Matematyka. Społeczeństwo. Nauczanie

Transkrypt

1 Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach OKM OŚRODEK KULTURY MATEMATYCZNEJ W MORDACH Matematyka Społeczeństwo Nauczanie Numer 50 I 2013)

2 Od redakcji Po rozstaniu z Grzegorzewicami Nadarzyn staje się najczęstszym miejscem, w którym organizowane są Szkoły Matematyki Poglądowej. Jubileuszowa 50. Szkoła, której towarzyszy ten zeszyt, jest już trzecią w tym mieście wcześniej były 47. i poprzednia 49.). Jak zwykle, uczestnicy są zakwaterowani w ośrodku Perła leśna. Mimo położenia w pięknym leśnym otoczeniu niełatwo było znaleźć tereny spacerowe. Udało się to dopiero po odnalezieniu sekretnego przejścia przez gęstwinę nawłoci. Medal Filca zdobył Wiktor Bartol wygłaszając referat o skromnym, ale wyjątkowym obiekcie czyli o zbiorze pustym. Szczegółowe wyniki: W. Bartol 82 głosy, M. Kieza 64, Z. Pogoda 62, M. Kordos i K. Oleszkiewicz po 59. Każdy wykład zdobył co najmniej jeden punkt. Medale Wzorowego Słuchacza wywalczyli: złoty Marta Szumańska 19 punktów, srebrny Michał Szostakiewicz 13 punktów, brązowy Andrzej Lenarcik 11 punktów. Temat 51. Szkoły to Modele. Tym razem nie był wybierany przez całą salę, lecz tylko przez wąskie grono. Michał Kieza PS. Wszystkich zainteresowanych informujemy, że Matematykę-Społeczeństwo-Nauczanie można nabywać również drogą korespondencyjną, przesyłając zamówienie pod naszym adresem: Ośrodek Kultury Matematycznej w Mordach ul. 3 Maja 54, Siedlce Zamówienie może też być ciągłe, czyli dotyczyć wszystkich kolejnych numerów; można je zamawiać od numeru 1 począwszy. Zamówione numery prześlemy za zaliczeniem pocztowym. c Copyright by Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach, Siedlce 2013 ISSN Zeszyt zawiera: Andrzej Dąbrowski, Zdzisław Pogoda: Ośrodek Kultury Matematycznej w Mordach w dwudziestopięciolecie str. 1 Tomasz Tkocz: Nie)obliczalne wyjątki str. 7 Magdalena Nowak: Gra w chaos i sekwencje DNA str. 11 Apoloniusz Tyszka: Jak rozwiązać równanie diofantyczne o skończonej liczbie rozwiązań całkowitych? str. 16 Zdzisław Pogoda: Zasada Arnolda str. 21 Zdzisław Pogoda: Prawda i piękno str. 27

3 Jak rozwiązać równanie diofantyczne o skończonej liczbie rozwiązań całkowitych? Apoloniusz TYSZKA, Kraków Thoralf Skolem udowodnił, że każde równanie diofantyczne może być algorytmicznie przekształcone na równoważny układ równań diofantycznych stopnia co najwyżej drugiego, patrz [10, str. 2 3], [3, str , dowód Theorem 1], [5, str , dowód Theorem 7.5] i [8, str. 3 4]. Np. równanie x 5 1 x1 = x2 2 x2 jest równoważne poniższemu układowi U): U) x 1 x 1 = x 3 x 3 x 3 = x 4 x 1 x 4 = x 5 x 1 + x 6 = x 5 x 2 x 2 = x 7 x 2 + x 6 = x 7 Układ U) jest mały, bo został znaleziony ad hoc. Gdy układ równoważny zdefiniujemy tak, jak w dowodzie Twierdzenia, będzie on zawierał ) 2+1) 5+1) = 3 18 zmiennych. Równanie diofantyczne to równanie postaci Dx 1,..., x p ) = 0, gdzie Dx 1,..., x p ) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych. Negatywne rozwiązanie 10. problemu Hilberta mówi, że nie istnieje algorytm rozstrzygający, czy równanie diofantyczne ma jakieś rozwiązanie całkowite. Udowodnił to Yuri Matiyasevich w 1970 roku, patrz [1], [2], [5], [8] i [9]. Nie istnieje też algorytm rozstrzygający, czy liczba rozwiązań całkowitych równania diofantycznego jest skończona czy nieskończona, patrz [6] i [8] str Pytanie z tytułu dotyczy istnienia algorytmu, który przyjmuje na wejściu wielomian Dx 1,..., x p ) o współczynnikach całkowitych i zwraca skończony ciąg całkowitych p-tek, którego wyrazy tworzą zbiór wszystkich całkowitych rozwiązań równania Dx 1,..., x p ) = 0, jeżeli jest on skończony. Równoważne pytanie brzmi: Czy istnieje algorytm, który każdemu równaniu diofantycznemu przyporządkowuje liczbę naturalną większą od modułów rozwiązań całkowitych, gdy rozwiązania te tworzą zbiór skończony? Yu. Matiyasevich przypuszcza, że taki algorytm nie istnieje, patrz [9] str. 42. Inne przypuszczenie mówi, że poszukiwany algorytm istnieje dla równań z dwiema zmiennymi, patrz [18] str Dla równań z jedną zmienną konstrukcja takiego algorytmu wynika z istnienia obliczalnego górnego ograniczenia modułów pierwiastków rzeczywistych wielomianu o współczynnikach całkowitych. W artykule przedstawimy przypuszczenie, które prowadzi do konstrukcji poszukiwanego algorytmu. Niech E n oznacza układ równań {x i = 1, x i + x j = x k, x i x j = x k : i, j, k {1,..., n}}. Twierdzenie. Gdy wielomian Dx 1,..., x p ) o współczynnikach całkowitych ma niezerowy stopień względem każdej zmiennej x i, to równanie Dx 1,..., x p ) = 0 można przedstawić równoważnie jako układ S E n, gdzie n = 2M + 1) d 1 + 1)... d p + 1), M oznacza maksimum modułów współczynników wielomianu Dx 1,..., x p ) i dla każdego i {1,..., p} d i jest stopniem wielomianu Dx 1,..., x p ) względem zmiennej x i. Dowód. Rozważmy zbiór T wszystkich wielomianów W x 1,..., x p ) o współczynnikach całkowitych z przedziału [ M, M], dla których dla każdego i {1,..., p} stopień wielomianu W x 1,..., x p ) względem zmiennej x i nie przekracza stopnia wielomianu Dx 1,..., x p ) względem zmiennej x i. Niech cardt ) oznacza liczebność zbioru T. Wówczas cardt ) = 2M + 1) d 1 + 1)... d p + 1) Każdemu wielomianowi należącemu do T \ {x 1,..., x p } przypiszmy nową zmienną x i, gdzie i {p + 1,..., cardt )}. Wówczas Dx 1,..., x p ) = x q dla dokładnie jednego q {1,..., cardt )}. Niech H oznacza zbiór tych równań należących do E cardt ), które są tożsamościami w T. Układ równań S = H {x q + x q = x q } E cardt ) równoważnie wyraża równość Dx 1,..., x p ) = 0 i ma tyle samo rozwiązań całkowitych, co równanie Dx 1,..., x p ) = 0. W pracach [12] i [16] przedstawiamy bardziej szczegółowy dowód. Dla równania x 1 x 2 = 1 algorytm z powyższego dowodu wyznacza układ zawierający ) 1+1) 1+1) = 81 zmiennych i składający się z jednego równania postaci x i = 1, 2402 równań postaci x i + x j = x k i 549 równań postaci x i x j = x k, patrz [16]. 16

4 Wszystkimi rozwiązaniami całkowitymi równania x 5 1 x1 = x2 2 x2 są pary 1, 0), 1, 1), 0, 0), 0, 1), 1, 0), 1, 1), 2, 5), 2, 6), 3, 15), 3, 16), 30, 4929) i 30, 4930), patrz [4]. Wykażemy, że rozwiązania te można obliczyć korzystając z Przypuszczenia 1 i założenia, że równanie ma tylko skończenie wiele rozwiązań całkowitych. Równanie jest równoważne poniższemu układowi U): U) x 1 x 1 = x 3 x 3 x 3 = x 4 x 1 x 4 = x 5 x 1 + x 6 = x 5 x 2 x 2 = x 7 x 2 + x 6 = x 7 Każda liczba rzeczywista x 2 spełnia nierówność x 2 2 x2 1 4, więc w dziedzinie liczb całkowitych równość x 5 1 x1 = x2 2 x2 implikuje 1 x1. Stosując Przypuszczenie 1 otrzymujemy, że każde całkowite rozwiązanie układu U) spełnia x 5 1 = x = Zatem, [ ] 1 x = 7131, gdzie [ ] oznacza część całkowitą. W tym zakresie zmiennej całkowitej x 1 równoważne równanie diofantyczne 4x 5 1 4x1 + 1 = 2x2 1)2 zostało rozwiązane komputerowo, patrz [14]. Rozwiązania te są identyczne z już przedstawionymi. Dla wielu równań diofantycznych o skończoności zbioru rozwiązań całkowitych wiemy z twierdzeń, których dowody nie dostarczają obliczalnego ograniczenia modułów rozwiązań. Twierdzenie wraz z poniższym przypuszczeniem implikuje, że pomijając ogrom obliczeń można znaleźć wszystkie rozwiązania tych równań diofantycznych, dla których liczba rozwiązań jest skończona. Przypuszczenie 1. Jeśli tylko skończenie wiele całkowitych n-tek x 1,..., x n ) rozwiązuje układ S E n, to każde takie x 1,..., x n ) spełnia x 1,..., x n 2 2n 1. Przypuszczenie 1 zostało potwierdzone dla n {1, 2, 3}, patrz [12]. Dla n 2 ograniczenie 2 2n 1 nie może być zmniejszone, bo układ x 1 + x 1 = x 2 x 1 x 1 = x 2 x 2 x 2 = x 3 x 3 x 3 = x 4... x n 1 x n 1 = x n ma dokładnie dwa rozwiązania całkowite, a mianowicie 0,..., 0) i 2, 4, 16, 256,..., 2 2n 2, 2 2n 1). Każdemu układowi S E n przyporządkujemy układ S zdefiniowany jako S \ {x i = 1 : i {1,..., n}}) {x i x j = x j : i, j {1,..., n} i równanie x i = 1 należy do S} Innymi słowy, aby otrzymać S usuwamy z S każde równanie x i = 1 i zastępujemy je przez następujące n równań: x i x 1 = x 1... Lemat. Dla każdego układu S E n x i x n = x n {x 1,..., x n ) Z n : x 1,..., x n ) rozwiązuje S} = {x 1,..., x n ) Z n : x 1,..., x n ) rozwiązuje S} {0,..., 0)} Lemat implikuje równoważność Przypuszczeń 1 3. Przypuszczenie 2. Jeśli tylko skończenie wiele całkowitych n-tek x 1,..., x n ) rozwiązuje układ S {x i + x j = x k, x i x j = x k : i, j, k {1,..., n}}, to każde takie x 1,..., x n ) spełnia x 1,..., x n 2 2n 1. Przypuszczenie 3. Dla każdej całkowitej n-tki x 1,..., x n ), jeśli 2 2n 1 < max x 1,..., x n ), to istnieje całkowita n-tka y 1,..., y n ), dla której max x 1,..., x n ) < max y 1,..., y n ) i dla każdych i, j, k od 1 do n x i + x j = x k implikuje y i + y j = y k i dla każdych i, j, k od 1 do n x i x j = x k implikuje y i y j = y k. Przestawiając liczbę z maksymalnym modułem na początek n-tki x 1,..., x n ) otrzymujemy, że zdanie x 1,..., x n Z y 1,..., y n Z ) 2 2n 1 < x 1 = x 1 < y 1... x 1 < y n ) ) i, j, k {1,..., n} x i + x j = x k = y i + y j = y k ) ) i, j, k {1,..., n} x i x j = x k = y i y j = y k ) jest równoważne Przypuszczeniu 3. Przypuszczenie w tej postaci wyraża hipotetyczną własność arytmetyki liczb całkowitych. 17

5 Obserwacja 1. Dla wszystkich dodatnich całkowitych n, m spełniających n m, jeżeli Przypuszczenie 3 jest fałszywe dla pewnej całkowitej n-tki x 1,..., x n ) i 2 2m 1 < x 1 2 2m, to jest ono także fałszywe dla m-tki x 1,..., x }{{} 1, x 2,..., x n ). Analogiczne stwierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego m n+1 razy indeksu k {1,..., n}. Na mocy Obserwacji 1, Przypuszczenie 3 rozważane łącznie dla wszystkich n jest równoważne Przypuszczeniu 4 rozważanemu łącznie dla wszystkich n. Przypuszczenie 4. Dla każdej całkowitej n-tki x 1,..., x n ), jeśli 2 2n 1 < max x 1,..., x n ) 2 2n, to istnieje całkowita n-tka y 1,..., y n ), dla której max x 1,..., x n ) < max y 1,..., y n ) i dla każdych i, j, k od 1 do n x i + x j = x k implikuje y i + y j = y k i dla każdych i, j, k od 1 do n x i x j = x k implikuje y i y j = y k. Obserwacja 2. Jeżeli k {1,..., n} i całkowita n-tka x 1,..., x n ) spełnia 2 2n 1 < max x 1,..., x n ) = x k 2 2n, to fałszywość Przypuszczenia 4 dla x 1,..., x n ) implikuje, że jest ono fałszywe także dla x 1,..., x n, x 2 k ). Ten ciąg n + 1 liczb całkowitych spełnia warunek 2 2n < max x 1,..., x n, x 2 k ) = x k 2 2 2n+1. Dla ustalonego n, Przypuszczenie 4 może zostać potwierdzone lecz nie obalone) przez sprawdzenie skończenie wielu całkowitych n-tek x 1,..., x n ). Na mocy Obserwacji 2, jeśli Przypuszczenie 4 jest fałszywe dla jakiegoś n, to jest też fałszywe dla n + 1, n + 2, n + 3,.... Można więc napisać program, który wykonuje nieskończenie wiele kroków i kolejno wypisuje wszystkie liczby naturalne n 2, dla których Przypuszczenie 4 jest prawdziwe, patrz [7], [15] i [17]. Jeżeli Przypuszczenie 4 jest fałszywe, to wyjście programu jest skończone i na końcu jest całkowita n-tka a 1,..., a n ), gdzie n 4, 2 2n 1 < max a 1,..., a n ) 2 2n i układ {x i + x j = x k : i, j, k {1,..., n}) a i + a j = a k )} {x i x j = x k : i, j, k {1,..., n}) a i a j = a k )} jest kontrprzykładem dla Przypuszczenia 2. Zapis na wyjściu tego programu po nieskończenie wielu krokach odnosi się do spełnialności, a nie dowiedlności zdania n 2 Przypuszczenie 4 dla n-tek w jakimś systemie aksjomatycznym. Niech P oznacza powyższe zdanie. Jest ono równoważne zdaniu n 1 Przypuszczenie 1 dla podukładów układu E n Rozważmy algorytm, który generuje wszystkie skończone ciągi formuł języka teorii mnogości ZFC w kolejności liczby użytych znaków i zwraca każde W {P, P}, gdy jest to pierwszy napotkany dowód W w ZFC. Na wyjściu algorytmu jest P i P wtedy i tylko wtedy, gdy ZFC jest sprzeczna. Na wyjściu algorytmu jest dokładnie P wtedy i tylko wtedy, gdy P jest dowiedlne w ZFC i ZFC jest niesprzeczna. Na wyjściu algorytmu jest dokładnie P wtedy i tylko wtedy, gdy P jest dowiedlne w ZFC i ZFC jest niesprzeczna. Wyjście algorytmu jest puste wtedy i tylko wtedy, gdy P jest nierozstrzygalne w ZFC. Nie jest znane doświadczenie fizyczne, którego wyniki mogą być odczytane i zinterpretowane jako rozstrzygnięcie zdania P. Możliwość zrealizowania obliczeń wykonywanych w nieskończenie wielu krokach jest rozważana przez fizykę teoretyczną, patrz rozdział VIII Relativistic and Quantum Hypercomputation książki [11]. 18

6 MuPAD to system algebry komputerowej w MATLABie. Programy w [14] i [15] są również wykonywalne przez darmowy MuPAD Light, patrz [13]. Literatura [1] Z. Adamowicz, X Problem Hilberta, w: Problemy Hilberta: w pięćdziesięciolecie śmierci ich twórcy red. W. Więsław), str , Instytut Historii Nauki PAN, Warszawa, 1997, [2] Z. Adamowicz, P. Zbierski, Logika matematyczna, PWN, Warszawa, [3] J. L. Britton, Integer solutions of systems of quadratic equations, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc ), nr 3, str [4] Y. Bugeaud, M. Mignotte, S. Siksek, M. Stoll, Sz. Tengely, Integral points on hyperelliptic curves, Algebra & Number Theory ), nr 8, str , [5] M. Davis, Hilbert s tenth problem is unsolvable, Amer. Math. Monthly ), no. 3, , library/22/ford/martindavis.pdf. [6] M. Davis, On the number of solutions of Diophantine equations, Proc. Amer. Math. Soc ), nr 2, str , [7] W. Kulik, Program w Pascalu dla niekończącego się algorytmu wypisującego kolejno wszystkie liczby naturalne n 2, dla których prawdziwe jest Przypuszczenie 4, [8] Yu. Matiyasevich, Hilbert s tenth problem, MIT Press, Cambridge, MA, 1993, pdf, pdf. [9] Yu. Matiyasevich, Hilbert s tenth problem: what was done and what is to be done. Hilbert s tenth problem: relations with arithmetic and algebraic geometry Ghent, 1999), str. 1 47, Contemp. Math. 270, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000, 6.pdf. [10] Th. Skolem, Diophantische Gleichungen, Julius Springer, Berlin, 1938, pdf. [11] A. Syropoulos, Hypercomputation: Computing beyond the Church-Turing barrier, Springer, New York, [12] A. Tyszka, A hypothetical upper bound for the solutions of a Diophantine equation with a finite number of solutions, [13] A. Tyszka, Linki do pliku instalacyjnego MuPADa Light, [14] A. Tyszka, Program w MuPADzie rozwiązujący równanie x 5 1 x 1 = x 2 2 x 2, i rozwiazania.txt. [15] A. Tyszka, Programy w MuPADzie dla niekończącego się algorytmu wypisującego kolejno wszystkie liczby naturalne n 2, dla których prawdziwe jest Przypuszczenie 4, [16] A. Tyszka, K. Molenda, M. Sporysz, An algorithm which transforms any Diophantine equation into an equivalent system of equations of the forms x i = 1, x i + x j = x k, x i x j = x k, Int. Math. Forum ), nr 1, str , 19

7 [17] A. Tyszka, M. Sporysz, A. Peszek, A conjecture on integer arithmetic which implies that there is an algorithm which to each Diophantine equation assigns an integer which is greater than the heights of integer non-negative integer, rational) solutions, if these solutions form a finite set, Int. Math. Forum ), nr 1, str , [18] M. Waldschmidt, Open Diophantine problems, Mosc. Math. J ), nr 1, str , 20