Jordan, Stable Algorithms for Link Analysis, Proceedings of SIGIR'01, 2001 Ng, A. and A.Zheng and M.Jordan, Link analysis, eigenvectors and stability, Ijcai, pp , 2001 Jak wspominali±my HITS jest ªatwo podatny na manipulacje. Aby sztucznie zwi kszy warto± autorytatywno±ci jakiej± strony s wystarczy: 1 Stworzy wiele stron linkuj cych do dobrych autorytetów (udaj naturalne koncetratory) 2 Doda linki z owych sztucznych koncentratorów do strony s Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 32 / 34
35 Zadania Na zaliczenie tego wykªadu: 1 Idea PageRank 2 3 perspektywy 3 Uproszczony PageRank i jego wady 4 Realny PageRank 5 Równanie PageRank i warunki jego rozwi zalno±ci 6 Algorytm Pot gowy obliczania PageRank 7 Problem zwisaj cych linków 8 Rozszerzenia PageRank 9 Personalizacja i Topic-Sensitive PageRank 10 Porównanie HITS i PageRank Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 33 / 34
36 Zadania Dzi kuj za uwag Marcin Sydow (PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 34 / 34
Grafy i Zastosowania. 10: Zastosowania w sieciach: algorytm PageRank. c Marcin Sydow. Ša«cuchy Markowa. Analiza Linków. PageRank.
10: Zastosowania w sieciach: algorytm Spis zagadnie«ša«cuch Macierz przej± Digraf ªa«cucha Klasykacja stanów Zastosowanie: digraf WWW i algorytm Ranking dokumentów w wyszukiwarkach Podstawy racjonalne
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Numeryczne zadanie wªasne
Rozdziaª 11 Numeryczne zadanie wªasne W tym rozdziale zajmiemy si symetrycznym zadaniem wªasnym, tzn. zadaniem znajdowania warto±ci i/lub wektorów wªasnych dla macierzy symetrycznej A = A T. W zadaniach
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW Analiza linków (1): Algorytm HITS Marcin Sydow PJWSTK Marcin Sydow ( PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 1 / 33 Plan tego wykªadu Przypomnienie:
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
Minimalne drzewa rozpinaj ce
y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Algorytmiczna teoria grafów
18 maja 2013 Twierdzenie Halla o maª»e«stwach Problem Wyobra¹my sobie,»e mamy m dziewczyn i pewn liczb chªopców. Ka»da dziewczyna chce wyj± za m», przy czym ka»da z nich godzi si po±lubi tylko pewnych
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL'
Rozdziaª 9 Ukªady równa«liniowych - rozkªady typu LU i LL' W tym rozdziale zapoznamy si z metodami sªu» cych do rozwi zywania ukªadów równa«liniowych przy pomocy uzyskiwaniu odpowiednich rozkªadów macierzy
Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n
Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW Wªasno±ci Grafu WWW Marcin Sydow PJWSTK Marcin Sydow ( PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW 1 / 53 Plan dzisiejszego wykªadu: graf WWW rola analizy
LZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Rozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe
Rozdziaª 13 Przykªadowe projekty zaliczeniowe W tej cz ±ci skryptu przedstawimy przykªady projektów na zaliczenia zaj z laboratorium komputerowego z matematyki obliczeniowej. Projekty mo»na potraktowa
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Pewne algorytmy algebry liniowej Andrzej Strojnowski
Pewne algorytmy algebry liniowej ndrzej Strojnowski 6 stycznia 2011 Przedstawimy tu kilka algorytmów rozwi zuj ce typowe zadania algebry liniowej Wszystkie zaprezentowane tu algorytmy polegaj na zbudowaniu
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
Teoria Sterowania. Warunki zaliczenia
Teoria Sterowania Warunki zaliczenia. Pytania. Tematy µ-projektów. 3.5 poprawne zaliczenie testu; Warunki zaliczenia 4 poprawne zaliczenie testu + poprawne rozwi zanie kilku zada«(pliki Alin, TS-skrypt1,
przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn
do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Makroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 3 Racjonalne oczekiwania i krytyka Lucasa MZ 1 / 15 Plan wicze«1 Racjonalne oczekiwania 2 Krytyka Lucasa 3 Zadanie MZ 2 / 15 Plan prezentacji 1 Racjonalne oczekiwania
3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie
7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
Programowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Opis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
MiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Aplikacje bazodanowe. Laboratorium 1. Dawid Poªap Aplikacje bazodanowe - laboratorium 1 Luty, 22, / 37
Aplikacje bazodanowe Laboratorium 1 Dawid Poªap Aplikacje bazodanowe - laboratorium 1 Luty, 22, 2017 1 / 37 Plan 1 Informacje wst pne 2 Przygotowanie ±rodowiska do pracy 3 Poj cie bazy danych 4 Relacyjne
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania
Podstawowe algorytmy grafowe i ich zastosowania Autor projektu: dr Andrzej Mróz (UMK) Projekt pn. Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW Spoªeczne i ekonomiczne aspekty wyszukiwarek (2): Spam wyszukiwarkowy Marcin Sydow PJWSTK Marcin Sydow ( PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
![1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,](/thumbs/93/111864182.jpg "1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,")
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Zastosowanie wartości własnych macierzy
Uniwersytet Warszawski 15 maja 2008 Agenda Postawienie problemu 1 Postawienie problemu Motywacja Jak zbudować wyszukiwarkę? Dlaczego to nie jest takie trywialne? Możliwe rozwiazania Model 2 3 4 Motywacja
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
1 Stos: Stack i Stack<T>
1 Stos: Stack i Stack Przykªady z»ycia: Stos talerzy (aby wyci gn co± ze ±rodka, musimy wyci gn te z góry) Meble ªadowane do naczepy ci»arówki Osoby wsiadaj ce do samolotu i wysiadaj ce z niego. Piramida
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY
Granular Computing 9999 pages 15 METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI - PROJEKTY PB 2 PB 1 Projekt z grupowania danych - Rough k-medoids Liczba osób realizuj cych projekt: 1 osoba 1. Wczytanie danych w formatach
Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych
Baza danych - Access 1 Baza danych Jest to zbiór danych zapisanych zgodnie z okre±lonymi reguªami. W w»szym znaczeniu obejmuje dane cyfrowe gromadzone zgodnie z zasadami przyj tymi dla danego programu
Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
MiASI. Modelowanie integracji systemów. Piotr Fulma«ski. 26 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie integracji systemów Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 26 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Czym jest integracja systemów informatycznych? 2 Integracja
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW
Wyszukiwanie i Przetwarzanie Informacji WWW Wyszukiwanie w korpusach tekstowych: ranking i ewaluacja Marcin Sydow Web Mining Lab, PJWSTK Marcin Sydow (Web Mining Lab, PJWSTK) Wyszukiwanie i Przetwarzanie
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
AUTO-ENKODER JAKO SKŠADNIK ARCHITEKTURY DEEP LEARNING
AUTO-ENKODER JAKO SKŠADNIK ARCHITEKTURY DEEP LEARNING Magdalena Wiercioch Uniwersytet Jagiello«ski 3 kwietnia 2014 Plan Uczenie gª bokie (deep learning) Auto-enkodery Rodzaje Zasada dziaªania Przykªady
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski 5 kwietnia 2017
i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Problemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych