Inwersja spektralna oparta na adaptacyjnej metodzie tworzenia rozwinięć sygnałów falkowych

Transkrypt

1 NAFTA-GAZ grudzień 01 ROK LXVIII Krzysztof Żułaiński Instytut Nafty i Gazu, Krakó Inersja spektralna oparta na adaptacyjnej metodzie torzenia rozinięć sygnałó falkoych Rozój inersji spektralnej ynika z postępu dziedzinie analizy sygnałó i algorytmó programoania linioego Jednym z impulsó do jej zastosoania były zapoczątkoane przez Widessa prace nad rozdzielczością pionoą sygnału sejsmicznego z punktu idzenia cienkich arst i ich yklinoań [16] Kolejne prace pośięcone temu zagadnieniu proadzały noe narzędzia matematyczne do analizy problemu, szczególnie dekompozycję spektralną przy użyciu krótkoczasoej transformaty Fouriera STFT (short-time Fourier transform), następnie ciągłą analizę falkoą CWT (continuous avelet transform) Zastosoanie CWT ynikało z rozoju teorii falek (aveletó), zapoczątkoanej przez prace Gabora [8] i Daubechies [7], a rozijanej ramach badań nad przesyłaniem danych, kompresją i odszumianiem sygnałó W ramach tych prac rozinięto algorytmy optymalizacji stosoane do aproksymacji lub dekompozycji sygnałó [10] Wspomniane metody zastosoano inersji sejsmicznej, którą tej ersji nazano spektralną; decydujące tym przypadku były prace Puryeara, Castagny, Chopry i Portiniaguine a [13, 4] Autorzy rozinęli metodę opartą na dekompozycji spektralnej, ykorzystującą oscylacje idma yznaczonego przez STFT, uogólniając model Widessa na doolne dublety poprzez ich rozkład na część parzystą i nieparzystą Badali oscylacje idma dla nieparzystej (jak u Widessa) i parzystej składoej dubletu, których zestaienie proadzi do inersji, czyli ydzielenia spółczynnikó odbicia zaartych sygnale sejsmicznym Niniejsza praca prezentuje inne podejście, metodę także opartą na rozkładzie doolnego dubletu na części parzystą i nieparzystą, lecz miejsce analizy oscylacji idma otrzymanego drogą krótkoczasoej transformaty Fouriera stosuje metodę słonikoą, roziniętą ramach prac nad analizą sygnałó, oraz algorytmy adaptacyjne pogoni za dopasoaniem, stosoane programoaniu linioym Metoda Puryeara i Castagny nie zakłada znajomości aveletu, a ięc kształtu sygnału elementarnego, a podstaoą trudnością jej stosoaniu jest yznaczenie długości okna STFT Metoda słonikoa zmusza do założenia, że sygnał elementarny jest dobrze określony Zakładając, że sekcja sejsmiczna jest zerofazoa albo bliska zerofazoości, a ięc sygnał elementarny jest symetryczny, można stosując filtrację kształtującą idmo sekcji ymodeloać avelet zbliżony do ymagań postaionych pracy Berkhouta [], a ięc zbliżony do sygnału symetrycznego Rickera, co przy odpoiednim doborze parametró dopasoania proadzi do zadoalających ynikó W literaturze przedmiotu funkcjonuje angielskie określenie avelet na oscylującą i zanikającą do zera poza określonym przedziałem zmiennej niezależnej funkcję Najbliższym odpoiednikiem (łaściie kalką językoą) jest polskie słoo falka, stosoane są rónież określenia: falka elementarna, sygnał elementarny, funkcja elementarna, jak rónież avelet pisoni angielskiej z polską deklinacją [9] W niniejszej pracy miarę możliości stosoane będzie słoo falka Podstay matematyczne Punktem yjścioym rozażań jest transformata Gabora [8], czyli przedstaienie sygnału, rozumianego jako funkcja czasu, postaci szeregu funkcji elementarnych z odpoiednio dobranymi spółczynnikami, czyli: 937

2 NAFTA-GAZ f ( t) (1) cm, ngm, n( t) n, mz z metodą słonikoą funkcję można przedstaić postaci następującej: gdzie funkcje elementarne g m,n dane są zorem: 938 nr 1/01 g m,n (t) = g(t na)e πimbt () dla stałych parametró a, b > 0, odpoiadających odpoiednio przesunięciu czasie i skaloaniu częstotliości Najczęściej jako funkcję g(t) przyjmuje się funkcję Gaussa, przez co otrzymujemy falę elementarną postaci g m,n (t) = π 1/4 exp ( (t na) /) exp (πimb(t n)), poszechnie stosoaną ciągłej analizie falkoej (continuous avelet transform CWT), nazyaną falką Morleta Analogicznie do dyskretnej transformaty Fouriera przypadku próbkoanego po czasie sygnału, dla której z N próbek sygnału rzeczyistego otrzymujemy N/ spółczynnikó zespolonych kojarzonych z częstotliością i fazą, przypadku transformaty Gabora uzyskamy siatkę n m spółczynnikó c m,n, gdzie każdej z n pozycji czasie przypisanych jest m artości, którym możemy przypisać częstotliość mb Odpoiadające danemu na częstotliości są zlokalizoane (ograniczone przez rozciągłość falki), podczas gdy spółczynnik przypisyany yrazoi transformaty Fouriera odpoiada udziałoi danej częstotliości całym przedziale czasu Analiza i przetarzanie sygnałó rozumianych jako funkcje oparte są na pojęciu przestrzeni funkcyjnych, szczególności przestrzeni Hilberta Transformata Fouriera jest rozkładem sygnału na jego składoe częstotliościoe, przypadku sygnału ciągłego czasie mamy do czynienia z przestrzenią L, sygnał dyskretny rozkładany jest przestrzeni l Bazę stanoią odpoiednio ortogonalne funkcje e it lub szeregi e in Podobnie dla transformaty Gabora sygnał rozkładamy na składoe, bazę stanoią skaloane i przesuane czasie falki Morleta (przyjmuje się z reguły a = b = 1) Tak dzieje się przypadku analizy częstotliościoej, jednak sygnał można rozłożyć rónież metodą słonikoą Metoda ta jest s1 K / s K / s 3 K / s4 K / sn 0 zykle yjaśniana przy pomocy analogii do języka naturalnego [3, 9], który z łaścią mu nadmiaroością (redundancją) ykorzystuje bliskoznaczne słoa do opisu rzeczyistości, dzięki czemu do jej precyzyjnego opisu ystarcza nieielka liczba słó Bogacto słonika pozala na lakoniczne opisy, ograniczony zasób słó zmusza do dłuższych ypoiedzi przy ymaganej na tym samym poziomie precyzji brakujące słoa zastępoane są przez bardziej złożone konstrukcje językoe Zgodnie cn n s( t) g ( t) (3) n gdzie c n jest spółczynnikiem rozinięcia reprezentującym daną przez g γ n (t) cechę sygnału s(t) Funkcje g γ n (t) stanoią elementy słonika zane atomami, parametr γ stanoi indeks parametryzujący elementy tego słonika przypadku spomnianej falki Morleta jest uporządkoaną trójką γ = (a, b, m), γ Γ W przestrzeni linioej oznacza to rezygnację z ortogonalności bazy, niezależności linioej jej ektoró, na rzecz bazy złożonej z ektoró zależnych linioo, pozalających zamian przynajmniej teorii rozłożyć sygnał na możliie małą liczbę składoych W metodach spektrometrycznych, na przykład, stosuje się dopasoanie ystępujących pikó przesuniętymi zdłuż osi odciętych funkcjami Gaussa, ponieaż odpoiadają one oczekianym teoretycznym ynikom pomiaru, chociaż nie są linioo niezależne Podobnie możemy postąpić z sygnałem sejsmicznym s(t), rozumianym jako splot spółczynnikó odbicia r(t) z falką (aveletem) (t): s(t) = (t)*r(t) + n(t) (4) którym n(t) odpoiada szumoi Jako że mamy do czynienia z sygnałem próbkoanym czasie, możemy poyższe rónanie yrazić postaci macierzoej: 1 3 K / 1 K / K / 1 K / 0 lub skrócie: K / K / 1 K / K / 1 K / K / 1 K / 1 K / r1 n r n r 3 n r4 n rn n (5) S N = A N N R N + N N (6) gdzie S N odpoiada N próbkom sygnału sejsmicznego, R N spółczynnikom odbicia, N N szumoi, a A N N to kadratoa macierz zbudoana z falek o długości K < N próbek Realnie dysponujemy S N i jesteśmy stanie skonstruoać A N N, znając W K, a R N jest poszukiane Gdyby odrzucić szum: N

3 artykuły R N A S (7) 1 NN jeśli istnieje macierz odrotna do A N N W rzeczyistości nie możemy przyjąć, że szum nie ystępuje, nie możemy N rónież założyć ystępoania spółczynnikó odbicia yłącznie na czasie yznaczonym przez krok próbkoania, stąd trudno oczekiać, by roziązanie edług relacji (7) odzierciedlało uarstienie badanego ośrodka Teoria inersji spektralnej Celem inersji jest roziązanie zadania odrotnego, czyli yznaczenie spółczynnikó odbicia na podstaie sygnału sejsmicznego Współczynniki te odzoroują uarstienie ośrodka manifestujące się zmianami impedancji akustycznej na granicach arst Przez sygnał sejsmiczny rozumiemy pojedynczą trasę profilu sejsmicznego lub okno czasoe trasy Interpretacja sejsmiczna ymaga ziększenia rozdzielczości pionoej iększości przypadkó, szczególnie cienkich arst oraz ich yklinoań Analiza yklinoań rozpoczęta przez Widessa [16] ychodziła od fizycznego modelu klina odpoiadającego impedancji różnej od otaczającego go ośrodka Odpoiada mu nieparzysta para spółczynnikó odbicia, których odległość czasie zależna jest od miąższości arsty klina mierzonej dziedzinie czasu Funkcja spółczynnikó odbicia tego dubletu miała ięc następujący ygląd: r d (t) = r k δ(t t 0 ) r k δ(t + Δt t 0 ) (8) gdzie r k jest spółczynnikiem odbicia ynikającym z różnicy między impedancją akustyczną yklinoanej arsty i otaczającego go ośrodka, t 0 czasem górnej granicy klina, Dt miąższością klina mierzoną czasie Rezygnując z ograniczających założeń Widessa i umieszczając punkt analizy dubletu środku dubletu, otrzymujemy zór: t t t) r1 ( t ) r ( t ) (9) r d ( gdzie r 1, r są spółczynnikami odbicia odpoiednio od górnej i dolnej granicy arsty Na ich artości nie nakładamy żadnych ograniczeń, z yjątkiem czysto fizycznych Z elementarnej matematyki iadomo, że każdą funkcję można przedstaić jednoznacznie jako sumę składoych parzystej i nieparzystej Wobec tego: gdzie r d (t) = r p (t) + r n (t) (10) r1 r t t t) ( t ) ( t ) r p ( r1 r t t t) ( t ) ( t ) (11) r n ( Doolny dublet (parę) spółczynnikó odbicia możemy traktoać jako złożenie dubletu parzystego i nieparzystego z odpoiednimi spółczynnikami Jeśli teraz potraktujemy falkę W K jako słoo ze słonika G i przypiszemy jej parametr γ = 0, możemy zbogacić nasz słonik o kolejne atomy następujący sposób: splatamy parzysty i nieparzysty dublet t t r p ( t) ( t ) ( t ) t t i r n ( t) ( t ) ( t ) z falką W K, uzyskując noe słoa, przypisujemy odpoiednio parametroi γ artości Dt, Dt Praktycznie artości Dt przypisujemy ielokrotność kroku próbkoania trasy Kolumny macierzy A N N traktujemy jako atomy G przesunięte czasie i uzupełniamy macierz o kolejne kolumny z noo storzonymi atomami, splotami dubletó parzystych i nieparzystych z W K zindeksoanymi odległością między składoymi dubletu i odpoiednio przesuniętymi czasie, czemu odpoiada przesunięcie dół kolumny Macierz A N M zbudoana jest następująco: N 1 kolumn z dubletami parzystymi odległymi o jeden krok próbkoania, splecionymi z falką W K, liczbę kolumn yznacza pozycja pierszego i ostatniego składnika dubletu, N kolumn z dubletami parzystymi odległymi o da kroki próbkoania, splecionymi z falką W K, N L kolumn z dubletami parzystymi odległymi o L krokó próbkoania, splecionymi z falką W K, N 1 kolumn z dubletami nieparzystymi odległymi o jeden krok próbkoania, splecionymi z falką W K, N L kolumn z dubletami nieparzystymi odległymi o L krokó próbkoania, splecionymi z falką W K Otrzymujemy macierz A N M, gdzie M = (N L 1) L, gdzie atomy o indeksie 0 zostały usunięte, z dóch poodó: falka spleciona z pojedynczym spółczynnikiem odbicia odpoiada sumie dubletó parzystego i nieparzy- nr 1/01 939

4 NAFTA-GAZ stego pozostaienie tych atomó czyniłoby kolumny macierzy A N N linioo zależnymi z dokładnością do błędó obcięcia, atomy o indeksie 0 nie ystępoały roziązaniach, zastosoany algorytm czynił je zbędnymi ykonanych testach Rónanie (6) ma teraz następującą postać: S N = A N M C M (1) gdzie S N pozostaje bez zmian, A N M została opisana poyżej, C M odpoiada spółczynnikom rozinięcia ze zoru (3) Załóżmy, że dysponujemy roziązaniem poyższego rónania Macierzy A N M odpoiada macierz R N M, której kolumny zamiast splotó spółczynnikó odbicia z falką zaierają dublety spółczynnikó odbicia, z których te sploty otrzymano Ze zoru In N = R N M C M (13) gdzie In N jest ynikiem inersji spektralnej, otrzymujemy ektor zaierający spółczynniki odbicia uarstionego ośrodka, źródło sygnału sejsmicznego (trasy) S N Przeproadzając tę procedurę dla całego profilu sejsmicznego lub jego ybranego fragmentu, dokonujemy inersji spektralnej Algorytm pogoni za dopasoaniem Roziązanie rónania (1) jest zagadnieniem z dziedziny optymalizacji Przy pomocy adaptacyjnej metody rozinięć sygnałó yznaczamy linioe rozinięcie sygnału s(t) atomami ze słonika G Celem jest najierniejsze przedstaienie sygnału przy użyciu jak najmniejszej liczby atomó W naszym przypadku mamy sygnał o długości N oraz słonik M atomó o takiej samej długości, gdzie N << M Chodzi o roziązanie rónania (1) przy użyciu minimalnej liczby spółczynnikó c i, czyli zminimalizoanej normy zeroej C (zliczającej spółczynniki ystępujące rozinięciu), zachoujące ierne odtorzenie sygnału Wyrażając to kategoriach słonikoych, naszym celem jest możliie precyzyjne yrażenie treści przy pomocy możliie małej liczby słó Gdybyśmy zastosoali roziązanie klasyczne tego typu zagadnienia, jak przypadku regresji linioej, minimalizoalibyśmy funkcję f (c), taką że: N M f ( c) sn an mcm (14), n1 m1 W naszym przypadku dodatkoo oczekujemy zminimalizoania zastosoanej liczby atomó słonika roziązaniu Możlie są trzy roziązania zależności od stosoanej normy Dla normy L 0 (normy Hamminga) minimalizujemy: N M f ( c) sn an, mcm C n1 m1 Dla norm L 1 i L otrzymujemy zory: oraz 0 (15) N M M f ( c) sn an, mcm c (16) m n1 m1 m1 N M M f ( c) sn an, mcm c (17) m n1 m1 m1 gdzie λ jest arbitralnie przypisaną agą, odpoiadającą znaczeniu, jakie przypisujemy udziałoi liczności słonika optymalizacji roziązania Algorytmy adaptacyjnej optymalizacji zgodne z poyższymi rónaniami istnieją i są dostępne programie MatLAB firmy MathWorks W literaturze polskiej określa się je spólnym mianem algorytmu pogoni za dopasoaniem W literaturze śiatoej (angielskiej) stosuje się da określenia: matching pursuit przypadku normy L 0 i basis pursuit dla L 1 Eksperymenty numeryczne Obliczenia ykonano systemie MatLAB firmy MathWorks ersja 009b Analizę możliości inersji spektralnej proadzono następujący sposób: 1 Wygeneroano zesta spółczynnikó odbicia 00 elementoy ektor Rź N, N = 00, ypełniono szumem białym, stosując generator liczb losoych o rozkładzie normalnym, około 3/4 jego składoych zostało yzeroane; pozycję zeroanego elementu otrzymano z generatora liczb losoych o rozkładzie rónomiernym W przedstaionych poniżej przykładach dla porónania stosuje się jedną spólną trasę spółczynnikó odbicia Jako krok próbkoania przyjęto ms Przyjmując L jako parametr, utorzono macierz R N M sposób opisany poyżej 3 Wygeneroano odpoiednią falkę stosoano następujące (rysunek 1) [14]: a Rickera: R (t, f = 60), 940 nr 1/01

5 artykuły b Ormsby ego: O (t, f 1 = 0, f = 0, f 3 = 80, f 4 = 100), gdzie f 1, f, f 3, f 4 są częstotliościami określającymi pasmo przenoszenia, c Klaudera: K (t, f 1 = 15, f = 90, T = 16), gdzie f 1, f to odpoiednio dolna i górna granica częstotliość seepu, T czas jego trania 4 Dokonano splotu Rź N oraz kolumn R N M z ybranym aveletem, uzyskując odpoiednio S N oraz A N M, do S N opcjonalnie dodano szum o ybranych parametrach 5 Przeproadzono proces optymalizacji, minimalizując funkcję ze zoru (16), stosując algorytm pogoni za dopasoaniem (basis pursuit), parametryzując λ 6 Otrzymany ektor spółczynnikó rozinięcia C M zastosoano zgodnie ze zorem (13), otrzymując ektor In N, który jako ynik inersji S N porónano z Rź N Poinny być podobne lub tożsame Rys 1 Stosoane pokazanych testach falki, kolor niebieski Ricker 60 Hz R (t, 60), zielony Ormsby O (t, 0, 0, 80, 100), czerony Klauder K (t, 15, 90, 16) Testoano następujące parametry: L (punkt poyższej listy), falki (punkt 3), szum N N (punkt 4) oraz λ (punkt 5) Wyniki przedstaiono na rysunkach Rysunek przedstaia yniki dla przypadku L = 15 oraz λ od do 1 Dla λ = jest to praktycznie roziązanie zgodne ze zorem (14), czyli przybliżenie średniokadratoe Widmo Rź N przedstaione na ykresie pierszym ierszu i drugiej kolumnie silnie oscyluje (pomimo zastosoania funkcji agującej Parzena), co ynika z charakteru sygnału (szum biały) oraz z obciążenia i rozbieżności estymatora DFFT Zrezygnoano z ygładzania idma, ponieaż oscylacje te przenoszą się na poniższe ykresy idma, ułatiając śledzenie zmian Na ykresie idma splotu pokazano nałożone idmo aveletu z idocznym efektem mnożenia idm splatanych sygnałó Niżej położone ykresy (od iersza 3, kolumna ) uidaczniają tak pożądany efekt rozszerzenia idma, do którego proadzi, a przynajmniej poinna, inersja Badano rónież błąd obliczony jako różnica In N Rź N oraz rozkład artości spółczynnikó rozinięcia C M, na pokazanie których brak tutaj miejsca Zmiana artości λ istotnie płya na roziązanie i rozkład spółczynnikó atomó ystępujących roziązaniu; miarę poiększania parametru λ algorytm usua spółczynniki mniej znaczące zaróno z C M, jak i konsekencji z In N Kolejny rysunek pokazuje pły parametru L Pominięto yniki dla L = 10, jako że nie różnią się od ynikó dla L = 15 Naet zmniejszenie parametru L do pięciu krokó próbkoania (rysunek 3), co odpoiada rozsunięciu dubletu do 10 ms, nie proadzi do krytycznego pogorszenia rezultató Wpły szumu na yniki inersji (rysunki 4 i 5) zbadano, proadzając szum koloroy otrzymany przez filtrację szumu białego filtrem dolnoprzepustoym z częstotliością odcięcia róną dóm trzecim całego zakresu częstotliości, tj około 166 Hz Ta granica jest jednocześnie górną granicą idma zastosoanych falek, przyjęto boiem, że arunkach realnych szum zostanie odfiltroany poyżej częstotliości użytecznego sygnału Dziesięcioprocentoy poziom szumu jest ięc realnie iększy biorąc pod uagę zakres jego ystępoania, można przyjąć, że odpoiada 15-proc szumu białego całym zakresie częstotliości Z licznie przeproadzonych prób ynika, że jest to górna granica zaszumienia sygnału dla badanej metody Poyżej tej ielkości inersja praktycznie nie jest możlia Zastosoano tym przypadku parametr λ róny 1 i 0,1, ponieaż redukcja liczby atomó ystępujących roziązaniu odpoiada odszumianiu Ze stosoanych tu algorytmó rutynoo korzysta się kompresji i odszumianiu (denoising), stąd metoda dość dobrze sobie radzi tej sytuacji Dla porónania ykonano rónież inersję dla falek Klaudera (rysunek 7) i Ormsby ego (rysunek 6), zdefinioanych i przedstaionych poyżej (rysunek 1) W pracach pośięconych dekompozycji spektralnej oraz inersji spektralnej stosuje się na ogół falki Rickera lub ygaszane cosinusoidy [16], także Berkhout [], dyskutując problem rozdzielczości pionoej, preferuje falki o relatynie szerokim maksimum i pojedynczych bocznych minimach ze zredukoanymi oscylacjami bocznymi Obyda ymienione tu avelety tych kryterió nie spełniają zastosoano je ze zględu na poszechne ystępoanie praktyce ale ykonane na nich testy dają poprane yniki inersji nr 1/01 941

6 NAFTA-GAZ Rys Wyniki testu dla parametró: L = 15, avelet Rickera 60 Hz, szum 0% oraz różnych artości parametru λ (opis tekście) 94 nr 1/01

7 artykuły Rys 3 Wyniki testu dla parametró: L = 5, avelet Rickera 60 Hz, szum 0% oraz różnych artości parametru λ (opis tekście) Rys 4 Wyniki testu dla parametró: L = 10, avelet Rickera 60 Hz, szum 10% oraz λ = 1 nr 1/01 943

8 NAFTA-GAZ Rys 5 Wyniki testu dla parametró: L = 10, avelet Rickera 60 Hz, szum 10% oraz λ = 0,1 Rys 6 Wyniki testu dla parametró: L = 10, avelet Ormsby ego 60 Hz, szum 0% oraz λ = Rys 7 Wyniki testu dla parametró: L = 10, avelet Klaudera 60 Hz, szum 0% oraz λ = nr 1/01

9 artykuły Obliczenia na profilu sejsmicznym Test opracoanej metody i jej implementacji przeproadzono na danych rzeczyistych, tj na sekcji sumoanej Wybrany fragment sekcji zaiera 00 tras o kroku próbkoania ms, oknie od 0 s do 1,7 s Wykonano analizę idma ybranego fragmentu i na jej podstaie ybrano avelet Rickera 35 Hz oraz przeproadzono szereg testó, dobierając parametry Obliczenia ykonano stosując następujące parametry: zerofazoy avelet Rickera 35 Hz; L = 10, nie stierdzono różnicy stosunku do pierotnie testoanej artości 15; λ = 0,1; N = 851, obliczenia przeproadzono całym przedziale ybranego okna Wyniki inersji przedstaiono na rysunkach 9 1 Analiza otrzymanych rezultató pozala stierdzić, że metoda może być z poodzeniem stosoana pracach badaczych i zastosoaniach przemysłoych Rys 8 Widmo ybranego fragmentu profilu (kolor zielony) zestaione z ybranym aveletem Rickera 35 Hz, oś odciętych częstotliość Rys 9 Dane rzeczyiste fragment profilu sejsmicznego Rys 10 Wyniki inersji spektralnej ykonanej opisaną metodą (parametry podane tekście) nr 1/01 945

10 NAFTA-GAZ Rys 11 Dane rzeczyiste fragment profilu sejsmicznego przedstaiony standardoych kolorach 946 nr 1/01

11 artykuły Rys 1 Wyniki inersji spektralnej ykonanej opisaną metodą, przedstaione zyczajoych barach nr 1/01 947

12 NAFTA-GAZ Podsumoanie Inersja spektralna ersji opartej na analizie falkoej, metodzie słonikoej oraz adaptacyjnym dopasoaniu ydaje się bardzo silnym narzędziem interpretacyjnym sygnału sejsmicznego Następuje rozszerzenie idma trasy sejsmicznej z przeproadzonych testó ynika, że możlie jest pełne odtorzenie idma oparte na prostym istocie założeniu o możliości rozkładu spółczynnikó odbicia na dipole i dalej na ich parzyste i nieparzyste składoe Stierdzona duża odporność na szum oraz prostota połączone z ogólną dostępnością algorytmó skłaniają do zastosoania metody praktyce Przegląd ynikó przekonuje, iż stanoi ona silne sparcie oparte na obiektynych przesłankach dla interpretatora Literatura [1] Akansu A N, Haddad R A: Multiresolution Signal Decomposition: Transforms, Subbands and Wavelets Academic Press, 001 [] Berkhout A J: Seismic Resolution Geophysical Press, 1984 [3] Białasieicz J T: Falki i aproksymacje Warszaa, Wydanicto Naukoo-Techniczne, 000 [4] Chopra S, Castagna J, Portniaguine O: Seismic resolution and thin-bed reflectivity inversion CSEG Recorder 006, January, s 19 5 [5] Chopra S, Castagna J, Xu Y: Thin-bed Reflectivity Inversion and Some Applications First Break 009, vol 7, s 55 6 [6] Chui C K: An Introduction to Wavelets San Diego, Academic Press, 199 [7] Daubechies I: Ten lectures on avelets Philadelphia, SIAM, 199, s [8] Gabor D: Theory of Communication JIEEE 1946, vol 93(III), s [9] Kasina Z: Teoria sygnału sejsmicznego Krakó, Wydanicta AGH, 009 [10] Mallat S, Zhang Z: Matching Pursuit ith time-frequency dictionaries IEEE Transactions on Signal Processing 1993, vol 41, issue 1, s [11] Marfurt K J, Karlin R L: Narro band spectral analysis and thin bed tuning Geophysics 001, vol 66, s [1] Partyka G A, Gridley J A, Lopez J A: Interpretational aspects of spectral decomposition in reservoir characterization The Leasing Edge 1999, vol 18, s [13] Puryear C I, Castagna J P: Layer-thickness determination and stratigraphic interpretation using spectral inversion: Theory and application Geophysics 008, vol 73, s [14] Ryan H: Ricker, Ormsby, Klauder, Butterorth A Choice of Wavelets CSEG Recorder 1994, September, s 8 9 [15] Stockell R G, Mansinha L, Loe R P: Localization of the complex spectrum: The S Transform IEEE Transactions on Signal Processing 1996, vol 44, s [16] Widess M: Ho thin is a thin bed? Geophysics 1973, vol 38, s [17] Wojtaszczyk P: Teoria falek Warszaa, Wydanicto Naukoe PWN, 000 Mgr inż Krzysztof ŻułAWIńSKI absolent Wydziału Elektrotechniki, Elektroniki i Automatyki AGH, specjalność: Fizyka Stosoana Praconik Zakładu Geofizyki Instytucie Nafty i Gazu Krakoie Zajmuje się teorią pola faloego, rozdzielczością i przetarzaniem sejsmicznym oraz programoaniem Zainteresoania: żeglarsto, indsurfing, kongniistyka 948 nr 1/01